信號(hào)與系統(tǒng)基礎(chǔ)-第1章

第1章信號(hào)第1章|主要內(nèi)容1.1信號(hào)的概念1.2信號(hào)的分類(lèi)1.3基本連續(xù)時(shí)間信號(hào)1.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的運(yùn)算31.1信號(hào)的概念問(wèn)題引入：在人類(lèi)的生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常需要對(duì)各種信號(hào)進(jìn)行分析與研究。針對(duì)千千萬(wàn)萬(wàn)種信號(hào)，如何分析研究？能否找到通用方法?解決思路：尋找共性，將信號(hào)分類(lèi)→提取基本信號(hào)，重點(diǎn)分析→找出適合大多數(shù)信號(hào)的運(yùn)算分析方法。研究結(jié)果：確定了正弦型、階躍和沖激等7種基本信號(hào)，給出了算術(shù)、時(shí)移、翻轉(zhuǎn)、尺度變換、分解等5種基本運(yùn)算以及作圖方法。核心內(nèi)容：信號(hào)的分解與合成，卷積積分。4一類(lèi)隨時(shí)間變化而變化的物理量，主要指電壓、電流、電荷等電信號(hào)?！靶盘?hào)”泛指能夠攜帶某種消息的客觀物理現(xiàn)象。本課程的“信號(hào)”可以認(rèn)為是舉例：遠(yuǎn)古的烽火、抗日戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期的“消息樹(shù)”、艦船上的燈語(yǔ)和旗語(yǔ)等。各種變化的力、電流、電壓等。信號(hào)函數(shù)1.1信號(hào)的概念1.信號(hào)的定義2.信號(hào)的表達(dá)方式時(shí)域和變換域的數(shù)學(xué)表達(dá)式，波形和表格。54.信號(hào)分析的內(nèi)容一是信號(hào)大小、快慢和延遲隨時(shí)間變化的時(shí)間特性；二是信號(hào)幅值、相位隨頻率變化的頻率特性。5.信號(hào)分析的手段算術(shù)運(yùn)算，時(shí)移、翻轉(zhuǎn)、尺度變換、分解、合成以及作圖。6.信號(hào)分析的目的把信號(hào)作為一個(gè)系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)，用來(lái)研究系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的傳輸、變換或處理特性。1.1信號(hào)的概念3.信號(hào)的特性時(shí)間、頻率、能量和信息四大特性61.2信號(hào)的分類(lèi)1.2.1連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)1.連續(xù)時(shí)間信號(hào)在時(shí)間定義域內(nèi)自變量連續(xù)取值的信號(hào)被稱(chēng)為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱(chēng)連續(xù)信號(hào)。注意：“連續(xù)信號(hào)的因變量可以連續(xù)也可以不連續(xù)（只取某些離散值）。隨時(shí)間自變量的連續(xù)變化而連續(xù)變化的信號(hào)被稱(chēng)為模擬信號(hào)。注意，模擬信號(hào)一定是連續(xù)信號(hào)，而連續(xù)信號(hào)不一定是模擬信號(hào)。71.2信號(hào)的分類(lèi)8在時(shí)間定義域內(nèi)自變量離散取值的信號(hào)被稱(chēng)為離散時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱(chēng)離散信號(hào)。離散信號(hào)有兩種，一是“天生”的，其所攜帶的消息本身就是離散的，比如某地區(qū)一年的日平均溫度。二是“后天”得到的，即對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行“抽樣”處理，將其變換為離散信號(hào)。1.2信號(hào)的分類(lèi)2.離散時(shí)間信號(hào)91.2信號(hào)的分類(lèi)低通抽樣定理：對(duì)于一個(gè)帶限或低通連續(xù)信號(hào)，假設(shè)其頻帶為[，]，若以抽樣頻率對(duì)其進(jìn)行抽樣的話（抽樣間隔），則將被其樣值信號(hào)完全確定?；蛘哒f(shuō)，可從樣值信號(hào)中無(wú)失真地恢復(fù)出原信號(hào)。101.2信號(hào)的分類(lèi)111.2信號(hào)的分類(lèi)離散信號(hào)有以下主要特點(diǎn)：（1）雖然自變量取離散值，但因變量（幅值）的取值可以是連續(xù)的（即有無(wú)窮個(gè)可能的取值），也可以是離散的。（2）其圖形是出現(xiàn)在離散自變量點(diǎn)上的一系列垂直線段。121.2信號(hào)的分類(lèi)從通信的角度看，數(shù)字信號(hào)可以認(rèn)為是用因變量有限個(gè)狀態(tài)攜帶消息的信號(hào)，其波形不一定離散。因變量取值離散且個(gè)數(shù)有限的離散或連續(xù)信號(hào)被稱(chēng)為數(shù)字信號(hào)。131.2信號(hào)的分類(lèi)通常，自變量離散的數(shù)字信號(hào)也可被稱(chēng)為數(shù)字序列，如上圖（a）。（1-1）為了把離散信號(hào)變?yōu)閿?shù)字信號(hào)，一般需要對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行“量化”處理。將離散信號(hào)因變量上無(wú)限個(gè)可能的取值變?yōu)橛邢迋€(gè)的過(guò)程或方法稱(chēng)為“量化”。這樣，數(shù)字信號(hào)又可表述為：幅度量化的信號(hào)。14“連續(xù)”和“離散”描述的是信號(hào)“自變量”的變化特征。“模擬”和“數(shù)字”則刻畫(huà)的是信號(hào)“因變量”的變化特性。1.2信號(hào)的分類(lèi)151.2信號(hào)的分類(lèi)1.2.2周期信號(hào)與非周期信號(hào)（1-2）16若令周期信號(hào)的周期趨于無(wú)窮大，即信號(hào)不重復(fù)出現(xiàn)，則周期信號(hào)就變成非周期信號(hào)。

1.2信號(hào)的分類(lèi)這個(gè)概念非常重要，它揭示了周期信號(hào)與非周期信號(hào)的內(nèi)在關(guān)系。設(shè)兩個(gè)周期信號(hào)和的周期分別為和。若周期比為有理數(shù)，則和信號(hào)仍然是周期信號(hào)，其周期為和的最小公倍數(shù)。171.2信號(hào)的分類(lèi)【例題1-1】判斷下列信號(hào)是否周期信號(hào)，若是，求出其周期。(1)(2)(3)(4)【解】（1）為周期信號(hào)，周期為；為周期信號(hào)，周期為。由于為有理數(shù)，故為周期信號(hào)，其周期為和的最小公倍數(shù)答：是周期信號(hào)，周期為。。181.2信號(hào)的分類(lèi)（2）和

的周期分別為，，由于

為無(wú)理數(shù)，故答：是非周期信號(hào)。為非周期信號(hào)。（3）是周期信號(hào)，周期為；是周期信號(hào)，周期為；由于為無(wú)理數(shù)，所以為非周期信號(hào)。答：是非周期信號(hào)。（4）。為直流信號(hào)，不影響周期性；為周期信號(hào)，周期為；所以為周期信號(hào)，周期為。答：是周期信號(hào)，周期為。19如果信號(hào)的未來(lái)值可以用某個(gè)函數(shù)準(zhǔn)確地描述，則這類(lèi)信號(hào)就稱(chēng)為確定信號(hào)，比如正弦信號(hào)。如果在給定的任一時(shí)刻信號(hào)的值是隨機(jī)的，即信號(hào)的未來(lái)值不能用精確的時(shí)間函數(shù)來(lái)描述，無(wú)法準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)，則稱(chēng)該類(lèi)信號(hào)為不確定信號(hào)或隨機(jī)信號(hào)。1.2信號(hào)的分類(lèi)1.2.3確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)201.2信號(hào)的分類(lèi)根據(jù)信號(hào)在觀察時(shí)間點(diǎn)前后的變化特性，可把信號(hào)分為因果信號(hào)和反因果信號(hào)。或因果信號(hào)：或反因果信號(hào)：或(1-4)假設(shè)為觀察點(diǎn)，則有(1-3)1.2.4因果信號(hào)與反因果信號(hào)21嚴(yán)格地說(shuō)，客觀存在的信號(hào)基本上都是隨機(jī)信號(hào)，如語(yǔ)音信號(hào)、圖像信號(hào)、生物電信號(hào)、地震信號(hào)等等，只有那些供分析和測(cè)試用的基本信號(hào)，如正弦型信號(hào)、方波、三角波、指數(shù)等信號(hào)才是確定信號(hào)。從通信的角度看，只有傳輸隨機(jī)信號(hào)才有意義，因?yàn)樗鼈償y帶人們欲知而未知的內(nèi)容，即信息。但本課程卻主要研究確知信號(hào)，目的何在？確知信號(hào)雖然不用于通信，但可以作為基本信號(hào)對(duì)系統(tǒng)的特性進(jìn)行分析研究，其研究方法和結(jié)果可以直接推廣或借鑒到隨機(jī)信號(hào)的分析中去，這就是研究確知信號(hào)的意義所在。1.2信號(hào)的分類(lèi)221.3基本連續(xù)信號(hào)

現(xiàn)實(shí)生活中，信號(hào)的種類(lèi)繁多，要想逐個(gè)研究是不可能的。因此，人們從各種信號(hào)中挑選出一些基本信號(hào)加以研究。主要原因是（1）基本信號(hào)可以通過(guò)數(shù)學(xué)手段去精確或近似表征其他信號(hào)，比如傅里葉級(jí)數(shù)的基本形式是正弦和余弦信號(hào)，但它們可以表示絕大多數(shù)不同形式的周期信號(hào)（詳見(jiàn)第4章）。（2）基本信號(hào)作用于系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)對(duì)系統(tǒng)分析起著主導(dǎo)作用，具有普遍意義。比如系統(tǒng)對(duì)沖激信號(hào)和階躍信號(hào)的所產(chǎn)生的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)。（3）便于物理實(shí)現(xiàn)。

可見(jiàn)，研究討論基本信號(hào)的特點(diǎn)與性能是研究其他信號(hào)和分析系統(tǒng)的基礎(chǔ)。231.3.1直流信號(hào)只有一個(gè)方向變化的電流或電壓就是直流信號(hào)。(常數(shù))

1.3.2正弦型信號(hào)泛指我們熟悉的正弦和余弦函數(shù)。1.3基本連續(xù)信號(hào)（1-5）（1-6）24歐拉公式：1.3基本連續(xù)信號(hào)（1-7、8）251.3基本連續(xù)信號(hào)

歐拉公式的重要意義在于：它不僅在三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間架起了一座橋梁，而且也是實(shí)函數(shù)與虛函數(shù)之間的一條紐帶。它為正弦交流電或正弦型信號(hào)的分析提供了一條捷徑。26時(shí)，信號(hào)隨時(shí)間的增大而增大；時(shí)，信號(hào)隨時(shí)間的增大而減??；時(shí)，信號(hào)成為直流信號(hào)。還會(huì)遇到指數(shù)衰減的正弦型信號(hào)，即正弦震蕩的幅度按指數(shù)規(guī)律衰減。1.3.3指數(shù)信號(hào)1.3基本連續(xù)信號(hào)（1-9）（1-10）271.3基本連續(xù)信號(hào)28其中，，被稱(chēng)為復(fù)頻率，與均為實(shí)數(shù)。復(fù)指數(shù)信號(hào)可表達(dá)為可見(jiàn)，一個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)可分解為實(shí)、虛信號(hào)兩部分。實(shí)部包含余弦信號(hào)，虛部包含正弦信號(hào)。1.3.4復(fù)指數(shù)信號(hào)1.3基本連續(xù)信號(hào)（1-11）（1-12）29虛部的表示正弦與余弦信號(hào)的角頻率，實(shí)部的（1）若，正弦、余弦信號(hào)是增幅振蕩。，正弦、余弦信號(hào)是減幅振蕩。，且,復(fù)指數(shù)信號(hào)只有虛部，就變成了（4）若，復(fù)指數(shù)信號(hào)就變成實(shí)指數(shù)信號(hào)。，復(fù)指數(shù)信號(hào)就變成直流信號(hào)。（2）若（3）若虛指數(shù)信號(hào)，即（5）若表征了正、余弦函數(shù)振幅隨時(shí)間變化的情況：1.3基本連續(xù)信號(hào)30可以利用復(fù)指數(shù)信號(hào)描述各種基本信號(hào)，如直流信號(hào)、指數(shù)信號(hào)、正弦和余弦信號(hào)以及增長(zhǎng)或衰減的正弦與余弦信號(hào)。顯然，復(fù)指數(shù)信號(hào)是一種非常重要的基本信號(hào)。1.3基本連續(xù)信號(hào)其另一個(gè)重要特性：通過(guò)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)后，仍然是一個(gè)僅幅度有所變化的復(fù)指數(shù)信號(hào)31符號(hào)信號(hào)（signsignal）也叫正負(fù)號(hào)信號(hào)1.3.5符號(hào)信號(hào)1.3基本連續(xù)信號(hào)（1-13）圖1-11符號(hào)信號(hào)符號(hào)信號(hào)的意義很明顯，當(dāng)時(shí)，信號(hào)值為正；反之，為負(fù)。321.3.6單位階躍信號(hào)單位階躍信號(hào)是從實(shí)際應(yīng)用中抽象出來(lái)的。比如，圖1-14中的開(kāi)關(guān)在則理想情況下電阻上的電壓時(shí)刻閉合，1.3基本連續(xù)信號(hào)（1-14）33在時(shí)刻的值可以表示為單位階躍信號(hào)可以用符號(hào)信號(hào)和直流信號(hào)表示單位階躍信號(hào)一個(gè)重要用途是用來(lái)表示一些其他信號(hào)，以簡(jiǎn)化信號(hào)的表達(dá)式及其運(yùn)算。1.3基本連續(xù)信號(hào)（1-5）341.3基本連續(xù)信號(hào)單位階躍信號(hào)有四個(gè)主要用途：（1）用于表示系統(tǒng)輸入信號(hào)（激勵(lì)）或系統(tǒng)輸出信號(hào)（響應(yīng)）的時(shí)間起始點(diǎn)（或控制其他

信號(hào)的開(kāi)關(guān)）。（2）用于描述系統(tǒng)或信號(hào)的因果性，即單邊性。（3）以線性組合的形式表示其他信號(hào)。便于表達(dá)和分析其他信號(hào)以及分析系統(tǒng)。（4）作為沖激信號(hào)的積分，產(chǎn)生與沖激響應(yīng)緊密相關(guān)的階躍響應(yīng)。35【例題1-2】寫(xiě)出圖1-15所示信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式?！窘狻堪匆话惴椒ǎ撔盘?hào)必須分5段分段表達(dá)才行?，F(xiàn)利用單位階躍信號(hào)可得到很簡(jiǎn)練的表達(dá)式：1.3基本連續(xù)信號(hào)361.3基本連續(xù)信號(hào)1.3.7單位斜坡信號(hào)（1-17）（1-18）（1-19）圖1-15單位斜坡信號(hào)單位斜坡信號(hào)的微分是單位階躍信號(hào)，這也是引入斜坡信號(hào)的主要目的。371.3.8單位沖激信號(hào)我們先看矩形脈沖信號(hào)如何演變?yōu)閱挝粵_激信號(hào)。1.3基本連續(xù)信號(hào)（1-20）38狄拉克（Dirac）給出單位沖激信號(hào)的另一種定義：?jiǎn)挝粵_激信號(hào)可以看作為凡是在較短的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生很大能量的物理現(xiàn)象的理想化模型。比如自然界中的電閃雷擊、地震，工業(yè)生產(chǎn)中的強(qiáng)電火花，生活中用榔頭敲釘子等現(xiàn)象都可看作為現(xiàn)實(shí)生活中的沖激信號(hào)。1.3基本連續(xù)信號(hào)

(1-21)39（1）抽樣特性

(1-23)

(1-22)1.3基本連續(xù)信號(hào)（2）偶函數(shù)特性

(1-24)40（3）尺度變換（1-25）（4）單位沖激信號(hào)的積分等于單位階躍信號(hào)（1-27）（1-26）1.3基本連續(xù)信號(hào)411.3基本連續(xù)信號(hào)（1）使階躍信號(hào)可導(dǎo)。（2）作為典型信號(hào)用于系統(tǒng)分析。產(chǎn)生沖激響應(yīng)。（3）能夠以線性組合的形式表達(dá)一個(gè)一般信號(hào)。如在1.4.8節(jié)的表達(dá)式（4）用于抽樣系統(tǒng)的建模，即把它作為理想的“抽樣脈沖”，也就是1.2.1節(jié)中的。這也是構(gòu)造沖激信號(hào)的主要目的之所在。沖激信號(hào)有四個(gè)主要用途：沖激信號(hào)和階躍信號(hào)不同于我們熟悉的普通信號(hào)，因此，也被稱(chēng)為奇異信號(hào)或廣義信號(hào)。42【例題1-3】求積分的值。是偶函數(shù)的性質(zhì)，有

又因?yàn)樵跁r(shí)處處為零，而積分區(qū)間為【解】利用。所以有1.3基本連續(xù)信號(hào)43【例題1-4】信號(hào)如圖1-17所示，請(qǐng)表示出，并求函數(shù)，畫(huà)出其波形?！窘狻坷脝挝浑A躍信號(hào)，有1.3基本連續(xù)信號(hào)441.3.9單位門(mén)信號(hào)1.3基本連續(xù)信號(hào)單位門(mén)信號(hào)是一個(gè)位于原點(diǎn)，寬度為，高度為1的矩形脈沖信號(hào)，其定義為（1-28）451.3基本連續(xù)信號(hào)門(mén)信號(hào)在“通信原理”課程中是一個(gè)重要角色，它具有以下主要功能：1.表示理想低通濾波器（一種信號(hào)處理系統(tǒng)）的頻率特性；2.利用時(shí)移特性構(gòu)成一系列門(mén)信號(hào)，用來(lái)表示二進(jìn)制數(shù)字信號(hào)；3.和另一個(gè)重要信號(hào)——抽樣信號(hào)構(gòu)成傅氏變換對(duì)。

上述各信號(hào)大多與復(fù)指數(shù)信號(hào)或沖激信號(hào)有關(guān)，因此，可以認(rèn)為本課程的核心信號(hào)是復(fù)指數(shù)信號(hào)和沖激信號(hào)。461.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算1.4.1算術(shù)運(yùn)算兩個(gè)連續(xù)信號(hào)相加（減、乘、除）可得到一個(gè)新的連續(xù)信號(hào)，它在任意時(shí)刻的值等于兩個(gè)信號(hào)在該時(shí)刻的值之和（差、積、商）?！纠}1-5】信號(hào)和的波形如圖1-19所示，求+和-的波形，并寫(xiě)出表達(dá)式。47【解】由波形可寫(xiě)出

由此可得：1.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算注意：若兩個(gè)變化快慢不一樣的信號(hào)相乘，則變化慢的信號(hào)（低頻信號(hào)）會(huì)表現(xiàn)為積信號(hào)的包絡(luò)線，反映積信號(hào)的變化趨勢(shì)，這也是“通信原理”課程中幅度調(diào)制技術(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。48偶信號(hào)的運(yùn)算（1）兩個(gè)偶信號(hào)的和、差仍然是偶信號(hào)。該運(yùn)算也適合離散信號(hào)。（2）兩個(gè)偶信號(hào)的積仍然是偶信號(hào)。該運(yùn)算也適合離散信號(hào)。（3）一個(gè)偶信號(hào)的微分是奇信號(hào)。1.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算1.4.2奇偶信號(hào)運(yùn)算奇信號(hào)的運(yùn)算（1）兩個(gè)奇信號(hào)的和、差仍然是奇信號(hào)。該運(yùn)算也適合離散信號(hào)。（2）兩個(gè)奇信號(hào)的積是偶信號(hào)。該運(yùn)算也適合離散信號(hào)。（3）一個(gè)奇信號(hào)的微分是偶信號(hào)。奇信號(hào)和偶信號(hào)的運(yùn)算（1）一個(gè)奇信號(hào)和一個(gè)偶信號(hào)的積是奇信號(hào)。該運(yùn)算也適合離散信號(hào)。（2）一個(gè)奇信號(hào)和一個(gè)偶信號(hào)之和既不是奇信號(hào)也不是偶信號(hào)。該運(yùn)算也適合離散信號(hào)。491.4.3時(shí)移變換1.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算501.4.4翻轉(zhuǎn)變換1.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算511.4.5尺度變換1.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算52【例題1-6】如圖1-24所示的門(mén)信號(hào)，試作出的波形。首先，將向左移動(dòng)3個(gè)單位，得到，其波形如圖1-24所示。 的波形壓縮至原來(lái)的，得到，波形如圖1-24所示。再將1.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算再將的波形翻轉(zhuǎn)（相對(duì)于縱軸的鏡像）得到，波形如圖1-24(d)所示。531.4.6微分和積分1.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算設(shè)有信號(hào)，則對(duì)它的微分和積分運(yùn)算可分別表示為（1-30）（1-31）54將一個(gè)信號(hào)用若干個(gè)或者無(wú)窮個(gè)其他信號(hào)表示的方法就是信號(hào)分解。分解的逆過(guò)程就是信號(hào)合成。把圖1-15的信號(hào)可以表示為階躍信號(hào)的代數(shù)和就是對(duì)再比如，一個(gè)信號(hào)可以分解為一個(gè)偶信號(hào)和一個(gè)奇信號(hào)的代數(shù)和。的分解處理。奇函數(shù)偶函數(shù)1.4.7分解與合成1.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算（1-32）（1-33）551.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算【例題1-7】請(qǐng)粗略畫(huà)出圖1-25（a）和（b）所示信號(hào)的偶分量和奇分量波形?！窘狻肯犬?huà)出波形，再根據(jù)式（1-32）和式（1-33）即可畫(huà)出偶分量和奇分量波形。答案如圖1-25（c）和（d）所示。信號(hào)的分解方法有多種。傅里葉級(jí)數(shù)、傅氏變換、拉氏變換和Z變換等都是信號(hào)分解概念的體現(xiàn)。“信號(hào)的分解運(yùn)算”是信號(hào)分析的“精髓”561.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算571.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算58卷積積分（簡(jiǎn)稱(chēng)卷積）是一種特殊運(yùn)算，其定義為1.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算1.4.8卷積積分設(shè)有函數(shù)和，則的卷積運(yùn)算為（1-34）和591.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算【例題1-8】已知和。試求卷積?！窘狻慨?dāng)，，；；當(dāng),；,。則有601.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算【例題1-9】

求。【解】卷積運(yùn)算可分為5個(gè)步驟：換元—翻轉(zhuǎn)—平移—相乘—積分。611.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算卷積運(yùn)算具有如下的特性：1.交換律（1-35）2.分配律（1-36）3.結(jié)合律（1-37）4.卷積的微分（1-38）621.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算6.微積分特性（1-40）7.與沖激信號(hào)的卷積（1-41）（1-42）5.卷積的積分（1-39）63利用卷積的微分、積分特性，還可以得到

（1-43）