三棱錐小專題（解析卷）

三棱錐小專題一、幾類特殊的三棱錐表面積、體積【例1】如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則三棱錐D1-ACD的體積是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．1【答案】A【解析】三棱錐D1-ADC的體積V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).【變式一】如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為BCA.2 B.1 C.12 D.16【答案】D【解析】因為DD1⊥面ADP，所以VD1【變式二】如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，過頂點B，D，A1截下一個三棱錐．（1）求剩余部分的體積；（2）求三棱錐A-A1BD的體積及高．【解】（1）V三棱錐A1-ABD＝eq\f(1,3)S△ABD·A1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·AB·AD·A1A＝eq\f(1,6)a3.故剩余部分的體積V＝V正方體－V三棱錐A1-ABD＝a3－eq\f(1,6)a3＝eq\f(5,6)a3.（2）V三棱錐A-A1BD＝V三棱錐A1-ABD＝eq\f(1,6)a3.設三棱錐A-A1BD的高為h， 則V三棱錐A-A1BD＝eq\f(1,3)·S△A1BD·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)（eq\r(2)a）2h＝eq\f(\r(3),6)a2h，故eq\f(\r(3),6)a2h＝eq\f(1,6)a3，解得h＝eq\f(\r(3),3)a.【變式三】.某廣場設置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的四面體得到的.如果被截正方體的棱長是50cm，那么①石凳的體積是m3②則石凳的表面積為________.【解析】如圖示，由題意知正方體的棱長為1/2m，則有∴這個石凳的體積為由題意，該幾何體是由棱長為的正方體截去八個四面體構成的多面體，截去的八個四面體是全等的三棱錐，同時幾何體是由8個底面邊長為的等邊三角形和邊長為的6個正方形組成的一個14面體，所以該幾何體的表面積為：.故答案為：.【變式四】如圖，將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，求棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比.【答案】【解析】解：設長方體的長、寬、高分別為，，，即，，．由長方體，得，，兩兩垂直，所以，于是．故剩下幾何體的體積，因此，．【點睛】本題考查的知識點是棱柱的體積公式及棱錐的體積公式，其中根據(jù)長方體的結構特征分析出，，兩兩垂直，進而求出棱錐的體積是解答本題的關鍵．【變式五】如圖所示，三棱錐的頂點為P，PA，PB，PC為三條側棱，且PA，PB，PC兩兩互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱錐P-ABC的體積V.【例2】(多選)已知正三棱錐底面邊長為3，側棱長為2eq\r(3)，則下列敘述正確的是()A．正三棱錐的高為3B．正三棱錐的斜高為eq\f(\r(39),2)C．正三棱錐的體積為eq\f(27\r(3),4)D．正三棱錐的側面積為eq\f(9\r(39),4)【答案】ABD【解析】如圖所示，設E為等邊三角形ADC的中心，F(xiàn)為CD的中點，連接PF，EF，PE，則PE為正三棱錐的高，PF為斜高，又PF＝eq\r(12－\f(9,4))＝eq\f(\r(39),2)，EF＝eq\f(1,3)×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，故PE＝eq\r(\f(39,4)－\f(3,4))＝3，故A，B正確；正三棱錐的體積為eq\f(1,3)×3×eq\f(\r(3),4)×9＝eq\f(9\r(3),4)，側面積為3×eq\f(1,2)×3×eq\f(\r(39),2)＝eq\f(9\r(39),4)，故C錯誤，D正確．【例3】四面體的棱長均為，（1）求它的表面積．（2）求它的體積【變式一】已知正方體的個頂點中，有個為側面是等邊三角形的三棱錐的頂點，則這個三棱錐的表面積與正方體的表面積之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，在正方體中，三棱錐符合題目條件，且三棱錐的四個側面全為等邊三角形，設正方體的棱長為，則三棱錐的棱長為，所以正方體的表面積為，，即三棱錐的表面積為，則三棱錐的表面積與正方體的表面積之比為：．故選：B．【變式二】如圖，四面體各個面都是邊長為1的正三角形，其三個頂點在一個圓柱的下底面圓周上，另一個頂點是上底面圓心，圓柱的側面積是.【答案】2【解析】如圖所示，過點P作PE⊥平面ABC，E為垂足，點E為的等邊三角形ABC的中心．AE=23AD，AD∴AE=23∴PE=P設圓柱底面半徑為R，則2R=1∴圓柱的側面積＝2πR?PE=23π

二、三棱錐與球【例1】已知三棱錐P－ABC四個頂點都在球O上，PA=PB=PC=23，BC=3，∠BAC=60°．則球OA．36π B．16π C．12π D．16【答案】B【解析】在△ABC中，BC=3，∠BAC=60°可得△ABC的外接圓半徑2r=3如圖所示，設P點在平面ABC內的投影的為D，則AD=r=3在Rt△PDA中，因為PD2+A設三棱錐P－ABC的外接球半徑R，即OP=OA=R，OD=3－R，在△ODA中，由勾股定理得OD2+D故三棱錐P－ABC的外接球半徑為2，根據(jù)球體的表面積公式S=4πR可得球O的表面積為S=4π×22=16π【點撥】由PA=PB=PC可知，點P在平面ABC的投影是三角形ABC外心，本題屬于垂面模型中的第二種情況，按照基本套路解題難度不大，在一個直角三角形△ODA利用勾股定理便得到關于R的方程進而求出R.【變式一】已知三棱錐A－BCD的側棱長為2eq\r(5)，底面是邊長為2eq\r(3)的等邊三角形，則該三棱錐外接球的體積為________．【答案】eq\f(125π,6)【解析】如圖所示，該三棱錐為正三棱錐，O為底面△BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O′在線段AO上，O′為外接球球心，令O′A＝O′D＝R，OD＝eq\f(2,3)DE＝eq\f(2,3)×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝2，AD＝2eq\r(5)，∴AO＝eq\r(AD2－OD2)＝4，∴OO′＝4－R，又OO′2＋OD2＝O′D2，∴(4－R)2＋4＝R2，解得R＝eq\f(5,2)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(125π,6).反思感悟找?guī)缀误w的外接球球心，即找點O，使點O與幾何體各頂點的距離相等．正棱錐的外接球球心在垂線上，直棱柱的外接球球心為上、下底面外心所連線段的中點．【變式二】已知正三棱錐S－ABC的四個頂點都在球O的球面上，且球心O在三棱錐的內部，若該三棱錐的側面積為73，BC=2，則球O的表面積為【答案】169π【解析】作SM⊥平面ABC，連結AM并延長交BC于點D，連結SD，正三棱雉外接球的球心O在高SM上，連結OA，∵S=12×2×SD×3=7正三角形ABC中，DM=3∴SM=S設SO=AO=R，△OAM中，R2=(4?R)則球O的表面積S=4πR【例2】已知一個正三棱錐的四個頂點都在一個球的球面上，且這個正三棱錐的所有棱長都為，求這個球的表面積（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設該正三棱錐為，將三棱錐補成正方體，如下圖所示：則正方體的棱長為，該正方體的體對角線長為，所以，正三棱錐的外接球直徑為，可得，該球的表面積為.故選：C.【變式一】棱長為a的正四面體的內切球的表面積為.【解析】法一運用正四面體的二心合一性質，作出截面圖，通過點、線、面關系解之.如圖，設O是內切球的球心，由對稱性可知，點O也是外接球的球心，設內切球的半徑為r，外接球的半徑為R，將正四面體放置正方體中，輕松求出R=64在等邊?BCD中，BE=a2?sin60在Rt?OEB中，法二連接OA、OB、OC、OD，將四棱錐分成四個小棱錐，正四面體的四個面面積相等，易知小棱錐的高是內切球的半徑r，由V得1【點撥】①方法一中很好的利用了幾何體的對稱性，巧妙知道正四面體的外接球與內切球的球心重合；橫截面很好包含了球心、外接球半徑、內切球半徑等內容;②方法二中可知等積法求內切球半徑是個很好的方法，同時可知正四面體的高?=4r(r為內切球半徑)，這個結論在很多題目常用.③棱長為a的正四面體的高?=3【變式二】將半徑都為1的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個四面體的高的最小值為.【解析】法一(利用點線關系)由題意得，四個半徑為1的小球的球心O1,O設點O、H分別是?ABC、?O2O設N、F分別為AB、O2在棱長為2的正四面體O1?O2O作O1M⊥PN，則由于∠∴PO所以PO=PO1法二(利用相似關系)由題意得，四個半徑為1的小球的球心O1,O2,O3,O4恰好構成一個棱長為2的正四面體，并且各面與正四面體的容器從內切球的角度看，k=OH(由等積法可知正四面體O1?O從外接球的角度看，有k=O所以PQ=OP+OQ=6法三(利用等體積法)如圖，從O1點出發(fā)將三棱錐P?ABC分為四個小三棱錐O1?ABC,設正四面體的高是?，四個球的球心連線組成的正四面體O1?O2從而1所以?=2【點撥】解決多球相切問題，基本方法為三種：①抓住多球的堆壘放置規(guī)律；②抓住各球心位置，轉化為多面體問題；③適當選擇截面，轉化為平面幾何問題.【例3】若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且三條側棱長分別為1，eq\r(2)，eq\r(3)，則其外接球的表面積是________．答案6π解析根據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側棱兩兩垂直，∴把這個三棱錐可以補成一個同一頂點處三條棱長分別為1，eq\r(2)，eq\r(3)的長方體，于是長方體的外接球就是該三棱錐的外接球．設其外接球的半徑為R，則有(2R)2＝12＋(eq\r(2))2＋(eq\r(3))2＝6.∴R2＝eq\f(3,2).故其外接球的表面積S＝4πR2＝6π.【變式一】如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，EF，AF把這個正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為G.若四面體A－EFG外接球的表面積為eq\f(π,4)，則正方形ABCD的邊長為________．答案eq\f(\r(6),6)解析由題意，折疊后的四面體A－EFG如圖所示，設正方形邊長為a，四面體A－EFG外接球的半徑為r，則AG＝a，EG＝FG＝eq\f(a,2)，易知在折疊后的四面體A－EFG中，GA，GE，GF兩兩垂直，所以四面體A－EFG的外接球半徑r＝eq\f(\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2),2)＝eq\f(\r(6),4)a，聯(lián)立4πr2＝eq\f(π,4)，解得a＝eq\f(\r(6),6).【變式二】已知矩形，，，為的中點，現(xiàn)分別沿將，翻折，使點重合，記為點，則幾何體的外接球表面積為______．安徽省六安市第一中學2021屆高三下學期適應性考試理科數(shù)學試題【答案】【分析】利用所給數(shù)據(jù)易得三線垂直，進而利用長方體外接球直徑為其體對角線長，再利用外接球的表面積公式即可得到答案．【詳解】由AB＝1，AD＝，E為AD中點，可得PE＝，PB＝PC＝1，得∠EPB＝∠EPC＝90°，∠CPB＝90°，∴P﹣BCE為長方體一角，其外接球直徑為其體對角線長，∴，∴，∴外接球表面積為4πR2＝，故答案為：．【點睛】本題考查長方體外接球問題，長方體外接球的直徑為體對角線，考查推理和計算能力.【變式三】在三棱錐中，三條棱兩兩垂直，且.若點為三棱錐的外接球球面上任意一點，則到面距離的最大值為______.2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川省預賽【答案】【解析】三棱錐的外接球就是以為長、寬、高的長方體的外接球，其直徑為又，從而，于是，的外接圓半徑為故球心到面的距離為從而，點到面距離的最大值是故答案為：【例4】三棱錐A－BCD的四個面都是直角三角形，且側棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝eq\f(4,3)，則該三棱錐A－BCD外接球的體積為________．【答案】4eq\r(3)π【解析】因為AB⊥BC，BC⊥CD，構造如圖所示的長方體，則AD為三棱錐A－BCD的外接球的直徑．設外接球的半徑為R.∵VA－BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×BC×CD×AB＝eq\f(1,6)×2×CD×2＝eq\f(4,3)，∴CD＝2，∴該長方體為正方體，∴AD＝2eq\r(3)，∴R＝eq\r(3)，∴三棱錐A－BCD外接球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.【變式一】如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝2，AC＝2eq\r(3)，則該三棱錐的外接球的表面積為________．【答案】16π【解析】取PC的中點O(圖略)，∵△PAC為直角三角形且∠PAC＝90°，∴OA＝eq\f(1,2)PC，同理OB＝eq\f(1,2)PC，即OA＝OB＝OP＝OC，即點O到點P，A，B，C四點的距離相等，∴點O為外接球的球心，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝4，∴R＝eq\f(1,2)PC＝2，∴S球＝4πR2＝16π.【變式二】《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著，書中對幾何學的研究比西方早一千多年.在該書中，將底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵；將底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬；將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在塹堵中，，，鱉臑的體積為2，則陽馬外接球表面積的最小值為__________．【答案】【分析】根據(jù)“四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑”可知陽馬外接球球心為的中點，且為外接球的直徑.通過鱉臑的體積為2，求得塹堵的體積，設出的長，求得球的直徑的表達式，進而求得球的表面積的表達式，再通過基本不等式求得表面積的最小值.【詳解】由于“四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑”，故可知陽馬外接球球心為的中點，且為外接球的直徑.鱉臑的體積為，故塹堵的體積為.設，依題意.而，故陽馬外接球表面積為，由基本不等式得，即陽馬外接球表面積的最小值為.【點睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學文化，考查棱柱中的椎體有關問題，考查幾何體外接球表面積的最小值的求法，考查利用基本不等式求面積的最小值.解題的關鍵在于找到陽馬外接球球心的位置，這個位置可根據(jù)“四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑”，結合球心到球面上各點的距離相等來求得.【例5】在三棱錐S－ABC中，SA=BC=5，SB=AC=17，SC=AB=A．20π B．25π C．26π D．34π【解析】由題意可將該三棱錐放在長方體中，可得長方體的過同一個頂點的三個相鄰的面的對角線分別為5，17，10，設長方體的長，寬，高分別為a,b,c,則a2+b設三棱錐外接球的半徑為R，則2R2外接球的表面積S=4πR2=26π【點撥】對棱相等的三棱錐的外接球問題可通過構造長方體求解.

反饋練習1、正三棱錐的高為3，側棱長為2eq\r(3)，則這個正三棱錐的體積為（）A.eq\f(27,4) B.eq\f(9,4)C.eq\f(27\r(3),4) D.eq\f(9\r(3),4)【答案】D.【解析】由題意可得底面正三角形的邊長為3，所以V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×32×3＝eq\f(9\r(3),4).故選D.2、（2015?新課標Ⅱ，理6）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為A． B． C． D．【答案】D【解析】設正方體的棱長為1，由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱錐，正方體切掉部分的體積為，剩余部分體積為，截去部分體積與剩余部分體積的比值為，故選．3、魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國建筑的榫卯結構.這種三維的拼插器具內部的凹凸部分（即榫卯結構）嚙合，十分巧妙.魯班鎖類玩具比較多，形狀和內部的構造各不相同，一般都是易拆難裝.如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2，則該魯班鎖的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個棱長為的正方體截去了8個正三棱錐所余下來的幾何體，且被截去的正三棱錐的底面邊長為2，側棱長為，則該幾何體的表面積為.故選：A.4、在三棱錐中，面，，，，，則三棱錐的外接球表面積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由面，，得到，由，，得到，由此可得三棱錐是長方體中的一個三棱錐，求長方體的外接球半徑即可解決問題．【解析】因為面，所以，又，，解得：，又，，滿足，所以.由此可得三棱錐是長方體中的一個幾何體,如下圖：長方體的外接球就是三棱錐的外接球，長方體的體對角線長就是外接球的直徑，即，所以三棱錐的外接球表面積是：故選A【點睛】本題主要考查了球的表面積計算、轉化思想，考查觀察能力及計算能力、空間思維能力，屬于基礎題．5、（2015?新課標Ⅱ，理9文10）已知，是球的球面上兩點，，為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，當點位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選．6、已知四面體的外接球球心O恰好在棱AD上，且，，DC=，則這個四面體的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，AC=2，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，∴△ABC外接圓的直徑為AC,球心O′為AC的中點∵球心O恰好在側棱DA上,∴面，又外接球球心O恰好在棱AD上，所以O為AD中點，所以AD//BC.即面，DC=，這個四面體的體積為.故選B.7、（2019?新課標Ⅱ，理16文16）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有個面，其棱長為．【答案】26，．【解析】該半正多面體共有個面，設其棱長為，則，解得．8、如圖，在三棱錐A－BCD中，BD⊥AD,BD⊥DC，BD=1，AB=2，BC=3，AC=11，則三棱錐A－BCD【解析】由BD=1，AB=2，BC=3，AC=11，BD⊥平面ADC∴AD=3，CD=22，AC=11，由勾股定理逆定理可知此時三棱錐中AD、BD、CD三直線兩兩垂直，可知如圖，三棱錐A－BCD是長方體的一個角，外接球的直徑是長方體的體對角線，所以三棱錐A－BCD外接球的半徑為12所以外接球的體積V=4π【點撥】①三棱錐中存在三條兩兩垂直的棱，可構造長方體進行求解外接球問題;②求解過程中要注意利用解三角形的方法求解各線段長度及其它們的位置關系，例如利用勾股定理逆定理證明線線垂直.9、三棱錐A?BCD，其中AB=CD=5，AD=BC=7，【答案】55π【解析】設補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設長寬高分別為a,b,c，∴2a210、等腰三角形ABC腰長為3，底邊BC長為4，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為2，此時四面體ABCD外接球表面積為____.【校級聯(lián)考】安徽六校教育研究會2019屆高三第一次素質測試理科數(shù)學試題【答案】【分析】，側棱底面，底面是等邊三角形，它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積．【詳解】根據(jù)題意可知三棱錐，側棱底面，底面是等邊三角形，可將其擴展為直三棱柱，三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，側棱長分別為3，3