高中數(shù)學(xué)映射教案-高中數(shù)學(xué)

2.1映射

教學(xué)目標(biāo)

1.了解映射的概念，象與原象的概念，和?一映射的概念.

(1)明確映射是特殊的對應(yīng)即由集合，集合和對應(yīng)法則/■三者構(gòu)成的一個(gè)整體，知道

映射的特殊之處在于必須是多對?和?對一的對應(yīng)；

(2)能準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)符號表示映射，把握映射與一一映射的區(qū)別；

(3)會求給定映射的指定元素的象與原象，了解求象與原象的方法.

2.在概念形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察，比較和歸納的能力.

3.通過映射概念的學(xué)習(xí)，逐步提高學(xué)生對知識的探究能力.

教學(xué)建議

教材分析

(1)知識結(jié)構(gòu)

映射是一種特殊的對應(yīng)，一一映射又是?種特殊的映射，而且函數(shù)也是特殊的映射，它

們之間的關(guān)系可以通過下圖表示出來，如圖：

由此我們可從集合的包含關(guān)系中幫助我們把握相關(guān)概念間的區(qū)別與聯(lián)系.

(2)重點(diǎn)，難點(diǎn)分析

本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)是映射和一映射概念的形成與認(rèn)識.

①映射的概念是比較抽象的概念，它是在初中所學(xué)對應(yīng)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來.教學(xué)中應(yīng)特

別強(qiáng)調(diào)對應(yīng)集合三中的唯一這點(diǎn)要求的理解；

映射是學(xué)生在初中所學(xué)的對應(yīng)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，對應(yīng)本身就是由三部分構(gòu)成的整體，包

括集合A和集合B及對應(yīng)法則f,由于法則的不同，對應(yīng)可分為一對一，多對一，一對多和

多對多.其中只有一對一和多對一的能構(gòu)成映射，由此可以看到映射必是“對B中之唯一”，

而只要是對應(yīng)就必須保證讓A中之任一與B中元素相對應(yīng)，所以滿足一對??和多對一的對應(yīng)

就能體現(xiàn)出“任一對唯一”.

②而一一映射又在映射的基礎(chǔ)上增加新的要求，決定了它在學(xué)習(xí)中是比較困難的.

教法建議

(1)在映射概念引入時(shí)，可先從學(xué)生熟悉的對應(yīng)入手，選擇一些具體的生活例子，然

后再舉一些數(shù)學(xué)例子，分為一對多、多對一、多對一、一對一四種情況，讓學(xué)生認(rèn)真觀察，

比較，再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中一對一和多對一的對應(yīng)是映射，逐步歸納概括出映射的基本特征,

讓學(xué)生的認(rèn)識從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識.

(2)在剛開始學(xué)習(xí)映射時(shí)，為了能讓學(xué)生看清映射的構(gòu)成，可以選擇用圖形表示映射，

在集合的選擇上可選擇能用列舉法表示的有限集，法則盡量用語言描述，這樣的表示方法讓

學(xué)生可以比較直觀的認(rèn)識映射，而后再選擇用抽象的數(shù)學(xué)符號表示映射，比如：

這種表示方法比較簡明，抽象，且能看到三者之間的關(guān)系.除此之外，映射的一般表示

方法為裊TB,從這個(gè)符號中也能看到映射是由三部分構(gòu)成的整體，這對后面認(rèn)識函數(shù)

是三件事構(gòu)成的整體是非常有幫助的.

(3)對于學(xué)生層次較高的學(xué)校可以在給出定義后讓學(xué)生根據(jù)自己的理解舉出映射的例子，

教師也給出一些映射的例子，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)映射的特點(diǎn)，并用自己的語言描述出來，最后

教師加以概括，再從中引出一一映射概念；對于學(xué)生層次較低的學(xué)校，則可以由教師給出一

些例子讓學(xué)生觀察，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)映射的特點(diǎn)，一起概括.最后再讓學(xué)生舉例，并逐步

增加要求向映射靠攏，引出一--映射概念.

(4)關(guān)于求象和原象的問題，應(yīng)在計(jì)算的過程中總結(jié)方法，特別是求原象的方法是解方

程或方程組，還可以通過方程組解的不同情況(有唯一解，無解或有無數(shù)解)加深對映射的認(rèn)

識.

(5)在教學(xué)方法上可以采用啟發(fā)，討論的形式，讓學(xué)生在實(shí)例中去觀察，比較，啟發(fā)學(xué)

生尋找共性，共同討論映射的特點(diǎn)，共同舉例，計(jì)算，最后進(jìn)行小結(jié)，教師要起到點(diǎn)撥和深

化的作用.

教學(xué)設(shè)計(jì)方案

2.1映射

教學(xué)目標(biāo)(1)了解映射的概念，象與原象及一一映射的概念.

(2)在概念形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察，分析對比，歸納的能力.

(3)通過映射概念的學(xué)習(xí)，逐步提高學(xué)生的探究能力.

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：：映射概念的形成與認(rèn)識.

教學(xué)用具：實(shí)物投影儀

教學(xué)方法：啟發(fā)討論式

教學(xué)過程：

一、引入

在初中，我們已經(jīng)初步探討了函數(shù)的定義并研究了幾類簡單的常見函數(shù).在高中，將利

用前面集合有關(guān)知識，利用映射的觀點(diǎn)給出函數(shù)的定義.那么映射是什么呢?這就是我們今天

要詳細(xì)的概念.

二、新課

在前一章集合的初步知識中，我們學(xué)習(xí)了元素與集合及集合與集合之間的關(guān)系，而映射

是重點(diǎn)研究兩個(gè)集合的元素與元素之間的對應(yīng)關(guān)系.這要先從我們熟悉的對應(yīng)說起（用投影儀

打出一些對應(yīng)關(guān)系，共6個(gè)）

B

巴

向

一6

1

M

僖

書

證

圖四

我們今天要研究的是一類特殊的對應(yīng)，特殊在什么地方呢？

提問1：在這些對應(yīng)中有哪些是讓A中元素就對應(yīng)B中唯一一個(gè)元素？

讓學(xué)生仔細(xì)觀察后由學(xué)生回答，對有爭議的，或漏選，多選的可詳細(xì)說明理由進(jìn)行討論.最

后得出（1）,（2）,（5）,（6）是符合條件的（用投影儀將這幾個(gè)集中在一起）

提問2：能用自己的語言描述一下這兒個(gè)對應(yīng)的共性嗎？

經(jīng)過師生共同推敲，將映射的定義引出.（主體內(nèi)容由學(xué)生完成，教師做必要的補(bǔ)充）

（板書）

一,映射

i.定義:一般地，設(shè)兩個(gè)集合，如果按照某種對應(yīng)法則廣，對于集合二中的任何

一個(gè)元素，在集合三中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合2及二到

三的對應(yīng)法則）叫做集合二到集合三的映射，記作了：'TB.

定義給出之后，教師應(yīng)及時(shí)強(qiáng)調(diào)映射是特殊的對應(yīng)，故是三部分構(gòu)成的一個(gè)整體，從映

射的符號表示中也可看出這一點(diǎn)，它的特殊之處在于元素與元素之間的對應(yīng)必須作到“任一

對唯一”，同時(shí)指出具有對應(yīng)關(guān)系的元素即三中元素2對應(yīng)三中元素士，則孑叫？的象,

二叫上的原象.

（板書）

2.象與原象

可以用前面的例子具體說明誰是誰的象，誰是誰的原象.

提問3：下面請同學(xué)根據(jù)自己對映射的理解舉幾個(gè)映射的例子,看對映射是否真正認(rèn)識了.

（開始時(shí)只要是映射即可，之后可逐步提高要求，如集合是無限集，或生活中的例子等）

由學(xué)生自己評判.之后教師再給出幾個(gè)（主要是補(bǔ)充學(xué)生舉例類型的不足）

6?卜申｝…一”…B

（2）二6

（3）除以3的余數(shù).

（4）上-｛高一1班同學(xué)｝,三■｛入學(xué)是數(shù)學(xué)考試成績｝,『對自己的考試成績.

在學(xué)生作出判斷之后，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)映射的性質(zhì)（教師適當(dāng)提出研究方向由學(xué)生說，再由

老師概括）

（板書）3.對概念的認(rèn)識

⑴_f：AT8與/：ST.是不同的，即三與三上有序的.

（2）象的集合是集合B的子集.

（3）集合A,以是數(shù)集，也可以是點(diǎn)集或其它集合.

在剛才研究的基礎(chǔ)上，教師再提出（2）和（4）有什么共性，能否把它描述出來，如果學(xué)生

不能找出共性，教師可再給出幾個(gè)例子，（用投影儀打出）

如:

AB

⑴

（2）/.｛數(shù)軸上的點(diǎn)｝，了實(shí)數(shù)與數(shù)軸上相應(yīng)的點(diǎn)對應(yīng).

（3）==｛中國，日本，韓國｝,3=｛北京，東京，漢城｝,產(chǎn)相應(yīng)國家的首都.

引導(dǎo)學(xué)生在元素之間的對應(yīng)關(guān)系和元素個(gè)數(shù)上找共性，由學(xué)生提出兩點(diǎn)共性集合A中不

同的元素對集合B中不同的元素;②B中所有元素都有原象.

那么滿足以上條件的映射又是一種特殊的映射，稱之為一一映射.

（板書）4.一一映射

（1）定義:設(shè)A,B是兩個(gè)集合，是集合A到集合B的映射，如果在這個(gè)映

射下對于集合A中的不同元素，在集合B中又不同的象，而且B中每一個(gè)元素都有原象，那

么這個(gè)映射叫做A到B上的——映射.

給出定義后，可再返回到剛才的例子，讓學(xué)生比較它與映射的區(qū)別，從而進(jìn)一步明確''一

一”的含義.然后再安排一個(gè)例題.

例1下列各表表示集合A（元素a）到集合B（元素b）的一個(gè)映射，判斷這些映射是不是A

到B上的---映射.

a3456

b23456

圖四

其中只有第三個(gè)表可以表示一一映射，由此例點(diǎn)明-一一映射的特點(diǎn)

（板書）（2）特點(diǎn):兩個(gè)集合間元素是一對一的關(guān)系，不同的對的也一定是不同的（元素個(gè)數(shù)相

同）；集合B與象集C是相等的集合.

對于映射我們現(xiàn)在了解了它的定義及特殊的映射--映射，除此之外對于映射還要求能

求出指定元素的象與原象.

（板書）5.求象與原象.

例2⑴從R到肥的映射/則R中的-1在K?中的象是—：A?中

的4在R中的原象是.

⑵在給定的映射「（W）T（x+z.?-r）r,則點(diǎn)。為在丁下的象是

,點(diǎn)a為在』下的原象是.

⑶廣4T8是集合A到集合B的映射，4-8?旦/:XT—-2x7,則八

中元素1+JE的象是_,B中象。的原象是_B中象-6的原象是_

由學(xué)生先回答第（1）小題，之后讓學(xué)生自己總結(jié)一下，應(yīng)用什么方法求象和原象，學(xué)生找

到方法后，再在方法的指導(dǎo)下求解另外兩題，若出現(xiàn)問題，教師予以點(diǎn)評，最后小結(jié)求象用

代入法，求原象用解方程或解方程組.

注意：所解的方程解的情況可能有多種如有唯一解，也可能無解，可能有無數(shù)解，這與

映射的定義也是相吻合的.但如果是---映射，則方程一定有唯一解.

三、小結(jié)

1.映射是特殊的對應(yīng)

2.一-映射是特殊的映射.

3.掌握求象與原象的方法.

四、作業(yè)：略

五、板書設(shè)計(jì)

一映射舉例例2

1.定義4.一一映|寸

2.象與原莪（1）定義

舉例例I小結(jié)

②特點(diǎn)

3.對概念的認(rèn)識5.求費(fèi)與原象作業(yè)

擴(kuò)展資料

逆映射

在本節(jié)中我們介紹了映射與一一映射的概念，并將以此為基礎(chǔ)學(xué)習(xí)函數(shù)的概念.對于一

一映射還可以進(jìn)一步做一點(diǎn)研究.

如圖：

圖⑴圖(2)

容易看出，圖中(1)表示的映射是在J,作用下，后到三上的一一映射，圖(2)所示的映

射是在W的作用下集合三到集合史上的一一映射，在映射的作用下的象與原

象，分別是在映射唐：ST■的作用下的原象與象，由此引出一個(gè)新概念稱為逆映射.

定義:設(shè)是集合二到集合三上的一一映射，如果對于=中每一個(gè)元素上，

使上在上中的原象」和它對應(yīng)，這樣得到的映射稱為映射7：8的逆映射，記作

尸：6T4

由定義不難看出只有一一映射才有逆映射，若4T8是一一映射,則/T:BT4

也是一一映射，剛才圖中(1)(2),就是/:AT6的逆映射

對于逆映射，它對于我們后面所學(xué)的反函數(shù)概念的理解有很大的幫助，也可以幫助我們

認(rèn)清反函數(shù)與原來函數(shù)之間的關(guān)系.

探究活動

(1)上={整數(shù)},-5={偶數(shù)},,試問二與工中的元素個(gè)數(shù)哪個(gè)多？為什么？如果我

們建立一個(gè)由二到三的映射對應(yīng)法則J乘以2,那么這個(gè)映射是一一映射嗎？

答案：兩個(gè)集合中的元素一樣多，它們之間可以形成一一映射.

(2)設(shè)A-(°閾，8-ON},問最多可以建立多少種集合K到集合3的不同映射?

若將集合三改為8*{123}呢?結(jié)論是什么？如果將集合三改為4?值》/},結(jié)論怎樣？

若集合上改為X三改為B―{123},結(jié)論怎樣？

從以上問題中，你能歸納出什么結(jié)論嗎?依此結(jié)論，若集合A中含有*?個(gè)元素，集合B

中含有3f個(gè)元素，那么最多可以建立多少種集合工到集合工的不同映射？

答案：若集合A含有m個(gè)元素，集合B含有n個(gè)元素，則不同的映射了：6有內(nèi).

個(gè).

習(xí)題精選

⑴設(shè)集合4-{加，*"6),從三至的對應(yīng)法則/不是

映射的是().

x-?V<

2"f%

:*一》產(chǎn)

(2)已知映射/：A—6,其中集合/3?-2TJ2M},且對任意A,

在S中和它對應(yīng)的元素是H,則集合三中元素的個(gè)數(shù)最少是.

(3)設(shè)集合M?(申"41),*=g"41).下列四個(gè)圖象中，表示從M到

”的映射的是().

(C)(D)

（4）已知從三到三的映射/：（2）T（x+，?O,則凹身的原象是

"J

（5）已知從二到二的映射是xT2x*l,從二到L的映射是2，其中

禺瓦,則從工至IJ廣的映射是.

⑹已知集合?■03女曲?3.7*./4玄},

且“逢€初*￡4>>€6,/:?:-?尸-3*+1是由三到三的---映射，求的值.

答案：⑴上；⑵4；⑶三；⑷03或（3；⑸*T*2.（6）

a-2gk-5

典型例題

_例1下列集合三到集合三的對應(yīng)中，判斷哪些是上到5的映射？判斷哪些是應(yīng)到

J的一一映射？

⑴/對應(yīng)法則『xT4,“8

（2）A-?*,fl-A*,Jr,xe4,

⑶<?H（r"，9（r}&?向。4"1）對應(yīng)法則丁取正弦

⑷4”{0.1],對應(yīng)法則J除以2得的余數(shù).

⑸/?{-4.T.l.4）,-1.1.2）對應(yīng)法則了

jrTwIxf.NW,jw8

（6）-4■（平面內(nèi)邊長不同的等邊三角的6■（平面內(nèi)半徑不同的W,對應(yīng)

法則,作等邊三角形的內(nèi)切圓.

分析：解決的起點(diǎn)是讀懂各對應(yīng)中的法則含義，判斷的依據(jù)是映射和一一映射的概念，

要求對“任一對唯一”有準(zhǔn)確的理解，對問題考慮要細(xì)致，周全.

解：(1)是映射，不是一一映射，因?yàn)榧隙杏行┰?正整數(shù))沒有原象.

(2)是映射，是---映射.不同的正實(shí)數(shù)有不同的唯一的倒數(shù)仍是正實(shí)數(shù)，任何一個(gè)正數(shù)

都存在倒數(shù).

(3)是映射，是一一映射，因?yàn)榧仙现械慕堑恼抑蹈鞑幌嗤?，且集合三中每一個(gè)值

都可以是集合上中角的正弦值.

(4)是映射，不是一一映射，因?yàn)榧先胁煌貙?yīng)集合三中相同的元素.

(5)不是映射，因?yàn)榧先械脑?如4)對應(yīng)集合三中兩個(gè)元素(2和-2).

(6)是映射，是一一映射，因?yàn)槿魏我粋€(gè)等邊三角形都存在唯一的內(nèi)切圓，而任何一個(gè)圓

都可以是一個(gè)等邊三角形的內(nèi)切圓.邊長不同，圓的半徑也不同.

說明：此題的主要目的在于明確映射構(gòu)成的三要素的要求，特別是對于集合-三，集合三

及對應(yīng)法則F有哪些具體要求，包括對法則『是數(shù)學(xué)符號語言給出時(shí)的理解.

例2給出下列關(guān)于從集合上到集合三的映射的論述，其中正確的有.

(1)三中任何一個(gè)元素在-二中必有原

象；

(2)正中不同元素在三中的象也不同；

(3)上中任何一個(gè)元素在-=中的象是唯一的;

(4)事中任何一個(gè)元素在口中可以有不同的象；

(5)±中某一元素在三中的原象可能不止一個(gè)；

(6)集合二與二一定是數(shù)集；

⑺記號/：4-3與?。?T4的含義是一樣的.

分析：此題是對抽象的映射概念的認(rèn)識，理論性較強(qiáng)，要求較高，判斷時(shí)可以讓學(xué)生借

助具體的例子來幫助.

解：(1)不對(2)不對(3)對(4)不對(5)對(6)不對(7)不對

說明：對此題的判斷可以將映射中隱含的特點(diǎn)都描述出來，對映射的認(rèn)識更加全面，準(zhǔn)

確.

,2x-l

例3⑴A=N,B-R,2x+l,XGA,在」的作用

n

F,13的原象是多少？14的象是多少？

(2)設(shè)集合A-｛偶數(shù)｝,映射AT8把集合A中的元素金映射到集合B中

的元素?！?。，則在映射-7下，象20的原象是多少？

⑶/:4T6是從二到三的映射，其中/

,則/中元素近的象是多少？三中元素他的原象是多少?

分析：通過此題讓學(xué)生不僅會求指定元素象與原象，而且明確求象與原象的方法.

_2__x_-__l■It11

解：（1）由2x4-113,解得工.6,故13的原象是6；

2x14-12727

_______________■■_____

又2x14*129,故14的象是29.

(2)由解得。-5或。-7,又。WW,故4-5即20的原象是5.

Jj+1-2

⑶點(diǎn)的象是(血+口，由W解得x=i,故Q23的原象是I.

說明：此題主要作用在于明確利用代入法求指定元素的象，而求原象則需解方程或方程

組.在本題中第(2)小題和第(3)小題在求象時(shí)，對二和工的制約條件都是兩條，應(yīng)解方程組,

且還可以對方程組解的情況進(jìn)行討論(無解，有唯一解，無數(shù)解).其中第(3)小題集合三中

的元素應(yīng)是二元數(shù)(有序數(shù)對)，計(jì)算出的象必須寫成有序數(shù)對的形式，所以求原象時(shí)必須先

認(rèn)清集合的特征.

2.2函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)

1.理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)的三種表示法，會求函數(shù)的定義域.

(1)了解函數(shù)是特殊的映射，是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射.能理解函數(shù)是由定義

域，值域，對應(yīng)法則三要素構(gòu)成的整體.

(2)能正確認(rèn)識和使用函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法，和圖象法.了解每種方法

的優(yōu)點(diǎn).

(3)能正確使用“區(qū)間”及相關(guān)符號，能正確求解各類函數(shù)的定義域.

2.通過函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在符號表示，運(yùn)算等方面的能力有所提高.

(1)對函數(shù)記號有正確的理解，準(zhǔn)確把握其含義，了解(二為常數(shù))與

/(X)的區(qū)別與聯(lián)系；

(2)在求函數(shù)定義域中注意運(yùn)算的合理性與簡潔性.

3.通過函數(shù)定義由變量觀點(diǎn)向映射觀點(diǎn)的過渡，是學(xué)生能從發(fā)展的角度看待數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).

教學(xué)建議

1.教材分析

(1)知識結(jié)構(gòu)

奇禺性--*對效晶數(shù)

|一一映.射,--A反函數(shù)卜

(2)重點(diǎn)難點(diǎn)分析

本小巧的重點(diǎn)是在映射的基礎(chǔ)上理解函數(shù)的概念.，主要包括對函數(shù)的定義，表示法，

三要素的作用的理解與認(rèn)識.教學(xué)難點(diǎn)是函數(shù)的定義和函數(shù)符號的認(rèn)識與使用.

①由于學(xué)生在初中已學(xué)習(xí)了函數(shù)的變量觀點(diǎn)下的定義，并具體研究了幾類最簡單的函數(shù),

對函數(shù)并不陌生，所以在高中重新定義函數(shù)時(shí)，重要的是讓學(xué)生認(rèn)識到它的優(yōu)越性，它從根

本上揭示了函數(shù)的本質(zhì)，由定義域，值域，對應(yīng)法則三要素構(gòu)成的整體，讓學(xué)生能主動將函

數(shù)與函數(shù)解析式區(qū)分開來.對這?點(diǎn)的認(rèn)識對于后面函數(shù)的性質(zhì)的研究都有很大的幫助.

②在本節(jié)中首次引入了抽象的函數(shù)符號學(xué)生往往只接受具體的函數(shù)解析式，而

不能接受所以應(yīng)讓學(xué)生從符號的含義認(rèn)識開始，在符號中，工在法則/卜對應(yīng)

/(*),不是『與工的乘積，符號本身就是三要素的體現(xiàn).由于1所代表的對應(yīng)法則不一

定能用解析式表示，故函數(shù)表示的方法除了解析法以外，還有列表法和圖象法.此外,(乃本

身還指明了誰是誰的函數(shù)，有利于我們分清函數(shù)解析式中的常量與變量.如

它應(yīng)表示以工為自變量的二次函數(shù)，而如果寫成尸訝，則我們

就不能準(zhǔn)確了解誰是變量，誰是常量，當(dāng)；為變量時(shí)，它就不代表二次函數(shù).

2.教法建議

(1)高中對函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是初中函數(shù)內(nèi)容的深化和延伸.深化首先體現(xiàn)在函數(shù)的定義

更具一般性.故教學(xué)中可以讓學(xué)生舉出自己熟悉的函數(shù)例子，并用變量觀點(diǎn)加以解釋，教師

再給出如：是不是函數(shù)的問題，用變量定義解釋顯得很勉強(qiáng)，而如果從集合與映射的

觀點(diǎn)來解釋就十分自然，所以有重新認(rèn)識函數(shù)的必要.

(2)對函數(shù)是三要素構(gòu)成的整體的認(rèn)識，一方面可以通過對符號/口)的了解與使用來

強(qiáng)化，另一方面也可通過判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同來配合.在這類題目中，可以進(jìn)一步體現(xiàn)出

三要素整體的作用.

(3)關(guān)于對分段函數(shù)的認(rèn)識，首先它的出現(xiàn)是一種需要，可以給出一些實(shí)際的例子來說

明這一點(diǎn)，對自變量不同取值，用不同的解析式表示同一個(gè)函數(shù)關(guān)系，所以是一個(gè)函數(shù)而不

是幾個(gè)函數(shù)，其次還可以舉?些數(shù)學(xué)的例子如這樣的函數(shù)，若利用絕對值的定義它就

(XM2。

r<0這就是一個(gè)分段函數(shù)，從這個(gè)題中也可以看出分段函數(shù)是?個(gè)

函數(shù).

教學(xué)設(shè)計(jì)方案

2.2函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)：

1.理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)三要素.

2.通過對函數(shù)抽象符號的認(rèn)識與使用，使學(xué)生在符號表示方面的能力得以提高.

3.通過函數(shù)定義由變量觀點(diǎn)向映射觀點(diǎn)得過渡，使學(xué)生能從發(fā)展與聯(lián)系的角度看待數(shù)學(xué)

學(xué)習(xí).

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)是在映射的基礎(chǔ)上理解函數(shù)的概念;

難點(diǎn)是對函數(shù)抽象符號的認(rèn)識與使用.

教學(xué)用具：投影儀

教學(xué)方法：自學(xué)研究與啟發(fā)討論式.

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)與引入

今天我們研究的內(nèi)容是函數(shù)的概念.函數(shù)并不象前面學(xué)習(xí)的集合，映射一樣我們一無所

知，而是比較熟悉，所以我先找同學(xué)說說對函數(shù)的認(rèn)識，如函數(shù)是什么？學(xué)過什么函數(shù)？

（要求學(xué)生盡量用自己的話描述初中函數(shù)的定義，并試舉出各類學(xué)過的函數(shù)例子）

2

1y=x+lj--+33=一

學(xué)生舉出如x等，待學(xué)生說完定義后教師打出投影片，給

出定義之后教師也舉一個(gè)例子，問學(xué)生.

提問1.尸?3是函數(shù)嗎？

（由學(xué)生討論，發(fā)表各自的意見，有的認(rèn)為它不是函數(shù)，理由是沒有兩個(gè)變量，也有的認(rèn)

為是函數(shù)，理由是可以可做）

教師由此指出我們爭論的焦點(diǎn)，其實(shí)就是函數(shù)定義的不完善的地方，這也正是我們今天

研究函數(shù)定義的必要性，新的定義將在與原定義不相違背的基礎(chǔ)上從更高的觀點(diǎn)，將它完善

與深化.

二、新課

現(xiàn)在請同學(xué)們打開書翻到第50頁，從這開始閱讀有關(guān)的內(nèi)容，再回答我的問題.（約2-3

分鐘或開始提問）

提問2.新的函數(shù)的定義是什么？能否用最簡單的語言來概括一下.

學(xué)生的回答往往是把書上的定義念.一遍，教師可以板書的形式寫出定義，但還要引導(dǎo)形

式發(fā)現(xiàn)定義的本質(zhì).

（板書）2.2函數(shù)

一、函數(shù)的概念

1.定義：如果A,B都是非空的數(shù)集，那么A到B的映射就叫做A到B的函

數(shù)，記作y其中原象集合A稱為定義域，象集C（CU為稱為值域.

問題3：映射與函數(shù)有何關(guān)系？（函數(shù)一定是映射嗎?映射一定是函數(shù)嗎?）

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，函數(shù)是特殊的映射，特殊在集合A,B必是非空的數(shù)集.

2.本質(zhì)：函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射.（板書）

然后讓學(xué)生試回答剛才關(guān)于3是不是函數(shù)的問題，要求從映射的角度解釋.

此時(shí)學(xué)生可以清楚的看到止&8.{31/：XT/4”反滿足映射觀點(diǎn)

下的函數(shù)定義，故是一個(gè)函數(shù)，這樣解釋就很自然.

教師繼續(xù)把問題引向深入，提出在映射的觀點(diǎn)下如何解釋-2"3是個(gè)函數(shù)？

從映射角度看可以是4.氏8----2x*Xxe4.^e6?其中定義

域是三，值域是

從剛才的分析可以看出，映射觀點(diǎn)下的函數(shù)定義更具一般性，更能揭示函數(shù)的本質(zhì).這

也是我們后面要對函數(shù)進(jìn)行理論研究的一種需要.所以我們著重從映射角度再來認(rèn)識函數(shù).

3.函數(shù)的三要素及其作用（板書）

函數(shù)是映射，自然是由三件事構(gòu)成的一個(gè)整體，分別稱為定義域.值域和對應(yīng)法則.當(dāng)

我們認(rèn)識一個(gè)函數(shù)時(shí)，應(yīng)從這三方面去了解認(rèn)識它.

例1以下關(guān)系式表示函數(shù)嗎?為什么？

.（..f2r口—_____

（1）；⑵+

吐Q

解：（1）由/㈤有意義得I1-7,解得JTW0.由于定義域是空集，故它不能

表示函數(shù).

（2-xi.O

（2）由有意義得1*-22°,解得K?2.定義域?yàn)閧2},值域?yàn)閧0}.

由以上兩題可以看出三要素的作用

（1）判斷一個(gè)函數(shù)關(guān)系是否存在.（板書）

例2下列各函數(shù)中，哪一個(gè)函數(shù)與A-力-1是同一個(gè)函數(shù).

_4*'-I

⑴'-2x+l；（2）Z-2X-L（X>0）；⑶卅?a-1；（4）

解：先認(rèn)清它是/■A（定義域）到￡（值域）的映射，其中

再看⑴定義域?yàn)?W&且2,是不同的；（2）定義域?yàn)閄>0,是不同的;

2r-tx—

2

1一2/x<—

L2,法則是不同的;

而（3）定義域是三，值域是三，法則是乘2減1,與尸.筋-1完全相同.

求解后要求學(xué)生明確判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同應(yīng)看定義域和對應(yīng)法則完全一致，這時(shí)三要

素的又一作用.

（2）判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同.（板書）

下面我們研究一下如何表示函數(shù)，以前我們學(xué)習(xí)時(shí)雖然會表示函數(shù)，但沒有相系統(tǒng)研究

函數(shù)的表示法，其實(shí)表示法有很多，不過首先應(yīng)從函數(shù)記號JQ）說起.

4.對函數(shù)符號的理解（板書）

首先讓學(xué)生知道了■/（?與/（k）的含義是一樣的，它們都表示：'是工的函數(shù)，其中

工是自變量，是函數(shù)值，連接的紐帶是法則-『，所以這個(gè)符號本身也說明函數(shù)是三要

素構(gòu)成的整體.下面我們舉例說明.

例3已知函數(shù)/（M）.3x-2,試求/⑶/⑷（板書）

分析：首先讓學(xué)生認(rèn)清的含義，要求學(xué)生能從變量觀點(diǎn)和映射觀點(diǎn)解釋，再進(jìn)行

計(jì)算.

含義1：當(dāng)自變量工取3時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值即/⑶；

含義2：定義域中原象3的象，根據(jù)求象的方法知了6-3x3-217.而了⑷

應(yīng)表示原象金的象，即/⑷一勿一2

計(jì)算之后,要求學(xué)生了解與/5）的區(qū)別，,■）是常量，而力是變量，/■）

只是/G）中一個(gè)特殊值

最后指出在剛才的題目中,口）是用一個(gè)具體的解析式表示的，而以后研究的函數(shù)

/（*）不一定能用一個(gè)解析式表示，此時(shí)我們需要用其他的方法表示，具體的方法下節(jié)課再進(jìn)

一步研究.

三、小結(jié)

i.函數(shù)的定義

2.對函數(shù)三要素的認(rèn)識

3.對函數(shù)符號的認(rèn)識

四、作業(yè)：略

五、板書設(shè)計(jì)

2.2函數(shù)例1.例3.

函數(shù)的概念

1.定義

2.本質(zhì)例2.小結(jié):

3.函數(shù)三要素的認(rèn)識及作用

4.對函數(shù)符號的理解

擴(kuò)展資料

關(guān)于復(fù)合函數(shù)

高中數(shù)學(xué)對函數(shù)的研究主要類型有常見函數(shù)（七類），由上述常見函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，

由常見函數(shù)做四則運(yùn)算而得到的函數(shù)及實(shí)際生產(chǎn)生活中產(chǎn)生的函數(shù).其中重點(diǎn)是前兩類.常

見函數(shù)在課本中都將系統(tǒng)研究，而復(fù)合函數(shù)在課本中沒有給出定義，所以在這里我們對復(fù)合

函數(shù)做點(diǎn)介紹.

一般來說，如果了是3的函數(shù)，而3又是土的函數(shù)，即那么

關(guān)于工的函數(shù)尸?加（*）1叫做/和M的復(fù)合函數(shù).，其中，叫做中間變量.

在復(fù)合函數(shù)中，自變量是工，，是中間變量，因變量是；，：.是通過中

1

間變量與自變量工間接建立起函數(shù)關(guān)系的.如*/+2x就可以看作反比例函數(shù)＞u

2

與二次函數(shù)”*2*復(fù)合而成，如果給出函數(shù)尸■-%?-1，x,它們就可以復(fù)合

-3'--1----1

成一個(gè)以工為自變量F為因變量的函數(shù)關(guān)系即JX.在剛才形成這個(gè)

復(fù)合函數(shù)的函數(shù)關(guān)系的過程實(shí)際上就是一個(gè)換兀的過程，而且處理復(fù)合函數(shù)的很多問題都需

要用換元法去處理.有了復(fù)合函數(shù)的概念，下列問題我們就都可以解決了.

1.已知函數(shù)/（勸-*'+3Z求

2.已知函數(shù)/⑸的定義域?yàn)槭?］，求/◎*一0的定義域.

3.已知函數(shù),QX-D?3X+2,求/&）.

擴(kuò)展資料

函數(shù)史話

設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對應(yīng)法則『，對于集合A中任何一個(gè)元素，在集合B

中都有惟一的元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從集合A到集合B的映射\記作當(dāng)

集合A,B都是非空的數(shù)的集合，且B的每一個(gè)元素都有原象時(shí)，這樣的映射了：4T6就

叫定義域A到值域B上的函數(shù).

笛卡兒引入變量后，隨之而來的便是函數(shù)的概念.他指出y和工是變量（“未知量和未

定的量”）的時(shí)候，也注意到y(tǒng)依賴于而變工.這正是函數(shù)思想的萌芽.但是他沒有使用“函

數(shù)”這個(gè)詞.

“函數(shù)”這個(gè)詞用作數(shù)學(xué)的術(shù)語，最早是萊布尼茨，但其含義和現(xiàn)在不同，他指的是關(guān)

于曲線上某點(diǎn)的一些線段的長（如橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、弦、切線、法線等）.

1718年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰?貝努利給出函數(shù)的一個(gè)定義，同時(shí)第一次使用了“變量”這

個(gè)詞.他寫道“變量的函數(shù)就是變量和變量以任何方式組成的量.”

“函數(shù)”這個(gè)概念隨著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展而變化.歷史上每個(gè)階段，都有它相應(yīng)的定義.

18世紀(jì)，歐拉曾經(jīng)前后給出函數(shù)的三種定義：

1.將函數(shù)定義為“解析表示式”他寫道：“變量的函數(shù)是一個(gè)解析表達(dá)式，它是由這個(gè)

變量和一些常量以任何方式組成的.”

2.將函數(shù)定義為“由曲線確定的關(guān)系”：“在個(gè)平面上徒手畫出來的曲線所表示的y

與工之間的關(guān)系."

3.將函數(shù)定義為“變量之間的依賴變化”.他說：“如果某些變量，以這樣一種方式依

賴于另?些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨之而變化，則前面的變量稱

為后面變量的函數(shù).”

用現(xiàn)代的眼光去看，這三種定義都有一定的局限性.第1種、第3種兩種定義容易理解,

所以現(xiàn)在仍然被一些通俗的讀物所采用，缺點(diǎn)在于過分狹窄，因?yàn)樵S多函數(shù)是沒有解析表達(dá)

式的，也有些函數(shù)并不隨自變量工的變化而變化.第2個(gè)定義意義不夠明確且局限于表達(dá)方

式.不管怎樣，歐拉定義對后世的影響很大.

1837年，德國數(shù)學(xué)家秋里赫勒進(jìn)一步給出函數(shù)的定義：”對于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定

的工值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值，那么y叫做丁的函數(shù).”這已經(jīng)相當(dāng)接近現(xiàn)在許多教

科書所采用的定義.

19世紀(jì)70年代，康托的集合論出現(xiàn)之后，函數(shù)便明確地定義為集合間的對應(yīng)關(guān)系.這是

目前般教科書所用的“集合對應(yīng)”定義.

采用“集合對應(yīng)”定義以后，擺脫了“變量”一詞.

“變量”一詞的意義至今尚不清楚.“自變量”這個(gè)提法本身也是有缺點(diǎn)的，因?yàn)樽兞?/p>

必定依賴于時(shí)間而變，也就是它必定是時(shí)■間的函數(shù)，不可能脫離時(shí)間而“自變量”.對于函

數(shù)采用了“集合對應(yīng)”定義以后，擺脫了“變量”與“自變量”等名詞，定義函數(shù)無需再依

賴于時(shí)間了.而變量這個(gè)詞.許多學(xué)者主張廢棄不用，有人主張將“自變量”“因變量”改

為“第一值”“第二值”.

我國“函數(shù)”一詞，是《代微積拾級》中首先使用的，這本書把函數(shù)定義為：“凡此變

數(shù)中含彼變數(shù)，則此為彼之函數(shù).”這里“函”是包含的意思.這定義大致相當(dāng)于歐拉的解

析表達(dá)式定義，在一個(gè)式子中“包含”著變量工，那么這個(gè)式子就是工的函數(shù).

函數(shù)這個(gè)概念已成為數(shù)學(xué)中最重要的兒個(gè)概念之一，而變量這個(gè)詞卻逐漸被新的詞所代

替.

（2）函數(shù)值域的兩種基本求解方法

由函數(shù)值域的定義，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域，因此函數(shù)的值域可由定義域直接推

1

算.例如：尸,44的值域?yàn)椋簦?中,因?yàn)橐?1為大于等于1的—

切實(shí)數(shù)，所以°，+產(chǎn),即函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

另一?方面我們可以從方程的角度理解函數(shù)的值域，如果我們將函數(shù)尸看做是關(guān)

于自變量七的方程，?在值域中任取一個(gè)值外，兒對應(yīng)的自變量三一定為方程

外./（*■）在定義域中的一個(gè)解，即方程."/（工）在定義域內(nèi)有解；另一方面若產(chǎn)取某值

方程尤?/（好在定義域內(nèi)有解工:，則.一定為工:對應(yīng)的函數(shù)值.從方程的角度，

_1

函數(shù)的值域即為使關(guān)于工的方程A./（外在定義域內(nèi)有解的堇的取值范圍，如,*變形

得丹?1,方程在定義域｛中內(nèi)有解的條件為k°,“0即為函數(shù)的值域.

基于上述對函數(shù)值域概念的理解，求函數(shù)值域問題可通過直接推算和方程討論兩種方法

解決.

2x+l

y-------

例1求函數(shù)x-3的值域.

分析：此題是關(guān)于工的?次分式函數(shù)，這種題目可通過求關(guān)于工的方程在定義域內(nèi)有解

的條件來求得值域，也可以經(jīng)過變形（分離常量），觀察得出結(jié)果.

解法1：把函數(shù)看成是工的方程，變形得（/一切..+l（工.3）,進(jìn)一步整理得

（y-2）x.》+l

x-2f0

,力+1.產(chǎn)”2

方程在定義域｛中'Rdf內(nèi)有解的條件即為:（尸2

｛巾wR如

所求的值域?yàn)?/p>

解法2：將原函數(shù)變形為x-3*-3

vx^3

—fO

...X-3

例八反具12｝

..”2,即函數(shù)值域?yàn)?/p>

例2求函數(shù),』+1的值域.

解：易得函數(shù)的定義域?yàn)镽.

由函數(shù)解析式：3-D--9+n

當(dāng)時(shí)，方程3-D/?P+D.在定義域R內(nèi)無解.

.?"1

當(dāng)時(shí)，有尸-1

-00

???72Q,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)工有實(shí)數(shù)解.

-廿七0"-1"<1

了-1

綜上所述，函數(shù)的值域是

..、4x-a

例3對于定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R的函數(shù)7*1（4為常數(shù)），回答下列下列問題:

若”尸■

(1)

(2)當(dāng)：取由（1）所確定的值時(shí)，求7?/口）的值域.

/Q-1匕/

解:(1)由“2得1*12,a-3.

4x-3

(2)當(dāng)。?3時(shí)，所給函數(shù)變?yōu)閂+1定義域?yàn)镽

由解析式得：^-4?*（y+3）-0

3

cX--wR.門

當(dāng)時(shí)，4...A-U屬于函數(shù)的值域.

當(dāng)時(shí)，若方程有實(shí)數(shù)解，則

A76-3一出20

解得：.

.4*-3

故函數(shù)了2+1的值域?yàn)?一4-41卜

直接推算的方法要注意對函數(shù)式的化簡，方程討論的方法要在定義域內(nèi)進(jìn)行.

探究活動

函數(shù)在數(shù)學(xué)及實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，在我們身邊就存在著很多與函數(shù)有關(guān)的問題

如在我們身邊就有不少分段函數(shù)的實(shí)例，下面就是一個(gè)生活中的分段函數(shù).

夏天，大家都喜歡吃西瓜，而西瓜的價(jià)格往往與西瓜的重量相關(guān).某人到一個(gè)水果店去

買西瓜，價(jià)格表上寫的是：6斤以下，每斤0.4元.6斤以上9斤以下，每斤0.5元，9斤

以上，每斤0.6元.此人挑了一個(gè)西瓜，稱重后店主說5元1角，1角就不要了，給5元吧，

可這位聰明的顧客馬上說，你不僅沒少要，反而多收了我錢，當(dāng)顧客講出理由，店主只好承

認(rèn)了錯(cuò)誤，照實(shí)收了錢.

同學(xué)們，你知道顧客是怎樣店主坑人了呢?其實(shí)這樣的數(shù)學(xué)問題在我們身邊有很多，只要你注

意觀察，積累，并學(xué)以至用，就能成為一個(gè)聰明人，因?yàn)閿?shù)學(xué)可以使人聰明起來.

答案：

若西瓜重9斤以下則最多應(yīng)付4.5元,若西瓜重9斤以上,則最少也要5.4元,不可能出現(xiàn)

5.1元這樣的價(jià)錢,所以店主坑人了.

習(xí)題精選

（1）在下列四組函數(shù)中，與&口）表示同一函數(shù)的是（）.

⑷/㈤■舒

由出”叫向

(￡)Hl-JTX<-1

(Q/W-x+txe-x*lxeZ

(0)/W-凡"(扃’

⑵設(shè)"?自一2?*4,函數(shù)，⑸的定義域?yàn)镸,值域

為*，則/GO的圖象可以是（）.

⑷

（3）給定映射廣（”）T（石?**/,在映射/下象8的原象是（"），則函數(shù)

/（X）--+癡-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

（4）求卜列函數(shù)的定義域

Cx-D*1

①,J-￡+x+2.②|2??1|?|x-1；

K+2

/（X）Jx-5M?6

⑸已知1/（x*勿M<6,則----------

（6）求下列函數(shù)的值域：

①y?-/+*+2；

②y3-2￡*€卜29］；

③，T-2*TXW（-L2］；

x-10*26

{8生-2Sx<?

⑺己知函數(shù)/⑸滿足/W+/W-*&）,且/②.PJSF,那么

等于（）.

⑷p*q⑷3k%

（S2p+*

(8)已知函數(shù)/W-+.+A的定義域?yàn)椋?”42).則a.b的值分別為

7

⑼已知八町wqi*q,且2,則實(shí)數(shù)癡的值為—

(io)半徑為二的圓內(nèi)接等腰梯形如②，它的下底是。直徑，上底CD的端點(diǎn)

在圓周上，寫出這個(gè)梯形周長F和腰長工之間的函數(shù)式，并求它的定義域.

答案：

(1)B:(2)B；⑶b'M)；

(4)①(-tl)u(u)(2)三③(5)2；

(6)①(、彳］②卜時(shí)③卜4可④卜…)；(7)B；(8)

-2.-3--/(*)-*2?

2；(9)8；(io)R,”€&列

典型例題

例1判斷下列各組的兩個(gè)函數(shù)是否相同，并說明理由.

(Dx-x-l,xeZl與y?*-Lxw"；

(2)V-J*'-4與y-Jx-2-Jx+2

>"I*—u-I*—

(3)X與V.

⑷與

2x*20

{-2xx<0

分析：判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，應(yīng)著眼于兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則的比較，而求定

義域時(shí)應(yīng)讓原始的解析式有意義，而不能進(jìn)行任何非等價(jià)變換，對應(yīng)法則的判斷需判斷它的

本質(zhì)是否相同而不是從表面形式上下結(jié)論.

解：(1)不同，因?yàn)樗鼈兌x域不同.

(2)不同，前者的定義域是*22或X4-2,后者的定義域是工22.

(3)相同，定義域均為非零實(shí)數(shù)，對應(yīng)法則都是自變量取倒數(shù)后加1.

(4)不同，定義域是相同的，但對應(yīng)法則不同.

(2xx>0

⑷相同，將"配利用絕對值定義去掉絕對值結(jié)果就是1一女,<0

說明：此題的目的在于強(qiáng)化函數(shù)是三要素構(gòu)成的整體，且三要素中值域是由定義域和對

應(yīng)法則共同確定的，判斷時(shí)可以只考慮定義域和對應(yīng)法則是否相同，同時(shí)提醒學(xué)生，認(rèn)識函

數(shù)對應(yīng)法則必須認(rèn)清它的本質(zhì)，而不是從表面上做判斷.

例2已知集合P?k"”?2?+3E-2《X《3}

那么集合「no中所含元素個(gè)數(shù)為().

C4)0⑶1?o或1(孫或2

分析：此題是以集合語言表述的問題，解決問題的第一步在于集合語言的翻譯與理解，

然后結(jié)合函數(shù)概念在運(yùn)動變化過程中進(jìn)行研究，求解時(shí)，可以先從形的角度，再從數(shù)的角度

提同認(rèn)識.

解：從函數(shù)觀點(diǎn)看，兩個(gè)集合的交集中所包含的元素的個(gè)數(shù)，從數(shù)的角度即在

中，令看有幾個(gè)相應(yīng)的：.與之對應(yīng)；從形的角度即

/-2/+3/23］的圖象與直線”■。有兒個(gè)公共點(diǎn)，由于二是不確定的，

于是當(dāng)二三卜23］時(shí)，有-個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)“卜23］時(shí)，則沒有交點(diǎn)，所以應(yīng)選?.

說明：此題目的在于進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)概念本質(zhì)，糾正只注意對應(yīng)法則而忽視定義域作用

的毛病，而且還應(yīng)從數(shù)和形兩角度認(rèn)識問題，解決問題.

例3求下列函數(shù)的定義域，要求把結(jié)果寫成區(qū)間形式.