2024年湖北省高三數(shù)學(xué)4月調(diào)研模擬聯(lián)考試卷附答案解析

2024年湖北省高三數(shù)學(xué)4月調(diào)研模擬聯(lián)考試卷試卷滿分150分，考試時間120分鐘2024.04一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．B．C． D．2．已知點，和向量，若，則實數(shù)的值為A． B． C． D．3．若1，a，3成等差數(shù)列，1，b，4成等比數(shù)列，則的值為（

）A． B． C．1 D．4．雙曲線的兩條漸近線的夾角的大小等于（

）A． B． C． D．5．已知是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則（

）A．3 B． C．8 D．6．在△中，角，，所對的邊分別為，，，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．球類運動對學(xué)生的身心發(fā)展非常重要現(xiàn)某高中為提高學(xué)生的身體素質(zhì)，特開設(shè)了“乒乓球”，“排球”，“羽毛球”，“籃球”，“足球”五門選修課程，要求該校每位學(xué)生每學(xué)年至多選門，高一到高三三學(xué)年必須將五門選修課程選完，每門課程限選修一學(xué)年，一學(xué)年只上學(xué)期選擇一次，則每位學(xué)生的不同的選修方式有（

）A．種 B．種 C．種 D．種8．在三棱錐中，平面平面，和都是邊長為的等邊三角形，若為三棱錐外接球上的動點，則點到平面距離的最大值為（

）A．B．C． D．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的兩根為，其中，則（

）A． B． C． D．10．已知，則下列結(jié)論正確的有（）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為3 D．11．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與軸的交點為，過點的直線與拋物線交于，兩點，點位于點右方，若，則下列結(jié)論一定正確的有（

）A． B．C． D．直線的斜率為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．設(shè)函數(shù)對任意的均滿足，則13．已知，之間的一組數(shù)據(jù)：若與滿足回歸方程，則此曲線必過點．14．若當(dāng)時，無限趨近于一個確定的值，則稱這個確定的值為二元函數(shù)在點處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記為，即若當(dāng)時，無限趨近于一個確定的值，則稱這個確定的值為二元函數(shù)在點處對y的偏導(dǎo)數(shù)，記為，即已知二元函數(shù)，則的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．已知三棱柱中，，，，

(1)求證：平面平面；(2)若，且P是AC的中點，求平面和平面的夾角的大小.16．襄陽市某中學(xué)一研究性學(xué)習(xí)小組為了了解襄陽市民每年旅游消費支出費用單位：千元，寒假期間對游覽某簽約景區(qū)的名襄陽市游客進行隨機問卷調(diào)查，并把數(shù)據(jù)整理成如下表所示的頻數(shù)分布表：組別支出費用頻數(shù)(1)從樣本中隨機抽取兩位市民的旅游支出數(shù)據(jù)，求兩人旅游支出均不低于元的概率(2)若襄陽市民的旅游支出費用近似服從正態(tài)分布，近似為樣本平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表，近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：（i）假定襄陽市常住人口為萬人，試估計襄陽市有多少市民每年旅游費用支出在元以上（ii）若在襄陽市隨機抽取位市民，設(shè)其中旅游費用在元以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和均值．附：若∽，則，，．17．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)區(qū)間(2)若函數(shù)，，證明：．18．如圖，四邊形為坐標(biāo)原點是矩形，且，，點，點，分別是，的等分點，直線和直線的交點為(1)試證明點在同一個橢圓C上，求出該橢圓C的方程；(2)已知點P是圓上任意一點，過點P作橢圓C的兩條切線，切點分別是A，B，求面積的取值范圍.注：橢圓上任意一點處的切線方程是：19．在如圖三角形數(shù)陣中，第n行有n個數(shù)，表示第i行第j個數(shù)，例如，表示第4行第3個數(shù).該數(shù)陣中每一行的第一個數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列，從第三行起每一行的數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列其中已知，，(1)求m及(2)記除以3的余數(shù)為，，的前n項為，求1．D【分析】根據(jù)一元二次不等式求出集合A，進而根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】解：因為，且，若，則故選：D.2．B【分析】先求出，再利用共線向量的坐標(biāo)表示求實數(shù)的值.【詳解】由題得，因為，所以.故選：B【點睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運算和向量共線的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】利用等差中項與等比中項的性質(zhì)求出，從而可得答案.【詳解】因為1，a，3成等差數(shù)列，1，b，4成等比數(shù)，所以，所以的值為，故選：D.4．B【分析】求得雙曲線的兩條漸近線方程，得到斜率和傾斜角，再求出漸近線夾角的大小.【詳解】雙曲線的兩條漸近線的方程為，由直線的斜率為，可得傾斜角為，的斜率為，可得傾斜角為，所以兩條漸近線的夾角的大小為，故選：B.5．D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由是奇函數(shù)得，又時，，所以.故選：D6．C【分析】由正弦定理分別檢驗問題的充分性和必要性，可得答案.【詳解】解：充分性：在△中，由，可得,所以,故充分性成立；必要性：在△中，由及正弦定理，可得，可得,,故，必要性成立；故可得：在△中，角，，所對的邊分別為，，，則“”是“”的充分必要條件，故選C.【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷，相對不難，注意正弦定理的靈活運用.7．A【分析】根據(jù)題意，分種情況討論：五門選修課放在年選完，五門選修課放在年選完，由加法原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分種情況討論：五門選修課放在年選完，先將五門課程分為組，再在三年中選出年來學(xué)習(xí)，有種安排方法，五門選修課放在年選完，先將五門課程分為組，再安排在三年中選完，有種安排方法，則有種安排方法．故選：A．8．D【分析】設(shè)中點為，的外心為，的外心為，過點作平面的垂線，過點作平面的垂線，兩條垂線的交點，則點即為三棱錐外接球的球心，求出三棱錐外接球的半徑，假設(shè)球心到平面的距離得答案．【詳解】解：設(shè)中點為，的外心為，的外心為，過點作平面的垂線，過點作平面的垂線，兩條垂線的交點，則點即為三棱錐外接球的球心，因為和都是邊長為的正三角形，可得，因為平面平面，，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，所以四邊形是邊長為1的正方形，所以外接球半徑，所以到平面的距離，即點到平面距離的最大值為.故選：D.9．BD【分析】根據(jù)實系數(shù)一元二次方程中韋達(dá)定理可求出判斷B，再由韋達(dá)定理判斷A，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法及共軛復(fù)數(shù)判斷C，再由復(fù)數(shù)除法判斷D.【詳解】因為且實系數(shù)一元二次方程的兩根為，所以，可得，故B正確；又，所以，故A錯誤；由，所以，故C錯誤；，故D正確.故選：BD10．BD【分析】對于ABC根據(jù)題意利用基本不等式分析判斷；對于D，整理可得，構(gòu)建函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析即可判斷.【詳解】因為，對于A，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，但，可得，則，可得，可知不為的最大值，故A錯誤；對于B，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，所以的最小值為，故B正確；對于C，因為，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，這與題干不符，故3不為的最小值，故C錯誤；對于D，由題意可知：，，則，構(gòu)建函數(shù)，，則，在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，所以，故D正確；故選：BD.11．ABC【分析】設(shè)直線的方程為，不妨設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出，，再由正弦定理得到，得到，代入兩根之和，兩根之積，列出方程，求出，進而求出，根據(jù)可判斷根據(jù)可判斷根據(jù)可判斷根據(jù)對稱性判斷．【詳解】解：由題意得，，，當(dāng)直線的斜率為時，與拋物線只有個交點，不合要求，故設(shè)直線的方程為，不妨設(shè)，聯(lián)立，可得，易得，設(shè)，，則，，則，，則，，由正弦定理得，，因為，，所以，，即．又由焦半徑公式可知，則，即，即，解得，則，，解得，，故，當(dāng)時，同理可得到，故A正確．，故B正確，故C正確當(dāng)時，，則，即，此時．由對稱性可得，當(dāng)時，，故直線的斜率為，故D錯誤．故選：ABC.【點睛】方法點睛：在處理有關(guān)焦點弦，以及焦半徑問題時長度問題時有以下幾種方法；（1）常規(guī)處理手段，求交點坐標(biāo)然后用距離公式，含參的問題不適合；（2）韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式，這是此類問題處理的通法；（3）拋物線定義結(jié)合焦點弦公式.12．1【分析】由兩角和的正弦公式先進行化簡，再利用條件可得為偶函數(shù)，可求得的值，代入求解即可.【詳解】因為，又因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，即，，，所以.故答案為：13．【分析】令，只需要求和即可得答案．【詳解】解：令，則，，則必經(jīng)過點．故答案為：.14．【分析】根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，分別求出對x偏導(dǎo)數(shù)和對y偏導(dǎo)數(shù)，再求出兩個偏導(dǎo)數(shù)和的最小值.【詳解】依題意，所以，，則，所以的最小值是.故答案為：15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合面面垂直的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量即可求解.【詳解】（1）在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，而，則平行四邊形是菱形，連接，如圖，則有，因，，，平面，于是得平面，而平面，則，由，得，，AC，平面，從而得平面，又平面ABC，所以平面平面

（2）在平面內(nèi)過C作，由知平面平面ABC，平面平面，平面，則平面ABC，以C為原點，以射線CA，CB，Cz分別為x，y軸，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

因，，，則，，，，則有，，設(shè)平面的一個法向量，則有，解得：.令得，而平面的一個法向量，依題意，，設(shè)平面和平面的夾角的夾角是，則，，所以平面和平面的夾角是16．(1)(2)（i）11.375萬；（ii）分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)題意可得旅游支出不低于元的有人，結(jié)合古典概型概率公式即可求解；（2）

（i）

根據(jù)題意可得，，結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性即可求解；（ii）根據(jù)題意可得所有可能取值為結(jié)合二項分布求概率和均值即可求解．【詳解】（1）樣本中總共人，其中旅游支出不低于元的有人，所以從中隨機抽取兩位市民的旅游支出數(shù)據(jù)，兩人旅游支出均不低于元的概率為；（2）（i）計算，所以，，服從正態(tài)分布，，萬，估計襄陽市有萬市民每年旅游費用支出在元以上；（ii）由（i）知，，則，的所有可能取值為，，，；所以隨機變量的分布列為：均值為17．(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）求出，對的取值分類討論，即可得的單調(diào)性；（2）借助（1）中結(jié)論得，轉(zhuǎn)化所證不等式，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系即可證明不等式．【詳解】（1）由題知，函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，有，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，有，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，有，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，即．因為，所以，所以．18．(1)證明見解析；(2)【分析】設(shè)，求出和的方程，聯(lián)立可求證在同一個橢圓上，并求得橢圓方程為；求出直線AB的方程，分和兩種情況討論，求出面積的表達(dá)式，換元，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】（1）設(shè)，又，，則直線，直線，點的坐標(biāo)是方程的解，可得，化簡得，所以在同一個橢圓上，該橢圓方程為（2）設(shè)，，，如圖所示：則，切線PA方程為：，切線PB方程為：，兩直線都經(jīng)過點P，所以得：，，從而直線AB的方程是：，當(dāng)時，由得，則，，當(dāng)時，由，消y得：，由韋達(dá)定理，得：，，，，點P到直線AB的距離，其中令，則令，則，在上單調(diào)遞增，綜上所述，面積的取值范圍是【點睛】關(guān)鍵點點睛：在第（2）中求出時，要用換元法及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的取值范圍.19