(1.18)-2.4.1 積拓?fù)渫負(fù)鋵W(xué)

積拓?fù)渫負(fù)鋵W(xué)積拓?fù)涞亩x若X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，則有一個(gè)在笛卡兒積X×Y上定義拓?fù)涞臉?biāo)準(zhǔn)方法．下面我們就來研究這個(gè)拓?fù)浼八囊恍┬再|(zhì).

定義2.4.1

設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，X×Y上的積拓?fù)?producttopology)

是以族B為基的拓?fù)洌渲蠦是所有形如U×V的集合的族，U和V分別是X和Y的開子集.下面證明

B

是一個(gè)基:由于X×Y本身就是一個(gè)基元素,B滿足基的第一條.由于任意兩個(gè)基元素U1×V1與U2×V2

的交是

(U1×V1)∩(U2×V2)=(U1∩U2)×(V1∩V2)，而U1∩U2和V1∩V2分別是X和Y的開集，所以上述集合是一個(gè)基元素，第二條也滿足.積拓?fù)涞亩x圖2.4.1值得注意的是∶族B不是X×Y的一個(gè)拓?fù)?例如，圖2.4.1中兩個(gè)矩形的并就不是兩個(gè)集合的積，因而不屬于B，但它是X×Y中的開集.用類似的方法可以定義有限個(gè)拓?fù)淇臻gX1,X2,...,Xn

的積拓?fù)鋁1

×X2×...×Xn.定義2.4.2

設(shè)

X1,X2,...,Xn

為拓?fù)淇臻g，X1

×X2×...×Xn上的積拓?fù)?producttopology)

是以族B為基的拓?fù)洌渲蠦是所有形如U1

×U2×...×Un的集合的族，其中Ui

是Xi的開子集,

i=1,2,...,n.積拓?fù)涞男再|(zhì)我們每次引進(jìn)一個(gè)新概念，總是試圖弄清它與前面引入的概念之間的關(guān)聯(lián).我們現(xiàn)在要問，當(dāng)X和Y的拓?fù)涫怯伤鼈兊幕o出時(shí)，關(guān)于積拓?fù)淠苷f些什么呢?

定理2.4.3

若B是X的拓?fù)涞囊粋€(gè)基，C是Y的拓?fù)涞囊粋€(gè)基，則族D={B×C

|B∈

B并且C∈

}是X×Y的拓?fù)涞囊粋€(gè)基.證明:

給定X×Y的一個(gè)開集W以及W的一個(gè)點(diǎn)

(x,y).根據(jù)積拓?fù)涞亩x，存在一個(gè)基元素U×V，使得(x,y)∈U×V?W.因?yàn)锽和C分別是X和Y的基，所以可以在

B中選取一個(gè)元素B，使得x∈B?U，也可以在C中選取一個(gè)元素C，使得y∈C?V.于是(x,y)∈B×C?W.從而族D符合引理2.2.3的條件，因此D

是X×Y的一個(gè)基.

證畢.積拓?fù)涞男再|(zhì)例2.4.4

由于實(shí)數(shù)集R

上的標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)涫怯伤虚_區(qū)間生成的，R2

上的所有矩形區(qū)域(a,b)×(c,d)構(gòu)成R2

的一個(gè)基，這個(gè)基生成的拓?fù)渑cR2

上所有圓域生成的拓?fù)湟恢?有時(shí)也需要用子基來表示積拓?fù)?為此,我們先定義某些叫做投射的函數(shù).設(shè)U是X的一個(gè)開子集，那么集合π1－1(U)=

U×Y，它是X×Y中的開集.同樣地，若V是Y的一個(gè)開集，則π2－1(V)

=X×V也是X×Y中的開集.這兩個(gè)集合的交是U×V，參見圖2.4.2定義2.4.5

設(shè)π1∶X×Y→X定義為π1(x,y)

=x.π2∶X×Y→Y定義為π2(x,y)=y.映射π1和π2

分別稱為X×Y到它的第一因子和第二個(gè)因子上的投射(projection).圖2.4.2積拓?fù)涞男再|(zhì)定理2.4.6族

S={π1－1(U)

|U是

X

中的開集}U{π2－1(V)|

V是Y中的開集}是X×Y的積拓?fù)涞囊粋€(gè)子基.證明：用T表示X×Y的積拓?fù)洌O(shè)

T'是由S生成的拓?fù)?，因?yàn)镾的每一個(gè)元素都屬于T，所以S的元素的有限交的任意并也屬于T.因此，'?T.另一方面，拓?fù)銽的任意基元U×V是S中元素的有限交，這是因?yàn)?/p>

U×V=π1－1(U)∩π2－1(V).所以U×V