廣東省梅州市大埔縣西河中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

廣東省梅州市大埔縣西河中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共10小題，滿(mǎn)分30分，每小題3分）1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A.3x－1＝0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先把方程化成一般式，根據(jù)一般式判斷選擇即可．【詳解】因?yàn)?x－1＝0是一元一次方程，所以A不符合題意；因?yàn)槭且辉畏匠?，所以B符合題意；因?yàn)榛?jiǎn)后是一元一次方程，所以C不符合題意；因?yàn)椴皇且辉畏匠蹋訢不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義即含有一個(gè)未知數(shù)且含未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)最高是2的整式方程，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．2.桌上放4張撲克牌，全部正面朝下，其中恰有1張是老K．兩人做游戲，游戲規(guī)則是：隨機(jī)取2張牌并把它們翻開(kāi)，若2張牌中沒(méi)有老K，則紅方勝，否則藍(lán)方勝．則贏的機(jī)會(huì)大的一方是（）A.紅方 B.藍(lán)方 C.兩方機(jī)會(huì)一樣 D.不知道【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了概率與游戲、運(yùn)用畫(huà)樹(shù)狀圖求概率等知識(shí)點(diǎn)，用樹(shù)狀圖列舉出所有情況以及2張牌中有老K的情況數(shù)及沒(méi)有老k的情況數(shù)，然后比較即可解答．【詳解】解：設(shè)其余3張撲克分別為a,b,c.共12種情況，含有k的情況有6種，不含k的情況也是6種，∴兩方機(jī)會(huì)一樣．故選：C．3.“上有蘇杭，下有天堂”吳江蘇州灣東太湖風(fēng)景優(yōu)美，某兩個(gè)景點(diǎn)之間的距離為75米，在一張比例尺為1∶2000的導(dǎo)游圖上，它們之間的距離大約相當(dāng)于（）A.一根火柴的長(zhǎng)度 B.一支鋼筆的長(zhǎng)度 C.一支鉛筆的長(zhǎng)度 D.一根筷子的長(zhǎng)度【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意及比例尺可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：它們之間在導(dǎo)游圖的距離為；∴它們之間的距離大約相當(dāng)于一根火柴的長(zhǎng)度；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查比例尺，熟練掌握比例尺的算法是解題的關(guān)鍵．4.如圖，在一塊對(duì)角線分別為6米、8米的菱形草地的四個(gè)頂點(diǎn)處，各居住著一只螞蟻，居住在A處的螞蟻準(zhǔn)備沿A→B→C→D→A拜訪在B、C、D三個(gè)頂點(diǎn)螞蟻之后，再回到自己的住處，它的總路程為（）A.14米 B.20米 C.24米 D.28米【答案】B【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵熟知菱形的對(duì)角線互相垂直平分．根據(jù)菱形的性質(zhì)可知其對(duì)角線相互垂直平分，從而求得的長(zhǎng)，再在中運(yùn)用勾股定理求得的長(zhǎng)，則邊長(zhǎng)的4倍長(zhǎng)即為菱形的周長(zhǎng)．【詳解】解：設(shè)菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O．∵菱形的對(duì)角線為6米、8米，菱形對(duì)角線互相垂直平分，∴米，米，米，故菱形的周長(zhǎng)為（米），即A處的螞蟻爬行的總路程為米．故選：B．5.用配方法解一元二次方程，配方正確的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了配方法解一元二次方程的步驟，解題的關(guān)鍵是熟知“方程的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”．根據(jù)配方法步驟得到的結(jié)果與各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行對(duì)比即可．【詳解】解：方程，移項(xiàng)：配方得：，整理得：．故選：B．6.如果，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用比例的性質(zhì)，由得b=2a，然后把b=2a代入中進(jìn)行分式的混合運(yùn)算即可．【詳解】解：∵，∴b=2a，∴原式===-3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)：靈活應(yīng)用比例性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積、合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)）進(jìn)行計(jì)算．7.如圖，以長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)F；再以頂點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E．若AD＝5，CD＝，則EF的長(zhǎng)度為（）A2 B.3 C. D.1【答案】A【解析】【分析】連接CE，可得出CE＝CD，由矩形的性質(zhì)得到BC＝AD，在直角三角形BCE中，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，由AB﹣AF求出BF的長(zhǎng)，由BE﹣BF求出EF的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，連接CE，則CE＝CD＝，BC＝AD＝5，∵△BCE為直角三角形，∴BE＝，∵BF＝AB﹣AF＝﹣5＝，∴EF＝BE﹣BF＝﹣＝2．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要查了矩形的性質(zhì)和勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理．8.疫情期間進(jìn)入學(xué)校都要進(jìn)入測(cè)溫通道，體溫正常才可進(jìn)入學(xué)校，昌平某校有2個(gè)測(cè)溫通道，分別記為A、B通道，學(xué)生可隨機(jī)選取其中的一個(gè)通道測(cè)溫進(jìn)校園．某日早晨該校所有學(xué)生體溫正常．小王和小李兩同學(xué)該日早晨進(jìn)校園時(shí)，選擇同一通道測(cè)溫進(jìn)校園的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)算可得．【詳解】解：列表格如下：ABAA，AB，ABA，BB，B由表可知，共有4種等可能的結(jié)果，其中小王和小李從同一個(gè)測(cè)溫通道通過(guò)的有2種可能，

所以小王和小李從同一個(gè)測(cè)溫通道通過(guò)的概率為．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率．注意列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．9.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，則AC等于（）A.3B.4C.6D.8【答案】D【解析】【詳解】∵DE∥BC，∴，即，∴AC＝8．故選D．10.如圖，在ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，連接EF，則線段EF的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接，先證四邊形是矩形，則，當(dāng)時(shí)，最小，然后利用三角形面積解答即可．【詳解】解：連接，如圖：，，，，四邊形是矩形，，當(dāng)最小時(shí)，也最小，，，，，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，，線段長(zhǎng)的最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，求出的最小值．二．填空題（共7小題，滿(mǎn)分28分，每小題4分）11.方程的一次項(xiàng)系數(shù)是_____．【答案】0【解析】【分析】本題考查一元二次方程的一般式，解題的關(guān)鍵是掌握一次項(xiàng)系數(shù)的定義．根據(jù)一元二次方程的一般形式解答．【詳解】解：一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)是0．故答案為：0．12.方程的解是__________________．【答案】【解析】【分析】本題考查了開(kāi)平方的方法求解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的求解方法是解題關(guān)鍵．【詳解】解：，系數(shù)化1得：，開(kāi)方得：．故答案為13.在中，D、E分別在AB.AC的反向延長(zhǎng)線上，，若，，則________.【答案】8cm【解析】【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再根據(jù)DE∥BC得出，最后把EC=14代入計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)題意畫(huà)圖如下：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴，∴，∵EC=14厘米，∴，∴AC=8（cm）．故答案為8cm．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，得出是解決本題的關(guān)鍵．14.4件外觀相同的產(chǎn)品中有2件不合格，現(xiàn)從中一次抽取2件進(jìn)行檢測(cè)，抽到一件產(chǎn)品合格一件產(chǎn)品不合格的概率是___________．【答案】【解析】【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖，得出所有等可能的結(jié)果和滿(mǎn)足條件的結(jié)果，再由概率公式求解即可．【詳解】解：把2件合格產(chǎn)品記為A、B，2件不合格記為C、D，畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：共有12個(gè)等可能的結(jié)果，抽到一件產(chǎn)品合格一件產(chǎn)品不合格的結(jié)果有個(gè)，∴抽到一件產(chǎn)品合格一件產(chǎn)品不合格的概率為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用列表法或樹(shù)狀圖法求概率，掌握求法是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在中，，，是的中線，E是的中點(diǎn)，連接，，若，垂足為E，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，先根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出，證明是等邊三角形，解直角三角形得出結(jié)果即可．【詳解】解：∵，∴，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，∴，，∵，E是的中點(diǎn)，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴．故答案為：．16.如果把兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，那么重疊部分的四邊形是_______．（填特殊的四邊形）【答案】菱形【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的判定和平行四邊形的面積公式、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；熟練掌握平行四邊形和菱形的判定是關(guān)鍵．首先可判斷重疊部分為平行四邊形，且兩條紙條寬度相同；再由平行四邊形的面積可得鄰邊相等，則重疊部分為菱形．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于，于，兩條紙條寬度相同，．，，四邊形是平行四邊形．．又．，四邊形是菱形．故答案為：菱形．17.如圖，、在矩形的邊、上，，，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)________________．【答案】【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．在上截取，連接，在上截取，連接，設(shè)，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，，從而可得，，，，進(jìn)而可得，，然后可證，，從而證明，再利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：在上截取，連接，在上截取，連接，設(shè)，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，或（舍去），，，故答案為：三．解答題（共8小題，滿(mǎn)分62分）18.解方程：（1）3x2﹣7x﹣10＝0；（2）（x+1）（x+3）＝15．【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝；（2）x1＝2，x2＝﹣6【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【詳解】解：（1）∵3x2﹣7x﹣10＝0，∴（x+1）（3x﹣10）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝．（2）方程整理得，x2+4x﹣12＝0，∴（x﹣2）（x+6）＝0，∴x1＝2，x2＝﹣6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運(yùn)用因式分解法解一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．19.證明平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.已知（如圖）∥∥，求證：.【答案】見(jiàn)解析.【解析】【分析】通過(guò)作平行，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的問(wèn)題，即可得證．【詳解】證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作直線MN∥AC，交、于點(diǎn)G、H，∵∥∥，MN∥AC，∴四邊形ABEG、BCHE是平行四邊形∴AB=GE,BC=EH,且∴△DGE∽△FHE，∴即原題得證．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理及相似三角形的性質(zhì)與判定．通過(guò)條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相似三角形的問(wèn)題是解題關(guān)鍵．20.若是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解．求的值．【答案】【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的解，將代入原方程，找出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．將代入原方程可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可求出的值．【詳解】解：將代入原方程得：，，．答：的值為21.如圖，矩形中，，P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)沿邊以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t秒，連接交于點(diǎn)Q．（1）求證：；（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得判定；（2）首先證明，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可得到的值．【小問(wèn)1詳解】證明∶四邊形是矩形，【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，；解得∶，即當(dāng)時(shí)，．22.我校德育處發(fā)現(xiàn)同學(xué)們就餐時(shí)剩余飯菜較多，浪費(fèi)嚴(yán)重，于是準(zhǔn)備在校內(nèi)倡導(dǎo)“光盤(pán)行動(dòng)”，讓同學(xué)們珍惜糧食，為了讓同學(xué)們理解這次活動(dòng)的重要性，德育處在某天午餐后，隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)這餐飯菜的剩余情況，并將結(jié)果統(tǒng)計(jì)后繪制成了如圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖．（1）這次被調(diào)查的同學(xué)共有名；并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（2）德育處通過(guò)數(shù)據(jù)分析，估計(jì)這次被調(diào)查的所有學(xué)生一餐浪費(fèi)的食物可以供40人用一餐．據(jù)此估算，我校名學(xué)生一餐浪費(fèi)的食物可供多少人食用一餐？（3）德育處準(zhǔn)備在被調(diào)查沒(méi)有剩的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選兩名同學(xué)在周一的國(guó)旗下進(jìn)行倡議“光盤(pán)行動(dòng)”的主題演講，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求選中甲、丙兩位同學(xué)的概率．【答案】（1），補(bǔ)充條形統(tǒng)計(jì)圖見(jiàn)解析；（2）人；（3）．【解析】【分析】（）用沒(méi)有剩的人數(shù)除以它的百分比即可求出被調(diào)查的同學(xué)人數(shù)，再求出剩少量的學(xué)生人數(shù)，進(jìn)而可把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（）根據(jù)這次被調(diào)查的所有學(xué)生一餐浪費(fèi)的食物可以供人用一餐，再根據(jù)全校的總?cè)藬?shù)是人，列式計(jì)算即可;（）畫(huà)出樹(shù)狀圖，根據(jù)樹(shù)狀圖即可求解；本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，用樹(shù)狀圖或列表法求概率，由統(tǒng)計(jì)圖獲得必要的信息是解題的關(guān)鍵．【小問(wèn)1詳解】解：這次被調(diào)查的同學(xué)共有名，故答案為：；∴剩少量的學(xué)生人數(shù)為名，∴條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整如下：【小問(wèn)2詳解】解：人，答：我校名學(xué)生一餐浪費(fèi)的食物可供人食用一餐；【小問(wèn)3詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：由樹(shù)狀圖可得，共有種等結(jié)果，其中選中甲、丙兩位同學(xué)的種結(jié)果，∴選中甲、丙兩位同學(xué)的概率．23.“早黑寶”葡萄品種是我省農(nóng)科院研制的優(yōu)質(zhì)新品種在我省被廣泛種植，鄧州市某葡萄種植基地2017年種植“早黑寶”100畝，到2019年“早黑寶”的種植面積達(dá)到196畝（1）求該基地這兩年“早黑寶”種植面積的平均增長(zhǎng)率；（2）市場(chǎng)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)“早黑寶”的售價(jià)為20元千克時(shí)，每天售出200千克，售價(jià)每降價(jià)1元，每天可多售出50千克，為了推廣直傳，基地決定降價(jià)促銷(xiāo)，同時(shí)減存已知該基地“早黑寶”的平均成本價(jià)為12元/千克，若使銷(xiāo)售“早黑寶”天獲利1750元，則售價(jià)應(yīng)降低多少元？【答案】（1）40%（2）3元【解析】【分析】（1）設(shè)該基地這兩年“早黑寶”種植面積的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得關(guān)于x的一元二次方程，解方程，然后根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義作出取舍即可；（2）設(shè)售價(jià)應(yīng)降低y元，根據(jù)每千克的利潤(rùn)乘以銷(xiāo)售量，等于1750，列方程并求解，再結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義作出取舍即可．【詳解】（1）設(shè)該基地這兩年“早黑寶”種植面積的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得100（1＋x）2＝196解得x1＝0.4＝40%，x2＝?2.4（不合題意，舍去）答：該基地這兩年“早黑寶”種植面積的平均增長(zhǎng)率為40%．（2）設(shè)售價(jià)應(yīng)降低y元，則每天可售出（200＋50y）千克根據(jù)題意，得（20?12?y）（200＋50y）＝1750整理得，y2?4y＋3＝0，解得y1＝1，y2＝3∵要減少庫(kù)存∴y1＝1不合題意，舍去，∴y＝3答：售價(jià)應(yīng)降低3元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程在增長(zhǎng)率問(wèn)題和銷(xiāo)售問(wèn)題中的應(yīng)用，根據(jù)題目正確列出方程，是解題的關(guān)鍵．24.閱讀下列材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足，試求的值．解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，整理得，，∴，∵，∴．上面這種方法稱(chēng)為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問(wèn)題，并寫(xiě)出解答過(guò)程．（1）已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，求的值．（2）解方程：．（3）已知a，b，c是的三邊（c為斜邊），周長(zhǎng)為12，且a，b滿(mǎn)足，試求的面積．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）仿照題意利用換元法求解即可；（2）設(shè)，利用換元法求出m的值，進(jìn)而解分式方程求出x的值即可；（3）先利用換元法求出，進(jìn)而利用勾股定理求出，進(jìn)一步推出，利用完全平方公式變形求出的值即可得到答案．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，則原方程變?yōu)椋啵?，∴或，∵，∴，∴；【小?wèn)2詳解】解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，∴，∴或，?dāng)時(shí)，則，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程解；當(dāng)時(shí)，則，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解；∴原方程的解為或；【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)，則原