新教材2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊(cè)練習(xí)：8 . 2 函數(shù)與數(shù)學(xué)模型

第8章函數(shù)應(yīng)用

8.2函數(shù)與數(shù)學(xué)模型

8.2.1幾個(gè)函數(shù)模型的比較

8.2.2函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

課后篇鞏固提升

A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練

L某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè),2個(gè)分裂成4個(gè),…現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂尤次后得到細(xì)胞

的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是（）

A.y=2xB.y=2xl

C.y=2xD.y=2x+1

S1]D

|解析|分裂一次后由2個(gè)變成2x2=22（個(gè)），分裂兩次后變成4x2=23（個(gè)），…，分裂尤次后變成2x+1個(gè).

2.（2021廣西河池高一期末）某化工原料廠原來(lái)月產(chǎn)量為100噸，一月份增產(chǎn)20%,二月份比一月份減

產(chǎn)10%,則二月份產(chǎn)量為（）

A.106噸B.108噸

C.110噸D.112噸

域折I因?yàn)榛ぴ蠌S原來(lái)月產(chǎn)量為100噸，一月份增產(chǎn)20%,所以一月份的產(chǎn)量為100x（1+20%）噸.

又因?yàn)槎路荼纫辉路轀p產(chǎn)10%,所以二月份的產(chǎn)量為100x（l+20%）x（l-10%）=l08（噸）.

故選B.

3.（2021山東濰坊高三一模）在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，某同學(xué)采集到如下一組數(shù)據(jù)：

x-2-1123

vO.240.512.023.988.02

在以下四個(gè)函數(shù)模型（。力為待定系數(shù)）中，最能反映函數(shù)關(guān)系的是（）

.,nb

A.y=a+bxn.y=a+-

C.y=a+\ogbXD.y=a+bx

奉D

林福根

y

8-

2-?

-2-\0123~x

據(jù)點(diǎn)在坐標(biāo)系中的特征可以知道，當(dāng)自變量每增加1時(shí),y的增加是不相同的，所以不是線性增加，排除

A;由圖象不具有反比例函數(shù)特征，排除B;因?yàn)樽宰兞坑胸?fù)值，排除C;隨著x的增大,y增長(zhǎng)速度越來(lái)越

快，所以符合指數(shù)函數(shù)圖象的特征,D正確.故選D.

?。4

4.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間（單位:min）為八元）=1V（4。為常數(shù)）.已知工

而久"

人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30min,組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15min,那么c和A的值分別是（）

A.75,25B.75,16

C.60,25D.60,16

gg]D

解析由題意知,組裝第A件產(chǎn)品所需時(shí)間為看=15,故組裝第4件產(chǎn)品所需時(shí)間為總=30,解得c=60.將

c=60代入[=15,得4=16.故選D.

5.（2021江西九江高一期末）某超市元旦期間搞促銷(xiāo)活動(dòng)，顧客購(gòu)物總金額不超過(guò)500元，不享受任何

折扣;如果顧客購(gòu)物的總金額超過(guò)500元,則超過(guò)的部分享受一定的折扣優(yōu)惠，并按下表折扣分別累計(jì)

計(jì)算：

可享受的折扣優(yōu)惠金折扣

額率

不超過(guò)400元的部分10%

超過(guò)400元的部分20%

若某顧客在此超市獲得的折扣金額為60元，則此人購(gòu)物實(shí)際所付金額為（）

A.940元B.1000元

C.1140元D.1200元

gg]A

___（0,0<x<500,

齷明設(shè)此人購(gòu)物總金額為x元，可獲得購(gòu)物折扣金額為y元,則y=0.1（x-500）,500<x<900,當(dāng)

（.0.2（x-900）+40,x>900,

x=900時(shí),y=0.1x（900-500）=40,>60>40,.：x>900,.：0.2（x-900）+40=60,解得x=l000,故此人購(gòu)物實(shí)際

所付金額為1000-60=940（元），故選A.

6.某市出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:起步價(jià)為8元，起步里程為3km（不超過(guò)3km按起步價(jià)付費(fèi)）;超過(guò)3km

但不超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.15元收費(fèi);超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每

次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元.現(xiàn)某人乘坐一次出租車(chē)付費(fèi)22.6元,則此次出租車(chē)行駛了

km.

(9,0<%<3,

阿麗設(shè)出租車(chē)行駛xkm時(shí)，付費(fèi)y元,則y=8+2.15(%-3)+1,3<%<8,由>=22.6,解得尤=9,

(.8+2.15X5+2.85(x-8)+l,x>8,

此次出租車(chē)行駛了9km.

7.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的★要使存留的污垢不超過(guò)1%,則至少要清洗的次數(shù)

是.(1g2=0.3010)

觸物設(shè)至少要洗尤次，則(1-勺“<圭，

1

所以X27A/3.322,所以需4次.

電2

8.有一種候鳥(niǎo)每年都按一定的路線遷徙，飛往繁殖地產(chǎn)卵,科學(xué)家經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)候鳥(niǎo)的飛行速度可以

表示為函數(shù)v=，og3就-lgxo,單位是km/min,其中尤表示候鳥(niǎo)每分鐘耗氧量的單位數(shù)兩表示測(cè)量過(guò)程

中候鳥(niǎo)每分鐘的耗氧偏差.(參考數(shù)據(jù):1g2=0.30,3/3.743?餐4.66)

(1)若沏=2,候鳥(niǎo)每分鐘的耗氧量為8100個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度是多少？

(2)若沏=5,候鳥(niǎo)停下休息時(shí),它每分鐘的耗氧量為多少個(gè)單位？

(3)若雄鳥(niǎo)的飛行速度為2.5km/min,雌鳥(niǎo)的飛行速度為1.5km/min,那么此時(shí)雄鳥(niǎo)每分鐘的耗氧量是

雌鳥(niǎo)每分鐘耗氧量的多少倍？

觸11)將xo=2,x=8100代入函數(shù)式可得

1

v=-log381-lg2=2-lg2-1.70,

故此時(shí)候鳥(niǎo)飛行速度為1.70km/min.

⑵將為o=5,v=O代入函數(shù)式可得

。4083高在5，

即log3矗=21g5=2-(l-lg2)=1.40.

所以高x314=4.66,于是后466.

故候鳥(niǎo)停下休息時(shí),它每分鐘的耗氧量為466個(gè)單位.

(2.5=|log3-^-lgx0,

(3)設(shè)雄鳥(niǎo)每分鐘的耗氧量為XI,雌鳥(niǎo)每分鐘的耗氧量為X2,依題意可得《2100

(13司嗝益」g久。，

兩式相減可得1=#(吆32于是現(xiàn)=9.

N%2x2

故此時(shí)雄鳥(niǎo)每分鐘的耗氧量是雌鳥(niǎo)每分鐘耗氧量的9倍.

B級(jí)關(guān)鍵能力提升練

9.加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱(chēng)為“可食用率”，在特定條件下，可食用率

尸與加工時(shí)間f（單位:分鐘）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系尸=。產(chǎn)+6+。（/仇。是常數(shù)），如圖所示記錄了三次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，根

據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可得到最佳加工時(shí)間為（）

P

0.8-----------------f

0.7-----------［；

0.5-------------

。345〃冽

A.3.50分鐘B.3.75分鐘

C.4.00分鐘D.4.25分鐘

(0.7=9。+3b+c,

解麗依題意有0.8=16a+4b+c,

(.0.5=25a+5b+c,

解得a=-0.2,b=1.5,c=-2.

所以P=-0.2/2+1.5f-2=-|(t-y)2+^|.

所以當(dāng)7=9=3.75時(shí),P取得最大值罪.

4lo

即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘.

10.衣柜里的樟腦丸,隨著時(shí)間會(huì)揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)去的新丸體積為a,經(jīng)過(guò)f天后體積V與天數(shù)

/的關(guān)系式為V=ee叱已知新丸經(jīng)過(guò)50天后，體積變?yōu)?.若一個(gè)新丸體積變?yōu)檗唷?則需經(jīng)過(guò)的天數(shù)為

（）

A.125B.100C.75D.50

葬C

____]

解析由已知，得羋,：e/=O°.

設(shè)經(jīng)過(guò)t\天后，一個(gè)新丸體積變?yōu)闂l,則捺。

￡1

,*=5=就,

?4H，仁75.

11.（2021湖北高三月考）2020年11月24日4時(shí)30分，長(zhǎng)征五號(hào)遙五運(yùn)載火箭在我國(guó)文昌航天發(fā)射場(chǎng)

成功發(fā)射,飛行約2200秒后，順利將探月工程嫦娥五號(hào)探測(cè)器送入預(yù)定軌道，開(kāi)啟我國(guó)首次地外天體

采樣返回之旅.已知火箭的最大速度V（單位:km/s）與燃料質(zhì)量M單位:kg）、火箭質(zhì)量徵（單位:kg）的函

數(shù)關(guān)系為片21n(1+2),若已知火箭的質(zhì)量為3100kg,火箭的最大速度為11km/s,則火箭需要加注

的燃料為(參考數(shù)值為In2匈69,In243.69*5.50,結(jié)果精確到0.01)()

A.243.69tB.244.69t

C.755.441D.890.23t

解析|n=21n(l+'),貝，|ll=21n(l+^^j,所以l+^^=e55,解得〃=3100(e55-l)=3100x243.69=755

439（kg）M55.44（t）.故選C.

12.（2021福建福州高一期末）2020年10月1日至8日，央視推出大型主題報(bào)道《坐著高鐵看中國(guó)》，8

天8條高鐵主線，全景式展示“十三五”規(guī)劃成就和中國(guó)之美.我國(guó)高鐵技術(shù)在世界上遙遙領(lǐng)先，高鐵運(yùn)

行時(shí)不僅速度比普通列車(chē)快，而且噪聲小.我們知道比較適合生活的安靜環(huán)境的聲強(qiáng)級(jí)〃噪音級(jí)）為

30-40分貝（符號(hào):dB）,聲強(qiáng)/（單位:W/n?）與聲強(qiáng)級(jí)〃單位:dB）的函數(shù)關(guān)系式為/=bJ0"（a力為常數(shù)）.某

型號(hào)高鐵行駛在無(wú)村莊區(qū)域的聲強(qiáng)為IO-"w/n?,聲強(qiáng)級(jí)為68dB,駛進(jìn)市區(qū)附近降低速度后的聲強(qiáng)

為IO-。w/n?,聲強(qiáng)級(jí)為55dB,若要使該高鐵駛?cè)胧袇^(qū)時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)達(dá)到安靜環(huán)境要求,則聲強(qiáng)最大為

()

A.109W/m2B.108W/m2

C.107W/m2D.106W/m2

而由題意可知世::=吁曹'解得E=所以/=10"10°口=10°312,所以當(dāng)L取最大值40

----------110-6.5="1055a,3

時(shí),/取得最大值1001x40-12=1（）-8.故選B

13.（2021山東泰安高三期末）2019年，公安部交通管理局下發(fā)《關(guān)于治理酒駕醉駕違法犯罪行為的指

導(dǎo)意見(jiàn)》，對(duì)綜合治理酒駕醉駕違法犯罪行為提出了新規(guī)定，根據(jù)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局下發(fā)的

標(biāo)準(zhǔn)，車(chē)輛駕駛?cè)藛T飲酒后或者醉酒后駕車(chē)血液中的酒精含量閾值見(jiàn)表.經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn),一般情況下，

某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的散點(diǎn)圖如圖所示，且該圖表示的函數(shù)模型

?=[40Sin（9）+13,0-%<2,假設(shè)該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過(guò)“（aGN*）小時(shí)才可以駕車(chē)，則n的

9Oeo5x+14,x>2.

值為（參考數(shù)據(jù)：ln15幺71,In30x340）（）

-酒精含量/(mg/100mL)

60

????

40?；???

20-????

.??.

(]\246810121416^

時(shí)間/h

車(chē)輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量閾值

駕駛行為類(lèi)閾值/(mg/100

別mL)

飲酒駕車(chē)[20,80)

醉酒駕車(chē)[80,+oo)

A.7B.6C.5D.4

ggB

|解析|由散點(diǎn)圖可知,該人喝一瓶啤酒后的2個(gè)小時(shí)內(nèi)，其血液酒精含量逐漸增大，則

（n>2,—2,

l90e-°-5n+14<20,即（e-°-5n</

解得n>21n15^2x2.71=5.42,

:%GN*,."的最小值為6,故至少經(jīng)過(guò)6小時(shí)才可以駕車(chē).故選B.

14.（多選）（2021江蘇常州高一期末）某雜志以每?jī)?cè)2元的價(jià)格發(fā)行時(shí)，發(fā)行量為10萬(wàn)冊(cè).經(jīng)過(guò)調(diào)查,

若單冊(cè)價(jià)格每提高0.2元，則發(fā)行量就減少5000冊(cè).要該雜志銷(xiāo)售收入不少于22.4萬(wàn)元，每?jī)?cè)雜志可

以定價(jià)為（）

A.2.5元B.3元

C.3.2元D.3.5元

S1]BC

齷冊(cè)設(shè)定價(jià)為x元,則銷(xiāo)售量為10-0.5x^|=15-2.5x,

銷(xiāo)售收入為人x）=（15-2.5x）x

大2.5）=21.875,不滿(mǎn)足題意；

.3）=22.5,滿(mǎn)足題意;

大3.2）=22.4,滿(mǎn)足題意；

式3.5）=21.875,不滿(mǎn)足題意.

故選BC.

15.（多選）為預(yù)防流感病毒,學(xué)校每天定時(shí)對(duì)教室進(jìn)行噴灑消毒.當(dāng)教室內(nèi)每立方米藥物含量超過(guò)0.25

mg時(shí)能有效殺滅病毒.已知教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（單位:mg）隨時(shí)間x（單位:h）的變化情況

如圖所示,在藥物釋放過(guò)程中,y與x成正比;藥物釋放完畢后,y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=^a為常數(shù)），則

下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)0WxW0.2時(shí),y=5尤

,1

B.當(dāng)x>0.2吐尸瓦

C.教室內(nèi)持續(xù)有效殺滅病毒時(shí)間為1小時(shí)

D.噴灑藥物3分鐘后開(kāi)始進(jìn)行有效滅殺病毒

答案|ABD

解近在藥物釋放過(guò)程中,y與工成正比，設(shè)，當(dāng)x=0.2時(shí),y=l,所以女二5,所以y=5x,故A正確；

因?yàn)樗幬镝尫磐戤吅?y與1的函數(shù)關(guān)系式為>=?〃為常數(shù)），當(dāng)x=0.2時(shí),y=l,所以4總所以y=《,

故B正確；

當(dāng)0WxW0.2時(shí),y=5x>0.25,解得x>0.05,持續(xù)時(shí)間為0.2-0.05=0.15;

1

當(dāng)尤>0.2時(shí)尸盤(pán)>0.25,解得x<0.8,持續(xù)時(shí)間為0.8-0.2=0.6,所以總持續(xù)時(shí)間為0.6+0.15=0.75,故

C錯(cuò)誤；

當(dāng)尤>0.05小時(shí)，即噴灑藥物3分鐘后開(kāi)始進(jìn)行有效滅殺病毒，故D正確.

故選ABD.

（多選）（2021浙江杭州高一期末）如圖,某池塘里浮萍的面積y（單位:m?）與時(shí)間〃單位:月）的關(guān)系

為>=浦.關(guān)于下列說(shuō)法正確的是（）

A.浮萍面積每月的增長(zhǎng)率為2

B.浮萍每月增加的面積都相等

C.第4個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過(guò)80m2

D.若浮萍蔓延到2m2,4m2,8n?所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是AJ2J3,則2攵=人+白

|答案|ACD

回折|將點(diǎn)（1,3）的坐標(biāo)代入函數(shù)y=a'的解析式，得儲(chǔ)=3,函數(shù)的解析式為y=3’.

&九+1

對(duì)于A,由上—=2可得，浮萍每月的增長(zhǎng)率為2,A正確;

對(duì)于B,浮萍第1個(gè)月增加的面積為3i-30=2（m2）,第2個(gè)月增加的面積為32-31=6^2）,2^6,6錯(cuò)誤;

對(duì)于C,第4個(gè)月時(shí)，浮萍的面積為34=81>80,C正確；

對(duì)于D,由題意可得3tl=2,3。2=4,30=8,

所以（3?2）2=3〃x3t3,

即32t2=3"+凡所以2t2=ti+"D正確.

故選ACD.

17.2008年我國(guó)人口總數(shù)為14億，如果人口的自然年增長(zhǎng)率控制在1.25%,則年我國(guó)人口

將超過(guò)20億.（lg2?0.3010,1g3-0.4771,1g7?0.8451）

答案2037

解析由題意，得14(l+1.25%r2008>20,

1All

即尤-2008>篇=■~28.7,

喘41g3-31g2-l

解得x>2036.7,又xeN,故x=2037.

18.（2021浙江高一開(kāi)學(xué)考試）衣柜里的樟腦丸因揮發(fā)而體積不斷減少，當(dāng)衣柜里的若干顆樟腦丸揮發(fā)

后剩余的總體積少于1顆新丸的體積時(shí)，將失去所期待的防蟲(chóng)防蛀效果.如果樟腦丸放置的時(shí)間7（單

位:天）和剩余的體積丫的關(guān)系式為T(mén)=Qn學(xué)（其中常數(shù)C>0,%是1顆新丸的體積）,1顆新丸放置30天

后，剩余的體積變?yōu)樵瓉?lái)的稱(chēng)且樟腦丸之間互不影響,那么要使衣柜能保持120天期待中的防蟲(chóng)防蛀

效果，則應(yīng)該在衣柜里一次性放置至少顆樟腦丸.

|解析|由題意得30=Cln￥=Clng,

設(shè)120天后1顆新丸剩余的體積為原來(lái)的工

則120=Cln^=-ClnZ

由⑦②聯(lián)立可得In4=41碎

4

可得;1<九41所以至少需要4顆.

43

19.（2021云南昭通云天化中學(xué)高一期末）某花卉種植基地為了增加經(jīng)濟(jì)效益，決定對(duì)花卉產(chǎn)品以舉行

展銷(xiāo)會(huì)的方式進(jìn)行推廣、促銷(xiāo).經(jīng)分析預(yù)算，投入展銷(xiāo)費(fèi)為x萬(wàn)元時(shí)，銷(xiāo)售量為m萬(wàn)個(gè)單位，且

〃片竽（0〃W4）,假設(shè)培育的花卉能全部銷(xiāo)售完.已知培育比萬(wàn)個(gè)花卉還需要投入成本（2〃什1）萬(wàn)元（不

含展銷(xiāo)費(fèi)）,花卉的售價(jià)為（11+5）萬(wàn)元/萬(wàn)個(gè)單位.（注:利潤(rùn)=售價(jià)x銷(xiāo)售量-投入成本-展銷(xiāo)費(fèi)）

（1）試求出該花卉基地利潤(rùn)y（單位:萬(wàn)元）與展銷(xiāo)費(fèi)為x（單位:萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式并化簡(jiǎn)；

（2）求該花卉基地利潤(rùn)的最大值，并指出此時(shí)展銷(xiāo)費(fèi)為多少萬(wàn)元.

魁（1）丫=機(jī)（11+'）-（2m+l）-x=9:w+3-x=9x^|^+3-x,.：y=21-（x+（0,4].

（2）由（1）得y=2L（x+￡）,尤e（0,4],

:'x+2\2V^=6,當(dāng)且僅當(dāng)尤=3時(shí)，等號(hào)成立，

X

所以當(dāng)尤=3時(shí),該花卉基地利潤(rùn)的最大值為15萬(wàn)元,此時(shí)展銷(xiāo)費(fèi)為3萬(wàn)元.

20.提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度v（單

位:千米4寸）是車(chē)流密度x（單位:輛/千米）的函數(shù).當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)

車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米4寸.研究表明:當(dāng)20WxW200時(shí)，車(chē)

流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù).

⑴當(dāng)04W200時(shí),求函數(shù)可尤）的表達(dá)式；

（2）當(dāng)車(chē)流密度x為多大時(shí),車(chē)流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位:輛芥寸成x）=xw（x）可

以達(dá)到最大,并求出最大值.（精確到1輛詐力

敏1）由題意，當(dāng)0?20