高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘題分類匯編

最新高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘題分類匯編

高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘題分類匯編

“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”一直以來成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)提高的重要因素，成為學(xué)生揮

之不去的痛，如何解決這個(gè)問題對(duì)決定學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。本文結(jié)合筆

者的多年高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)精心挑選學(xué)生在考試中常見的66個(gè)易錯(cuò)、易混、易忘典型題目，

這些問題也是高考中的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，做到力避偏、怪、難，進(jìn)行精彩剖析并配以近幾年的

高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這樣的問題在高考中確實(shí)存在，另一方面通過作

針對(duì)性練習(xí)幫你識(shí)破命題者精心設(shè)計(jì)的陷阱，以達(dá)到授人以漁的目的，助你在高考中乘風(fēng)

破浪，實(shí)現(xiàn)自己的理想報(bào)負(fù)。

【易錯(cuò)點(diǎn)1】忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。

例1、設(shè)Ax|x28x150,Bx|ax10,若ABB,求實(shí)數(shù)a組成

的集

合的子集有多少個(gè)？

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題由條件ABB易知BA,由于空集是任何非空集合的子集，但在

解題中極易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。

解析：集合A化簡(jiǎn)得A3,5，由ABB知BA故（I）當(dāng)B時(shí)，即方程

ax10無(wú)

11或。35解，此時(shí)a=0符合已知條件（II）當(dāng)B時(shí);即方程ax10的解為3

或5,代入得a綜上滿足條件的a組成的集合為0,11,,故其子集共有238個(gè)。

35

B時(shí)，要樹立起分類討論的數(shù)學(xué)思想，【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）在應(yīng)用條件AUB=B

APB=AA

將集合A是空集中的情況優(yōu)先進(jìn)行討論.

（2）在解答集合問題時(shí)，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無(wú)序性、互異性”特別是互異

性對(duì)集合元素的限制。有時(shí)需要進(jìn)行檢驗(yàn)求解的結(jié)果是滿足集合中元素的這個(gè)性質(zhì)，此

外，解題過程中要注意集合語(yǔ)言（數(shù)學(xué)語(yǔ)言）和自然語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化如：

Ax,y|x2y24,

2Bx,y|x3y42r2，其中r0,若AB求r的取值范

圍。將集合所表達(dá)

的數(shù)學(xué)語(yǔ)言向自然語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化就是：集合A表示以原點(diǎn)為圓心以2的半徑的圓，集合

B表示以（3,4）為圓心，以r為半徑的圓，當(dāng)兩圓無(wú)公共點(diǎn)即兩圓相離或內(nèi)含時(shí)，求半

徑r的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來解答。此外如不等式的解集等也要

注意集合語(yǔ)言的應(yīng)用。

【練1】已知集合Ax]x24x0、Bx|x22a1xa210,若

BA,

1或alo則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。答案：a

【易錯(cuò)點(diǎn)2]求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。

例2、已知x22y2

1,求x2y2的取值范圍4

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)最值求

解，但極易忽略x、y滿足x22y2

1這個(gè)條件中的兩個(gè)變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴(kuò)大。41

解析：由于x22y2y221.得(x+2)=l-4422Wl,...-3WxWT從而x+y=-3xT6x-

12=222+28

因此當(dāng)x=-l時(shí)x+y有最小值1,當(dāng)x=-82822時(shí)，x+y有最大值。故x+y的取值范圍是

[1,2228

]

【練2】(05

()x2y221b0上變化，則x22y的最大值為高考重慶卷)若動(dòng)點(diǎn)(x,y)

在曲線4b

b2b2

b240b440b24(D)2b(A)4(B)4(C)

42bb42bb2

答案：A

【易錯(cuò)點(diǎn)3]求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。

例3、a2x1Ifx是R上的奇函數(shù)，(1)求a的值(2)求的反函數(shù)fx

xl2

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域

而出錯(cuò)。解析：（1）利用fXfx0（或，00）求得a=l.

2x11yxxfxx,設(shè)yfx,則21y1y由于y1故2,

211y

1x22x111x1,1所以fxlog21x1x1

fxx2121（2）由a1即1ylyxlog2,而

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）在求解函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，?定要通過確定原函數(shù)的值域即反

函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后表明（若反函數(shù)的定義域?yàn)镽可省略）。

（2）應(yīng)用f1（b）af（a）b可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注

意其自變量和函數(shù)值要互換。

【練3】（2004全國(guó)理）函數(shù)

A、

C>fx1x1的反函數(shù)是（）yx22x2x1B、

yx22x2x1yx22xx1D>yx22xx12

答案：B

【易錯(cuò)點(diǎn)4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯(cuò)位

例4、已知函數(shù)

稱，則

A、gfx12x1,函數(shù)ygx的圖像與yfx1的圖象關(guān)于直線yx

對(duì)1xygx的解析式為（）x32x2xlx3B、gxC、gx

D、gxxlx2x2x

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】解答本題時(shí)易由ygx與yf1x1互為反函數(shù)，而認(rèn)為

yf1x1的

12x1

1x132x而錯(cuò)選A。x反函數(shù)是yfx1則ygx=fx1二

解析：由1x12xl2x1x1Ifx得fx從而yfx1

再求1x2x211

X

2x。正確答案：B1xyf1x1的反函數(shù)得gx

【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】函數(shù)yf1x1與函數(shù)yfx1并不互為反函數(shù)，他只

是表示f1X

yfx1則f1yx1,中x用xT替代后的反函數(shù)值。這是因?yàn)橛汕蠓春?/p>

數(shù)的過程來看：設(shè)

ly互換即得yx1的反函數(shù)為yfx1,故yfxxf1y1再將

X、1的

反函數(shù)不是yf1x1,因此在今后求解此題問題時(shí)一定要謹(jǐn)慎。

T-1【練4】(2004高考福建卷)已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f(x),則函數(shù)y=

f(l-x)的圖象是()

答案：B

【易錯(cuò)點(diǎn)5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱。

例5、判斷函數(shù)f(x)lg1x2

x22的奇偶性。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題常犯的錯(cuò)誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解：

f(x)lg1x2

x22fx從3

而得出函數(shù)fx為非奇非偶函數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論。

21x0解析：由函數(shù)的解析式知x滿足即函數(shù)的定義域?yàn)?,00,1

定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

x22在定義域下fxlg1x2

x易證fxfx即函數(shù)為奇函數(shù)。

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔［(1)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充

分條件，因此在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)一定要先研究函數(shù)的定義域。

(2)函數(shù)fx具有奇偶性，則fxfx或fxfx是對(duì)定義域

內(nèi)x的恒等式。常常利用這一?點(diǎn)求解函數(shù)中字母參數(shù)的值。

【練5】判斷下列函數(shù)的奇偶性：

①fXfXX1③fX1sinxcosx

1sinxcosx

答案：①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)②非奇非偶函數(shù)③非奇非偶函數(shù)

【易錯(cuò)點(diǎn)6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過程繁鎖。

例6、函數(shù)fxlog22x22x11111證明fx是奇函數(shù)且在x或

的反函數(shù)為fx,22

其定義域上是增函數(shù)。

【思維分析】可求

只需研究原函數(shù)f1x的表達(dá)式，再證明。若注意到f1x與fx具有相同

的單調(diào)性和奇偶性，fx的單調(diào)性和奇偶性即可。

2x1

2x1解析：fxlog2

log22x12x1log22x12x1fx，故f為奇函數(shù)從而

f1x為奇函數(shù)。又令t2x1211t1在和，上均為增

函數(shù)且ylog2為增函數(shù)，2x12x122

故11x在，和，上分別為增函數(shù)。故f1x分別在

0,和,0上分別為22

增函數(shù)。

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于反函數(shù)知識(shí)有如下重要結(jié)論：(1)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有

反函數(shù)。(2)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。(3)定

義域?yàn)榉菃卧氐呐己瘮?shù)不存在反函數(shù)。

(4)周期函數(shù)不存在反函數(shù)(5)原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到

換。即f1(b)af(a)b.

f(x)2【練6】(1)(99全國(guó)高考題)已知，則如下結(jié)論正確的是()4

A、

C、fx是奇函數(shù)且為增函數(shù)B、fx是奇函數(shù)且為減函數(shù)fx是偶函數(shù)且為

增函數(shù)D、fx是偶函數(shù)且為減函數(shù)

1則使fx1成立的x的f1x是函數(shù)fx1axaxa1的反

函數(shù)，答案：A(2)(2005天津卷)設(shè)2a2la2la21)C、(，)B、(,,a)

D、(a,)取值范圍為()A、(2a2a2a

2答案：A(a1時(shí)，fx單調(diào)增函數(shù)，所以

f1x1ff1xf1xf1a1.)2a

【易錯(cuò)點(diǎn)7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域

優(yōu)先的原則。例7、試判斷函數(shù)fxaxba0,b0的單調(diào)性并給出證明。x

［易錯(cuò)點(diǎn)分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注

意定義xlD,x2Dfxlfx2fxlfx2中的xl,x2的任意性。以及

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是函數(shù)定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識(shí)。

解析：由于fxfx即函數(shù)fx為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)fx在

0,上的單調(diào)性

xlx20,即可。設(shè)fxlfx2xlx2ax1x2bxlx2由于xlx20

故當(dāng)

xl,x2時(shí)，此時(shí)函數(shù)在fxfxOfx12上增函數(shù)，同

理可證

函數(shù)fx在上一為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在為減函

數(shù)，在

為增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)在和上分別為增函數(shù)，在

fx

和上分別為減函數(shù).

5

fxaxa0(1)用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)fx在ax【練7】(1)(濰

坊市統(tǒng)考題)

(2)設(shè)fx在0x1的最小值為ga，求yga的解析式。0,I:

的單調(diào)性。

1112a1答案:(1)函數(shù)在，為增函數(shù)在0,為減函

數(shù)。(2)ygaaaa0a1

(2)(2001天津)設(shè)a0且exafxxae為R上的偶函數(shù)。(1)求a的值

(2)試判斷函數(shù)在0,上的單調(diào)性并給出證明。

答案：(1)a1(2)函數(shù)在0,上為增函數(shù)(證明略)

【易錯(cuò)點(diǎn)8】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條

件使用，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。

例8、(2004全國(guó)高考卷)已知函數(shù)

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】fxax33x2x1上是減函數(shù)，求a的取值范圍。

fx0xa,b是fx在a,b內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過

程

fxx3在R上遞減，但fx3x20?

fx3a2x6x1(1)當(dāng)fx0忖，fx是減函數(shù)，貝U

解得中易誤作是充要條件，如解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)a0故

fx3a2x6x1OxR0

3

32a3,(2)當(dāng)a3時(shí)，18(3)當(dāng)a3時(shí)，

fx3x3xx13x易知此時(shí)函數(shù)也在R上是減函數(shù)。39

在R上存在一個(gè)區(qū)間在其上有

的取值范圍是fX0,所以當(dāng)a3時(shí)，函數(shù)fX不是減函數(shù)，綜上，所求

a,3。

其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來說明：①f(x)Ofx可導(dǎo)，【知

識(shí)歸類點(diǎn)拔】若函數(shù)6

與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系:f(x)0能推出f(x)為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)

f(x)x3在(，)上單調(diào)遞增，但f(x)0,Af(x)0是f(x)為增函數(shù)的充

分不必要條件。②f(x)0時(shí)，f(x)0與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系:若將f(x)0的根

作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定f(x)0,即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)f(x)為增函數(shù)，就一定有

f(x)0。.?.當(dāng)f(x)0時(shí)，f(x)0是f(x)為增函數(shù)的充分必要條件。

③f(x)0與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系：f(x)為增函數(shù)，一定可以推出f(x)0,但反之不

一定，因?yàn)閒(X)0,即為f(x)0或f(x)0。當(dāng)函數(shù)在

f(X)0,則f(x)為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。...f(x)0是f(x)為增函數(shù)的某個(gè)

區(qū)間內(nèi)恒有

必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù),條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們

一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的

端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡(jiǎn)化了問題。但在實(shí)際

應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。因此本題在第一步后再對(duì)a

維的嚴(yán)密性。

【練8】(1)(2003新課程)函數(shù)

A、b3和a3進(jìn)行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分條件或

將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯(cuò)誤還很多，這需要同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過

程中注意思yx2bxcx0,是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是()0B、

b0C、b0D、b0

答案：A

(2)是否存在這樣的K值，使函數(shù)

上遞增？

答案：k

在fxk2x4231xkx22x在1,2上遞減，在2,321?(提示據(jù)

題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知f20,但f20是函數(shù)在1,2上遞減，2)

2,上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由f20求出K值后要檢

驗(yàn)。

【易錯(cuò)點(diǎn)9】應(yīng)用重要不等式確定最值時(shí)，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式

取得等號(hào)時(shí)的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。

例9、已知：a>0,b>0,a+b=l,求(a+la)+(b+21

b)的最小值。2

錯(cuò)解：(a+

值是8la)+(b+21b)=a+b+22211+22ab+4,2ab+2ab+424ab11+4=8A(a+aab)+(b+21b)

的最小2

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a+b22ab,第一次等號(hào)成立的

條件是a=b=

二次等號(hào)成立的條件ab=2212,第lab,顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8

不是最小值。

7

解析:原式=a+b+1111112++4-(a+b)+(+)+4-[(a+b)-2ab]+[(+)-

]+4ababa2b2a2b21ablllll=(l-2ab)(l+22)+4由abW()=得：l-2ab2l-=，且22216,

l+222172422ababab

12511125,原式》17+4=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立)(a+)+(b+)的最小值是。

222ab2222222222

【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時(shí)，要注意它的三個(gè)前提條件缺一不可即

“一正、二定、三

相等”，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時(shí)的使等號(hào)成立的變量的值是否在其定義域限

制范圍內(nèi)。

【練9】(97全國(guó)卷文22理22)甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙

地，速度不得超過ckm/h,已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定

部分組成：可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元。

(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(km/h)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義

域；

(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

答案為：(1)ysa2bvaOvc(2)使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)vbWc時(shí)，行

駛速度v=a

b；

當(dāng)a>c時(shí)，行駛速度丫=或b

【易錯(cuò)點(diǎn)10】在涉及指對(duì)型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時(shí)，沒有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論的意

識(shí)和易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。

例10、是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)

明理由。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題

過程中易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個(gè)限制條件而導(dǎo)致a的范圍擴(kuò)大。

解析：函數(shù)fxlogaax2x在2,4上是增函數(shù)？若存在求出a的值，若不存

在，說fx是由xax2x和ylogax復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)

性的判斷方

fxlogaax2法（1）當(dāng)a>l時(shí)，若使x在2,4上是增函數(shù)，則

xax2x在2,4上是增函

212ax數(shù)且大于零。故有2a解得a>l。（2）當(dāng)a<l時(shí)若使

fxloga24a20x在2,4上是增

142函數(shù)，則xaxx在2,4上是減函數(shù)且大于零。2a不等式組無(wú)

解。綜上

416a40

所述存在實(shí)數(shù)a>l使得函數(shù)fxlogaax2x在2,4上是增函數(shù)

【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次

項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)及對(duì)稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、

對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的范圍（大于1還是小于1）,特別在解決涉及指、對(duì)復(fù)

合函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)要樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想（對(duì)數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限

制）。

8

【練10］（1）（黃崗三月分統(tǒng)考變式題）設(shè)a

間。

答案：當(dāng)00,且a1試求函數(shù)yloga43xx2的的單調(diào)區(qū)

333a1,函數(shù)在1,上單調(diào)遞減在,4上單調(diào)遞增當(dāng)a1函數(shù)在

1,上單調(diào)222

遞增在3,4上單調(diào)遞減。2

Ifxlogax3axa0,a1在區(qū)間(，0)內(nèi)單調(diào)遞增，貝Ua的2

1399取值范圍是()A、［,1)B、［,1)C、(,)D、(1,)4444(2)(2005高考天

津)若函數(shù)

答案：B.(記g2則g'x3xa當(dāng)a1時(shí)，要使得fx是增函數(shù)，則需有

g'x0xx3ax,

231a3恒成立，所以.矛盾.排除C、D當(dāng)0a1時(shí)，要使fx是函數(shù)，則

需有g(shù)'x0恒42

31成立，所以a3.排除A)422

【易錯(cuò)點(diǎn)111用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性.

12求sinycosx的最大值3

1【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生都能通過條件sinxsiny將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的函數(shù)，

進(jìn)而利用換3

元的思想令tsinx將問題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量

的等價(jià)性而造成例11、已知sinxsiny錯(cuò)解，

解析：由已知條件有siny

2sinx13,而11sinx且sinysinx1,1(結(jié)合sinx1,1)

得33122令siyncxo=ssinxcos2x=sin2xsinx33

即2222tsinxt1則原式=t2tt1根據(jù)二次函數(shù)配方

得：當(dāng)t3333

sinx2

3時(shí)，原式取得最大值49。

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素

質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能

力”，解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)

化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的

是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、

復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變

量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；?/p>

者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。

【練11](1)(高考變式題)設(shè)a>0,000求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx2cosx—2a

的最大值和29

最小值。

答案：11&)的最小值為一2@—2

2

12(0a)122

2a-,最大值為

2122

2a22a(a)22

(2)不等式x>ax+答案：a

3的解集是(4,b),則a=________,b=_______。

2

1

,b36t原不等式變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次不等式的解集為8

)

【易錯(cuò)點(diǎn)12】已知Sn求an時(shí)，易忽略n=1的情況.例12、(2005高考北京卷)數(shù)

列

(1)求a2,a3,a4的值及數(shù)列an前n項(xiàng)和sn且al1,an13sn。

1

an的通項(xiàng)公式。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在應(yīng)用sn與an的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為an的情況的驗(yàn)證。易得出數(shù)列

snsn1對(duì)于任意n值都成立，忽略了對(duì)n=l

an為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論。

解析：易求得

141611

a2,a3,a4。由al1,an1sn得ansn1n2故

392733

11141

an1ansnsn1ann2得an1ann2又al1,a2故該數(shù)列從

第

33333

1n1

二項(xiàng)開始為等比數(shù)列故an14n2。

n233

sin1【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于數(shù)列an與sn之間有如下關(guān)系：an利用兩

者之間的關(guān)系snsn1n2

可以已知sn求an。但注意只有在當(dāng)al適合an的形式。

【練12］（2004全國(guó)理）-知數(shù)列則數(shù)列

snsn1n2時(shí)兩者才可以合并否則要寫分段函數(shù)

an滿足al1,anal2a23a3n1an1n2

an的通項(xiàng)為。

1n1

答案：（招條件右端視為數(shù)列nan的前nT項(xiàng)和利用公式法解答即可）ann!

n22

【易錯(cuò)點(diǎn)13】利用函數(shù)知識(shí)求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前n項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制

是正整數(shù)集或其子集（從1開始）10

例13、等差數(shù)列an的首項(xiàng)al0,前n項(xiàng)和sn,當(dāng)1m時(shí)，smsi。問n為何值

時(shí)sn最大？

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】等差數(shù)列的前.n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n

的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件。

解析：由題意知sn=fnnalnn12dd2dnaln此函數(shù)是以

22n為變量的二次函

數(shù)，因?yàn)閍l0,當(dāng)1m時(shí)，smsi故d0即此二次函數(shù)開口向下，故由

f1fm得當(dāng)

時(shí)x

當(dāng)11m2fx取得最大值，但由于nN,故若1m為偶數(shù)，當(dāng)n1m1時(shí)sn

最大。1m2時(shí)，sn最大。m為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n

【練13］（2001全國(guó)高考題）設(shè)

結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A>dan是等差數(shù)列，sn是前n項(xiàng)和，且s5s6,s6s7s8,

則下列OB、a70C、s9s5D、s6和s7均為sn的最大值。

答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識(shí)得等差數(shù)列前n項(xiàng)和關(guān)于n的二次函數(shù)的對(duì)稱軸再

結(jié)合單調(diào)性解答）

【易錯(cuò)點(diǎn)14］解答數(shù)列問題時(shí)沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解

答過程繁瑣。例14、已知關(guān)于的方程x23xa0和x23xb0的四個(gè)根組成首項(xiàng)

為34的等差數(shù)列，求ab的值。

【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等

差數(shù)列中的項(xiàng)是如何排列的。

解析：不妨設(shè)34是方程x23xa0的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列

的性質(zhì)知方程

2x23xa0的另一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng)，而方程x3xb0的兩根是等差數(shù)

列的中間兩

項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列知識(shí)易知此等差數(shù)列為：2735313579,b,，故a從而ab二。

1616844,4411

2【練14](2003全國(guó)理天津理)已知方程x

為2xm0和x22xn。的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)34C、14的等差數(shù)列，則mn=

()A、1B、12D、38

答案：C

【易錯(cuò)點(diǎn)15]用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，易忽略公比q=1的情況

例15、數(shù)列｛an｝中,al

(I)求使anan11,a22,數(shù)列｛anan1｝是公比為q(q0)的等比數(shù)列。

(H)求數(shù)列｛an｝的前2n項(xiàng)的和S2n.anlan2an2an3成立的q的取值范

圍；

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和易忽略公比q二l的特殊情況，造成概念性錯(cuò)

誤。再者學(xué)生沒有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列｛anan1｝是公比為q(q0)的等比數(shù)列得

到數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列而找不到解題突破I」。使思維受阻。

解：(I)??,數(shù)列｛an

由anan1an1｝是公比為q的等比數(shù)列，/.anlan2ananlq,

an2an3ananlq2,anlan2an2an3得

anan1ananIqananlq21qq2,即

12.,解得0qq2q10(q0)

(ID由數(shù)列｛anan1｝是公比為q的等比數(shù)列，得anlan2aqn2q,這表

明數(shù)列｛an｝的ananlan

1,a22,???當(dāng)q1時(shí)，所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比

都是q,又al

S2nala2a3a4a2n1a2n

(ala2a3an)(a2a4a6a2n)

al(1qn)a2(lqn)3(lqn),當(dāng)q1時(shí)，1qlqlq

S2nala2a3a4a2n1a2n

(ala2a3an)(a2a4a6a2n)12

（1111）（2222）3n.【練15］（2005高考全國(guó)卷一第一

問）設(shè)等比數(shù)列

圍。

答案：an的公比為q,前n項(xiàng)和sn0（1）求q的取值范1,00,

【易錯(cuò)點(diǎn)16］在數(shù)列求和中對(duì)求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前小項(xiàng)和不

會(huì)采用錯(cuò)項(xiàng)相減法或解答結(jié)果不到位。

例16、.（2003北京理）已知數(shù)列

（1）求數(shù)列an是等差數(shù)列，且al2,ala2a312an的通項(xiàng)公式（2）令

bnanxnxR求數(shù)列bn前項(xiàng)和的公式。

an的通項(xiàng)公式再由數(shù)列bn的通項(xiàng)公式分析可知數(shù)列bn是一【思維分析】本

題根據(jù)條件確定數(shù)列

個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列”，可用錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求和。

解析：（1）易求得an

(2)由(1)得bn2n2nxn令sn2x4x26x32nxn(I)則

（注意錯(cuò)過一位再相減）得xsn2x24x32n1xn2nxn1(II)用

（I）減去（II）

x1xn2n123nn1nx當(dāng)1xsn2x2x2x2x2nx當(dāng)

xIsn1x1x

x1時(shí)sn2462nnn1

綜上可得：

n2x1xn1當(dāng)xlsnnx當(dāng)x1時(shí)

sn2462nnn11x1x

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】一般情況下對(duì)于數(shù)列cn有cnanbn其中數(shù)列an和bn

分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則其前n項(xiàng)和可通過在原數(shù)列的每一項(xiàng)的基礎(chǔ)上都乘上等比

數(shù)列的公比再錯(cuò)過一項(xiàng)相減的方法來求解，實(shí)際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情

況的特例。

【練16］（2005全國(guó)卷一理）已知

求數(shù)列an的unananlban2b2abnlbnnN,aO,bO當(dāng)

ab時(shí)，13

前n項(xiàng)和sn

答案：a1時(shí)snn1an2n2an1a22a當(dāng)a1時(shí)，

sn21ann3

2.

【易錯(cuò)點(diǎn)17】不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法時(shí)

對(duì)裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。

例17、求Snllll?.112123123n

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題解答時(shí)一方面若不從通項(xiàng)入手分析各項(xiàng)的特點(diǎn)就很難找到解題突破

口，其次在裂項(xiàng)抵消中間項(xiàng)的過程中，對(duì)消去哪些項(xiàng)剩余哪些項(xiàng)規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失

誤。

解：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得123nn(n1)

2,Z.

1111211,,,就分別得到，，，,，，2(),n取1,2,3,

112123123nn(nl)nn1

ASn2(11)2(11)2(11)2(11)22334nn1

2(112n).22142162l(2n)21【練17](2005濟(jì)南統(tǒng)考)求和Sn2+

++,,+.22142162l(2n)1

答案：Snllllllll2n111?1

n.1335572n12n12n1

【易錯(cuò)點(diǎn)18】易由特殊性代替一?般性誤將必要條件當(dāng)做充分條件或充要條件使用，缺乏

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。例18、(2004年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20)設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)

和為Sn.

3(1)若首項(xiàng)al，公差d1,求滿足S2(Sk)2的正整數(shù)k；2k

(II)求所有的無(wú)窮等差數(shù)列｛an｝,使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有S

時(shí)極易根據(jù)條件''對(duì)于一切正整數(shù)k都有Sk2(Sk)2成立.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本小題主

要考查數(shù)列的基本知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力.學(xué)生在解第

(II)k2(Sk)2成立”這句話將k取兩個(gè)特殊值確定出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，但沒有認(rèn)

識(shí)到求解出的等差數(shù)列僅是對(duì)已知條件成立的必要條件，但不是條件成立14的充分條

件。還應(yīng)進(jìn)一步的由特殊到一般。

解：(I)當(dāng)al由S3n(n1)3n(n1)12,d1時(shí)Snnaldnnn

2222214131kk2(k2k)2,即k(k1)0又k0,所以k4.422n2k2(Sk)2,得

(ID設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則在S

2(Sn)2中分別取k=l,2,得

alal2,SI(SI)(1),即43212d(2a1d)24a1S4(S2)

(2)22由(1)得al0或alL當(dāng)al0時(shí)，代入⑵得d0或d6,2若

al0,d0,則an0,Sn0,從而Sk(Sk)成立，若al20,d6,則an6(n1),由

S318,(S3)2324,Sn216知s9(S3),故所得數(shù)列不符合題意.當(dāng)al

若al1時(shí)，代入⑵得46d(2d)2,解得d0或d21,d0,則anl,Snn,

從而Sk2(Sk)2成立；若all,d2,則an2nl,Sn13(2n1)n2,從而

S(Sn)2成立.綜上，共有3個(gè)滿足條件的無(wú)窮等差數(shù)列：①{an}:an=0,即0,0,

0,?；②{an}:an=l,即1,1,1,?；③{an}:an=2n—1,即1,3,5,,,,

k2【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上，“條件中使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有S(Sk)2成立.”

就等價(jià)于關(guān)于k的方

程的解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程的各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)為零，于是本題也可采用這

程等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗(yàn)而犯下的邏輯錯(cuò)誤。在上述

解法中一定要注意這種特殊與一般的關(guān)系。

【練18](1)(2000全國(guó))已知數(shù)列cn，其中cn2n3n,且數(shù)列cn1pen

為等比數(shù)列.求常數(shù)p答案：p=2或p=3(提示可令n=l,2,3根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立關(guān)于

P的方程，再說明P值對(duì)任意自然數(shù)n都成立)

【易錯(cuò)點(diǎn)19】用判別式判定方程解的個(gè)數(shù)(或交點(diǎn)的個(gè)數(shù))時(shí)，易忽略討論二次項(xiàng)的系

數(shù)是否為0.尤其是直線與圓錐曲線相交時(shí)更易忽略.

例19、已知雙曲線x2y24,直線ykx1,討論直線與雙曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】討論直線與曲線的位置關(guān)系，一般將直線與曲線的方程聯(lián)立，組成方程

組，方程組有幾解，則直線與曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)，但在消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的方程

后，易忽視對(duì)方程的種類進(jìn)行討論而主觀的誤認(rèn)為方程就是二次方程只利用判別式解答。

ykx122222解析：聯(lián)立方程組消去y得到1kx2kxk40

(1)當(dāng)1k0時(shí)，22xy4

即k1,方程為關(guān)于x的一次方程，此時(shí)方程組只有解，即直線與雙曲線只有一個(gè)交

點(diǎn)。(2)當(dāng)

21kOk時(shí)即，方程組只有一解，故直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)(3)當(dāng)

2443k0

21k0k時(shí)，方程組有兩個(gè)交點(diǎn)此時(shí)k1。(4)當(dāng)

233443k0

21k0時(shí)即或時(shí)方程組無(wú)解此時(shí)直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)。

kk233443k015

綜上知當(dāng)k1或k時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)k1。時(shí)k3k

33直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)k

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方

程組解的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)另一種方法借助于漸進(jìn)線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)

合的方法解答，并且這兩種方法的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下上題中的第一種情況對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線

的漸進(jìn)線平行，此時(shí)叫做直線與雙曲線相交但只有一個(gè)公共點(diǎn)，通過這一點(diǎn)也說明直線與

雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對(duì)應(yīng)于直線

與雙曲線相切。通過本題可以加深體會(huì)這種數(shù)與形的統(tǒng)一。

x2

y21,雙曲線c2的左右焦點(diǎn)分別為cl的左右【練19](1)(2005重慶卷)已知

橢圓cl的方程為4

頂點(diǎn)，而c2的左右頂點(diǎn)分別是cl的左右焦點(diǎn)。(1)求雙曲線的方程(2)若直線

1:ykx

圓cl及雙曲線c2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且與c2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足10A0B6,

其中。為原

x2112點(diǎn)，求k的取值范圍。答案：(1)y1(2)

1,322

(2)已知雙曲線C：,過點(diǎn)P(1,1)作直線1,使1與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿

足上述條件的直線1共有

y2

1中整理有(4-k)x+2k(k-Dx-條。答案：4條(可知k存在時(shí)，令1:y-l=k(x-l)

代入x4

5(l-k)-4=0,當(dāng)4-k=0即k=±2時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k4±2時(shí)，由△=()有k,

有一個(gè)切點(diǎn)另：當(dāng)k2222122

1

不存在時(shí)，x=l也和曲線C有一個(gè)切點(diǎn)，綜上，共有4條滿足條件的直線）

【易錯(cuò)點(diǎn)20】易遺忘關(guān)于sin和cos齊次式的處理方法。

cossin22；(2)sinsin.cos2cos的值.cossin

22【思維分析】將式子轉(zhuǎn)化為正切如利用1sincos可將（2）式分子分母除去

sin即可。

sin1cossincos1tan12322；解：⑴

sin1tan12cossin1cos

sin2sincos2cos222(2)sinsincos2cossin2cos2

sin2sin2222242cos2cossin213lcos2例20、已

知tan2,求⑴

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（如果不具備,通過構(gòu)造的辦法得到），進(jìn)

行弦、切互化，就會(huì)使解題過程簡(jiǎn)化。

（1sin2cos2sec2tan2tancot16

這些統(tǒng)稱為1的代換）常數(shù)“1”的種種代換有著廣泛的應(yīng)用.

【練20】,（2004年湖北卷理科）

已知6sin2sincos2cos20,[,],求sin（2）的值.23

tan1tar）2）1tan2答案：66tan2tan20,

sin2313【易錯(cuò)點(diǎn)21]解答數(shù)列應(yīng)用題，審題不嚴(yán)易將有關(guān)數(shù)列的

第n項(xiàng)與數(shù)列的前n項(xiàng)和混淆導(dǎo)致錯(cuò)誤解答。例21、如果能將一張厚度為0.05min的報(bào)紙

對(duì)拆,再對(duì)拆....對(duì)拆50次后,報(bào)紙的厚度是多少?你相信這時(shí)報(bào)紙的厚度可以在地球和月

球之間建一座橋嗎？（已知地球與月球的距離約為410米）8

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)拆50次后,報(bào)紙的厚度應(yīng)理解一等比數(shù)列的第n項(xiàng)，易誤理解為是比

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。解析：對(duì)拆一次厚度增加為原來的一倍，設(shè)每次對(duì)拆厚度構(gòu)成數(shù)

列an,則數(shù)列an是以0510米為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列。從而對(duì)拆50次后紙

的厚度是此等比數(shù)列的第51項(xiàng)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式易得a5ro.0531032=5.63310,

而地球和月球間的距離為4310-3501038<5.6331010故可建一座橋。

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】以數(shù)列為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用題曾是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，其中

有很多問題都是涉及到等差或者等比數(shù)列的前n項(xiàng)和或第n項(xiàng)的問題，在審題過程中一定

要將兩者區(qū)分開來。

【練21]（2001全國(guó)高考）從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境

建設(shè)，并以此發(fā)展旅

1,本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為5

1400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增

加.4游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少

(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元，寫出an,bn

的表達(dá)式；

(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入

lln-lnlk-14n(1)an=800+8003(1-)+?+8003(1-)=8003(1-)=40003[1-()]

5555k1

llk-ln5-5bn=400+4003(1+)+?+4003(1+)=4003()kl=16003E()n-114444k1

(2)至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入

【易錯(cuò)點(diǎn)221單位圓中的三角函數(shù)線在解題中一方面學(xué)生易對(duì)此知識(shí)遺忘，應(yīng)用意識(shí)不

強(qiáng)，另一方面易將角的三角函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線與線段的長(zhǎng)度二者等同起來，產(chǎn)生

概念性的錯(cuò)誤。

例21、下列命題正確的是()17

A、都是第二象限角，若sinsin，貝!JtantanB、都是第三象

限角,若

coscos,貝sinsintantan

C、都是第四象限角，若sinsin

,貝IJ。

D、都是第一象限角,若coscos，則sinsin

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】學(xué)生在解答此題時(shí)易出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：(1)將象限角筒單理解為銳角或

鈍角或270到360度之間的角。(2)思維轉(zhuǎn)向利用三角函數(shù)的單調(diào)性，沒有應(yīng)用三角函

數(shù)線比較兩角三角函數(shù)值大小的意識(shí)而使思維受阻。

解析：A、由三角函數(shù)易知此時(shí)角的正切線的數(shù)量比角的正切線的數(shù)量要小即tan

理可知sin

tan

B、同

sinC、知滿足條件的角的正切線的數(shù)量比角

。正確。D、同理可知應(yīng)為sin

的正切線的數(shù)量要大即

tantansin。

【練22］（2000全國(guó)高考）已知sinA、若B、若答案：D

【易錯(cuò)點(diǎn)23】在利用三角函數(shù)的圖象變換中的周期變換和相位變換解題時(shí)。易將和

求錯(cuò)。

sin

,那么下列命題正確的是（）

、都是第二象限角，則tan、都是第四象限角，則tan

、都是第一象限角，則cos、都是第三象限角，則cos

cosB、若cosD、若

tantan

例23.要得到函數(shù)

1

ysin2x的圖象，只需將函數(shù)ysinx的圖象（）

23

個(gè)單位。3

1

B、先將每個(gè)x值縮小到原來的倍，y值不變，再向左平移個(gè)單位。

43

C、先把每