考研數(shù)學(xué)二(常微分方程)模擬試卷17(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷17(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．微分方程y〞－4y＝e2χ＋χ的特解形式為()．A．a(chǎn)e2χ＋bχ＋cB．a(chǎn)χ2e2χ＋bχ＋cC．a(chǎn)χe2χ＋bχ2＋cχD．a(chǎn)χe2χ＋bχ＋c正確答案：D解析：y〞－4y＝0的特征方程為λ2＝4＝0，特征值為λ1＝－2，λ2＝2．y〞－4y＝e2χ的特解形式為y1＝aχe2χ，y〞－4y＝χ的特解形式為y2＝bχ＋c，故原方程特解形式為aχe2χ＋bχ＋c，選D．知識(shí)模塊：常微分方程2．設(shè)三階常系數(shù)齊次線性微分方程有特解y1＝eχ，y2＝2χeχ，y3＝3e-χ，則該微分方程為()．A．y″′－y〞－y′＋y＝0B．y″′＋y〞－y′－y＝0C．y″′＋2y〞－y′－2y＝0D．y″′－2y〞－y′＋2y＝0正確答案：A解析：由y1＝eχ，y2＝2χe－χ，y3＝3e－χ為三階常系數(shù)齊次線性微分方程的特解可得其特征值為λ1＝λ2＝1，λ3＝－1，其特征方程為(λ－1)2(χ＋1)＝0，即λ3－λ2－λ＋1＝0，所求的微分方程為y″′－y＋y＝0，選A．知識(shí)模塊：常微分方程填空題3．微分方程y′＋ytanχ＝cosχ的通解為_______．正確答案：y＝(χ＋C)cosχ涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程4．設(shè)f(χ)在[0，＋∞)上非負(fù)連續(xù)，且f(χ)∫0χf(χ－t)dt＝2χ3，則f(χ)＝_______．正確答案：2χ解析：∫0χf(χt)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χ(u)du，令F(χ)＝∫0χf(u)du，由f(χ)∫0χf(χ－t)dt＝2χ3，得f(χ)∫0χf(u)du＝2χ3，即＝2χ3，則F2(χ)＝χ4＋C0．因?yàn)镕(0)＝0，所以C0＝0，又由F(χ)≥0，得F(χ)＝χ2，故f(χ)＝2χ．知識(shí)模塊：常微分方程5．連續(xù)函數(shù)f(χ)滿足f(χ)＝3∫0χf(χ－t)dt＋2，則f(χ)＝_______．正確答案：2e3χ解析：由∫0χf(χ－t)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χf(u)du得f(χ)＝3∫0χf(u)du＋2，兩邊對(duì)χ求導(dǎo)得f′(χ)－3f(χ)＝0，解得f(χ)＝Ce-∫-3dχ＝Ce3χ，取χ＝0得f(0)＝2，則C＝2，故f(χ)＝2e3χ．知識(shí)模塊：常微分方程6．設(shè)y＝y(tǒng)(χ)可導(dǎo)，y(0)＝2，令△y＝y(tǒng)(χ＋△χ)－y(χ)，且△y＝△χ＋α，其中α是當(dāng)△χ→0時(shí)的無窮小量，則y(χ)＝_______．正確答案：2涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程7．的通解為_______．正確答案：χ＝解析：由得－2χ＝y(tǒng)2，則知識(shí)模塊：常微分方程8．微分方程χy′－y[ln(χy)－1]＝0的通解為_______．正確答案：ln(χy)＝Cχ解析：令χy＝u，y＋χy′＝，代入原方程得＝0，分離變量得，積分得lnlnu＝lnχ＋lnC，即lnu＝Cχ，原方程的通解為ln(χy)＝Cχ．知識(shí)模塊：常微分方程9．微分方程y2dχ＋(χ2－χy)dy＝0的通解為_______．正確答案：y＝C解析：令＝u＋χ，則，代入原方程得，兩邊積分得u－lnu－lnχ－lnC＝0，解得y＝C．知識(shí)模塊：常微分方程解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。10．求微分方程＝1＋χ＋y＋χy的通解．正確答案：由＝1＋χ＋y＋χy得＝(1＋χ)(1＋y)，分離變量得＝(1＋χ)dχ，兩邊積分得ln｜1＋y｜＝χ＋＋C．涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程11．求微分方程χy′＝y(tǒng)ln的通解．正確答案：χy′＝y(tǒng)ln可寫為，令u＝，原方程化為u＋χ＝ulnu，變量分離得，積分得ln(lnu－1)＝lnχ＋lnC，即lnu－1＝Cχ，或u＝eCχ＋1，故原方程的通解為y＝χeCχ＋1．涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程12．求微分方程χy〞＋2y′＝eχ的通解．正確答案：令y′＝p，則原方程化為涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程13．設(shè)χ＞0時(shí)，f(χ)可導(dǎo)，且滿足：f(χ)＝1＋f(t)dt，求f(χ)．正確答案：由f(χ)＝1＋f(t)dt得χf(χ)＝χ＋∫1χf(t)dt，兩邊對(duì)χ求導(dǎo)得f(χ)＋χf′(χ)＝1＋f(χ)，解得f′(χ)＝，f(χ)＝lnχ＋C，因?yàn)镕(1)＝1，所以C＝1，故f(χ)＝lnχ＋1．涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程14．求微分方程(y＋)dχ－χdy＝0的滿足初始條件y(1)＝0的解．正確答案：由(y＋)dχ－χdy＝0，得．令u＝，則原方程化為，積分得ln(u＋)＝lnχ＋lnC，即＝Cχ，將初始條件y(1)＝0代入得C＝1．由即滿足初始條件的特解為y＝．涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程15．求微分方程(y－χ3)dχ－2χdy＝0的通解．正確答案：由(y－χ2)dχ－2χdy＝0，得即原方程的通解為y＝(其中C為任意常數(shù))．涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程16．求微分方程y2dχ＋(2χy＋y2)dy＝0的通解．正確答案：由y2dχ＋(2χy＋y2)dy＝0得令u＝，則，解得u2(u＋3)＝，所以原方程的通解為y2(y＋3χ)＝C．涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程17．求微分方程cosy－cosχsin2y＝siny的通解．正確答案：由cosy－cosχsin2y＝siny得－cosχsin2y＝siny，令u＝siny，則－u＝cosχ.u2，令u-1＝z，則z＝－cosχ，解得z＝[－cosχ)e∫dχdχ＋C]e－∫dχ＝[－∫eχcosχdχ＋C]－χ＝[－eχ(sinχ＋cosχ＋C]e－χ＝Ce－χ－(sinχ＋cosχ)則涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程18．求微分方程χy＝χ2＋y2滿足初始條件y(e)＝2e的特解．正確答案：由χy＝χ2＋y2，得，令＋u，得，解得u2＝lnχ2＋C，由y(e)＝2e，得C＝2，所求的特解為y2＝χ2lnχ2＋2χ2．涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程19．求微分方程χ2y′＋χy＝y(tǒng)2滿足初始條件y(1)＝1的特解．正確答案：由χ2y′＋χy＝y(tǒng)2得，令u＝，則有，兩邊積分得，即＝Cχ2，因?yàn)閥(1)＝1，所以C＝－1，再把u＝代入＝Cχ2得原方程的特解為y＝．涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程20．求微分方程的通解．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程21．求微分方程的通解．正確答案：令χ＋y＝u，則－1，于是有，變量分離得＝dχ，兩邊積分得u－arctanu＝χ＋C，所以原方程的通解為y－arctan(χ＋y)＝C．涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程22．設(shè)y＝eχ為微分方程χy′＋P(χ)y＝χ的解，求此微分方程滿足初始條件y(ln2)＝0的特解．正確答案：把y＝eχ代入微分方程χy′＋P(χ)y＝χ，得P(χ)＝χe－χ－χ，原方程化為y′＋(e－χ－1)y＝1，則將y(ln2)＝0代入y＝C＋eχ中得C＝－，故特解為y＝－＋eχ．涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程23．設(shè)f(χ)＝eχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，其中f(χ)連續(xù)，求f(χ)．正確答案：由f(χ)＝eχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，得f(χ)＝eχ－χ∫0χf(t)dt＋∫0χtf(t)dt，兩邊對(duì)χ求導(dǎo)，得f(χ)＝eχ－∫0χf(t)dt，兩邊再對(duì)χ求導(dǎo)得f〞(χ)＋f(χ)＝eχ，其通解為f(χ)＝C1cosχ＋C2sinχ＋eχ．在f(χ)＝eχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt中，令χ＝0得f(0)＝1，在f′(χ)＝eχ－∫0χf(t)dt出中，令χ＝0得f′(0)＝1，于是有，故f(χ)＝．涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程24．求微分方程χy〞＋3y′＝0的通解．正確答案：令y′＝p，則，解得p＝，即y′＝，則y＝－＋C2．涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程25．設(shè)當(dāng)χ＞0時(shí)，f(χ)滿足∫1χf(t)dt－f(χ)＝χ，求f(χ)．正確答案：由∫1χf(t)dt－f(χ)＝χ，兩邊求導(dǎo)得f(χ)－f′(χ)＝1，解得f(χ)＝Ceχ＋1，而f(1)＝－1，所以f(χ)＝1－2eχ－1．涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程26．求滿足初始條件y〞＋2χ(y′)2＝0，y(0)＝1，y′(0)＝1的特解．正確答案：令y′＝p，則y〞＝，代入方程得＋2χp2＝0，解得＝χ2＋C1，由y′(0)＝1得C1＝1，于是y′＝，y＝arctanχ＋C2，再由y(0)＝1得C2＝1，所以y＝arctanχ＋1．涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程27．求微分方程yy〞＝y(tǒng)′2滿足初始條件y(0)＝y(tǒng)′(0)＝1的特解．正確答案：令y′＝p，則y〞＝，代入原方程得當(dāng)p＝0時(shí)，y＝1為原方程的解；當(dāng)P≠0時(shí)，由，解得p＝C1＝C1y由y(0)＝y(tǒng)′(0)＝1得C1＝1，于是－y＝0，解得y＝C2＝C2eχ，由y(0)＝1得C2＝1，所以原方程的特解為y＝eχ．