安徽省巢湖第一中學(xué)2024年高考仿真卷數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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安徽省巢湖第一中學(xué)2024年高考仿真卷數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知正四面體的棱長(zhǎng)為,是該正四面體外接球球心,且,,則()A. B.C. D.2.已知橢圓的中心為原點(diǎn),為的左焦點(diǎn),為上一點(diǎn),滿足且,則橢圓的方程為()A. B. C. D.3.甲乙丙丁四人中,甲說(shuō):我年紀(jì)最大,乙說(shuō):我年紀(jì)最大,丙說(shuō):乙年紀(jì)最大,丁說(shuō):我不是年紀(jì)最大的,若這四人中只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁4.已知非零向量滿足,,且與的夾角為,則()A.6 B. C. D.35.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則A. B.C. D.6.如圖所示,三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒(米粒大小忽略不計(jì),?。?,則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.134 B.67 C.182 D.1087.“且”是“”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知點(diǎn)P在橢圓τ:=1(a>b>0)上,點(diǎn)P在第一象限,點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A,點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q,設(shè),直線AD與橢圓τ的另一個(gè)交點(diǎn)為B,若PA⊥PB,則橢圓τ的離心率e=()A. B. C. D.9.已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn),則等于()A. B. C. D.10.已知集合,,,則()A. B. C. D.11.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則的最小值為()A. B. C. D.12.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題;“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次后腳痛遞減半,六朝才得到其關(guān),要見(jiàn)每朝行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為:“有一個(gè)人走了378里路,第一天健步走行,從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地,求該人每天走的路程.”由這個(gè)描述請(qǐng)算出這人第四天走的路程為()A.6里 B.12里 C.24里 D.48里二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在回歸分析的問(wèn)題中,我們可以通過(guò)對(duì)數(shù)變換把非線性回歸方程,()轉(zhuǎn)化為線性回歸方程,即兩邊取對(duì)數(shù),令,得到.受其啟發(fā),可求得函數(shù)()的值域是_________.14.已知,記,則的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為_(kāi)_________.15.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn),函數(shù)的最小值為,則________.16.己知函數(shù),若關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)個(gè)零件,質(zhì)檢員小張每天都會(huì)隨機(jī)地從中抽取50個(gè)零件進(jìn)行檢查是否合格,若較多零件不合格,則需對(duì)其余所有零件進(jìn)行檢查.根據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn),這些零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布(單位:微米),且相互獨(dú)立.若零件的長(zhǎng)度滿足,則認(rèn)為該零件是合格的,否則該零件不合格.(1)假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為,求及的數(shù)學(xué)期望;(2)小張某天恰好從50個(gè)零件中檢查出2個(gè)不合格的零件,若以此頻率作為當(dāng)天生產(chǎn)零件的不合格率.已知檢查一個(gè)零件的成本為10元,而每個(gè)不合格零件流入市場(chǎng)帶來(lái)的損失為260元.假設(shè)充分大,為了使損失盡量小,小張是否需要檢查其余所有零件,試說(shuō)明理由.附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則.18.(12分)隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展,很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務(wù)產(chǎn)品和活期資金管理服務(wù)產(chǎn)品,如螞蟻金服旗下的“余額寶”,騰訊旗下的“財(cái)富通”,京東旗下“京東小金庫(kù)”.為了調(diào)查廣大市民理財(cái)產(chǎn)品的選擇情況,隨機(jī)抽取1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民,按照使用理財(cái)產(chǎn)品的情況統(tǒng)計(jì)得到如下頻數(shù)分布表:分組頻數(shù)(單位:名)使用“余額寶”使用“財(cái)富通”使用“京東小金庫(kù)”30使用其他理財(cái)產(chǎn)品50合計(jì)1200已知這1200名市民中,使用“余額寶”的人比使用“財(cái)富通”的人多160名.(1)求頻數(shù)分布表中,的值;(2)已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為,“財(cái)富通”的平均年化收益率為.若在1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民中,從使用“余額寶”和使用“財(cái)富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人,然后從這7人中隨機(jī)選取2人,假設(shè)這2人中每個(gè)人理財(cái)?shù)馁Y金有10000元,這2名市民2018年理財(cái)?shù)睦⒖偤蜑?,求的分布列及?shù)學(xué)期望.注:平均年化收益率,也就是我們所熟知的利息,理財(cái)產(chǎn)品“平均年化收益率為”即將100元錢存入某理財(cái)產(chǎn)品,一年可以獲得3元利息.19.(12分)如圖,正方形是某城市的一個(gè)區(qū)域的示意圖,陰影部分為街道,各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等,處為紅綠燈路口,紅綠燈統(tǒng)一設(shè)置如下:先直行綠燈30秒,再左轉(zhuǎn)綠燈30秒,然后是紅燈1分鐘,右轉(zhuǎn)不受紅綠燈影響,這樣獨(dú)立的循環(huán)運(yùn)行.小明上學(xué)需沿街道從處騎行到處(不考慮處的紅綠燈),出發(fā)時(shí)的兩條路線()等可能選擇,且總是走最近路線.(1)請(qǐng)問(wèn)小明上學(xué)的路線有多少種不同可能?(2)在保證通過(guò)紅綠燈路口用時(shí)最短的前提下,小明優(yōu)先直行,求小明騎行途中恰好經(jīng)過(guò)處,且全程不等紅綠燈的概率;(3)請(qǐng)你根據(jù)每條可能的路線中等紅綠燈的次數(shù)的均值,為小明設(shè)計(jì)一條最佳的上學(xué)路線,且應(yīng)盡量避開(kāi)哪條路線?20.(12分)在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別是,滿足條件.(1)求角;(2)若邊上的高為,求的長(zhǎng).21.(12分)已知.(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若,,證明:.22.(10分)設(shè)復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的模為_(kāi)_____.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

如圖設(shè)平面,球心在上,根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得,根據(jù)平面向量的加法的幾何意義,重心的性質(zhì),結(jié)合已知求出的值.【詳解】如圖設(shè)平面,球心在上,由正四面體的性質(zhì)可得:三角形是正三角形,,,在直角三角形中,,,,,,因?yàn)闉橹匦模虼?,則,因此,因此,則,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了正四面體的性質(zhì),考查了平面向量加法的幾何意義,考查了重心的性質(zhì),屬于中檔題.2、B【解析】由題意可得c=,設(shè)右焦點(diǎn)為F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由橢圓定義,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,從而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以橢圓的方程為.故選B.點(diǎn)睛:橢圓的定義:到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡,當(dāng)和大于兩定點(diǎn)間的距離時(shí),軌跡是橢圓,當(dāng)和等于兩定點(diǎn)間的距離時(shí),軌跡是線段(兩定點(diǎn)間的連線段),當(dāng)和小于兩定點(diǎn)間的距離時(shí),軌跡不存在.3、C【解析】

分別假設(shè)甲乙丙丁說(shuō)的是真話,結(jié)合其他人的說(shuō)法,看是否只有一個(gè)說(shuō)的是真話,即可求得年紀(jì)最大者,即可求得答案.【詳解】①假設(shè)甲說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是甲,那么乙說(shuō)謊,丙也說(shuō)謊,而丁說(shuō)的是真話,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,故甲說(shuō)的不是真話,年紀(jì)最大的不是甲;②假設(shè)乙說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,那么甲說(shuō)謊,丙說(shuō)真話,丁也說(shuō)真話,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,故乙說(shuō)謊,年紀(jì)最大的也不是乙;③假設(shè)丙說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,所以乙說(shuō)真話,甲說(shuō)謊,丁說(shuō)的是真話,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,故丙在說(shuō)謊,年紀(jì)最大的也不是乙;④假設(shè)丁說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的不是丁,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,那么甲也說(shuō)謊,說(shuō)明甲也不是年紀(jì)最大的,同時(shí)乙也說(shuō)謊,說(shuō)明乙也不是年紀(jì)最大的,年紀(jì)最大的只有一人,所以只有丙才是年紀(jì)最大的,故假設(shè)成立,年紀(jì)最大的是丙.綜上所述,年紀(jì)最大的是丙故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理,解題時(shí)可從一種情形出發(fā),推理出矛盾的結(jié)論,說(shuō)明這種情形不會(huì)發(fā)生,考查了分析能力和推理能力,屬于中檔題.4、D【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則,判斷四邊形的形狀,推出結(jié)果即可.【詳解】解:非零向量,滿足,可知兩個(gè)向量垂直,,且與的夾角為,說(shuō)明以向量,為鄰邊,為對(duì)角線的平行四邊形是正方形,所以則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義,向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

因?yàn)?,所以,故選B.6、B【解析】

根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1,則小直角三角形的邊長(zhǎng)為,

則小正方形的邊長(zhǎng)為,小正方形的面積,

則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為,

故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用,求出對(duì)應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.7、A【解析】

畫出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進(jìn)行判斷.【詳解】如圖,“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形,記為集合P,“”表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部,記為集合Q,顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問(wèn)題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.8、C【解析】

設(shè),則,,,設(shè),根據(jù)化簡(jiǎn)得到,得到答案.【詳解】設(shè),則,,,則,設(shè),則,兩式相減得到:,,,即,,,故,即,故,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.9、B【解析】

先由三角函數(shù)的定義求出,再由二倍角公式可求.【詳解】解:角的終邊與單位圓交于點(diǎn),,故選:B【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)的定義和二倍角公式,是基礎(chǔ)題.10、A【解析】

求得集合中函數(shù)的值域,由此求得,進(jìn)而求得.【詳解】由,得,所以,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法,考查集合補(bǔ)集、交集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

由,可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而可知當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,從而可知的最小值為,求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,由題意得,,得,解得,得.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則的最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.12、C【解析】

設(shè)第一天走里,則是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,由題意得,求出(里,由此能求出該人第四天走的路程.【詳解】設(shè)第一天走里,則是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,由題意得:,解得(里,(里.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的某一項(xiàng)的求法,考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

轉(zhuǎn)化()為,即得解.【詳解】由題意:().故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查類比法求函數(shù)的值域,考查了學(xué)生邏輯推理,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)定積分的計(jì)算,得到,令,求得,即可得到答案.【詳解】根據(jù)定積分的計(jì)算,可得,令,則,即的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的應(yīng)用,以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理求得的表示是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.15、0【解析】

求出,求出切線點(diǎn)斜式方程,原點(diǎn)坐標(biāo)代入,求出的值,求,求出單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求出極小值最小值,即可求解.【詳解】,,,切線的方程:,又過(guò)原點(diǎn),所以,,,.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故函數(shù)的最小值,所以.故答案為:0.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值最值,屬于中檔題..16、【解析】

首先判斷出函數(shù)為定義在上的奇函數(shù),且在定義域上單調(diào)遞增,由此不等式對(duì)任意的恒成立,可轉(zhuǎn)化為在上恒成立,進(jìn)而建立不等式組,解出即可得到答案.【詳解】解:函數(shù)的定義域?yàn)椋?,函?shù)為奇函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù),顯然此時(shí)函數(shù)為增函數(shù),函數(shù)為定義在上的增函數(shù),不等式即為,在上恒成立,,解得.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的綜合運(yùn)用,考查不等式的恒成立問(wèn)題,屬于常規(guī)題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析(2)需要,見(jiàn)解析【解析】

(1)由零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立,零件的長(zhǎng)度滿足即為合格,則每一個(gè)零件的長(zhǎng)度合格的概率為,滿足二項(xiàng)分布,利用補(bǔ)集的思想求得,再根據(jù)公式求得;(2)由題可得不合格率為,檢查的成本為,求出不檢查時(shí)損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即可判斷.【詳解】(1),由于滿足二項(xiàng)分布,故.(2)由題意可知不合格率為,若不檢查,損失的期望為;若檢查,成本為,由于,當(dāng)充分大時(shí),,所以為了使損失盡量小,小張需要檢查其余所有零件.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用,考查二項(xiàng)分布的期望,考查補(bǔ)集思想的應(yīng)用,考查分析能力與數(shù)據(jù)處理能力.18、(1);(2)680元.【解析】

(1)根據(jù)題意,列方程,然后求解即可(2)根據(jù)題意,計(jì)算出10000元使用“余額寶”的利息為(元)和10000元使用“財(cái)富通”的利息為(元),得到所有可能的取值為560(元),700(元),840(元),然后根據(jù)所有可能的取值,計(jì)算出相應(yīng)的概率,并列出的分布列表,然后求解數(shù)學(xué)期望即可【詳解】(1)據(jù)題意,得,所以.(2)據(jù),得這被抽取的7人中使用“余額寶”的有4人,使用“財(cái)富通”的有3人.10000元使用“余額寶”的利息為(元).10000元使用“財(cái)富通”的利息為(元).所有可能的取值為560(元),700(元),840(元).,,.的分布列為560700840所以(元).【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)分布表以及分布列和數(shù)學(xué)期望問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題19、(1)6種;(2);(3).【解析】

(1)從4條街中選擇2條橫街即可;(2)小明途中恰好經(jīng)過(guò)處,共有4條路線,即,,,,分別對(duì)4條路線進(jìn)行分析計(jì)算概率;(3)分別對(duì)小明上學(xué)的6條路線進(jìn)行分析求均值,均值越大的應(yīng)避免.【詳解】(1)路途中可以看成必須走過(guò)2條橫街和2條豎街,

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