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文檔簡介
2020-2021學年貴州省貴陽市高一上學期期末數(shù)學試卷
一、單選題(本大題共10小題,共40.0分)
1.已知集合4={%|伍%工1,%eR},B={x\\x\<2,xEZ},則4八8=()
A.{1,2}B.{-2,-1,0,1,2}
C.(0,2]D.[-2,2]
2.已知扇形的周長為8+n,圓心角為2弧度,則該扇形的面積為()
A.8B.J3C.4D.2
3.已知向量為=(L%2),b—(—2,y2—2),若濟3共線,則%y的最大值為()
A.2V2B.V2C.1D.坦
2
4.cos72cos12°+sin720sinl20=()
A.cos84°B.sin84°c.0D1
…、『修一堿微+11a鬻嘻1既如』,燃。第一孑:於嶗:..
5.已知演城,=”"滿足對任意同串與渚B有",以忌‘顯著御成立,那么摘
M白鱉既甯一通
的取值范圍是()
A.0寓B.a|]|C.(1,2)D.仙內(nèi)磁
6.1£17170%0510。(1-V^tcm20。)的值為()
A.—1B.1C.—2D.2
7.定義在R上的函數(shù)/"(%)=e因+InV^Tl,且f(久+t)>fO)在%£(-1,+8)上恒成立,則關于
久的方程/'(2久-1)=/(t)-e的根的個數(shù)敘述正確的是()
A.有兩個B.有一個
C.沒有D.上述情況都有可能
8.設a=log。/,b=2.3-0-3,c=0.7-32,則a,b,c的大小關系是()
A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c
9.已知a=Inn,b=log32,c=0.3/,則()
A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>c>a
10.已知tana=3,貝ijtan(45。-a)=()
41
A.1B.0c-D.
5一2
二、單空題(本大題共4小題,共16.0分)
11.函數(shù)/XW=?2x+i+1的圖象恒過定點.
12.若釬蟒jz,則g鈍,他=__________.
:強聲遇I他,1=靖;rj
13.設向量五=(sinl5。,cosl5。),b=(cosl5°,sinl5°y則向量為+3與方一3的夾角為.
14.如果關于%的不等式忸-喇小忸-鬻閾四的解集不是空集,則實數(shù)Q的取值范圍為.
三、多空題(本大題共1小題,共4.0分)
15.已知tcma=2,則邛\"°sa=,sin2a+sinacosa=.
sina+cosa
四、解答題(本大題共5小題,共40.0分)
16.已知函數(shù)/(無)=cos(2x-g)+2sin(x-?)sin(久+$
(I)求函數(shù)/(%)的最小正周期和圖象的對稱軸方程;
(口)求函數(shù)/(%)在區(qū)間[0,自上的值域.
17.已知函數(shù)0,且任意的0
S
(1)求兇、兇、叵]的值;
(2)試猜想0的解析式,并用數(shù)學歸納法給出證明.
18.已知在AaBC中,角4B,C的對邊分別為a,b,c,向量沅=(sinC-s譏4sinC-sinB)與元=
(b+c,a)共線.
(1)求角B的大??;
(〃)若6=2百,c=V6+V2-求△ABC的面積.
19.某公司為激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元,
在此基礎上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%.
(1)從2015年起,經(jīng)過x年的研發(fā)資金為y萬元,寫出y關于x的函數(shù)解析式;
(2)從哪一年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元?(參考數(shù)據(jù):m1.12=0.05,lgl.3=0.11,
lg2=0.30)
20.已知記=2),n=(2cosx,cos2x),函數(shù)/'(%)=行?元,
(1)求函數(shù)/'(%)的值域;
(2)在△4BC中,角4,B,C和邊a,b,c滿足a=2,f(4)=2,sinB=2sinC,求邊c.
參考答案及解析
L答案:A
解析:?:A={x\O<x<e},B=[-2,-1,0,1,2),
A={1,2}.
故選:A.
可求出集合4B,然后進行交集的運算即可.
本題考查了描述法和列舉法的定義,對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域,絕對值不等式的解法,交集的運
算,考查了計算能力,屬于基礎題.
2.答案:C
解析:
本題重點考查了扇形的面積公式,屬于基礎題.設出扇形的半徑,求出扇形的弧長,利用周長公式,
求出半徑,然后求出扇形的面積.
解:設扇形的半徑為r,弧長為1,則
扇形的周長為,+2r=8,
二弧長為:ar=2r,
r=2,
根據(jù)扇形的面積公式,得
$=沏2=4,
故選C.
3.答案:D
解析:解:,??向量為=(I,/),=(-2,y2-2),a,4共線,
???y2—2—(―2)x2=0,
解得:—+%2=1,
2
=cosa,y=dlsina,
則%y=cosa-yflsina=^-sin2a<亨?
孫的最大值為爭
故選:D.
由石共線,利用向量共線定理可得:2x2+y2=2,令x=cosa,y=y[2sina>可得xy=當sin20c.
本題考查了向量共線定理、三角函數(shù)求值,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
4.答案:D
解析:解:cos72cos12°+sin72°sinl2°=cos(72°—12°)=cos60°=
故選:D.
由已知利用兩角差的余弦公式化簡即可求解.
本題主要考查了兩角差的余弦公式在三角函數(shù)求值中的應用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎題.
5.答案:A
軌Wo.&*
由于里正?超常w,可知函數(shù)煲砌在度上為單調(diào)遞函數(shù),所以有
解析:試題分析:
?
;塞一:碰;靜蚓,解得實數(shù)摘的范圍為二.甯F國.故正確答案為a
上罷一加ba#排
'A¥
考點:1.函數(shù)的單調(diào)性;2.一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).
6.答案:B
解析:解:tan70°cosl0°(l—y/3tan20°')=—tan70°cosl0°(y/3tan20°—1)
cos20°V3sin20°
-s-i-n2-0-°-coslO°(i--c-o-s-2-0-°-----1))
cos20°,V311
=—2■--c-o-sl-O-°(—sin20°--cos20°)---——
sm20°i227COS20°
cos20°1
-2———cosl0°(sin20°cos30°—cos20°sin30°)---
sin20°
—2sinl00cosl00
sin200
1
故選:B.
先把切轉(zhuǎn)化成弦,進而利用兩角差的正弦公式和二倍角公式對原式進行化簡整理,求得答案.
本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換及化簡求值.
7.答案:A
解析:解:由于函數(shù)/(x)=)利+InV*+1為偶函數(shù),
且在(0,+8)上單調(diào)遞增,如圖所示.
,函數(shù)+t)=e'x+fl+lnj(%+t)2+1.
??,/(%+t)>/(%)在%e(-1,+8)上恒成立,
函數(shù)y=f(x+t)在(一1,+8)上的圖象位于y=f(x)
的圖象的上方.
當%=—1時,/(X+t)=JT+tl+lnj(-l+t)2+l,
/(%)=JTI+ln7(-l)2+l,
由/(%+t)=/(%),
可得+lnj(—1+t)2+1=+lnj(—l)2+1,解得力=2.
故需把函數(shù)f(%)=?田+InV^不I的圖象至少向左平移2個單位,
才可得到函數(shù)y=/(%+£)的圖象,2,
???/(t)-e>/(2)-e>1.
由于函數(shù)y=f(2x-1)的值域為[1,+8),
故函數(shù)y=f(2x-1)的圖象和直線y=/?)-。有2個交點,
?,?關于1的方程f(2%-1)=/(t)-e的根有2個,
故選:A.
根據(jù)函數(shù)f(%)的奇偶性和單調(diào)性之間的關系,確定t的取值范圍,然后根據(jù)函數(shù)/(%)和y=/?)-c的
關系,即可求出方程根的個數(shù).
本題主要考查方程根的個數(shù)的判斷,利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關系判斷珀勺取值范圍是解決本題
的關鍵,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想,綜合性較強,屬于中檔題.
8.答案:B
解析:解:???Q=logo.73<0,0<b=2.3-0,3<1,c=0.7-3,2>1.
-?c>b>a.
故選:B.
利用對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
本題考查了對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎題.
9.答案:A
解析:Inn>Ine=1,^=log3-j3<log32<log33=1,0.3喪<0,3,
a>b>c.
故選:A.
可以得出)兀>1,|</。明2<1,0.3低<0,3,從而可得出a,b,c的大小關系.
本題考查了對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,對數(shù)的運算性質(zhì),增函數(shù)和減函數(shù)的定義,考查了計算
能力,屬于基礎題.
10.答案:D
解析:本題考查的是三角函數(shù)的公式。
]tana
有題意知:tan(45°-?)=~=12=_1;故選。。
1+tan?42
11.答案:(-|,2)
解析:
本題主要考查指數(shù)型函數(shù)的圖象經(jīng)過定點問題,屬于基礎題.
令指數(shù)等于零,可得函數(shù)的圖象恒過定點的坐標.
解:?.?函數(shù)/'(XiMGyx+i+i,
令2%+1=0,得x=—
可得它的圖象恒過定點2),
故答案為:(-|,2).
12.答案:—4
解析:試題分析:由睛W=案且:物*酸得硼=整點=管
**4
所以獨倒逑,=%螂nT=黛@皚5鬻=—崛?峭=-4
§身歲_:1'
考點:指數(shù)與對數(shù)運算.
13.答案:90°
解析:解:3=(s譏15°,cosl5°),b=(cosl5°,sinl5°),
???方+b=(sml5°+cosl50,sinl50+cosl50),
a—b=(sml5°—cosl50,cosl50—sml5°).
v(a+b)?(a-h)=sin215°—cos215°+cos215°—sin215°=0.
.??向量為+石與五-石的夾角為90。.
故答案為:90°.
由已知向量的坐標求得向量1+石與五-3的坐標,再結(jié)合兩向量的數(shù)量積為0得答案.
本題考查平面向量的坐標加減法運算,考查由數(shù)量積求夾角公式,是基礎的計算題.
14.答案::0融:臧:
解析:試題分析:依據(jù)絕對值的幾何意義忸-喇寧忸-蜀表示數(shù)軸上表示X的點到10與20的距離
之和,借助數(shù)軸可知其和?£1胸,要滿足忸-!:什忸-塞k遜的解集不是空集,所以陶泡鮑
考點:絕對值不等式
點評:本題還可以通過函數(shù)來求解,設,翼礴=歸-測n■歸-翔?,用I=僦,不等式有解即在,到國
圖像下方有篦土族圖像,畫圖得堿的范圍
V¥
15.答案:—|
6
5
解析:
本題考查三角函數(shù)的化簡求值,考查同角三角函數(shù)基本關系式的應用,是基礎題.
直接利用同角三角函數(shù)基本關系式化弦為切求解.
解:由比1幾0=2,
彳日si?ia-3cosatana-32-31
sina+cosatana+12+13
.siiCa-|-siiifuxjsnfaira-Ftaiin6
sin7a+sinacosa=7-5-------=
sin*a+catratan^a+15
故答案為:—p
16.答案:解:(1)??,/(%)=cos(2%—9+2sin(%一9sin(%+f)
344
=^cos2x+^-sinlx+(sinx—cosx)(sinx+cosx)
=-cos2x+—sin2x—cos2x
22
=sin(2x—卜)
,周期7=爭=兀.
由2%—m=kji+g(/cEZ),得:x=—+—(/cGZ)
6223
???函數(shù)圖象的對稱軸方程為久=4+強eZ)
(2)0<%0<2%<7T
<2%—-<-7T<sin(2x--)<1
66626
值域為
解析:(1)利用兩角和與差的正弦、余弦公式,可將/⑺=cos(2x-$+2s譏(久一》sin(x+W)化為
/(%)=|cos2x+^-sin2x—cos2x>再利用輔助角公式整理為/(%)=sin(2x—^),從而可求得最小
正周期和圖象的對稱軸方程;
⑵由久e[0苧,可求得一三2%—泮",利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求函數(shù)/(x)在區(qū)間[0方上
的值域.
本題考查兩角和與差的正弦與余弦,關鍵在于掌握兩角和與差的正弦與余弦公式并靈活運用,屬于
中檔題.
17.答案:⑴0(2)0
解析:試題分析:(1)S,
□
□4分(2)猜想:區(qū)6分
用數(shù)學歸納法證明如下:
①當九=1時,回,二猜想正確;7分
②假設當□
那么當□
所以,當S時,猜想正確;
由①②知,對0正確,13分
考點:本小題主要考查歸納推理和數(shù)學歸納法的應用.
點評:應用數(shù)學歸納法解決問題時,要注意從九=卜到n=k+1推導時,一定要用上歸納假設.
18.答案:解:(I)AABC中,向量記={sinC—sinA,sinC-sinB)與運=(b+c,a)共線,
???af^sinC-sinA)—(b+c)(sinC-sinB)=0,
由正弦定理得Q(C-a)-(h+c)(c-b)=0,
整理得M+c2—b2=qc,
由余弦定理得c”B=Wac_1
2ac2'
B=71
3
(〃)由正弦定理上=
sine'
徨.》csinB(V6+V2)--V6+V2
^sinC=------=------ki=-------'
b2V34
???cosC=±V1—sin2C=土乃一R
當…”
sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinB
V3V6-V2,1V6+V2V2
=-------------1-----------=一;
24242
??.△ABC的面積為:
SRABC=\bcsinA=|x2V3x(V6+V2)xy=3+V3:
當cosC=—三時,
4
sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
V3V2-V6,1V6+V2V6-V2
=—X--------1—x--------=--------,
24244
??.△ABC的面積為:
S〉ABC=-besinA=-x2A/3X(V6+V2)x'.=V3;
224
綜上,△ABC的面積為3+E或8.
解析:本題考查了平面向量與解三角形的應用問題,也考查了計算與轉(zhuǎn)化能力,是綜合題.
(I)平面向量的共線定理以及正弦、余弦定理,求出B的值;
(〃)由正弦定理求出s譏C、再由平方關系求出cosC,利用三角形內(nèi)角和定理求出sirtA,再計算△ABC
的面積.
19.答案:解:(1)由題意得:y=130(1+12%)。
(2)設2016年為第一年,該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是第葭年,
由題意可得:130(1+12%)n>200,
伍2T01.30.3-0.11
則幾>
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