第四十一講對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)-2023年新高一年級(jí)數(shù)學(xué)暑假課程（人教A版2019）

第四十一講：對(duì)數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念；

2.會(huì)求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題；

3.初步掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)；

4.會(huì)類比指數(shù)函數(shù)研究對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；

5.掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的簡單應(yīng)用；

6.利用單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)的定義域和簡單值域問題；

7.了解反函數(shù)的概念和圖象特點(diǎn).

【基礎(chǔ)知識(shí)】

一、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=log〃x(a>0且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是

(0,+oo).

注意點(diǎn)：

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的系數(shù)為1；(2)真數(shù)只能是一個(gè)x；(3)底數(shù)與指數(shù)函數(shù)的范圍相同；(4)對(duì)于函

數(shù)y=2k)g2X等這一類的函數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，它可以化為對(duì)數(shù)函數(shù)，因?yàn)樗c對(duì)數(shù)

函數(shù)y=log,x有相同的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，故函數(shù)相等.

二、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

y=log”x(a>0且。*1)

底數(shù)a>\0<a<l

產(chǎn)logyX=1

圖象1(L2)_,

1(1,0)X

17Ty=log^

定義域(0,+oo)

值域R

單調(diào)性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

最值無最大、最小值

奇偶性非奇非偶函數(shù)

共點(diǎn)性圖象過定點(diǎn)(1,0),即x=l時(shí)，y=0

xW(0,l)時(shí)，yG(—oo,0)；x￡(0,l)時(shí)，yG(0,+oo)；

函數(shù)值特點(diǎn)

x￡[l,+s)時(shí)，y￡[0,+oo)x￡[l,+8)時(shí)，ye(—00,0]

函數(shù)y=10gX與歹=l°gj的圖象關(guān)于X軸對(duì)稱

對(duì)稱性li

a

注意點(diǎn)：

(1)函數(shù)圖象只出現(xiàn)在y軸右側(cè)；(2)對(duì)任意底數(shù)a,當(dāng)x=l時(shí)，y=0,故過定點(diǎn)(1,0)；(3)當(dāng)

0<a<l時(shí)，底數(shù)越小，圖象越靠近x軸；(4)當(dāng)a>l時(shí)，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸；(5)任

意底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.

【題型目錄】

考點(diǎn)一：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

考點(diǎn)二：求對(duì)數(shù)函數(shù)解析式

考點(diǎn)三：求對(duì)數(shù)函數(shù)值

考點(diǎn)四：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

考點(diǎn)五：抽象函數(shù)的定義域

考點(diǎn)六：對(duì)數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)

考點(diǎn)七：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象

考點(diǎn)八：已知圖象求參的范圍

考點(diǎn)九：對(duì)數(shù)函數(shù)的值域

考點(diǎn)十：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

考點(diǎn)十一：復(fù)合對(duì)數(shù)函數(shù)值域

考點(diǎn)十二：換元法求對(duì)數(shù)型函數(shù)值域

考點(diǎn)十三：已知對(duì)數(shù)型函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參

考點(diǎn)十四：取中間值比較大小

考點(diǎn)十五：擴(kuò)倍數(shù)比較大小

考點(diǎn)十六：構(gòu)造函數(shù)比較大小

考點(diǎn)十七：已知對(duì)數(shù)函數(shù)值域求參

考點(diǎn)十八：分段函數(shù)值域范圍求參

考點(diǎn)十九：對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域?yàn)镽求參

考點(diǎn)二十：已知分段值域?yàn)镽求參

考點(diǎn)二十一：對(duì)數(shù)函數(shù)恒成立與能成立問題

考點(diǎn)二十二：簡單對(duì)數(shù)不等式求解

考點(diǎn)二十三：利用函數(shù)性質(zhì)求不等式

考點(diǎn)二十四：反函數(shù)

考點(diǎn)二十五：不同函數(shù)的增長差異

考點(diǎn)二十六：對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

例1.給出下列函數(shù)：

①y=唾4；②y=log,(x-l)；③y=log1x+i)x；④y=log?x.

3

其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【詳解】①②不是對(duì)數(shù)函數(shù)，因?yàn)閷?duì)數(shù)的真數(shù)不是僅有自變量x；

③不是對(duì)數(shù)函數(shù)，因?yàn)閷?duì)數(shù)的底數(shù)不是常數(shù)；④是對(duì)數(shù)函數(shù).

故選:A.

變式訓(xùn)練1.下列函數(shù)表達(dá)式中，是對(duì)數(shù)函數(shù)的有()

=10gx2；②卜=log,,wR)；③、=log8x；@^=lnx；@y=log,(x+2)；⑥y=21og4x；

?y=log2(x+l).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【詳解】由于①中自變量出現(xiàn)在底數(shù)上，...①不是對(duì)數(shù)函數(shù)；

由于②中底數(shù)aeR不能保證a>0,且a*1,.?.②不是對(duì)數(shù)函數(shù)；

由于⑤⑦的真數(shù)分別為(x+2),(x+1),???⑤⑦也不是對(duì)數(shù)函數(shù)；

由于⑥中l(wèi)og&x的系數(shù)為2,.?.⑥也不是對(duì)數(shù)函數(shù);

只有③④符合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義.

故選：B

變式訓(xùn)練2.已知函數(shù)①y=4"；@y=\ogx2；?j=log3x；?y=log004x；⑤了=喝*+1；

⑥y=logz(x+l).其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的是()

A.①②③B.③④⑤

C.③④D.②④⑥

【答案】C

【詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，只有符合y=bg“x(。>0且awl)形式的函數(shù)才是對(duì)數(shù)函

數(shù)，其中X是自變量，a是常數(shù).

易知，①是指數(shù)函數(shù)；②中的自變量在對(duì)數(shù)的底數(shù)的位置，不是對(duì)數(shù)函數(shù)；③中y=bg3X,

是對(duì)數(shù)函數(shù)；④中夕Tog?！贰罚菍?duì)數(shù)函數(shù)；⑤⑥中函數(shù)顯然不是對(duì)數(shù)函數(shù)，由此可知只有

③④是對(duì)數(shù)函數(shù).

故選：C.

變式訓(xùn)練3.若函數(shù)y=log“x+q2-3“+2為對(duì)數(shù)函數(shù)，則。=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】由題可知：函數(shù)夕=log“x+/-3a+2為對(duì)數(shù)函數(shù)

所以42-3。+2=0=>。=1或。=2,又a>0且axl

所以。=2

故選：B

考點(diǎn)二：求對(duì)數(shù)函數(shù)解析式

例2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像過點(diǎn)M(125,3),則此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為()

A.y=log5xB.y=*xC.y=loglxD.y=log3x

【答案】A

【詳解】設(shè)函數(shù)解析式為y=log?！?a>0且a").

由于對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像過點(diǎn)M(125,3),

所以3=logal25,得a=5.

所以對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為y=bgsx.

故選：A.

變式訓(xùn)練1.若某對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)（4,2）,則該對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為（）

A.y=log,xB.y=21og4x

C.y=log2X或y=21ogaXD.不確定

【答案】A

【詳解】設(shè)函數(shù)為y=bg“x（4>0,4Wl）,依題可知，2=log.4,解得。=2,所以該對(duì)數(shù)函

數(shù)的解析式為y=log2x.

故選：A.

變式訓(xùn)練2.若函數(shù)/（x）=log2（x+a）的圖象過點(diǎn)（-2,0）,則。=（）

A.3B.1C.-1D.-3

【答案】A

【詳解】由已知得〃-2）=log2（-2+a）=0,所以—2+“=1,解得：a=3,

故選：A.

變式訓(xùn)練3.已知函數(shù)/（x）=bg.（x+2）,若圖象過點(diǎn)（6,3）,則〃2）的值為（）

A.-2B.2C.vD.--

22

【答案】B

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（6=1%（》+2）的圖象過點(diǎn)（6,3）,

所以log,,（6+2）=3nlog_8=log。/,

則/=8=a=2,

所以/（x）=log2（x+2），/（2）=log2（2+2）=2,

故選：B.

考點(diǎn)三：求對(duì)數(shù)函數(shù)值

例3.已知函數(shù)/(力=,:唳x<i且〃協(xié))=2則/(5+6)=()

A.-16B.16C.26D.27

【答案】C

【詳解】當(dāng)加2/時(shí)，/(/M)=-2^3m+'-l=-2=>3m+1=-l=>/ne0,

當(dāng)時(shí)，/(?n)=-2=>-log3(/?+5)-2=-2=>/?=-4,

所以〃海+6)=/(2)=3川-1=26,

故選：C

“[log,x,0<x<1,,,，、

變式訓(xùn)練1.已知函數(shù)/⑴=/；；>[則/(〃1))=()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

【詳解】/(1)=412=卜.?"(/⑴)=/(；)=log[=一2.

故選：B

變式訓(xùn)練2.設(shè)/㈤=4'：',，若⑴]=1，貝iJa=()

[x+a,x<0

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【詳解】依題意，/(l)=lgl=0,則幾川)]=/(0)="=1,解得。=1,

所以4=1.

故選：C

變式訓(xùn)練3.已知〃>0,且函數(shù)若/(。)=3,則/(-“)=()

12—l,xSU

37一

A.—B.—C.3D.7

48

【答案】A

【詳解】因?yàn)?(。)=3,又a>0,所以/(OMlogoa+aMa+lMS,解得：“=2,

°,[logx+2,x>0/、，3

所以〃X)=?；.，則/-a=/(-2)=2-2-1=-9

[2-l,x<04

故選：A.

考點(diǎn)四：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

例4.函數(shù)產(chǎn)Jx-2+」~^+ln(5-x)的定義域()

X-J

A.(2,3)U(3,5)B.[2,3)U(3,5)

C.[2,3)U[3,5)D.[2,3)U[3,5]

【答案】B

【詳解】函數(shù)y=G^I+±+ln(5-x)要有意義，

x-2>0

需滿足,x-3wO,解得2Wx<5,且xw3,

5-x>0

故函數(shù)定義域?yàn)椋篬2,3)U(3,5),

故選：B

變式訓(xùn)練1.函數(shù)y="logos(?-3)的定義域?yàn)?

「3-

A.[l,+oo)B.--JC.j4]rH.

【答案】C

4x-3>0嚴(yán):解得:<X41,

【詳解】解：函數(shù)y=/og°3(4x-3)的定義域滿足，bgo.5(4x_3)2On

X<14

故函數(shù)定義域?yàn)?/p>

故選：C.

.函數(shù)y=V=+in(i+x)的定義域?yàn)?

變式訓(xùn)練2).

y/1-X

A.卜|%>-1且xwl}B.x|-1<X<1}

C.卜D.

【答案】B

11—x>0[x<11，/、

【詳解】依題意可得]+x>0，解得二函數(shù)夕=7仁+ln(l+x)的定義域?yàn)?/p>

故選；B

變式訓(xùn)練3.函數(shù)/(》)=J2-2x的定義域?yàn)?).

A.B.(-2,1)

C.D.(-2,1]

【答案】A

x+2>0

【詳解】由題得<x+2wl，解得—2<X41且XH-1.

2-2x>0

故選：A.

考點(diǎn)五：抽象函數(shù)的定義域

例5.已知函數(shù)〃x)=lnx+J16-2、,則/(2x)的定義域?yàn)?)

A.(0,1)B.(1.2)

C.(0,4]D.(0,2]

【答案】D

八/、/-----_fx>0/、

【詳解】要使函數(shù)/(x)=lnx+而二F有意義，則”『、八，解得0<x44,〃x)的定

110—22U

義域?yàn)?0,4],由0<2x44,解得0<x42,f(2x)的定義域?yàn)?0,2],

故選D.

變式訓(xùn)練1.己知函數(shù)/(x)=lg詈，則函數(shù)g(x)=/(x-i)+jn的定義域是()

【答案】B

【詳解】要使/X=愴1—產(chǎn)Y有意義，則1——X>0，

l+x1+X

BP（l-x）（l+x）>0,解得-所以函數(shù)〃x）的定義域?yàn)椋?1,1）,

要使g（x）=/（x_l）+V^T有意義，則[[[[]]<I解得;4x<2,

所以函數(shù)g（x）的定義域?yàn)閧.亭-}.

故選：B

變式訓(xùn)練2.已知函數(shù)片Abg2x）的定義域?yàn)?刀，則函數(shù)y=/（2x）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

4

A.[-1,0]B.[-1,2]C.[0,1]D.[0,2]

【答案】A

【詳解】???函數(shù)片&g2X）的定義域?yàn)閇；[]，即

/.-2<log2x<0,

令一2W2xW0,解得一l《xW0,

即函數(shù)歹二/（2x）的定義域?yàn)閇-1,0],

故選：A.

變式訓(xùn)練3.函數(shù)/（同=1。8（辦2+6+1）的定義域?yàn)閇<,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）.

A.[0,4）B.（0,4）C.（4,+oo）D.[0,+<?）

【答案】A

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，/（x）=0,符合題意；

[tz>0「、

當(dāng)時(shí)，由人2,八，得。<”4.綜上所述，”0,4.

[△=。-4。<0L/

故選：A

考點(diǎn)六：對(duì)數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)

例6.已知幕函數(shù)〃X）=（/-2"L2卜在（0,+8）上單調(diào)遞減，則函數(shù)g（x）=log“（x+"?）+2

（a>0且.Ml）的圖象過定點(diǎn)（）

A.H.2)B.(-2,2)C.(2,2)D.(4,2)

【答案】c

【詳解】因?yàn)榛瘮?shù)/(x)=(/-2m-2*在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以｛,解得m=-l,

m<0

則g(x)=k)g“(x-l)+2,(。>0且4Hl),

因?yàn)榇?10g“X(〃>0且過定點(diǎn)(L0),所以g(x)的圖象過定點(diǎn)(2,2).

故選：C

變式訓(xùn)練1.函數(shù)/(x)=bg.(x-l)+l(a>0且awl)的圖象恒過定點(diǎn)()

A.(2,2)B.(2,1)C.(3,2)D.(2,0)

【答案】B

【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，令x-l=l,即x=2,此時(shí)/(x)=l,

故函數(shù)=log”(x-1)+1的圖象恒過定點(diǎn)(2,1).

故選：B.

變式訓(xùn)練2.函數(shù)/(x)=log,(x+M恒過定點(diǎn)(-2,0),則〃?的值()

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【詳解】由函數(shù)/(x)=log“(x+M恒過定點(diǎn)(一2,0),可得log.(-2+M=0,

所以-2+m=l,解得加=3.

故選：C.

變式訓(xùn)練3.已知函數(shù)〃x)=log.(x-3)+2(”>0且axl)的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A的

坐標(biāo)滿足關(guān)于x,了的方程機(jī)x+沙=4(〃?>0,〃>0),則上+4的最小值為()

mn

A.8B.24C.4D.6

【答案】C

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=loga(x-3)+2(a>0,aw1)圖象恒過定點(diǎn)(4,2)

又點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足關(guān)于x,V的方程加x+〃y=4("?>0,〃>0),

所以4m+2〃=4,

即2m+n-2,

所以工+2」（2機(jī)+〃）（，+3=[42」]/4+4/^\=4

mn2\mnJ2Vnm）2（^ynm）

當(dāng)且僅當(dāng)他=2即〃=2m=l時(shí)取等號(hào)：

nm

所以1上的?最小值為4.

mn

故選：c.

考點(diǎn)七：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象

例7.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=〃T,y=log〃x+a（a>0且awl）的圖象可能是

【詳解】對(duì)于AB,若y=。-*圖象正確，則0<”1,.,J=log“x+a單調(diào)遞減,

又x=l時(shí)，y=log?1+a=a>0,A正確，B錯(cuò)誤;

對(duì)于CD,若尸「=（：）圖象正確，貝兒>1,.?j=bgi,x+a單一調(diào)遞增，CD錯(cuò)誤.

故選：A.

變式訓(xùn)練1.圖中曲線分別表示了二姑8小/二卜8“花卜二卜8產(chǎn)/二卜8,丫的圖像，a,h,c,d,

的關(guān)系是（）

A.0<a<b<]<d<c

B.0<b<a<\<c<d

C.0<c<d<\<a<b

D.0<c<d<\<b<a

【答案】C

【詳解】如圖所示：

當(dāng)y=l時(shí)，x,=c,x2=d,x,=a,x4=b,

因?yàn)?<%<X?<1<X3<X4,

所以0<c<d<l<a<6

故選：C

變式訓(xùn)練2.當(dāng)0<。<1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)'=/*與y=log“X的圖象是（)

【詳解】當(dāng)時(shí)，/>1,函數(shù)y=a-*=（:）為底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)，是增函數(shù)，函

數(shù)y=10g"X為底數(shù)大于0、小于1的對(duì)數(shù)函數(shù)，是減函數(shù)，

故選：C.

變式訓(xùn)練3.若函數(shù)y=*（a>0且的值域?yàn)椋?,+8）,則函數(shù)歹二10g,|x|的大致圖象是

【詳解】V|x|>0,且y=/的值域?yàn)椤?8),

當(dāng)x>0時(shí)，y=log“|x|=log“x在(0,+<?)上是增函數(shù).

又函數(shù)y=log4|x|=log“|-x|,所以y=10g.|x|為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,

所以y=log“|x|的大致圖象應(yīng)為選項(xiàng)A.

故選：A.

考點(diǎn)八：已知圖象求參的范圍

例8.已知函數(shù)〃x）=k>g“（x-6）（。>0且axl,。，6為常數(shù))的圖象如圖，則下列結(jié)論

正確的是（）

A.a>0,1><-1

B.a>0,-l<b<0

C.0<a<l,b<—l

D.0<<z<l,-1<6<0

【答案】D

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(X)=l0gli(%-6)為減函數(shù),所以0<a<l

又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與x軸的交點(diǎn)在正半軸，所以x=l+b>0,即6>-1

又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與夕軸有交點(diǎn)，所以6<0,所以-1<6<0,

故選：D

變式訓(xùn)練1.若0<b<l<“，則函數(shù)y=bg〃(x+a)的圖象不經(jīng)過()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【詳解】0</><1<a,

???"10&X在(0,+8)上單調(diào)遞減,且過第一，第四象限，

圖像向左平移a個(gè)單位，得到y(tǒng)=logjx+?),

故函數(shù)j，=logjx+“)的圖象不經(jīng)過第一象限,

故選：A.

變式訓(xùn)練2.已知a>l,-2<6<-1,則函數(shù)F=log“(x-/>)的圖象不經(jīng)過()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【詳解】a>1,-2<b<-l,函數(shù)y=log"(x-b)的定義域?yàn)?4口),

而”=x-6在(4”)上遞增，又y=log“〃在(0,+℃)上遞增，因此y=log“(x-b)在S,+oo)上遞

增，

當(dāng)6cxe6+1時(shí),有l(wèi)og“(x-b)<0,函數(shù)y=log0(x-b)的圖象在第三象限，

當(dāng)b+l<x<0時(shí)，^\<x-b<-b,log?(^-ft)>0,函數(shù)y=log“(xT)的圖象在第二象限，

當(dāng)x>0時(shí)，有x-6>-b,bg.(x-6)>0,函數(shù)y=1og“(x-b)的圖象在第一象限，

所以函數(shù)y=iog0(x-b)的圖象不經(jīng)過第四象限.

故選：D

變式訓(xùn)練3.已知函數(shù)〃x)=log.(x-6)(°>0且"1)的圖像如圖所示，則以下說法正

確的是()

A.。+6<0

B.ab<-1

C.0<ab<\

D.log“網(wǎng)>0

【答案】C

【詳解】由圖象可知/(力在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以a>l,

令〃x)=log“(x-6)=0,即x=b+l,所以函數(shù)〃力的零點(diǎn)為b+1,結(jié)合函數(shù)圖象可知

0</)4-1<1,所以一1<6<0,

因此〃+b>0,故A錯(cuò)誤；

-a<ab<0,又因?yàn)椤?gt;1,所以-。<一1,因此ab<-1不一定成立，故B錯(cuò)誤;

因?yàn)椤?<<1,且所以故C正確；

aa

因?yàn)椤?lt;同<1,所以。g*|<k)gj即噢川<0,故D錯(cuò)誤，

故選：C.

考點(diǎn)九：對(duì)數(shù)函數(shù)的值域

/、(―x+7,x?2/、

例9.若函數(shù)〃x)=，則/(x)的值域?yàn)?)

[log?'，x>z

A.(5,+oo)B.[5,+oo)C.(!,+<?)D.[l,+<?]

【答案】C

【詳解】當(dāng)x42時(shí)，/卜)=-x+7在(v,2]上單調(diào)遞減,故/(x)e[5,+8)；

當(dāng)x>2時(shí)，/(x)=log2X在(2,+8)上單調(diào)遞增，故/(x)c(l,+?))；

得/(x)的值域?yàn)?1,+8).

故選：C.

變式訓(xùn)練1.函數(shù)y=bg/,其中;4x481,則函數(shù)的值域?yàn)?)

A.(0,+s)B.6,811C.[-1,4]D.(1,4)

【答案】C

14

【詳解】log31=log33=-l,log381=log33=4,

y=k)g3X在I，81上遞增,

所以ye[-l,4].

故選：C

變式訓(xùn)練2.下列函數(shù)中，值域?yàn)镽且區(qū)間(0,一)上單調(diào)遞增的是()

A.y=-x3B.y=x(x-2)C.^=ln|x|D.y=4x

【答案】C

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)、=-尸的值域?yàn)镽且區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，故不正確：

對(duì)于B,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，J/=X(X-2)=(X-1)2-1>-1,故不正確；

對(duì)于c,y=lnW=jn(_x)"0為偶函數(shù)且x>0時(shí)，V=瓜丫單調(diào)遞增且值域?yàn)镽，故正確；

對(duì)于D,函數(shù)y=4的值域?yàn)閇0,用)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，故不正確；

故選：C

變式訓(xùn)練3.已知函數(shù)/(幻=，〃+1。82/的定義域是[1,2],且/(x)W4,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍是()

A.y,2]B.(-8,2)

C.[2,+=o)D.(2,+oo)

【答案】A

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=m+log2x2的定義域是[1,2],

所以函數(shù)/(x)=〃?+k>g2X2=m+21og2X,且函數(shù)f(x)在[1,2]上遞增，

所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,m+2],

因?yàn)閒(x)<4,

所以w+2<4,解得m<2,

故選：A

考點(diǎn)十：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

例10.函數(shù)/(力=唾2任-4》+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.[2,+oo)B.[3,-Ko)C.(3,+oo)D.(』2]

【答案】C

【詳解】/(x)=log2(x2-4x+3)由y=log2f/=x2-4x+3復(fù)合而成，

由于函數(shù)'=1。82，在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，，=/一4*+3在(2,+8)單調(diào)遞增，

2

故由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：/(x)=log2(x-4x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間需要滿足

x-4x+3>0“口

,解得x>3,

x>2

故/(x)=log2(f-4x+3)單調(diào)區(qū)間為(3,”),

故選：c

變式訓(xùn)練1.函數(shù)y=iog/x2-x-2）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

1

A.B.一,4-COC.(-oo,-l)D.(2,+oo).

2

【答案】C

【詳解】由，-x-2>0有：（x-2）（x+l）>0,解得X<-1或x>2,

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則有:

函數(shù)y=l°gjL（-—x-2）的單調(diào)遞增區(qū)間為：故A,B,D錯(cuò)誤.

4

故選：C.

變式訓(xùn)練2.已知函數(shù)〃x）=Ig言,則〃x）（

A.是奇函數(shù)，且在（2,+8）是增函數(shù)

B.是偶函數(shù)，且在（2,+8）是增函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在（2,+8）是減函數(shù)

D.是偶函數(shù)，且在（2,+8）是減函數(shù)

【答案】A

【詳解】由三>0得：x<-2或x>2,\/（x）的定義域?yàn)椋ㄒ?,-2）=（2,+8）；

?.?/（-X）=lg二三=lgT=-lg±|=—/"）,\/（X）是奇函數(shù)；

-x+2x-2x+2

/（、）=喙4

x+2

4

=1-----在（2,+8）上單調(diào)遞增，V=1g“在（0,+8）上單調(diào)遞增,

x+2

???由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：/（X）在（2,+8）上是增函數(shù).

故選：A.

變式訓(xùn)練3.若函數(shù)/（x）=lg（Y-4x-5）在&/+1）上單調(diào)，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是（）

A.[-1,1]U[2,4]B.(-1,1]U[2,4)

C.(-oo,l]u[2,+oo)D.(-<?,-2]u[5,+a?)

【答案】D

【詳解】由題意可得，x2-4x-5>0,解得x<-l或x>5.

所以函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?-e,-l)u(5,+8).

令M(X)=X2-4X-5,函數(shù)m(x)的對(duì)稱軸為x=2,且開口向上,

函數(shù)用(x)在(5,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,-1)上單調(diào)遞減，

由外層函數(shù)V=1g"?是其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以要使函數(shù)/a)=lg，-4x-5)在(fj+l)上單調(diào)，

則，+14-1或年5,

解得芯-2或此5,則實(shí)數(shù)/的取值范圍是(-8,-2]u[5,+e).

故選：D.

考點(diǎn)十一：復(fù)合對(duì)數(shù)函數(shù)值域

例11.函數(shù)〃力=1。83，+1)的值域?yàn)?

A.(0,4-09)B.[0,+<?)

C.(1,+℃)D.[1,+<?)

【答案】B

【詳解】令“=/+1,則心1,

又y=logs”在[1,+00)上單調(diào)遞增，

2

所以log3(x+1)>log,l=0,

故函數(shù)/(X)的值域?yàn)閇0,+8).

故選：B.

變式訓(xùn)練1.函數(shù)y=ln(x-2)+l的值域?yàn)?)

A.RB.(1,+?>)C.[1,+?))D.(2,+oo)

【答案】A

【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)V=Inx的值域?yàn)镽，向右平移2個(gè)單位得函數(shù)％=ln(x-2)的值域?yàn)镽,

則了=ln(x-2)+l的值域?yàn)镽,

故選：A.

變式訓(xùn)練2.已知函數(shù)/(x)=lg(x2+l),xe[-l,3],則/(x)的值域?yàn)?)

A.[0,+8)B.[0,1)C.[Ig2,l]D.[0,1]

【答案】D

【詳解】因?yàn)閤e[-l,3],所以產(chǎn)+1目1,10],所以/卜)=吆儼+1)€[0,1],

故選：D

變式訓(xùn)練3.函數(shù)/(x)=log2(xJx),xe[2,5]的值域?yàn)?)

A.[l,2+log25]B.[1,2]

C.[2,log210]D.[2,1+log,5]

【答案】A

【詳解】解:令g(x)=--x,xe[2,5],則g(x)在[2,5]上單調(diào)遞增，

又g(2)=2,g⑸=20,所以g(x)e[2,20],

又y=log2x在[2,20]上單調(diào)遞增，

所以/(x)e[log22,log220],Bp/(x)e[l,2+log25].

故選：A

考點(diǎn)十二：換元法求對(duì)數(shù)型函數(shù)值域

例12.已知〃x)=2+log,x,xe[l,9],貝物=[/。)了+/(/)的值域?yàn)?)

A.[6,23]B.[6,13]C.[4,11]D.[4,20]

【答案】B

【詳解】因?yàn)椤▁)=2+log3X,xe[l,9],

所以^=[/(芯)1+/卜2)的定義域?yàn)?9，

解得L,x,3,所以該函數(shù)的定義域?yàn)閇1,3]；

所以Qlogs/,1,

22

所以y=[/(x)丁+/(X)=(2+log,+(2+log,X)=(log3X+3)2-3

t=log3X(0?t?1),所以y=(/+3)°-3(Q.t1),

當(dāng)f=0時(shí)，y=i>,當(dāng)f=l時(shí)，y=13,

所以6.y“13；

所以函數(shù)夕的值域是[6,13].

故選：B.

變式訓(xùn)練1.函數(shù)/(x)=(lnx)2-In(x2)+4(xe[l,e3])的值域?yàn)?)

A.[3,4]B.[4,7]C.[3,7]D.[3,e6-2]

【答案】C

【詳解】令f=lnx,由xe[l,e[,可得Ie[0,3],則y=產(chǎn)-2/+4=(f-lj+3/e[0,3],

所以函數(shù)y=「-2/+4,在[0,1)上單調(diào)遞減，在[1,3]上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)t=l時(shí)，函數(shù)y=--2/+4,取得最小值3；

而當(dāng)t=0時(shí)，^=(0-1)2+3=4,當(dāng)t=3時(shí)，J^=(3-1)2+3=7,7>4,

函數(shù)夕=/-〃+4,取得最大值是7,

所以函數(shù)/(x)=(lnx)2-In(x2)+4(xe[l,e3])的值域是[3,7].

故選：C.

變式訓(xùn)練2.若/")=2-蜒4，xe[l,16],則函數(shù)y=[/但了-/任)的值域?yàn)?)

A.[1,2]B.[2,10]C.[4,10]D.[1,16)

【答案】A

22

【詳解】因?yàn)?(x)=2-log2x,xe[l,16],函數(shù)y=[/(x)]-/(x),則

y=(2-log,x)2-r2-logjx2)1,所以，-x二，，解得14x44,即函數(shù)的定義域?yàn)閇1,4]

L，J^1<X<16

2

所以y=(log,x)-21og2x+2,令t=log,x,因?yàn)閤e[1.4],所以Ze[0,2],所以

g(f)=?_2f+2=(f-iy+1,fe[0,2],所以g(/L=g(l)=l,g(f)3=g(0)=g(2)=2,

所以g(f)e[l,2],

所以ye[L2]

故選：A

變式訓(xùn)練3.已知函數(shù)/（X）=log2■log2（8x）,則函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?/p>

A.[-9,0]B.[-9,+00)C.(-°o,-9]D.[-12,0]

【答案】B

【詳解】/（》）=（魄2》-3）（1082工+3）=（1082》）2-9.故/（x）的值域?yàn)閇-9,+8）.

故選：B.

考點(diǎn)十三：已知對(duì)數(shù)型函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參

例13.已知函數(shù)/（》）=1。8。3卜2-依+3“）在[2,+?））上單調(diào)遞減，則。的取值范圍為（）

A.（7,4]B.[4,+oo）C.[-4,4]D.（-4,4]

【答案】D

（詳解】令g（x）-x1-ax+3a.

因?yàn)?（X）=logos，-ax+3a）在[2,+8）上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)g（x）在區(qū)間[2,+a＞）上單調(diào)遞增，且恒大于0,

所以對(duì)稱軸x=gaV2且g（2）＞0,所以a44且4+。＞0,

解得-4＜。44,即a的取值范圍為（-4,4],

故選：D.

變式訓(xùn)練1.已知函數(shù)/（xblogaRx-a）在[1,2]是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

A.&』）B.（l,+oo）C.（1,2）D.（1,4）

【答案】C

【詳解】令/=2》-a,夕=108”，，

因?yàn)閒=2x-a為增函數(shù)，函數(shù)/5)=1。8“(2乂-4)在［1,2］是增函數(shù)，

所以y=log“/為增函數(shù)，故

又xe［l,2］,t-2x-a>2-a,所以2-a>0,解得"2,

綜上，。的取值范圍為(L2).

故選：C.

變式訓(xùn)練2.已知函數(shù)/(x)=log式1-G),若“X)在(-8,1］上為減函數(shù)，則a的取值范圍為

()

A.(0,+oo)B.(0,1)C.(1,2)D.(-oo,l)

【答案】B

【詳解】設(shè)函數(shù)y=i-",

因?yàn)?(x)在(-8,1］上為減函數(shù)，

所以夕=l-ax在上為減函數(shù)，則-a<0解得。>0,

又因?yàn)閥=l-取>0在(F,1］恒成立，

所以Vmin=1一。>°解得a<1.

所以a的取值范圍為o<a<l,

故選:B.

變式訓(xùn)練3.已知函數(shù)夕=1°8|12-2改+5")在［2,+8)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

2

()

A.(Y?,2］B.［2,+co)C.(-4,2］D.［-1,2］

【答案】C

【詳解】令/(x)=x2-2ax+5a,對(duì)稱軸為x=a,

因?yàn)楹瘮?shù)夕=l°g［X是正實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，

2

所以要想函數(shù)戶1°8?2-2亦+5〃)在［2,+0))上為減函數(shù)，

2

只需函數(shù)/(x)=f_2at+5a在［2,+3上為增函數(shù)，且/(x)>0在［2,+⑹上恒成立，

所以.42,且/(2)=4+a>0,

解得-4<a<2.

故選：C

考點(diǎn)十四：取中間值比較大小

例14.已知a=lge,b=e2>C=1*（e=2.71828L）,那么（）

A.b<c<aB.c<b<a

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】D

【詳解】a=lgew（lgl」glO）=（O,l）,c=ln^=-lnl0<0,Z>=e2>e°=1,

故c<a<b.

故選：D

變式訓(xùn)練1.已知x=lnl.L,y=logIJ.2,z=2"，則三者的大小關(guān)系是（）

A.y<x<zB.z<y<x

C.x<y<zD.x<z<y

【答案】C

【詳解】由x=lnl.lT=-lnl.l<-lnl=O,即x<0

又由l=lnuLl<loguL2<ln1J.12=2,可得l<y<2,

因?yàn)閦=2u>>=2,即z>2,所以x<y<z.

故選：C.

l

變式訓(xùn)練2.a=2-°,Z>=log34,c=log527,則（）

A.a<c<bB.a<h<c

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【詳解】由題意可知a=2Y,<2°=Ll=k）g33<、=log撲<log39=2,

c=log527>log525=2,

故。<b<c,

故選：B

變式訓(xùn)練3.設(shè)a=log32,Z>=ln2,c=203,則（）

A.a>c>bB.c>a>b

C.c>b>aD.b>c>a

【答案】C

【詳解】Iog31<log32<log33,：.a=log32G(0,1),

In1<In2<Ine,.*./>=In2(0,1),

bIn2In21rl.

—=-------==In3>Ine=1nil

alog32In2,則

hi3

???2°3>2°，，c=2°3>l,

綜上，c>h>a.

故選：C.

考點(diǎn)十五：擴(kuò)倍數(shù)比較大小

3

例15.設(shè)。]=k)g85,c=k)g53,則(

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

(n4

【詳解】因?yàn)?25=[5〔>3^=81,所以543>3

33

故logs5彳>logs3,BP?=->c=log53.

3-

因?yàn)椤?W=logx84,而512=83<54=625,

32

所以"3<5,故〃=1=logs84<logg5=b,

綜上，c<a〈b

故選：D

變式訓(xùn)練1.iga=log23,/?=log34.5,c=log46,則()

A.c<a<bB.b<c<a

C.c<b<aD.b<a<c

【答案】C

【詳解】a=log23>log22V2=log22+log2V2=|,

3

Z)=log34.5<log33>/3=log33+log3V3=-,

3

所以。>巳〉6,

2

又b=log3g=1臉(33?i3

X—T+log3]，

2

?13

c=log46=log4^4x|

=l+log4-，

33

因I%"—'，

所以6>c,

綜上，a>b>c.

故選：C

變式訓(xùn)練2.已知a=logs2,ft=log83,c=；,則。，b,c的大小關(guān)系為（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<hD.a<h<c

【答案】C

【詳解】因?yàn)閍=log52<log5J^=；,

lg3

顯然1.3>0,logs3>0,且粵|=黑=黑>1，即1幅3>1幅3,

log,3]g3lg8

lg9

所以6=10gli3>log93=logy3=glog,3=~,

所以b>c>a.

故選：c

2

變式訓(xùn)練3.設(shè)。=1(^2,6=log53,c=-,則()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

1121,12

33

【詳解】0^ja=-log32<-log39=-=c,Z>=-logs3>-logs25=-=c,

JDJJJJ

所以avc<6.

故選：A.

考點(diǎn)十六：構(gòu)造函數(shù)比較大小

例16.若2"+log2a=4'+2log4。，貝ij()

A.a>2bB.a<2bC.a>h2D.a<h2

【答案】B

【詳解】設(shè)+則“X)為增函數(shù),因?yàn)?"+log2a=4〃+21og"=*+k)g2b

22h2h

所以/⑷一/伽)=2"+log2a-(2*+log22b)=2+log2b-(2+log,2b)=log2|=-l<0,

所以/(a)</(2b),所以a<2b.

1m22b

/(?)-fib)=2"+1。氏a-(2"+1%〃)=2+log2b-(2"+log2Z>)=2-2