求二面角的6種方法【自己總結(jié)全面】

課題3：二面角求法總結(jié)一、知識(shí)準(zhǔn)備1、二面角的概念：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.

2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角。3、二面角的大小范圍：[0°，180°]4、二面角的求解方法對(duì)二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，從而將三維空間中的求角問題轉(zhuǎn)化為二維空間并可以通過三角形的邊角問題加以解決.定位出二面角為解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，下面就二面角求解的步驟做初步介紹：一、“找”：找出圖形中二面角，若不能直接找到可以通過作輔助線補(bǔ)全圖形定位二面角的平面角二、“證”：證明所找出的二面角就是該二面角的平面角三、“算”：計(jì)算出該平面角由于定位二面角的難度較大，對(duì)于求解二面角還有一種思路就是繞開定位二面角這一環(huán)節(jié)，通過一些等價(jià)的結(jié)論或公式或用空間向量等方法來直接求出二面角的大小.本文將根據(jù)這兩種解題思路對(duì)二面角的解題方法做一一介紹.二面角做法：做二面角的平面角主要的方法有：

（1）、定義法：在棱上取一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的2條射線，這2條所夾的角；

（2）、三垂線法：過一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)（記為A）做另一個(gè)半平面的一條垂線，過這個(gè)垂足（記為B）再做棱的垂線，記垂足為C，連接AC，則∠ACB即為該二面角的平面角。（3）射影法：凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小。（4）、垂面法：做垂直于棱的一個(gè)平面，這個(gè)平面與2個(gè)半平面分別有一條交線，這2條交線所成的角；（5）無交線的二面角處理方法（6）向量法二、二面角的基本求法及練習(xí)1、定義法（從兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條射線可以相交也可異面，從而面面角就轉(zhuǎn)化為線線角來求）從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知點(diǎn)（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）；在另一半平面ASM內(nèi)過該垂足（F）作棱AM的垂線（如GF），這兩條垂線（BF、GF）便形成該二面角的一個(gè)平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個(gè)可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。【2012重慶文20】如圖（20），在直三棱柱中，，D為AB的中點(diǎn).（Ⅰ）求異面直線和的距離；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值.【解析】確定公垂線段求異面直線間的距離，根據(jù)定義確定二面角的平面角.（Ⅰ）如圖，因，為的中點(diǎn)，故.又直三棱柱中，面，故，所以異面直線和的距離為.（Ⅱ）由故面，從而，（步驟1），故為所求的二面角的平面角（步驟2）.因是在面上的射影，又已知由三垂線定理的逆定理得從而，都與互余，因此，所以（步驟3），因此,得,從而（步驟4）所以在中，由余弦定理得.（步驟5）【2011廣東理】如圖，在椎體中，是邊長為1的棱形，且,,分別是的中點(diǎn)，（1）證明：;（2）求二面角的余弦值.【2010全國=1\*ROMANI理19】如圖，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點(diǎn)，平面EDC平面SBC.（Ⅰ）證明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.(Ⅱ)由知.故為等腰三角形.取中點(diǎn)F,連接,則.連接，則.所以，是二面角的平面角.連接AG,AG=,,,所以，二面角的大小為120°.【2010?浙江理20】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，AE=EB=AF=FD=4．沿直線EF將△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF．（Ⅰ）求二面角A′﹣FD﹣C的余弦值；【解析】取線段EF的中點(diǎn)H，AF的中點(diǎn)G，連接A′G，A′H，GH．因?yàn)锳′E=A′F及H是EF的中點(diǎn)，所以A′H⊥EF又因?yàn)槠矫鍭′EF⊥平面BEF，所以A′H⊥平面BEF，又AF?平面BEF，故A′H⊥AF，又因?yàn)镚、H是AF、EF的中點(diǎn)，易知GH∥AB，所以GH⊥AF，于是AF⊥面A′GH，所以∠A′GH為二面角A′﹣DH﹣C的平面角，在Rt△A′GH中，A′H=，GH=2，A'G=所以．故二面角A′﹣DF﹣C的余弦值為．【2009全國卷1理18】如圖，四棱錐S—ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2.點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；∠ABM=60.求二面角S—AM—B的大小?！窘馕觥浚?所以為等邊三角形，又由M為SC中點(diǎn)，故取AM中點(diǎn)G，連結(jié)BG，取SA中點(diǎn)H，連結(jié)GH，則,由此知為二面角的平面角連接，在中，所以二面角的大小為【2011湖北文】如圖，已知正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，點(diǎn)在側(cè)棱上，點(diǎn)在側(cè)棱上，且，．（Ⅰ）求證；（Ⅱ）求二面角的大?。窘馕觥浚á瘢┯梢阎傻茫?，，，于是有，，所以，．又，所以平面．由平面，故．（Ⅱ）在△中，由（Ⅰ）可得，，于是有，所以．又由（Ⅰ）知，且，所以平面．又平面，故．于是即為二面角的平面角．由（Ⅰ）知△是等腰直角三角形，所以，即所求二面角的大小為．【2008山東理20】如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC,PC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E—AF—C的余弦值.【解析】（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形.因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.所以AE⊥PD.（Ⅱ）解：設(shè)AB=2，H為PD上任意一點(diǎn)，連接AH，EH.由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.在Rt△EAH中，AE=，所以當(dāng)AH最短時(shí)，∠EHA最大，即當(dāng)AH⊥PD時(shí)，∠EHA最大.此時(shí)tan∠EHA=因此AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2.解法一：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD.過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,又F是PC的中點(diǎn)，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,又在Rt△ESO中，cos∠ESO=即所求二面角的余弦值為【例】三棱錐中取特殊點(diǎn)定義法作二面角的平面角四面體ABCD中，AB＝AC＝2eq\r(3)，DB＝DC＝2eq\r(2)，BC＝2AD＝4，則二面角A－BC－D的大小是()A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【解析】如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，根據(jù)二面角的平面角的定義，∠AED即為所求二面角的平面角，各個(gè)線段的長度如圖，則∠AED＝45°.PBADC圖3【例】在如圖3所示的三棱錐P-ABC中，AB=AC=PB=PC=2,BC=,PA=PBADC圖3【解析】作BC中點(diǎn)D，連接PD,AD.因PB=PC=AB=AC，知PDBC,ADBC,又有面PBC與面ABC共棱可得∠PDA為二面角.P-BC-A的平面角.而AB=2,BC=,易知AD=PD=,在RT?PAD中，所以二面角P-BC-A的大小為.2、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．通常當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。在一個(gè)平面α內(nèi)選一點(diǎn)A向另一平面β作垂線AB，垂足為B，再過點(diǎn)B向棱a作垂線BO，垂足為O，連結(jié)AO，則∠AOB就是二面角的平面角?！?011?浙江文20】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．（Ⅰ）證明：AP⊥BC；（Ⅱ）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．求二面角B﹣AP﹣C的大?。窘馕觥拷猓海↖）由題意畫出圖如下：由AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，得AD⊥BC，又PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，得到PO⊥BC，∵PO∩AD=O∴BC⊥平面PAD，故BC⊥PA．（II）如圖，在平面PAB中作BM⊥PA于M，連接CM，∵BC⊥PA，∴PA⊥平面BMC，∴AP⊥CM，故∠BMC為二面角B﹣AP﹣C的平面角，在直角三角形ADB中，；在直角三角形POD中，PD2=PO2+OD2，在直角三角形PDB中，PB2=PD2+BD2，∴PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6，在直角三角形POA中，PA2=AO2+OP2=25，得PA=5，又cos∠BPA=，從而．故BM=，∵BM2+MC2=BC2，∴二面角B﹣AP﹣C的大小為90°．【2011?重慶文20】如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1（Ⅰ）求四面體ABCD的體積；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值．【解答】解：法一（Ⅰ）如圖：過D作DF⊥AC，垂足為F，由平面ABC⊥平面ACD，可得DF⊥平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高；設(shè)G為邊CD的中點(diǎn)，由AC=AD，可得AG⊥CD，則AG===；由S△ADC=AC?DF=CD?AG可得，DF==；在Rt△ABC中，AB==，S△ABC=AB?BC=；故四面體的體積V=×S△ABC×DF=；（Ⅱ）如圖，過F作FE⊥AB，垂足為E，連接DE，由（Ⅰ）知DF⊥平面ABC，由三垂線定理可得DE⊥AB，故∠DEF為二面角C﹣AB﹣D的平面角，在Rt△AFD中，AF===；在Rt△ABC中，EF∥BC，從而，可得EF=；在Rt△DEF中，tan∠DEF==．則二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值為．【2009山東卷理】如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA=2,E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點(diǎn)。證明：直線EE//平面FCC；求二面角B-FC-C的余弦值?！窘馕觥孔C（1）略EABCFE1A1B1C1D1DF1OP（2）因?yàn)锳B=4,BC=CD=2,、F是棱AB的中點(diǎn),所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,取CF的中點(diǎn)O,則OB⊥CF,又因?yàn)橹彼睦庵鵄BCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以O(shè)B⊥平面CC1F,過O在平面CC1F內(nèi)作OP⊥C1F,垂足為P,連接BP,則∠OPB為二面角B-FC-C的一個(gè)平面角,在△BCF為正三角形中,,在Rt△CC1F中,△EABCFE1A1B1C1D1DF1OP在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值為.【2008?天津理19】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．（Ⅰ）證明AD⊥平面PAB；（Ⅱ）求異面直線PC與AD所成的角的大??；（Ⅲ）求二面角P﹣BD﹣A的大?。窘馕觥浚á瘢á颍┞裕á螅┙猓哼^點(diǎn)P做PH⊥AB于H，過點(diǎn)H做HE⊥BD于E，連接PE因?yàn)锳D⊥平面PAB，PH?平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，因而PH⊥平面ABCD，故HE為PE在平面ABCD內(nèi)的射影．由三垂線定理可知，BD⊥PE，從而∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．由題設(shè)可得，PH=PA?sin60°=，AH=PA?cos60°=1，BH=AB﹣AH=2，BD=，HE=于是在RT△PHE中，tanPEH=所以二面角P﹣BD﹣A的大小為arctan．【2012四川高考文】如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上。（Ⅰ）求直線與平面所成的角的大??；（Ⅱ）求二面角的大小?！窘馕觥浚?）連接OC.由已知，所成的角設(shè)AB的中點(diǎn)為D，連接PD、CD.因?yàn)锳B=BC=CA,所以CDAB.因?yàn)榈冗吶切?，不妨設(shè)PA=2，則OD=1，OP=,AB=4.所以CD=2，OC=.在Rttan.（2）過D作DE于E，連接CE. 由已知可得，CD平面PAB.據(jù)三垂線定理可知，CE⊥PA，所以，.由（1）知，DE=在Rt△CDE中，tan故【2019全國卷文19】如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，∠ACB=90，BC=1，AC=CC1=2.(1)證明：AC1⊥A1B;(2)設(shè)直線AA1與平面BCC1B1的距離為，求二面角A1-AB-C的大小.【解析】（1）略(2)BC⊥平面AA1C1C，BC平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥C1C,E為垂足，則A1E⊥平面BCC1B1,又直線AA1∥平面BCC1B1，因而A1E為直線AA1與平面BCC1B1間的距離，A1E=，因?yàn)锳1C為∠ACC1的平分線，故A1D=A1E=,作DF⊥AB，F(xiàn)為垂足，連結(jié)A1F,由三垂線定理得A1F⊥AB，故∠A1FD為二面角A1-AB-C的平面角，由AD=,得D為AC的中點(diǎn)，DF=,tan∠A1FD=,所以二面角A1-AB-C的大小為arctan.【2014湖南高考】如圖6，四棱柱的所有棱長都相等，，，四邊形和四邊形均為矩形.（1）證明：底面;（2）若，求二面角的余弦值.【答案】eq\f(2\r(57),19)【解析】（1）略如圖，過作于，連接.由(1)知，底面，所以底面，于是.，又因?yàn)樗睦庵乃欣忾L都相等，所以四邊形為菱形，因此，從而平面,所以，于是平面， 進(jìn)而，故是二面角的平面角.不妨設(shè),因?yàn)?，所以，，在中，易知，，故，即二面角的余弦值?【2014高考全國卷】三棱柱中作棱的垂面法找二面角的平面角如圖所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.設(shè)直線AA1與平面BCC1B1的距離為eq\r(3)，則二面角A1-AB-C的正切值為．【答案】eq\r(15)【解析】連接A1C，因?yàn)閭?cè)面AA1C1C為菱形，故AC1⊥A1C.由三垂線定理得AC1⊥A1B.BC⊥平面AA1C1C，BC?平面BCC1B1，故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1.作A1E⊥CC1，E為垂足，則A1E⊥平面BCC1B1.又直線AA1∥平面BCC1B1，因而A1E為直線AA1與平面BCC1B1的距離，即A1E＝eq\r(3).因?yàn)锳1C為∠ACC1的平分線，故A1D＝A1E＝eq\r(3).作DF⊥AB，F(xiàn)為垂足，連接A1F.由三垂線定理得A1F⊥AB，故∠A1FD為二面角A1-AB-C的平面角．由AD＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)－A1D2)＝1，得D為AC中點(diǎn)，所以DF＝eq\f(\r(5),5)，tan∠A1FD＝eq\f(A1D,DF)＝eq\r(15)【2010湖北理18】如圖,在四面體ABOC中，OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.(Ⅰ)設(shè)P為AC的中點(diǎn).證明：在AB上存在一點(diǎn)Q,使PQ⊥OA,并計(jì)算=的值；(Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.【解析】（II）解連結(jié)PN，PO.由OC⊥OA，OC⊥OB知，OC⊥平面OAB，又平面OAB，∴OC⊥ON，又由ON⊥OA知：ON⊥平面AOC，∴OP是NP在平面AOC內(nèi)的射影，在等腰中，P為AC的中點(diǎn)，根據(jù)三垂線定理，知：AC⊥NP.為二面角O—AC—B的平面角，在等腰中，OC=OA=1，，在【2010全國卷2理19】如圖，直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，．（Ⅰ）證明：為異面直線與的公垂線；（Ⅱ）設(shè)異面直線與的夾角為45°，求二面角的大小．第19題圖【解析】（Ⅰ）連結(jié)，記與的交點(diǎn)于F.因?yàn)槊鏋檎叫危?，?又，（步驟1）所以,又D為的中點(diǎn)，故.（步驟2）作,G為垂足，由知，G為AB中點(diǎn).又由（步驟3）連結(jié)DG，則,故，由三垂線定理，得.（步驟4）所以DE為異面直線與CD的公垂線.（Ⅱ）因?yàn)?，故為異面直線與的夾角，.（步驟5）設(shè)，則作，為垂足，因?yàn)?，?（步驟6）又作為垂足，連結(jié)，由三垂線定理得.（步驟7）因此為二面角的平面角.所以二面角的大小為（步驟9）第19題圖3、射影面積法（cos）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小。ACBP【2008北京理】如圖，在三棱錐中，，，，．ACBP（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的大??；【解析】（Ⅰ）證略（Ⅱ），，．ACBEP又ACBEP又，即，且，平面．取中點(diǎn)．連結(jié)．，．是在平面內(nèi)的射影，．∴△ACE是△ABE在平面ACP內(nèi)的射影，于是可求得：，，則，設(shè)二面角的大小為，則∴二面角的大小為【2006全國Ⅱ】直三棱柱中射影面積法求二面角如圖，在直三棱柱ABC—中，AB=BC，D、E分別為、的中點(diǎn).設(shè)，則二面角的大小為.CBADE【答案】【解析】連結(jié)..CBADE，即面在面內(nèi)的射影是.△在面內(nèi)的射影是△.設(shè)它們的面積分別為S和，所成的二面角為.設(shè)AB=BC=1，..所以二面角的大小為.【例】如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)，則平面與底面所成的二面角的余弦值為.【答案】【解析】在正方體中，⊥底面∴A為點(diǎn)E在底面上的射影。∴△ABD是△EB1D在底面上的射影三角形。設(shè)正方體的棱長為1，則在△EB1D中，過E作EG⊥B1D于G，則∴，設(shè)平面與底面所成的二面角為θ則.4、垂面法:由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面角的平面角?！纠靠臻g的點(diǎn)P到二面角的面、及棱l的距離分別為4、3、，求二面角的大小.PP圖5lCBA【解析】如圖5，分別作PA⊥于A，PB⊥于B，則易知l⊥平面PAB，設(shè)l∩平面PAB=C，連接PC，則l⊥PC.分別在Rt△PAC、Rt△PBC中，PC=，PA=4，PB=3，則AC=，BC=.因?yàn)镻、A、C、B四點(diǎn)共圓，且PC為直徑，設(shè)PC=2R，二面角的大小為.分別在△PAB、△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos=PA2+PB2-2·PA·PBcos()，則可解得cos=，=120o，二面角的大小為120o.【例】過二面角內(nèi)一點(diǎn)A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，面ABC交棱a于點(diǎn)O，則∠BOC就是二面角的平面角。

例在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小?！窘馕觥咳鐖D，PA⊥平面BDBD⊥ACBD⊥BC過BD作平面BDH⊥PC于HPC⊥DH、BH∠BHD為二面角B-PC-D的平面角。因PB=a,BC=a,PC=a,PB·BC=S△PBC=PC·BH則BH==DH，又BD=在△BHD中由余弦定理，得：cos∠BHD＝，又0＜∠BHD＜π，則∠BHD=，二面角B-PC-D的大小是。5．無棱二面角的處理方法（1）補(bǔ)棱法本法是針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒有明確交線的求二面角題目時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當(dāng)二平面沒有明確的交線時(shí)，一般用補(bǔ)棱法解決【2011大綱卷】已知E、F分別在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于．【答案】【解析】解：由題意畫出圖形如圖：因?yàn)镋、F分別在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，延長CB、FE交點(diǎn)為S連接AS，過B作BP⊥AS連接PE，所以面AEF與面ABC所成的二面角就是∠BPE，因?yàn)锽1E=2EB，CF=2FC1，所以BE：CF=1：2所以SB：SC=1：2，設(shè)正方體的棱長為：a，所以AS=a，BP=，BE=，在RT△PBE中，tan∠EPB===，【2008湖南】如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.AABCEDP【解析】（Ⅰ）證略（Ⅱ）延長AD、BE相交于點(diǎn)F，連結(jié)PF.ABCEDPFGH過點(diǎn)A作ABCEDPFGH平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，因?yàn)椤螧AF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中點(diǎn)G，連接AG.則AG⊥PF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.在等腰Rt△PAF中，在Rt△PAB中，所以，在Rt△AHG中，故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是【2010?江西文】如圖，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2．（1）求直線AM與平面BCD所成的角的大?。唬?）求平面ACM與平面BCD所成的二面角的正弦值．【解析】解：（1）取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD．又平面MCD⊥平面BCD，則MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面．延長AM、BO相交于E，則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角．OB=MO=，MO∥AB，則，，所以，故∠AEB=45°．（2）CE是平面ACM與平面BCD的交線．由（1）知，O是BE的中點(diǎn)，則BCED是菱形．作BF⊥EC于F，連AF，則AF⊥EC，∠AFB就是二面角A﹣EC﹣B的平面角，設(shè)為θ．因?yàn)椤螧CE=120°，所以∠BCF=60°．．所以，所求二面角的正弦值是．（2）補(bǔ)形法【例】圖10DACBEFB1D1OGM如圖已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF圖10DACBEFB1D1OGM【答案】60°【解析】將原幾何體補(bǔ)成長方體ABCD–FB1ED1，如圖由正方體的性質(zhì)知，BA⊥面ADD1F，過A作AG⊥DF連BG，則BG⊥DF，∴∠AGB為所求二面角的平面角，在Rt△AGB中，易求∠AGB=60°.圖8ABDA1C圖8ABDA1C1B1SC如圖8，四棱錐S–ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=，則面ASD與面BSC所成二面角的大小為【答案】45°【解析】∵AB=BC=1，∴SD=1，故可把原四棱錐補(bǔ)成正方體ABCD–A1B1C1S，連A1B，則面ASD與面BSC所成的二面角，即為面ADSA1與BCSA1所成的二面角.∵A1S⊥SD，A1S⊥SC，∴∠CSD為所求二面角的平面角，∠CAD=45°，故所求二面角為45°.【例】四棱錐補(bǔ)成三棱錐作平面角在底面是直角梯形的四棱錐S–ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，則面SCD與面SAB所成二面角的正切值為圖13ABECDS【答案】【解析】如圖13，延長BA、CD交于E，連結(jié)SE.∵AD=BC，且AD∥BC，∴EA=AB=SA=1，圖13ABECDS又∵SA⊥面ABCD，∴面SEB⊥面ABCD，∵BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，BC⊥SE，∴SE⊥面SBC，SE⊥SC，∠BSC是所求二面角的平面角，又∵SB=，BC=1，∴tan∠BSC=.【例】如圖12,P-ABCD為正四棱錐，邊長為,求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值.【解析】如圖，過P點(diǎn)作,則.故在P-ABCD中有.FE圖12FE圖12DCAB作AB中點(diǎn)E,CD中點(diǎn)F.連接PE,PF.易知PEAB,PE,又PFCD,PF,可知∠EPF為所求二面角的平面角.由條件PE=PF=，得到故平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為.（3）平移法【例】在棱長為1的正方體中，E是BC的中點(diǎn)，試求面與平面所成二面角的大小.AADCBK圖9EFO【解析】取中點(diǎn)F，連FD,FB;取AD中點(diǎn)K連接A?K,BK,A?B.顯然,DE?BF為平行四邊形.因?yàn)锳?K//FD,KB//DE,知平面A?KB//平面DEB?F。取A?B中點(diǎn)O,連接OK,OA,由A?K=BK,A?A=BA知，OKA?B,OAA?B故∠AOK為二面角的平面角.可得故平面與平面所成二面角的大小為.6、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時(shí)，通常要建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計(jì)算解題。在立體幾何中求二面角可歸結(jié)為求兩個(gè)向量的夾角問題．對(duì)于空間向量、，有cos＜，＞=．利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中二面角的問題．如圖：二面角的大小等于<π-<m