湖北省宜昌金東方高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

湖北省宜昌金東方高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若實數(shù)滿足不等式組,則的最大值為()A. B. C.3 D.22.設(shè)函數(shù),當(dāng)時,,則()A. B. C.1 D.3.已知函數(shù)(e為自然對數(shù)底數(shù)),若關(guān)于x的不等式有且只有一個正整數(shù)解,則實數(shù)m的最大值為()A. B. C. D.4.某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行六項不同的任務(wù),要求是:任務(wù)A必須排在前三項執(zhí)行,且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E,任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰,則不同的執(zhí)行方案共有()A.36種 B.44種 C.48種 D.54種5.正項等差數(shù)列的前和為,已知,則=()A.35 B.36 C.45 D.546.三棱柱中,底面邊長和側(cè)棱長都相等,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.7.在棱長為a的正方體中,E、F、M分別是AB、AD、的中點,又P、Q分別在線段、上,且,設(shè)平面平面,則下列結(jié)論中不成立的是()A.平面 B.C.當(dāng)時,平面 D.當(dāng)m變化時,直線l的位置不變8.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,且的圖象關(guān)于對稱,若實數(shù)滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.四人并排坐在連號的四個座位上,其中與不相鄰的所有不同的坐法種數(shù)是()A.12 B.16 C.20 D.810.橢圓的焦點為,點在橢圓上,若,則的大小為()A. B. C. D.11.已知函數(shù),則不等式的解集為()A. B. C. D.12.蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計算方法,將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系;用均勻投點實現(xiàn)統(tǒng)計模擬和抽樣,以獲得問題的近似解,故又稱統(tǒng)計模擬法或統(tǒng)計實驗法.現(xiàn)向一邊長為的正方形模型內(nèi)均勻投點,落入陰影部分的概率為,則圓周率()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.記為數(shù)列的前項和,若,則__________.14.已知橢圓:的左,右焦點分別為,,過的直線交橢圓于,兩點,若,且的三邊長,,成等差數(shù)列,則的離心率為__________.15.在中,,,,則________,的面積為________.16.已知等比數(shù)列的前項和為,,且,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)().(1)討論的單調(diào)性;(2)若對,恒成立,求的取值范圍.18.(12分)如圖,已知橢圓的右焦點為,,為橢圓上的兩個動點,周長的最大值為8.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)直線經(jīng)過,交橢圓于點,,直線與直線的傾斜角互補,且交橢圓于點,,,求證:直線與直線的交點在定直線上.19.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若函數(shù)最小值為,且,求的最小值.20.(12分)傳染病的流行必須具備的三個基本環(huán)節(jié)是:傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個環(huán)節(jié)必須同時存在,方能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑,為了有效防控新冠狀病毒的流行,人們出行都應(yīng)該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人,為了掌握該地區(qū)居民的防控意識和防控情況,用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個容量為100的樣本,統(tǒng)計樣本中每個人出行是否會佩戴口罩的情況,得到下面列聯(lián)表:戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020(1)能否有的把握認(rèn)為是否會佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)?(2)用樣本估計總體,若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機(jī)抽取5人,求恰好有2人是青年人的概率.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x+1|.(Ⅰ)解不等式f(x)>1;(Ⅱ)當(dāng)x>0時,若函數(shù)g(x)(a>0)的最小值恒大于f(x),求實數(shù)a的取值范圍.22.(10分)已知橢圓的短軸長為,左右焦點分別為,,點是橢圓上位于第一象限的任一點,且當(dāng)時,.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若橢圓上點與點關(guān)于原點對稱,過點作垂直于軸,垂足為,連接并延長交于另一點,交軸于點.(?。┣竺娣e最大值;(ⅱ)證明:直線與斜率之積為定值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

作出可行域,直線目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線,平移該直線可得最優(yōu)解.【詳解】作出可行域,如圖由射線,線段,射線圍成的陰影部分(含邊界),作直線,平移直線,當(dāng)過點時,取得最大值1.故選:C.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題,解題關(guān)鍵是作出可行域,本題要注意可行域不是一個封閉圖形.2、A【解析】

由降冪公式,兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式,然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)值.【詳解】,時,,,∴,由題意,∴.故選:A.【點睛】本題考查二倍角公式,考查兩角和的正弦公式,考查正弦函數(shù)性質(zhì),掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.3、A【解析】

若不等式有且只有一個正整數(shù)解,則的圖象在圖象的上方只有一個正整數(shù)值,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值,分別畫出與的圖象,結(jié)合圖象可得.【詳解】解:,∴,設(shè),∴,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減,∴,當(dāng)時,,當(dāng),,函數(shù)恒過點,分別畫出與的圖象,如圖所示,,若不等式有且只有一個正整數(shù)解,則的圖象在圖象的上方只有一個正整數(shù)值,∴且,即,且∴,故實數(shù)m的最大值為,故選:A【點睛】本題考查考查了不等式恒有一正整數(shù)解問題,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)形結(jié)合思想,考查了數(shù)學(xué)運算能力.4、B【解析】

分三種情況,任務(wù)A排在第一位時,E排在第二位;任務(wù)A排在第二位時,E排在第三位;任務(wù)A排在第三位時,E排在第四位,結(jié)合任務(wù)B和C不能相鄰,分別求出三種情況的排列方法,即可得到答案.【詳解】六項不同的任務(wù)分別為A、B、C、D、E、F,如果任務(wù)A排在第一位時,E排在第二位,剩下四個位置,先排好D、F,再在D、F之間的3個空位中插入B、C,此時共有排列方法:;如果任務(wù)A排在第二位時,E排在第三位,則B,C可能分別在A、E的兩側(cè),排列方法有,可能都在A、E的右側(cè),排列方法有;如果任務(wù)A排在第三位時,E排在第四位,則B,C分別在A、E的兩側(cè);所以不同的執(zhí)行方案共有種.【點睛】本題考查了排列組合問題,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于中檔題.5、C【解析】

由等差數(shù)列通項公式得,求出,再利用等差數(shù)列前項和公式能求出.【詳解】正項等差數(shù)列的前項和,,,解得或(舍),,故選C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式,屬于中檔題.解等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)()與前項和的關(guān)系.6、B【解析】

設(shè),,,根據(jù)向量線性運算法則可表示出和;分別求解出和,,根據(jù)向量夾角的求解方法求得,即可得所求角的余弦值.【詳解】設(shè)棱長為1,,,由題意得:,,,又即異面直線與所成角的余弦值為:本題正確選項:【點睛】本題考查異面直線所成角的求解,關(guān)鍵是能夠通過向量的線性運算、數(shù)量積運算將問題轉(zhuǎn)化為向量夾角的求解問題.7、C【解析】

根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個分析即可.【詳解】因為,所以,因為E、F分別是AB、AD的中點,所以,所以,因為面面,所以.選項A、D顯然成立;因為,平面,所以平面,因為平面,所以,所以B項成立;易知平面MEF,平面MPQ,而直線與不垂直,所以C項不成立.故選:C【點睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系.屬于中檔題.8、C【解析】

根據(jù)題意,由函數(shù)的圖象變換分析可得函數(shù)為偶函數(shù),又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,分析可得,解可得的取值范圍,即可得答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度可得函數(shù)的圖象,由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,即函數(shù)為偶函數(shù),由,得,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,得,解得.因此,實數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式,注意分析函數(shù)的奇偶性,屬于中等題.9、A【解析】

先將除A,B以外的兩人先排,再將A,B在3個空位置里進(jìn)行插空,再相乘得答案.【詳解】先將除A,B以外的兩人先排,有種;再將A,B在3個空位置里進(jìn)行插空,有種,所以共有種.故選:A【點睛】本題考查排列中不相鄰問題,常用插空法,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)橢圓的定義可得,,再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,,,又,則,由余弦定理可得.故.故選:C.【點睛】本題考查橢圓的定義,考查余弦定理,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,得到,且,解不等式得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域為.因為,所以為上的偶函數(shù),因為函數(shù)都是在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因為,所以,且,解得.故選:D【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷,考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.12、A【解析】

計算出黑色部分的面積與總面積的比,即可得解.【詳解】由,∴.故選:A【點睛】本題考查了面積型幾何概型的概率的計算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-254【解析】

利用代入即可得到,即是等比數(shù)列,再利用等比數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】由已知,得,即,所以又,即,,所以是以-4為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以,即,所以。故答案為:【點睛】本題考查已知與的關(guān)系求,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算求解能力,是一道中檔題.14、【解析】

設(shè),,,根據(jù)勾股定理得出,而由橢圓的定義得出的周長為,有,便可求出和的關(guān)系,即可求得橢圓的離心率.【詳解】解:由已知,的三邊長,,成等差數(shù)列,設(shè),,,而,根據(jù)勾股定理有:,解得:,由橢圓定義知:的周長為,有,,在直角中,由勾股定理,,即:,∴離心率.故答案為:.【點睛】本題考查橢圓的離心率以及橢圓的定義的應(yīng)用,考查計算能力.15、【解析】

利用余弦定理可求得的值,進(jìn)而可得出的值,最后利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】由余弦定理得,則,因此,的面積為.故答案為:;.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形,同時也考查了三角形面積的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由題意知,繼而利用等比數(shù)列的前項和為的公式代入求值即可.【詳解】解:由題意知,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式和求和公式,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)①當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;②當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;(2).【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù),,對討論,得導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得原函數(shù)的單調(diào)性;(2)法一:由得,分別運用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)(),的單調(diào)性,和其函數(shù)的最值,可得,可得的范圍;法二:由得,化為令(),研究函數(shù)的單調(diào)性,可得的取值范圍.【詳解】(1)的定義域為,,①當(dāng)時,由得,得,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;②當(dāng)時,恒成立,在上單調(diào)遞增;(2)法一:由得,令(),則,在上單調(diào)遞減,,,即,令,則,在上單調(diào)遞增,,在上單調(diào)遞減,所以,即,(*)當(dāng)時,,(*)式恒成立,即恒成立,滿足題意法二:由得,,令(),則,在上單調(diào)遞減,,,即,當(dāng)時,由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增,恒成立,滿足題意當(dāng)時,令,則,所以在上單調(diào)遞減,又,當(dāng)時,,,使得,當(dāng)時,,即,又,,,不滿足題意,綜上所述,的取值范圍是【點睛】本題考查對于含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性的討論,不等式恒成立時,求解參數(shù)的范圍,屬于難度題.18、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】

(Ⅰ)由橢圓的定義可得,周長取最大值時,線段過點,可求出,從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線,直線,,,,.把直線與直線的方程分別代入橢圓的方程,利用韋達(dá)定理和弦長公式求出和,根據(jù)求出的值.最后直線與直線的方程聯(lián)立,求兩直線的交點即得結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)設(shè)的周長為,則,當(dāng)且僅當(dāng)線段過點時“”成立.,,又,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(Ⅱ)若直線的斜率不存在,則直線的斜率也不存在,這與直線與直線相交于點矛盾,所以直線的斜率存在.設(shè),,,,,.將直線的方程代入橢圓方程得:.,,.同理,.由得,此時.直線,聯(lián)立直線與直線的方程得,即點在定直線.【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算能力,屬于難題.19、(1)(2)【解析】

(1)利用零點分段法,求得不等式的解集.(2)先求得,即,再根據(jù)“的代換”的方法,結(jié)合基本不等式,求得的最小值.【詳解】(1)當(dāng)時,,即,無解;當(dāng)時,,即,得;當(dāng)時,,即,得.故所求不等式的解集為.(2)因為,所以,則,.當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.故的最小值為.【點睛】本小題主要考查零點分段法解絕對值不等式,考查利用基本不等式求最值,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.20、(1)有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).(2)【解析】

(1)根據(jù)列聯(lián)表和獨立性檢驗的公式計算出觀測值,從而由參考數(shù)據(jù)作出判斷.(2)因為樣本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年輕人有10人,用樣本估計總體,則出行不戴口罩的年輕人的概率為,是老年人的概率為.根據(jù)獨立重復(fù)事件的概率公式即可求得結(jié)果.【詳解】(1)由題意可知,有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).(2)由樣本估計總體,出行不戴口罩的年輕人的概率為,是老年人的概率為.人未戴口罩,恰有2人是青年人的概率.【點睛】本題主要考查獨立性檢驗及獨立重復(fù)事件的概率求法,難度一般.21、(Ⅰ);(Ⅱ)。【解析】

(Ⅰ)分類討論,去掉絕對值,求得原絕對值不等式的解

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