吉林省長春市一五一中2023-2024學(xué)年高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

吉林省長春市一五一中2023-2024學(xué)年高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知f（x）=ax2+bx是定義在[a–1，2a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是A． B．C． D．2．設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，(為常數(shù))，則不等式的解集為（）A． B． C． D．3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，已知，則為()A． B． C．或 D．或4．三棱錐中，側(cè)棱底面，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若曲線上始終存在兩點，，使得，且的中點在軸上，則正實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．在邊長為的菱形中，，沿對角線折成二面角為的四面體（如圖），則此四面體的外接球表面積為（）A． B．C． D．7．給出下列三個命題：①“”的否定；②在中，“”是“”的充要條件；③將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．其中假命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．38．復(fù)數(shù)（）．A． B． C． D．9．已知雙曲線的焦距為，過左焦點作斜率為1的直線交雙曲線的右支于點，若線段的中點在圓上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．已知等差數(shù)列滿足，公差，且成等比數(shù)列，則A．1 B．2 C．3 D．411．已知雙曲線：的左、右兩個焦點分別為，，若存在點滿足，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．512．如圖，已知平面，，、是直線上的兩點，、是平面內(nèi)的兩點，且，，，，．是平面上的一動點，且直線，與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)P為有公共焦點的橢圓與雙曲線的一個交點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則______________.14．設(shè)是定義在上的函數(shù)，且，對任意，若經(jīng)過點的一次函數(shù)與軸的交點為，且互不相等，則稱為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù)，記為.當(dāng)_________時，為的幾何平均數(shù).（只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可）15．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的模為____．16．設(shè)全集，，，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若存在實數(shù)，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點的圓．已知曲線上的點M對應(yīng)的參數(shù)，射線與曲線交于點．（1）求曲線，的直角坐標(biāo)方程；（2）若點A，B為曲線上的兩個點且，求的值．19．（12分）設(shè)橢圓的左右焦點分別為，離心率是，動點在橢圓上運動，當(dāng)軸時，.（1）求橢圓的方程；（2）延長分別交橢圓于點（不重合）.設(shè)，求的最小值.20．（12分）橢圓的左、右焦點分別為，橢圓上兩動點使得四邊形為平行四邊形，且平行四邊形的周長和最大面積分別為8和.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓的另一交點為，當(dāng)點在以線段為直徑的圓上時，求直線的方程.21．（12分）為了整頓道路交通秩序，某地考慮將對行人闖紅燈進(jìn)行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度，在普通行人中隨機(jī)選取了200人進(jìn)行調(diào)查，當(dāng)不處罰時，有80人會闖紅燈，處罰時，得到如表數(shù)據(jù)：處罰金額（單位：元）5101520會闖紅燈的人數(shù)50402010若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.（1）當(dāng)罰金定為10元時，行人闖紅燈的概率會比不進(jìn)行處罰降低多少？（2）將選取的200人中會闖紅燈的市民分為兩類：類市民在罰金不超過10元時就會改正行為；類是其他市民.現(xiàn)對類與類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問卷，則前兩位均為類市民的概率是多少？22．（10分）已知矩陣，且二階矩陣M滿足AMB，求M的特征值及屬于各特征值的一個特征向量.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

依照偶函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的任意實數(shù)，f（﹣x）=f（x），且定義域關(guān)于原點對稱，a﹣1=﹣2a，即可得解.【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且f（x）是定義在[a–1，2a]上的偶函數(shù)，得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），∴b=0，∴a+b=．故選B．【點睛】本題考查偶函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的任意實數(shù)，f（﹣x）=f（x）；奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點對稱，定義域區(qū)間兩個端點互為相反數(shù)．2、D【解析】

由可得，所以，由為定義在上的奇函數(shù)結(jié)合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，可知在上單調(diào)遞增，注意到，再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.【詳解】因為在上是奇函數(shù).所以，解得，所以當(dāng)時，，且時，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為，故有，解得.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的靈活運用能力，是一道中檔題.3、D【解析】

由正弦定理可求得，再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故選：D.【點睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】由題，側(cè)棱底面，，，，則根據(jù)余弦定理可得，的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑，則該三棱錐的外接球的表面積為點睛：本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑公式是解答的關(guān)鍵．5、D【解析】

根據(jù)中點在軸上，設(shè)出兩點的坐標(biāo)，，（）.對分成三類，利用則，列方程，化簡后求得，利用導(dǎo)數(shù)求得的值域，由此求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知，兩點的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè)，，（），若，則，由，所以，即，方程無解；若，顯然不滿足；若，則，由，即，即，因為，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，故在處取得極小值也即是最小值，所以函數(shù)在上的值域為，故.故選D.【點睛】本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)表示，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，考查分析與運算能力，屬于較難的題目.6、A【解析】

畫圖取的中點M，法一：四邊形的外接圓直徑為OM，即可求半徑從而求外接球表面積；法二：根據(jù)，即可求半徑從而求外接球表面積；法三：作出的外接圓直徑，求出和，即可求半徑從而求外接球表面積；【詳解】如圖，取的中點M，和的外接圓半徑為，和的外心，到弦的距離（弦心距）為.法一：四邊形的外接圓直徑，，；法二：，，；法三：作出的外接圓直徑，則，，，，，，，，，.故選：A【點睛】此題考查三棱錐的外接球表面積，關(guān)鍵點是通過幾何關(guān)系求得球心位置和球半徑，方法較多，屬于較易題目.7、C【解析】

結(jié)合不等式、三角函數(shù)的性質(zhì),對三個命題逐個分析并判斷其真假,即可選出答案.【詳解】對于命題①,因為,所以“”是真命題,故其否定是假命題,即①是假命題;對于命題②,充分性:中,若,則,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命題②正確;對于命題③,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,可得到的圖象,即命題③是假命題．故假命題有①③.故選:C【點睛】本題考查了命題真假的判斷,考查了余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查了三角函數(shù)圖象的平移變換,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】試題分析：，故選A.【考點】復(fù)數(shù)運算【名師點睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運算的理論依據(jù)，加減運算類似于多項式的合并同類項，乘法法則類似于多項式的乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式，再將分母實數(shù)化.9、C【解析】

設(shè)線段的中點為，判斷出點的位置，結(jié)合雙曲線的定義，求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)線段的中點為，由于直線的斜率是，而圓，所以.由于是線段的中點，所以，而，根據(jù)雙曲線的定義可知，即，即.故選：C【點睛】本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.10、D【解析】

先用公差表示出，結(jié)合等比數(shù)列求出.【詳解】,因為成等比數(shù)列，所以，解得.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式.屬于簡單題，化歸基本量，尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.11、B【解析】

利用雙曲線的定義和條件中的比例關(guān)系可求.【詳解】.選B.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率，離心率求解時，一般是把已知條件，轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系式.12、B【解析】

為所求的二面角的平面角，由得出，求出在內(nèi)的軌跡，根據(jù)軌跡的特點求出的最大值對應(yīng)的余弦值【詳解】，，，，同理為直線與平面所成的角，為直線與平面所成的角，又，在平面內(nèi)，以為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系則，設(shè)，整理可得：在內(nèi)的軌跡為為圓心，以為半徑的上半圓平面平面，，為二面角的平面角，當(dāng)與圓相切時，最大，取得最小值此時故選【點睛】本題主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依據(jù)題目選擇方法求出結(jié)果．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得,根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，,即故答案為14、【解析】

由定義可知三點共線，即，通過整理可得，繼而可求出正確答案.【詳解】解：根據(jù)題意，由定義可知：三點共線.故可得：，即，整理得：，故可以選擇等.故答案為:.【點睛】本題考查了兩點的斜率公式，考查了推理能力，考查了運算能力.本題關(guān)鍵是分析出三點共線.15、【解析】，所以．16、【解析】

先求出集合，，然后根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義求解即可．【詳解】解：，或；∴；∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查集合的交集、補(bǔ)集運算，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù)，然后分、、三段求解不等式，綜合可得出不等式的解集；（2）求出函數(shù)的最大值，由題意得出，解此不等式即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】.（1）當(dāng)時，由，解得，此時；當(dāng)時，由，解得，此時；當(dāng)時，由，解得，此時.綜上所述，不等式的解集；（2）當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，則；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，則，即；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，則.綜上所述，函數(shù)的最大值為，由題知，，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查含絕對值不等式的求解，同時也考查了絕對值不等式中的參數(shù)問題，考查分類討論思想的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中等題.18、（1）．．（2）【解析】

（1）先求解a,b，消去參數(shù)，即得曲線的直角坐標(biāo)方程；再求解，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，即得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）由于，可設(shè)，，代入曲線直角坐標(biāo)方程，可得的關(guān)系，轉(zhuǎn)化，可得解.【詳解】（1）將及對應(yīng)的參數(shù)，代入得，即，所以曲線的方程為，為參數(shù)，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為．設(shè)圓的半徑為R，由題意，圓的極坐標(biāo)方程為（或），將點代入，得，即，所以曲線的極坐標(biāo)方程為，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）由于，故可設(shè)，代入曲線直角坐標(biāo)方程，可得，，所以．【點睛】本題考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)，參數(shù)方程和一般方程的互化以及極坐標(biāo)的幾何意義的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)題意直接計算得到，，得到橢圓方程.（2）不妨設(shè)，且，設(shè)，代入數(shù)據(jù)化簡得到，故，得到答案.【詳解】（1），所以，，化簡得，所以，，所以方程為；（2）由題意得，不在軸上，不妨設(shè)，且，設(shè)，所以由，得，所以，由，得，代入，化簡得：，由于，所以，同理可得，所以，所以當(dāng)時，最小為【點睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的向量運算和最值，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.20、（1）（2）或【解析】

（1）根據(jù)題意計算得到，，得到橢圓方程.（2）設(shè)，聯(lián)立方程得到，根據(jù)，計算得到答案.【詳解】（1）由平行四邊形的周長為8，可知，即.由平行四邊形的最大面積為，可知，又，解得.所以橢圓方程為.（2）注意到直線的斜率不為0，且過定點.設(shè)，由消得，所以，因為，所以.因為點在以線段為直徑的圓上，所以，即，所以直線的方程或.【點睛】本題考查了橢圓方程，根據(jù)直線和橢圓的位置關(guān)系求直線，將題目轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.21、（1）降低（2）【解析】

（1）計算出罰金定為10元時行人闖紅燈的概率，和不進(jìn)行處罰時行人闖紅燈的概率，求解即可；（2）闖紅燈的市民有80人，其中類市民和類市民各有40人，根據(jù)分層抽樣法抽出4人依次排序，計算所求的概率值.【詳解】解：（1）當(dāng)罰金定為10元時，行人闖紅燈的概率為；不進(jìn)行處罰，行人闖紅燈的概率為；所以當(dāng)罰金定為10元時，行人闖紅燈的概率會比不進(jìn)行處罰降低；（2）由題可知，闖紅燈的市民有80人，類市民和類市民各有40人故分別從類市民和類市民各抽出兩人，4人依次排序記類市民中抽取的兩人對應(yīng)的編