2020-2021學(xué)年貴州省貴陽市高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年貴州省貴陽市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）

1.已知集合4={%|伍%工1,%eR},B={x\\x\<2,xEZ},則4八8=（）

A.{1,2}B.{-2,-1,0,1,2}

C.（0,2]D.[-2,2]

2.已知扇形的周長為8+n,圓心角為2弧度，則該扇形的面積為（）

A.8B.J3C.4D.2

3.已知向量為=(L%2),b—(—2,y2—2),若濟3共線，則%y的最大值為（）

A.2V2B.V2C.1D.坦

2

4.cos72cos12°+sin720sinl20=()

A.cos84°B.sin84°c.0D1

…、『修一堿微+11a鬻嘻1既如』，燃。第一孑:於嶗：..

5.已知演城，=”"滿足對任意同串與渚B有",以忌‘顯著御成立,那么摘

M白鱉既甯一通

的取值范圍是（）

A.0寓B.a|]|C.（1,2）D.仙內(nèi)磁

6.1￡17170%0510。（1-V^tcm20。）的值為（）

A.—1B.1C.—2D.2

7.定義在R上的函數(shù)/"（%）=e因+InV^Tl，且f（久+t）>fO）在％￡（-1,+8）上恒成立，則關(guān)于

久的方程/'（2久-1）=/（t）-e的根的個數(shù)敘述正確的是（）

A.有兩個B.有一個

C.沒有D.上述情況都有可能

8.設(shè)a=log。/,b=2.3-0-3,c=0.7-32,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

9.已知a=Inn,b=log32,c=0.3/，則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>c>a

10.已知tana=3,貝ijtan(45。-a)=()

41

A.1B.0c-D.

5一2

二、單空題(本大題共4小題，共16.0分)

11.函數(shù)/XW=?2x+i+1的圖象恒過定點.

12.若釬蟒jz，則g鈍,他=__________.

:強聲遇I他,1=靖；rj

13.設(shè)向量五=(sinl5。,cosl5。)，b=(cosl5°,sinl5°y則向量為+3與方一3的夾角為.

14.如果關(guān)于％的不等式忸-喇小忸-鬻閾四的解集不是空集，則實數(shù)Q的取值范圍為.

三、多空題(本大題共1小題，共4.0分)

15.已知tcma=2,則邛\"°sa=,sin2a+sinacosa=.

sina+cosa

四、解答題(本大題共5小題，共40.0分)

16.已知函數(shù)/(無)=cos(2x-g)+2sin(x-?)sin(久+$

(I)求函數(shù)/(%)的最小正周期和圖象的對稱軸方程；

(口)求函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,自上的值域.

17.已知函數(shù)0,且任意的0

S

(1)求兇、兇、叵］的值；

(2)試猜想0的解析式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.

18.已知在AaBC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,向量沅=(sinC-s譏4sinC-sinB)與元=

(b+c,a)共線.

(1)求角B的大??；

(〃)若6=2百，c=V6+V2-求△ABC的面積.

19.某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，

在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%.

(1)從2015年起，經(jīng)過x年的研發(fā)資金為y萬元，寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;

(2)從哪一年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元？(參考數(shù)據(jù)：m1.12=0.05,lgl.3=0.11,

lg2=0.30)

20.已知記=2),n=(2cosx,cos2x),函數(shù)/'(%)=行?元，

(1)求函數(shù)/'(%)的值域；

(2)在△4BC中，角4,B,C和邊a,b,c滿足a=2,f(4)=2,sinB=2sinC,求邊c.

參考答案及解析

L答案：A

解析：?：A={x\O<x<e},B=[-2,-1,0,1,2),

A={1,2}.

故選：A.

可求出集合4B,然后進行交集的運算即可.

本題考查了描述法和列舉法的定義，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域，絕對值不等式的解法，交集的運

算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.答案：C

解析：

本題重點考查了扇形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.設(shè)出扇形的半徑，求出扇形的弧長，利用周長公式，

求出半徑，然后求出扇形的面積.

解：設(shè)扇形的半徑為r,弧長為1,則

扇形的周長為，+2r=8,

二弧長為：ar=2r,

r=2,

根據(jù)扇形的面積公式，得

$=沏2=4,

故選C.

3.答案：D

解析：解：,??向量為=(I,/),=(-2,y2-2),a,4共線,

???y2—2—(―2)x2=0,

解得：—+%2=1,

2

=cosa,y=dlsina,

則%y=cosa-yflsina=^-sin2a<亨?

孫的最大值為爭

故選：D.

由石共線，利用向量共線定理可得：2x2+y2=2,令x=cosa,y=y[2sina＞可得xy=當(dāng)sin20c.

本題考查了向量共線定理、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

4.答案:D

解析：解：cos72cos12°+sin72°sinl2°=cos(72°—12°)=cos60°=

故選：D.

由已知利用兩角差的余弦公式化簡即可求解.

本題主要考查了兩角差的余弦公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

5.答案：A

軌Wo.&*

由于里正?超常w,可知函數(shù)煲砌在度上為單調(diào)遞函數(shù)，所以有

解析：試題分析:

?

；塞一：碰;靜蚓,解得實數(shù)摘的范圍為二.甯F國.故正確答案為a

上罷一加ba#排

'A￥

考點：1.函數(shù)的單調(diào)性;2.一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

6.答案：B

解析：解：tan70°cosl0°(l—y/3tan20°')=—tan70°cosl0°(y/3tan20°—1)

cos20°V3sin20°

-s-i-n2-0-°-coslO°(i--c-o-s-2-0-°-----1))

cos20°,V311

=—2■--c-o-sl-O-°(—sin20°--cos20°)---——

sm20°i227COS20°

cos20°1

-2———cosl0°(sin20°cos30°—cos20°sin30°)---

sin20°

—2sinl00cosl00

sin200

1

故選：B.

先把切轉(zhuǎn)化成弦，進而利用兩角差的正弦公式和二倍角公式對原式進行化簡整理，求得答案.

本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換及化簡求值.

7.答案：A

解析：解：由于函數(shù)/(x)=)利+InV*+1為偶函數(shù),

且在(0,+8)上單調(diào)遞增，如圖所示.

，函數(shù)+t)=e'x+fl+lnj(%+t)2+1.

??,/(%+t)>/(%)在％e(-1,+8)上恒成立,

函數(shù)y=f(x+t)在(一1,+8)上的圖象位于y=f(x)

的圖象的上方.

當(dāng)％=—1時，/(X+t)=JT+tl+lnj(-l+t)2+l,

/(%)=JTI+ln7(-l)2+l,

由/(%+t)=/(%),

可得+lnj(—1+t)2+1=+lnj(—l)2+1,解得力=2.

故需把函數(shù)f(%)=?田+InV^不I的圖象至少向左平移2個單位，

才可得到函數(shù)y=/(%+￡)的圖象，2,

???/(t)-e>/(2)-e>1.

由于函數(shù)y=f(2x-1)的值域為［1,+8),

故函數(shù)y=f(2x-1)的圖象和直線y=/?)-。有2個交點，

?,?關(guān)于1的方程f(2%-1)=/(t)-e的根有2個，

故選：A.

根據(jù)函數(shù)f(%)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，確定t的取值范圍，然后根據(jù)函數(shù)/(%)和y=/?)-c的

關(guān)系，即可求出方程根的個數(shù).

本題主要考查方程根的個數(shù)的判斷，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系判斷珀勺取值范圍是解決本題

的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想，綜合性較強，屬于中檔題.

8.答案：B

解析：解：???Q=logo.73<0,0<b=2.3-0,3<1,c=0.7-3,2>1.

-?c>b>a.

故選:B.

利用對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

本題考查了對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

9.答案:A

解析：Inn>Ine=1,^=log3-j3<log32<log33=1,0.3喪<0,3,

a>b>c.

故選：A.

可以得出)兀>1,|</。明2<1,0.3低<0,3,從而可得出a,b,c的大小關(guān)系.

本題考查了對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)的運算性質(zhì)，增函數(shù)和減函數(shù)的定義，考查了計算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.答案：D

解析：本題考查的是三角函數(shù)的公式。

]tana

有題意知：tan(45°-?)=~=12=_1；故選。。

1+tan?42

11.答案:(-|,2)

解析：

本題主要考查指數(shù)型函數(shù)的圖象經(jīng)過定點問題，屬于基礎(chǔ)題.

令指數(shù)等于零，可得函數(shù)的圖象恒過定點的坐標(biāo).

解：?.?函數(shù)/'(XiMGyx+i+i,

令2%+1=0,得x=—

可得它的圖象恒過定點2),

故答案為：(-|,2).

12.答案:—4

解析：試題分析：由睛W=案且:物*酸得硼=整點=管

**4

所以獨倒逑,=%螂nT=黛@皚5鬻=—崛?峭=-4

§身歲_：1'

考點：指數(shù)與對數(shù)運算.

13.答案：90°

解析：解：3=(s譏15°,cosl5°),b=(cosl5°,sinl5°)，

???方+b=(sml5°+cosl50,sinl50+cosl50)，

a—b=(sml5°—cosl50,cosl50—sml5°).

v(a+b)?(a-h)=sin215°—cos215°+cos215°—sin215°=0.

.??向量為+石與五-石的夾角為90。.

故答案為：90°.

由已知向量的坐標(biāo)求得向量1+石與五-3的坐標(biāo)，再結(jié)合兩向量的數(shù)量積為0得答案.

本題考查平面向量的坐標(biāo)加減法運算，考查由數(shù)量積求夾角公式，是基礎(chǔ)的計算題.

14.答案：：0融:臧：

解析：試題分析：依據(jù)絕對值的幾何意義忸-喇寧忸-蜀表示數(shù)軸上表示X的點到10與20的距離

之和，借助數(shù)軸可知其和？￡1胸，要滿足忸-！:什忸-塞k遜的解集不是空集，所以陶泡鮑

考點：絕對值不等式

點評：本題還可以通過函數(shù)來求解，設(shè),翼礴=歸-測n■歸-翔?，用I=僦，不等式有解即在,到國

圖像下方有篦土族圖像，畫圖得堿的范圍

V￥

15.答案：—|

6

5

解析：

本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

直接利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化弦為切求解.

解：由比1幾0=2,

彳日si?ia-3cosatana-32-31

sina+cosatana+12+13

.siiCa-|-siiifuxjsnfaira-Ftaiin6

sin7a+sinacosa=7-5-------=

sin*a+catratan^a+15

故答案為：—p

16.答案：解：(1)??,/(%)=cos(2%—9+2sin(%一9sin(%+f)

344

=^cos2x+^-sinlx+(sinx—cosx)(sinx+cosx)

=-cos2x+—sin2x—cos2x

22

=sin(2x—卜)

，周期7=爭=兀.

由2%—m=kji+g(/cEZ),得：x=—+—(/cGZ)

6223

???函數(shù)圖象的對稱軸方程為久=4+強eZ)

(2)0<%0<2%<7T

<2%—-<-7T<sin(2x--)<1

66626

值域為

解析：(1)利用兩角和與差的正弦、余弦公式，可將/⑺=cos(2x-$+2s譏(久一》sin(x+W)化為

/(%)=|cos2x+^-sin2x—cos2x>再利用輔助角公式整理為/(%)=sin(2x—^),從而可求得最小

正周期和圖象的對稱軸方程；

⑵由久e[0苧，可求得一三2%—泮"，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求函數(shù)/(x)在區(qū)間[0方上

的值域.

本題考查兩角和與差的正弦與余弦，關(guān)鍵在于掌握兩角和與差的正弦與余弦公式并靈活運用，屬于

中檔題.

17.答案：⑴0(2)0

解析：試題分析：(1)S，

□

□4分(2)猜想：區(qū)6分

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)九=1時，回，二猜想正確；7分

②假設(shè)當(dāng)□

那么當(dāng)□

所以，當(dāng)S時，猜想正確；

由①②知，對0正確,13分

考點：本小題主要考查歸納推理和數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用.

點評：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解決問題時，要注意從九=卜到n=k+1推導(dǎo)時，一定要用上歸納假設(shè).

18.答案：解：(I)AABC中，向量記={sinC—sinA,sinC-sinB)與運=(b+c,a)共線，

???af^sinC-sinA)—(b+c)(sinC-sinB)=0,

由正弦定理得Q(C-a)-(h+c)(c-b)=0,

整理得M+c2—b2=qc,

由余弦定理得c”B=Wac_1

2ac2'

B=71

3

(〃)由正弦定理上=

sine'

徨.》csinB(V6+V2)--V6+V2

^sinC=------=------ki=-------'

b2V34

???cosC=±V1—sin2C=土乃一R

當(dāng)…”

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinB

V3V6-V2,1V6+V2V2

=-------------1-----------=一；

24242

??.△ABC的面積為：

SRABC=\bcsinA=|x2V3x(V6+V2)xy=3+V3：

當(dāng)cosC=—三時，

4

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

V3V2-V6,1V6+V2V6-V2

=—X--------1—x--------=--------，

24244

??.△ABC的面積為：

S〉A(chǔ)BC=-besinA=-x2A/3X(V6+V2)x'.=V3；

224

綜上，△ABC的面積為3+E或8.

解析：本題考查了平面向量與解三角形的應(yīng)用問題，也考查了計算與轉(zhuǎn)化能力，是綜合題.

(I)平面向量的共線定理以及正弦、余弦定理，求出B的值；

(〃)由正弦定理求出s譏C、再由平方關(guān)系求出cosC,利用三角形內(nèi)角和定理求出sirtA,再計算△ABC

的面積.

19.答案:解：(1)由題意得：y=130(1+12%)。

(2)設(shè)2016年為第一年，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是第葭年，

由題意可得：130(1+12%)n>200,

伍2T01.30.3-0.11

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