高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義與習(xí)題數(shù)列含詳解

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義與習(xí)題

第六章數(shù)列

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

錯(cuò)位相^11法

第一節(jié)等差數(shù)列與等比數(shù)列

考綱解讀

1.理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.

2.掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.

3.能在具體的問(wèn)題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的

問(wèn)題.

4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列的性質(zhì)以及函數(shù)的關(guān)系一直是高考中的熱點(diǎn).

命題趨勢(shì)探究

1.從內(nèi)容上看，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)以及與函數(shù)的關(guān)系一直是高考中的熱點(diǎn).

2.在能力方面，要求學(xué)生具備一定的創(chuàng)新能力和抽象概括能力.

3.從命題形式上看，以選擇、填空題為主，難度不大.

知識(shí)點(diǎn)精講

—?、基本概念

1.數(shù)列

(1)定義.

按照一定順序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.

(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.

從函數(shù)的角度來(lái)看,數(shù)列是特殊的函數(shù).在y=/(x)中，當(dāng)自變量xeN*時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)

值/(1),/(2),/(3),就構(gòu)成一數(shù)列，通常記為｛4｝,所以數(shù)列有些問(wèn)題可用函數(shù)方法來(lái)解

決.

2.等差數(shù)列

(1)定義.

一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一常數(shù)，則該數(shù)列叫做等差

數(shù)歹U,這個(gè)常數(shù)叫做公差,常用字母d表示,即an+x-a,,=d(nwN*).

(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.

若等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)是%，公差是d,則其通項(xiàng)公式為??=a,+(n-l)J=nd+(?,-d),

是關(guān)于〃的一次型函數(shù).或an=am+(n-m)d,公差［=%匚&(直線的斜

n-m

率)(mwn,m,neN*).

(3)等差中項(xiàng).

若x,A,y成等差數(shù)列,那么A叫做x與y的等差中項(xiàng)，即A=苫2或2A=x+y,.在一個(gè)

等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起(有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外)，每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等

差中項(xiàng);事實(shí)上，等差數(shù)列中每一項(xiàng)都是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng).

/\A-A-4c（6f.+an）〃n（n—l）dd72a—d,

（4）等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和S?=-------=na.+---------—n~+-....n（類(lèi)似于

S“=A￡+b）,是關(guān)于〃的二次型函數(shù)（二次項(xiàng)系數(shù)為邑且常數(shù)項(xiàng)為0）.S”的圖像在過(guò)原

點(diǎn)的直線3=0）上或在過(guò)原點(diǎn)的拋物線s工0）上.

3.等比數(shù)列

（1）定義.

一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù),則該數(shù)列叫

做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公比，常用字母4表示,即也=g（qwO,〃eN*）.

（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.

等比數(shù)列的通項(xiàng)為=qg"T=c?"（c=幺）（q,q聲0）,是不含常數(shù)項(xiàng)的指數(shù)型函數(shù).

q

⑶―尸

a?

⑷等比中項(xiàng)

如果x,G,y成等比數(shù)歹U,那么G叫做x與y的等比中項(xiàng)，即G?=孫或G=±而（兩個(gè)同

號(hào)實(shí)數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)）.

（5）等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和

〃4（4=1）

s”=<q（i-q"）=—（豐］）

.\-q\-q

注①等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式有兩種形式,在求等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比q

是否為1,再由g的情況選擇相應(yīng)的求和公式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要分q=l與

4片1兩種情況討論求解.

②己知4,“（gw1）,〃（項(xiàng)數(shù)），則利用Sn）求解；已知4,4,4（斤1：,則利用

i-q

s“=五二求解.

i-q

③S“=巴@二幺2=二包?4"+‘仁=%"一攵（左=0國(guó)力1）,S,為關(guān)于4"的指數(shù)型函數(shù),

\-q\-ql-q

且系數(shù)與常數(shù)互為相反數(shù).例如等比數(shù)列{4},前〃項(xiàng)和為5?=22n+1+r,則r=.解:

2n+1

等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=2+f=2-4”+1,則t=一2。

二、基本性質(zhì)

1.等差數(shù)列的性質(zhì)

(1)等差中項(xiàng)的推廣.

當(dāng)/〃+〃=p+q(m,n,p,qeN")時(shí)，則有am+an=ap+aq,特別地，當(dāng)根+〃=2p時(shí)，則

有=2%-

(2)等差數(shù)列線性組合.

①設(shè)伍“}是等差數(shù)列，則{2%+3(丸力GR)也是等差數(shù)列.

②設(shè){4},{0}是等差數(shù)列，則依生+巧％}(4,4GR)也是等差數(shù)列.

(3)有限數(shù)列.

①對(duì)于項(xiàng)數(shù)為2n的等差數(shù)列,有：

(1)§2“=〃(4+%).

(II)5奇=nan,S^=也,+|,5偶-5奇==—.

)奇an

②對(duì)于項(xiàng)數(shù)為2〃-1的等差數(shù)列,有；

(II)5奇=na?,S偶=(〃_1)?！?，S奇一S儡=",，.=-^―.

S偶n-\

(4)等差數(shù)列的單調(diào)性及前〃項(xiàng)和S“的最值.

公差d>0o{??}為遞增等差數(shù)列，S.有最小值；

公差d<0={a,,}為遞減等差數(shù)列，S,有最大值；

公差4=00{4}為常數(shù)列.

特別地

a,>0

若1，則S“有最大值(所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和)；

[d<0"

a,<0

若，，則S,有最小值(所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和).

[d>0"

(5)其他衍生等差數(shù)列.

若己知等差數(shù)列僅“},公差為d,前〃項(xiàng)和為S“,則：

①等間距抽取%,+(“T”，為等差數(shù)列，公差為以.

②等長(zhǎng)度截取黑,52“,一黑,53皿一S2,“，為等差數(shù)歹山公差為Md.

③算術(shù)平均值幺,區(qū)，區(qū)，為等差數(shù)列，公差為4.

1232

2.等差數(shù)列的幾個(gè)重要結(jié)論

(1)等差數(shù)列｛?！埃?，若?！?肛%=n(mjtn,m,neN*),則。，…=0.

(2)等差數(shù)列｛”“｝中，若S“=m,Sm=〃(機(jī)x〃,機(jī),〃wN*),則S,“+“=-(m+n).

⑶等差數(shù)列｛%｝中，若S,=Sm(m片n,m,nwN*),則Sm+n=0.

⑷若｛6,｝與｛b“｝為等差數(shù)列,且前〃項(xiàng)和為S.與&則維=&.

b”^2m-1

3.等比數(shù)列的性質(zhì)

(1)等比中項(xiàng)的推廣.

若加+〃=p+q時(shí),則aman=apaq,特別地,當(dāng)以+〃=2p時(shí)，a,“。”=aj.

⑵①設(shè)｛4｝為等比數(shù)列，則｛4a,J(X為非零常數(shù))，｛球｝仍為等比數(shù)列.

②設(shè)｛凡｝與｛bj為等比數(shù)列,則｛/b“｝也為等比數(shù)列.

(3)等比數(shù)列｛《,｝的單調(diào)性(等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng)外與公比q決定).

?,>0[a<0

當(dāng)41或〈?時(shí)，｛4｝為遞增數(shù)列；

q>1[0<^<1

a>0[a<0

當(dāng)4?或《?時(shí)，｛%｝為遞減數(shù)列.

0<^<1[q>l

(4)其他衍生等比數(shù)列.

若己知等比數(shù)列｛怎｝，公比為q,前〃項(xiàng)和為S?,則：

①等間距抽取

?！芭c+”。0+2”為等比數(shù)列，公比為/?

②等長(zhǎng)度截取

Sm，S2m-Sm,S3in-S2m,為等比數(shù)列，公比為/(當(dāng)4=一1時(shí)，m不為偶數(shù)).

4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化

(1)若｛4｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，則｛log,q｝(c>0,c￥1)為等差數(shù)列.

(2)若｛a“｝為等差數(shù)列，則｛c""｝(c>0,c聲1)為等比數(shù)列.

(3)若｛6,｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列。｛可)是非零常數(shù)列.

題型歸納及思路提示

題型80等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及基本量的求解

思路提示

利用等差仕匕)數(shù)列的通項(xiàng)公式或前〃項(xiàng)和公式，列出關(guān)于4,4(4)基本量的方程或不等式從

而求出所求的量.

一、求等差數(shù)列的公差及公差的取值范圍

例6.1記等差數(shù)列｛《,｝的前”項(xiàng)和為S"，若S?=4,54=20,則該數(shù)列的公差1=().

A.7B.6C.3D.2

解析S2—a｝+a2=2a]+d=4①

54=4q+6d—20②

由式①②可解得d=3,故選C.

評(píng)注求解基本量用的是方程思想.

變式1等差數(shù)列｛%｝中，巧+。5=10，%=7則數(shù)列｛%｝的公差為().

A.1B.2C.3D.4

變式2已知等差數(shù)列首項(xiàng)為31,從第16項(xiàng)起小于1,則此數(shù)列公差d的取值范圍是().

A.(—oo,—2)B.——C.(—2,+oo)D.1—21

二、求等比數(shù)列的公比

例6.2在等比數(shù)列｛%｝中，。2013=8。刈0,則公比4的值為()?

A.2B.3C.4D.8

解析因?yàn)椤?3=8。2“0，所以</=詠=8,則q=2,故選A.

“2010

變式1等比數(shù)列｛6,｝的前”項(xiàng)和為且4%,2%,%成等差數(shù)列，若％=1,則S4=().

A.7B.8C.15D.16

變式2設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若S2=34+2,S4=3a4+2,

則4=.

變式3等比數(shù)列｛?！埃那皀項(xiàng)和為S?，若5,2523s§成等差數(shù)列，則式“｝的公比為

三、求數(shù)列的通項(xiàng)4

例6.3(1)已知遞增等差數(shù)列｛%｝滿足％=1,%=嫉-4,則a“=.

(2)已知等比數(shù)列｛/｝為遞增數(shù)列,且=?10,2(??+all+2)=5??+1,則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公

式a”="

解析(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.

設(shè)等差數(shù)列公差為d,則由%=媛一4得，l+2d=(l+d)2—4,所以/=4,得4=±2,又

該數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，所以。=2.故%=q+(〃—l)d=2〃—l(〃eN*).

(2)由數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為4,由2(4+an+2)=5a?+l,得2(an+)=5a“q,

即2(l+g2)=5g,解得q=2或2.又片=q0>0,且數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，則4=2.

因此/=%=32,所以％=2"(〃eN*).

變式1S,,為等差數(shù)列伍,｝的前〃項(xiàng)和，52=臬，。4=1，則凡=—.

變式2已知兩個(gè)等比數(shù)列｛4｝,｛列｝,滿足%=1,4-4=1也-4=2也一色=4,求數(shù)

列｛《,｝的通項(xiàng)公式.

例6.4在等差數(shù)列｛4｝中，4+q=8,且％為4和力的等比中項(xiàng)，求數(shù)列3｝的前〃項(xiàng)

和為S”.

解析設(shè)該數(shù)列的公差為d,前〃項(xiàng)和為S”.由已知，得2q+2d=8,(4+3d了=

(6+4)(6+84),所以6+〃=4,4(4一34)=0,解得4=4,4=0或6=l,d=3,即

數(shù)列｛與｝的首項(xiàng)為4,公差為0,或首項(xiàng)為1,公差為3.所以數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S?=4w或

03n2-n

s”二k-

變式1已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和S,,=n2-9n,則其通項(xiàng)a“=;若它的第k項(xiàng)滿足

5</<8,則%=.

n

變式2已知數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和Sn=a-l(a為非零實(shí)數(shù))，那么｛%｝().

A.一定是等差數(shù)列B.一定是等比數(shù)列

C.或者是等差數(shù)列,或者是等比數(shù)列D.既不可能是等差數(shù)列,也不可能是等比數(shù)列

題型81等差、等比數(shù)列的求和

思路提示

求解等差或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和S?,要準(zhǔn)確地記住求和公式,并合理選取公式,尤其是

要注意其項(xiàng)數(shù)〃的值;對(duì)于奇偶項(xiàng)通項(xiàng)不統(tǒng)一和含絕對(duì)值的數(shù)列的求和問(wèn)題要注意分類(lèi)討論.

主要是從〃為奇數(shù)、偶數(shù)，項(xiàng)?！暗恼⒇?fù)進(jìn)行分類(lèi).

一、公式法（準(zhǔn)確記憶公式，合理選取公式）

=1，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）.

例6.5在等比數(shù)列｛4｝（〃€N*）中，若q=1,%

8

2，

8.2一最C?2一擊-一

211

cc11WI

解析由g==0，=—,得q=一，所以S]()=-----=-—=2—-,故選B.

822

2

變式1{4}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S,,為前〃項(xiàng)和，已知%%=1，§3=7,則S,=

變式2設(shè)/>5)=2+24+27+21°++23"+”>(〃GN),則/(〃)=().

7777

A—⑻一1)5.-(8,,+1-1)C.-(8,,+3-l)D.-(8,,+4-l)

7777

二、關(guān)于等比數(shù)列求和公式中4的討論

例6.6設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S?,若S3,S9,S6成等差數(shù)列,求數(shù)列的公比q.

解析若q=1,則S3=3q,S6=6。|,09=9q,因?yàn)?。?,所以S3+S6k2s,，與

S3,S9,S6成等差數(shù)列矛盾,故g￥1.

由題意可得§3+$6=2S9,即有）+一“）=2%d）

\-q1”\-q\-q

整理得j(2/-/-1)=0,又4/0,故2/一/一1=0,即Q/+1)(/-1)=0

因?yàn)獒芄に运韵?《一次

31,/=—g,T—二-----

22

變式1設(shè)數(shù)列｛?！埃堑缺葦?shù)列,其前〃項(xiàng)和為S“，且S3=3%,則其公比q=

變式2求和S”=1+3x4-5x2+7x3+之2,neN*,xeR).

三、關(guān)于奇偶項(xiàng)求和問(wèn)題的討論

例6.7已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為““=(-1)”，2,求其前"項(xiàng)和為s”.

解析⑴當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，S“=l-22+32-4?++(〃-1)2一/

=(1-22)+(32-42)++[(n-l)2-n2]

=-[3+7++(2n-l)]

n

一(3+2“-1)(上]、

2_n(n+1)

―2-2->

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，則〃+1為偶數(shù)，

訴”cc八(n+l)(?+2)2〃(〃+1)

所以S“=Sn+i-an+]=-------------+(〃+1)=---.

-萼2(〃為正偶數(shù))

綜上，S.二j

妁羅(〃為正奇數(shù))

評(píng)注：本題中，將〃為奇數(shù)的情形轉(zhuǎn)化為〃為偶數(shù)的情形，可以避免

不必要的計(jì)算，此技巧值得同學(xué)們借鑒和應(yīng)用。

變式1已知數(shù)列｛4｝中，通項(xiàng)％/譬鬻巴，,求其前〃項(xiàng)和s..

3(〃為止偶數(shù))

四、對(duì)于含絕對(duì)值的數(shù)列求和

例6.8已知數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)和S“=10〃一/，數(shù)列例｝的每一項(xiàng)都有

bn=|a?|,求數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和Tn

解析：由S“=10〃—〃2,當(dāng)〃z2時(shí)，S,i=10(〃-l)—(〃-l)2,

%=S■-S,i=-2〃+11

當(dāng)幾=1時(shí)，，q=S[=9滿足%=—2〃+11,故?！?一2〃+11(ncN")

由a=同，當(dāng)〃<5時(shí)、bn=an=-2n+11

2

此時(shí)Tn=|^||H----F=4H----F=1On—n

當(dāng)〃26時(shí)，bn=-an=2n-11

此時(shí),？=|4|+?一+|〃5|+,6|+?一+|°〃|=6+?一+〃5~a6

——(。］+?,?+cin)+2s5=—10〃+5()

10/7-n2(n<5,nGN")

故數(shù)列例｝的前幾項(xiàng)和7；

n2-10〃+50(〃26,〃￡N*)

評(píng)注：由正項(xiàng)開(kāi)始的遞減等差數(shù)列｛4｝的絕對(duì)值求和的計(jì)算題解題步驟如下:

(1)首先找出零值或者符號(hào)由正變負(fù)的項(xiàng)a,1n

S

(2)在對(duì)〃進(jìn)行討論，當(dāng)〃4時(shí)，Tn=Sn,當(dāng)〃>%時(shí)，Tn=2sM-n

變式1在等差數(shù)列｛2｝中，4。=23,25=-22,其前n項(xiàng)和為5?

(1)求使5“<0的最小正整數(shù)〃

⑵求Tn=|fi!||+1</21+,?,+1<2?|的表達(dá)式

變式2(2012湖北理18)已知等差數(shù)列｛&｝前三項(xiàng)的和為-3,前三項(xiàng)的積為8.

(1)求等差數(shù)列｛。〃｝的通項(xiàng)公式

⑵若a2,a3,ax成等比數(shù)列，求數(shù)歹11｛%|｝的前”項(xiàng)和

題型82等差、等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用

思路提示

利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，主要是利用：

①等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)

②等差數(shù)列中S,S,~S,S,—S,,???成等差數(shù)列；

m72mm73m2m7

等比數(shù)列中Sm7,S,2m-Sm73m—S2,m,7…(當(dāng)91=—1時(shí)加不為偶數(shù))成等比數(shù)列.

③等差數(shù)列S2,i=(2〃-1)凡

④等差數(shù)列的單調(diào)性

利用以上性質(zhì)，對(duì)巧解數(shù)列的選擇題和填空題大有裨益。

一、利用性質(zhì):當(dāng)機(jī)+〃=〃+4(肛〃,〃，46"")時(shí)，，在等差數(shù)列｛a“｝中，有

am+an=ap+4；在等比數(shù)列也”｝中，有bmbn=b九求解。

例6.9己知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5,，若％=18-%，則§8等于()

A、18B、36C、54D、72

5_Lr-I/口.c41(Q[+Qq)x8(ClA4-Cie)X8LL3

解析：由%=18-々5得4+。5=18,S8=-----1----==-----------=72故選D

變式1設(shè)數(shù)列｛4｝,｛，｝都是等差數(shù)列，若q+乙=7,4+4=21，則%+/=

變式2在等差數(shù)列｛4｝中，己知能+仇=16,則該數(shù)列的前11項(xiàng)和S”等于（）

A、58B、88C、143D、176

變式3在等差數(shù)列｛4｝中，2（6+。4+。7）+339+為）=24,則該數(shù)列的前13項(xiàng)和13

等于（）A、13B、26C、52D、156

變式4在等差數(shù)列｛/｝中，q+%+%=39,4+4+的=27,則該數(shù)列的前9項(xiàng)和59

等于（）A、66B、99C、144D、297

二、利用等差數(shù)列中s,s,-s—s,,???成等差數(shù)列；

tn72tntn7hm2m7

等比數(shù)列中一S"，s”“一￡“,，???（當(dāng)q=—1時(shí)機(jī)不為偶數(shù)成等比數(shù)列求解。

例6.10等差數(shù)列此｝的前〃項(xiàng)和為5“，若&=2,S4=10,則§6等于（）

A、12B、18C、24D、42

解析：由$2,S4-SR—S4成等差數(shù)列且§2=2,S4-S2=8知§6-54=14,可得§6=14+

54=24故選C

評(píng)注：本題除了使用本法求解之外，還有幾種求解方法，如（1）基本量法；（2）使用

I〃J

為等差數(shù)列求解；（3）使用5“=an2+bn｛nGN"）求解

變式1等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若&=L,貝4旦=（）

43Ss

3111

A、—B、一C、一D、一

10398

變式2等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若2=3,則之=（）

S3S。

78

A、2B、一C、一D、3

33

三、用有限等差數(shù)列的性質(zhì)求解

例6.11已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公差為（）

A、5B、4C,3D、2

解析：依題意有S奇=4+。3+“5+。7+。9=15，S偶=%+“4+&+。8+。10=30，

可知S偶一S奇=54=15,得d=3,故選C

變式1已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為377,項(xiàng)數(shù)〃為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和

之比為7:6,求中項(xiàng)

變式2已知數(shù)列｛4｝與也,｝都是等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和為S”與7；,且盤(pán)=乂土生，則

E,〃+3

使得組為整數(shù)的正整數(shù)〃的個(gè)數(shù)是()

A、2B、3C、4D、5

四、利用等差、等比數(shù)列的單調(diào)性求解

例6.12已知數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，且對(duì)〃eN*,都有4=/+幼，則實(shí)數(shù)力的取值范

圍是()

7

A、(——,+00)B、［0,+<x>)C、［—2,+oo)D、(—3,+oo)

解析：由遞增數(shù)列的定義，。,用>aJnwN*),得凡+i—%=2〃+1+4>0,即；I>一2〃-1,

〃@N*恒成立，則；1>一3,故選D

評(píng)注：(1)【錯(cuò)解】因?yàn)?="+相=(〃+2)2一］，由題意知｛4｝是遞增數(shù)列，所以

《,="+助在1+0。)上是單調(diào)遞增函數(shù)。因此可得―1<1=22—2,即所求彳的取值

范圍是22一2.以上解答由｛a“｝是遞增數(shù)列斷定為=〃2+為7在1,+0。)上是單調(diào)遞增函數(shù)，

這是錯(cuò)誤的，因?yàn)閿?shù)列通項(xiàng)公式中的〃是正整數(shù)，而不是?。?,心)上的任意實(shí)數(shù)。如圖6-1

所示的數(shù)列｛q｝顯然是遞增數(shù)列，但不滿足-事實(shí)上，-與<3.

圖6-1

上述錯(cuò)解是由于忽略〃的取值范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤。

(2)在處理數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)應(yīng)利用數(shù)列的單調(diào)性定義，即“若數(shù)列｛《,｝是遞增數(shù)列

oX/neN*,a〃+]＞?！ê愠闪ⅰ?。

(3)數(shù)列?！?/(〃)的單調(diào)性與y=/(x),的單調(diào)性不完全一致。

一般情況下我們不應(yīng)把數(shù)列的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為相應(yīng)連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)處理。但若數(shù)列對(duì)應(yīng)的

連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則可以借助其單調(diào)性來(lái)求解數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題。即“離散函數(shù)有單調(diào)

性勢(shì)連續(xù)函數(shù)由單調(diào)性；連續(xù)函數(shù)有單調(diào)性=離散函數(shù)有單調(diào)性

變式1已知函數(shù)/(x)=<G—3,(X47),若數(shù)列｛”"｝滿足勺=/(〃)(〃eN*),且

a,>'/

｛a,J是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

「9、9

A、-,3B、(-,3)C、(2,3)D、(1,3)

L4)4

例6.13在等差數(shù)列｛”“｝中，己知q=20,前〃項(xiàng)和為S“，且九二心，

求當(dāng)〃為何值時(shí)，S“取最大值，并求此最大值。

分析：由4=20及九=%，可求出d，進(jìn)而求出通項(xiàng)，由通項(xiàng)得到此數(shù)列前多少項(xiàng)為正，

或利用5“是關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求解。

解析解法一：因?yàn)閝=20,￡O=S15,所以

1八c八10x9,、uc八15x14.,5

1Ox204------d=15x20H---------d,得znd——，

223

所以?！?20+(〃一l)x(-g)=—1〃+號(hào)，故a”=。，當(dāng)〃工12時(shí)，>0；當(dāng)〃之14時(shí)、

%<0；所以當(dāng)〃=12或力=13時(shí)，S“取最大值，最大值為S12=S]3=130

解法二：依題意，5〃=卬22+力13工0),如圖6?2所示。

由次=%得〃=12或〃=13時(shí)5“取最大值，一聶等，得到。=一|力=限

05125

S=-—n2H----n,Se[2=S3=130

n66

=*:由S[0—S]5知j+6f12+413+。]4+《5=0?故5。]3=0，得。]3=0,

&=寫(xiě)里=一2,故當(dāng)“=12或〃=13時(shí)S”取最大值，最大值為S|2=S|3=130.

評(píng)注：求等差數(shù)列前〃項(xiàng)和S”的最值的常用方法如下：

（1）利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)。

（2）利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可以求得和的最值。

（3）利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和5“=。/+勿?（。￥0）為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最

值。

變式1數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，若如■＜-】，且其前〃項(xiàng)和S,有最小值，那么當(dāng)S“取最小值

。10

時(shí)，幾等于（）

A、11B、17C、19D、20

變式2設(shè)等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為4,公比為q,則“％＜0且0＜夕＜1”是“對(duì)于任意〃GN*

都有q+1＞凡”的（）

A、充分不必要條件B、必要不充分條件

C、充分必要條件D、既不充分也不必要條件

變式3已知凡/一吧則在數(shù)列｛。,｝的前50項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是

〃一。79

)

A、Q],Q50B、Qg，〃50C、。8，“9D、。9，“8

題型83判斷和證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列

思路提不

判斷和證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列常見(jiàn)的3中方法如下：

（D定義法：對(duì)于〃22的任意正整數(shù)，都有a“-%T（或2?）為同一常數(shù)（用于證明）。

（2）通項(xiàng)公式法：

①若a“=q+（〃—1）3=〃4+（6-4）,則數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列（用于判斷）：

②若=色?。"=。?小則數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列（用于判斷）;

(3)中項(xiàng)公式法：

①若2%=+4的(〃22,〃eN*),則數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列(用于證明)；

②若用(〃N2,〃eN*),則數(shù)列｛a“｝為等比數(shù)列(用于證明)；

一、定義法

例6.14(1)設(shè)｛4｝為等差數(shù)列，證明：數(shù)列上冊(cè)｝(c>O,cwl)是等比數(shù)列。

(2)設(shè)｛4｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，證明：數(shù)列｛log,.a“｝(c>O,cHl)是等差數(shù)列。

分析本題蔣函數(shù)與數(shù)列巧妙地結(jié)合，完美地進(jìn)行等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化，可利用定義

法證明。

解析(1)｛a“｝為等差數(shù)列，則?！耙?_1=4(〃N2,〃eN*,d為常數(shù))，令a=產(chǎn)，則

號(hào)=二==c”工0是常數(shù)，所以數(shù)列上"｝是等比數(shù)列。

(2)｛a,,｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，則-(q>0)令2=1o呼“，則

an

%一2=1。甑+iT°的=1。a是常數(shù)，所以數(shù)列｛log,a“｝是等差數(shù)列。

評(píng)注將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，利用指數(shù)運(yùn)算來(lái)轉(zhuǎn)化;將正項(xiàng)等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列,

利用對(duì)數(shù)運(yùn)算來(lái)轉(zhuǎn)化。

變式1在數(shù)列｛%｝中，S,+1=4?！?2且q=1

⑴設(shè)a=??+|-2a,,,求證：數(shù)列也,｝是等比數(shù)列

(2)設(shè)g=云，求證：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列

變式2數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為5“，已知q=l,m(〃=2,3,4,…)，證明：

n

數(shù)列｛1｝是等比數(shù)列。

變式3已知定義在R上的函數(shù)/(x)和數(shù)列｛a,J滿足下列條件：G=。，

4=/3“-1)(〃=2,3,4,…)，(%*/),/(a“)一/(6”])=Ha“一a“_1)

(〃=2,3,4,…)，其中。為常數(shù)，人為非零常數(shù)。令包="向一生(〃eN*),證明：數(shù)列

也“｝為等比數(shù)列。

二、中項(xiàng)公式法

例6.15已知數(shù)列｛”“｝滿足q=1,4=3，。“+2=3。“+|-2a“(〃eN*).

(1)證明：數(shù)列｛an+l-a,,｝為等比數(shù)列。

(2)求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式。

(3)若數(shù)列也｝滿足4"門(mén)?華-，型門(mén)?…?4〃”T=(見(jiàn)+1盧(〃eN*),證明：數(shù)列也,｝是

等差數(shù)列。

分析第(1)問(wèn)利用定義證明；由第(1)問(wèn)可得｛4｝的通項(xiàng)公式；第(3)問(wèn)的解答需要

將｛4,｝的通項(xiàng)公式帶入并整理。三間環(huán)環(huán)相扣，每一問(wèn)都是后一問(wèn)解題的基礎(chǔ)。

解析(1)因?yàn)閍*=3a“+i-2a“，所以?！?2-a.+i=2(a“+1-/)，即

“，，+2-4用=2,(〃eN*),又a,-q=2,故數(shù)列｛a,用一a“｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等

aa

n+l-?

比數(shù)列。

(2)由(1)得=2"(〃￡N")

2H_1

故出―q=21a3—a2=2fa4—a3=9…，an—an_x-2(n>2)

疊加得到/一%=出二^=2"-2,所以%=2"-l(/?>2)〃=1時(shí)也成立，所以

"11-2

a“=2"-l(〃GN*)

(3)由(2)可知4"小?4”-1.心t?…?4〃"T=(a“+l)4,

即4的+5也-")=2咻,故2(bi+b2+---+bn)-2n=nbn

設(shè)S”為數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和，則2S,,-2〃=〃勿①，

2s,用一2(〃+1)=(〃+1應(yīng)用②，

兩式相減得2%-2=5+l)b?+1-nbn即他一2=(〃一1)%③

則有(〃一1)6,1-2=(〃-2)勿@(/?>2)@一③得2(〃一\)b?=(〃一皿e+(〃-IM,-，

即2bn=bn+l+%(心2)故數(shù)列物,｝是等差數(shù)列。

評(píng)注第(1)問(wèn)給出數(shù)列｛4｝的一個(gè)遞推公式，要證明形如｛a,用-〃,,｝的數(shù)列為等差或等

比數(shù)列，一般將遞推公式代入，利用定義法證明。利用等差中項(xiàng)法解決第(3)問(wèn)并不能明

顯看出來(lái)，這需要在對(duì)第(3)問(wèn)的整理和變形中去發(fā)現(xiàn)解題方法。在解數(shù)學(xué)題時(shí)，既要有

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，也要勇于探索嘗試。

變式1設(shè)｛%｝是公比不為1的等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，且%，的，久成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛?！埃墓?；

(2)證明：對(duì)任意S-,SQSN成等差數(shù)列.

變式2設(shè)數(shù)列…中的每一項(xiàng)都不為0.

證明：｛《,｝為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何〃eN+，都有一匚+—L+

4a2a2a3anan+i

n

嘰+i

題型84等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

思路提示

(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化：等差數(shù)列通過(guò)指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)等比數(shù)列，正項(xiàng)等

比數(shù)列通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列。

(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零

常數(shù)數(shù)列。

一、等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化

例6.16已知數(shù)列此｝,也,｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)g=%(〃eN*)

(1)數(shù)列｛%｝是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論

(2)設(shè)數(shù)列｛in4｝,｛in2｝的前〃項(xiàng)和分別為S“，卻若q=2,鼠=，—，求數(shù)列｛%｝

T?2及+1

的前〃項(xiàng)和

解析(1)數(shù)列｛g｝是等比數(shù)列。依題意，設(shè)｛/｝的公比為名(小〉0),位,｝的公比為%

(%>0),

則氾=2±="，故數(shù)列｛%｝是等比數(shù)歹u。

*久1

（2）由題意知數(shù)列｛in4“｝,｛山2｝都是等差數(shù)列，且盤(pán)=」一，

T?2〃+1

得到鼠」=也n=@"，因?yàn)镮n。，，Inb,都是關(guān)于〃的一次型函數(shù)，可令lna“

QT4〃一1Inbn

-r（2/?—1）,則Inbn=r（4九一1）（廠w0）當(dāng)〃=1時(shí)，Inq=r=In2,即In4=（2〃-l）ln2,

,、4

a“=22"T,同理a=2"1,故c“=4",進(jìn)一步可得數(shù)列｛qj的前〃項(xiàng)和為2（4"-1）

變式1設(shè)數(shù)列｛為｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，且%。6=81，那么log3%+log3%+…+bg34o

的值是（）

A、30B、20C、10D、5

變式2已知等比數(shù)列｛%｝滿足各項(xiàng)均為正數(shù)，且見(jiàn)4.-5=22"（n>3）,則當(dāng)〃21時(shí)，

logzG+log2a3+…+bg2a2.-1等于（）

A、n（2n-l）B、（"+1）2C、n2D、（H-I）2

變式3設(shè)｛a“｝是公比大于1的等比數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S“，已知S3=7,且q+3,3a2,

%+4構(gòu)成等差數(shù)列。

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)；

（2）令a=ln4"+i（〃eN*）,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和T”.

二、等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯問(wèn)題

3

例6.17已知首項(xiàng)為］的等比數(shù)列｛許｝不是遞減數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S”（〃wN"）,且

S3+a3,S5+a5,S4+%成等差數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式。

分析利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件求出公比q,進(jìn)而可得通項(xiàng)公式。

解析設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,因?yàn)镾3+%，S5+a5,$4+%成

21

等差數(shù)列，所以2（S5+%）=邑+。3+54+。4,即4。5=。3,于是。=^，又?jǐn)?shù)列

31

｛a“｝不是遞減數(shù)列，q=§，所以9=一］，故數(shù)列｛a,J的通項(xiàng)公式

%=]"!嚴(yán)=（_1）-

222

變式1設(shè)數(shù)列｛。“｝是首項(xiàng)為a,公差為d（dwO）的等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S”記

s

2

b"=*,（neTV,）,配夕，成等比數(shù)列，證明：Snk=nSk（左,〃eN*）

n

例6.18在等差數(shù)列｛4｝中，公差d。（），的是《與4的等比中項(xiàng)，已知數(shù)列外,%，%，

%，…，他，…成等比數(shù)列，求數(shù)列｛幺｝的通項(xiàng)心

解析依題意可得靖=6%，所以3+d）2=q（q+30,由可得

q=d,則a“=〃d,由已知得d,3d,"d,42",…是等比數(shù)列。

因?yàn)樗?,3,匕,右,…,4,…成等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為3,

由此匕=9,所以幻=9x3"T=3的"N*）,故數(shù)列｛尤｝的通項(xiàng)為兒=3"|

a

變式1設(shè)2009個(gè)不全相等的正數(shù)％,a2,■■■,“2009依次圍成一個(gè)圓圈，且。|，2,■,,,

《005是公差為d的等差數(shù)列，而%，。2009”2008，…，《006是公比為4的等比數(shù)列，?2=51

求通項(xiàng)

a2008+?2009=12ct1,a“（〃42009,〃eN”）

例6,19設(shè)q,生，…,“”是各項(xiàng)均不為零的〃（〃之4）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差1。（）.若將此數(shù)列

刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列（按原來(lái)的順序排列）是等比數(shù)列。

（1）①當(dāng)〃=4時(shí)，求4?的數(shù)值；②求〃的所有可能值.

d

（2）求證：對(duì)于給定的正整數(shù)〃（〃24）,存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為0的等差數(shù)列

打其中任意三項(xiàng)（按原來(lái)的順序）都不能組成等比數(shù)列。

解析（1）①依題意，等差數(shù)列為％,。2，。3，。4，假設(shè)要?jiǎng)h去4或。4,當(dāng)刪去4時(shí)，a2,a3,a4

既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，故d=0,與題意不合；當(dāng)刪除久時(shí)，％,4，%既是等差數(shù)

列又是等比數(shù)列，故d=0,與題意不合；因此刪去的項(xiàng)只能是々或的若刪去的，則由

%,由，。4成等比數(shù)列，得（％+24）2=4（《+34）.因故由上式得％=-4d,即如

=-4.jt匕時(shí)數(shù)列為一4”,-34,-24,-4,滿足題設(shè).若刪去附，則4,4,4成等比數(shù)列，得

(q+d)2=q(4+3d).因d/O,故由上式得q=d,即幺=1.此時(shí)數(shù)列為

d

d,2d,3d,4d滿足題設(shè).

綜上可知色的值為-4或1.

d

②一個(gè)“基本事實(shí)”：一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則該數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列。當(dāng)n*

時(shí)，則從滿足題設(shè)的數(shù)列％,外，…,為中刪去任意一項(xiàng)后得到的數(shù)列，必有原數(shù)列中的連續(xù)

三項(xiàng)，從而這三項(xiàng)既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，故知，數(shù)列4，生，的公差必為0,這

與題設(shè)矛盾.所以滿足題設(shè)的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)〃<5.又因題設(shè)〃24,故〃=4或〃=5.

當(dāng)〃=4時(shí)，由(1)中的討論知存在滿足題設(shè)的數(shù)列.

當(dāng)〃=5時(shí)，若存在滿足題設(shè)的數(shù)列q,4,%，4，%，則由“基本事實(shí)''知，刪去的項(xiàng)只能是出，

從而ax,a2,a?a5成等比數(shù)列，故⑷+1產(chǎn)=4(6+34)且

(q+3d)2=(q+a)(6+4d).分別化簡(jiǎn)上述兩個(gè)等式，得q=d和4=-5d,故

d=0.矛盾.因此，不存在滿足題設(shè)的項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列.綜上可知，〃只能為4.

(2)假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)〃，存在一個(gè)公差為人的〃項(xiàng)等差數(shù)列

b[,b[+k「??b、+(n-l)k,其中三項(xiàng)力]+班Z,b]+m2k,4+加3%成等比數(shù)列，這里

2

0<tnl<m2<m3<n-lf則有(仇+m2k)=(4+機(jī)/)(4+m3k),整理得

(欣一班機(jī)3)攵2=(町+%一2a2)。#,由。/w0得：叫+多—2%=。且底一機(jī)即3=0

或者當(dāng)m,+m3—2m2，0且根;一根]的w0時(shí)，—=————

k町+g-2ml

若/叫+機(jī)3-2m2-0且m；一仍加3=0,則m]=m2=m3,矛盾。

若且=應(yīng)一町嗎，等式右邊為有理數(shù)，當(dāng)與為無(wú)理數(shù)時(shí)就產(chǎn)生矛盾。因此，只要與

k町+砥一2mlkk

為無(wú)理數(shù)，｛/｝中任意三項(xiàng)不構(gòu)成等比數(shù)列。

評(píng)注本題考察了一個(gè)基本事實(shí)：一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列是非零常

數(shù)數(shù)列。

變式1、設(shè)等差數(shù)列｛4,｝包含1和后，求證：｛%｝中的任意三項(xiàng)不構(gòu)成等比數(shù)列。

最有效訓(xùn)練題23（限時(shí)45分鐘）

1、等差數(shù)列｛勺｝的公差不為零，首項(xiàng)q=1,%是%和生的等比中項(xiàng)，

則數(shù)列｛%｝的前10項(xiàng)之和是（）

A、90B、100C、145D、190

2、設(shè)數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S”，已知6+%+%=外，

%+%+/=93,若對(duì)任意的〃eN*,都有S“4S?,則％的值為（）

A、22B、21C、20D、19

3、如果等差