第1-10屆希望杯初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽

希望杯第一屆（1990年）初中一年級(jí)第一試試題

一、選擇題（每題1分，共io分）

1.如果a,b都代表有理數(shù)，并且a+b=0,那么（）

A.a,b都是0.B.a,b之一是0.C.a,b互為相反數(shù).D.a,b互為倒數(shù).

2.下面的說(shuō)法中正確的是（）

A.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和是單項(xiàng)式.B.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式.

C.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式.D.整式與整式的和是整式.

3.下面說(shuō)法中不正確的是（）

A.有最小的自然數(shù).B.沒(méi)有最小的正有理數(shù).

C.沒(méi)有最大的負(fù)整數(shù).D.沒(méi)有最大的非負(fù)數(shù).

4.如果a,b代表有理數(shù)，并且a+b的值大于a-b的值，那么（）

A.a,b同號(hào).B.a,b異號(hào).C.a>0.D.b>0.

5.大于一w并且不是自然數(shù)的整數(shù)有（）

A.2個(gè).B.3個(gè).C.4個(gè).D.無(wú)數(shù)個(gè).

6.有四種說(shuō)法：

甲.正數(shù)的平方不一定大于它本身；乙.正數(shù)的立方不一定大于它本身；

丙.負(fù)數(shù)的平方不一定大于它本身；丁.負(fù)數(shù)的立方不一定大于它本身.

這四種說(shuō)法中，不正確的說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）

A.0個(gè).B.1個(gè).C.2個(gè).D.3個(gè).

7.a代表有理數(shù)，那么，a和一a的大小關(guān)系是（）

A.a大于一a.B.a小于一a.C.a大于一a或a小于一a.D.a不一定大于一a.

8.在解方程的過(guò)程中，為了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的兩邊（）

A.乘以同一個(gè)數(shù).B.乘以同一個(gè)整式.C.加上同一個(gè)代數(shù)式.D.都加上1.

9.杯子中有大半杯水，第二天較第一天減少了10%,第三天又較第二天增加了10%,

那么，第三天杯中的水量與第一天杯中的水量相比的結(jié)果是()

A.一樣多.B.多了.C.少了.D.多少都可能.

10.輪船往返于條河的兩碼頭之間，如果船本身在靜水中的速度是固定的，那么，

當(dāng)這條河的水流速度增大時(shí)，船往返一次所用的時(shí)間將()

A.增多.B.減少.C.不變.D.增多、減少都有可能.

二、填空題(每題1分，共10分)

1.0.0125x3---x(-87.5)4-—X—+(-22)-4^

571615

2.198919902-198919892=.

c(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

3.=.

232-1

4.關(guān)于X的方程--------二一=1的解是

48----------

5.1—2+3—4+5—6+7—8+…十4999—5000=.

24,

6.當(dāng)X=時(shí),代數(shù)式(3x°—5x2+6x—1)—(x3—2x2+x—2)+(—2x,+3x2+l)的值是.

7?711

7.當(dāng)a=-0.2,b=0.04時(shí)，代數(shù)式—b)—五(b+Q+0.16)-*(〃+/?)的值是

8.含鹽30%的鹽水有60千克，放在秤上蒸發(fā)，當(dāng)鹽水變?yōu)楹}40%時(shí)，秤得鹽水的重

是克.

9.制造一批零件,按計(jì)劃18天可以完成它的1.如果工作4天后，工作效率提高了L那么

35

完成這批零件的一半，一共需要天.

10.現(xiàn)在4點(diǎn)5分，再過(guò)分鐘，分針和時(shí)針第一次重合.

答案與提示

一、選擇題

1.C2.D3.C4.D5.C6.B7.D8.D9.C10.A

提示：

1.令a=2,b=-2,滿足2+(—2)=0,由此

可排除A,B,D,因此應(yīng)選C.事實(shí)上a+b=O=

a=-b,表明a,b互為相反數(shù).

2.x\2x\x，都是單項(xiàng)式.兩個(gè)單項(xiàng)式x\x?之和為x'+x?是多項(xiàng)式，排除A.兩個(gè)單項(xiàng)

式X?,2/之和為3x2是單項(xiàng)式，排除團(tuán)兩個(gè)多項(xiàng)式x'+x?與x'-x'之和為2x，是個(gè)單項(xiàng)式，排

除C,因此選D.

3.1是最小的自然數(shù)，A正確.可以找到正

有理數(shù)的無(wú)限序列1,<，］…，…，沒(méi)有最

23n

小的正有理數(shù).B也正確.易知-1是最大的負(fù)整數(shù)，所以C“沒(méi)有最大的負(fù)整數(shù)”的說(shuō)法不

正確.寫出擴(kuò)大自然數(shù)列，0,1,2,3,n,…，易知無(wú)最大非負(fù)數(shù)，D正確.所以不

正確的說(shuō)法應(yīng)選C.

4.由于a+b〉a-b,則b〉-b=>2b>0nb〉0,

選D.

5.在數(shù)軸上容易看出：在一n右邊0的左邊（包括0在內(nèi)）的整數(shù)只有一3,-2,-1,

0共4個(gè).選C.

6.由可知甲、乙兩種說(shuō)法是正確的.由（-1尸=一1,可知丁也是正確的說(shuō)

法.而負(fù)數(shù)的平方均為正數(shù)，即負(fù)數(shù)的平方一定大于它本身，所以“負(fù)數(shù)平方不?定大于

它本身”的說(shuō)法不正確.即丙不正確.在甲、乙、丙、丁四個(gè)說(shuō)法中，只有丙1個(gè)說(shuō)法不

正確.所以選B.

7.令a=0,馬上可以排除A、B、C,應(yīng)選D.

8.對(duì)方程同解變形，要求方程兩邊同乘不等于0的數(shù).所以排除A.

我們考察方程X-2=0,易知其根為x=2.若該方程兩邊同乘以一個(gè)整式x-l,得（X-

l）（x-2）=0,其根為x=l及x=2,不與原方程同解，排除B.若在方程x-2=0兩邊加上同一

個(gè)代數(shù)式一存方程不下+此方程無(wú)解’失去了原方程x=2的根.所以應(yīng)

排除C.事實(shí)上方程兩邊同時(shí)加上一個(gè)常數(shù)，新方程與原方程同解，對(duì)D,這里所加常數(shù)為

1,因此選D.

9.設(shè)杯中原有水量為a,依題意可得,

第二天杯中水量為aX(l-10%)=0.9a；

第三天杯中水量為(0.9a)X(l+10%)=0.9Xl.IXa；

09XllX)

—___―-a=09X11=099<1.

第三天杯中水量與第一天杯中水量之比為a

所以第三天杯中水量比第?天杯中水量少了，選C.

10.設(shè)兩碼頭之間距離為s,船在靜水中速度為a,水速為V。，則往返一次所用時(shí)間為

°-a+v0a-v0

設(shè)河水速度增大后為v,(v>v。)則往返一次所用時(shí)間為

SS

t=----------+-----------

a+ua-v

(a+v0)(a+v)(a-v0)(a-v)

s("”"_(a+vo)(a+v)(a-v0)(a-v)

由于v-vo>O,a+v0>a—Vo,a+v>a—v

所以(a+v0)(a+v)>(a—vo)(a—v)

11

因此<

(a+v0)(a+v)(a-v0)(a-v)

11

即<0.

(a+v0)(a+v)(a-v0)(a-v)

Ato-t<O,即toVt.因此河水速增大所用時(shí)間將增多，選A.

二、填空題

題號(hào)12345

答案6593978397914-2500

225

題號(hào)678910

答案

1-0.044500023-16—

25611

提示:

1.0,0125X31-1(-87.5)*j|X1|+(-22)-4

116117516716

vvvx—-4-4

805721515

125X16X8c

=—+----------------8

9+3200-1800140959

=ro■

225225225

2.198919902-198919892

=(19891990+19891989)X(19891990-19891989)

=(19891990+19891989)X1=39783979.

3.由于(2+1)(2、1)(2'+1)(2、1)(241)

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(2"+1)(216+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

=(2'-1)(2,+1)(28+1)(216+1)

=(2S-1)(2a+l)(2'6+1)

=(2,6-1)(216+1)=232-1.

.(24-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1),

?---------------------2^1--------------------=]

4.生_與2=1,方程兩邊同乘8得

48

2(l+x)-(x-2)=8,2+2x-x+2=8解得;x=4

5.1—2+3—4+5—6+7—8+,??+4999—5000

=(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+-+(4999-5000)

=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)+-+(-1)

2500個(gè)

=-2500.

6.(3x3—5x2+6x—1)—(x3—2x2+x—2)+(―2x3+3x2+l)=5x+2

%=-言代入得：

5x+2x*=*罰+2=W

7.注意到：

當(dāng)a=-0.2,b=0.04時(shí),a2-b=(-0.2)2-0.04=0,b+a+0.16=0.04-0.2+0.16=0.

7271I

2

所以，—(a-b)--(b+a+0.1Q--(a+b)i_^

b-0.04

———(a+b)

4'/02

b-OM

==0.05-0.01=0.04.

44

8.食鹽30%的鹽水60千克中含鹽60X30%(千克)設(shè)蒸發(fā)變成含鹽為40%的水重x克,

即0.OOlx千克，此時(shí)，60X30%=(0.001x)X40%

解得：x=45000(克).

9.制造零件18天完成總量的g,則每天完成

總量的1.先按這個(gè)效率工作4天完成總量的1,

5454

而從第5天起作效率提高了芯變?yōu)槊刻焱瓿煽偭康?/p>

1j,n1

54I5)45

距完成總量的一半還差="，需要工作

25454

因此，完成這批零件的一半，一共需要

4+1*=23：（天）.

00

10.在4時(shí)整，時(shí)針與分針針夾角為120。即

鐘面周角的熱現(xiàn)在是4點(diǎn)5分，分針前進(jìn)了圓周的

《，而時(shí)針前進(jìn)為分針的卷，所以時(shí)針前進(jìn)了

所以在4點(diǎn)盼時(shí)，分針與時(shí)針夾角

1212144

de小11137

知周的1+m-1r訴.

由于每小時(shí)分針追時(shí)針為（-9=晟，所以要追及^需要言+音.歪X號(hào)-蓄（小時(shí)）

相當(dāng)于60■=警=吟（分】

答；再過(guò)16（分鐘，分針與時(shí)針第一次重合.

希望杯第一屆（1990年）初中一年級(jí)第二試試題

一、選擇題（每題1分，共5分）

以下每個(gè)題目里給出的A,B,C,D四個(gè)結(jié)論中有且僅有一個(gè)是正確的.請(qǐng)你在括號(hào)填

上你認(rèn)為是正確的那個(gè)結(jié)論的英文字母代號(hào).

1.某工廠去年的生產(chǎn)總值比前年增長(zhǎng)a%,則前年比去年少的百分?jǐn)?shù)是)

a+1a

A.a%.B.(1+a)%.C.----D.-------

100?100+a

2.甲杯中盛有2m毫升紅墨水，乙杯中盛有用毫升藍(lán)墨水，從甲杯倒出a毫升到乙杯里,

0<a<m,攪勻后，又從乙杯倒出a毫升到甲杯里，則這時(shí)（）

A.甲杯中混入的藍(lán)墨水比乙杯中混入的紅墨水少.

B.甲杯中混入的藍(lán)墨水比乙杯中混入的紅墨水多.

C.甲杯中混入的藍(lán)墨水和乙杯中混入的紅墨水相同.

D.甲杯中混入的藍(lán)墨水與乙杯中混入的紅墨水多少關(guān)系不定.

3.已知數(shù)x=100,貝lj()

A.x是完全平方數(shù).B.(x-50)是完全平方數(shù).

C.(x-25)是完全平方數(shù).D.(x+50)是完全平方數(shù).

4.觀察圖1中的數(shù)軸：用字母a,b,c依次表示點(diǎn)A,B,C對(duì)應(yīng)的數(shù)，則」-,」一」的

abb-ac

大小關(guān)系是()

IA?|B??9

:1201~

Q)

abb-acb-aabccb-aabcabb-a

5.x=9,y=-4是二元二次方程2x?+5xy+3y2=30的一組整數(shù)解，這個(gè)方程的不同的整數(shù)

解共有()

A.2組.B.6組.C.12組.D.16組.

二、填空題(每題1分，共5分)

1.方程|1990x-19901=1990的根是_

2.對(duì)于任意有理數(shù)x,y,定義一■種運(yùn)算*,規(guī)定x*y=ax+by—cxy,其中的a,b,c表

示已知數(shù)，等式右邊是通常的加、減、乘運(yùn)算.又知道1*2=3,2*3=4,x*m=x(mWO),

則m的數(shù)值是_____.

3.新上任的宿舍管理員拿到20把鑰匙去開20個(gè)房間的門，他知道每把鑰匙只能開其

中的一個(gè)門，但不知道每把鑰匙是開哪一個(gè)門的鑰匙，現(xiàn)在要打開所有關(guān)閉著的20個(gè)房間，

他最多要試開次.

4.當(dāng)m=時(shí)，二元二次六項(xiàng)式Gx^+nixy—4y2—x+17y—15可以分解為兩個(gè)關(guān)于x,

y的二元?次三項(xiàng)式的乘積.

5.三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和(填“是”或“不是”或“可能是")某個(gè)自然

數(shù)的平方.

三、解答題(寫出推理、運(yùn)算的過(guò)程及最后結(jié)果.每題5分，共15分)

1.兩輛汽車從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿同一方向同速直線行駛，每車最多只能帶24桶

汽油，途中不能用別的油，每桶油可使一輛車前進(jìn)60公里，兩車都必須返回出發(fā)地點(diǎn)，但

是可以不同時(shí)返回，兩車相互可借用對(duì)方的油.為了使其中?輛車盡可能地遠(yuǎn)離出發(fā)地點(diǎn)，

另一輛車應(yīng)當(dāng)在離出發(fā)地點(diǎn)多少公里的地方返回？離出發(fā)地點(diǎn)最遠(yuǎn)的那輛車一共行駛了

多少公里？

2.如圖2,紙上畫了四個(gè)大小一樣的圓，圓心分別是A,B,C,D,直線m通過(guò)A,B,

直線n通過(guò)C,D,用S表示一個(gè)圓的面積，如果四個(gè)圓在紙上蓋住的總面積是5(S—1),直

線巾，n之間被圓蓋住的面積是8,陰影部分的面積S“S2,S3滿足關(guān)系式S3=」S產(chǎn)求S.

33

1115

3.求方程一+—+一=:的正整數(shù)解.

xyz6

答案與提示

1.D2.C3.C4.C5.D

提示:

1.設(shè)前年的生產(chǎn)總值是m,則去年的生產(chǎn)總值是m1+

前年比去年少m(l+^

這個(gè)產(chǎn)值差占去年的

2.從甲杯倒出a毫升紅墨水到乙杯中以后：

乙杯中含紅墨水的比例是—，

m+a

乙杯中含藍(lán)墨水的比例是—，

m+a

再?gòu)囊冶钩鯽毫升混合墨水到甲杯中以后：

乙杯中含有的紅墨水的數(shù)量是a-a*-—-毫升①

m4-am+a

乙杯中減少的藍(lán)墨水的數(shù)量是a?'^=三毫升②

m+am+a

?.?①=②.?.選c.

3.???x=]9%幽0電曬0

n-f'O(n+1)小0

=三夕郡90腎帔馳0+50

n-tO(xtT)個(gè)0(xrH)個(gè)0

=]般?郡+阪桃+50

(2H+4)個(gè)0(什?)個(gè)0

=102n44+10n+3+50

=(10n+2)2+2?10n+2?5+50.

.,.x-25=(10n+2+5)2

可知應(yīng)當(dāng)選c.

4.由所給出的數(shù)軸表示(如圖3)：

可以看出-i<b<0,c>l,

/.0<-<1,……①

C

-<b-a<l-*l<—^-<3.……②

3b-a

211i

0<|b|<?0〈四〈,向〉3

~±〉3……③

ab

.?.①<②<③，.?.選C.

5.方程2x、5xy+3y2=30可以變形為(2x+3y)(x+y)=l?2?3?5

?；x,y是整數(shù)，

A2x+3y,x+y也是整數(shù).

可以知道共有16個(gè)二元一次方程組，每組的解都是整數(shù)，所以有16組整數(shù)組，應(yīng)選D.

二、填空題

題號(hào)12345

答案0,242105不是

提示：

1.原方程可以變形為|x—1|=1,即x-1二1或-1,???x=2或0.

2.由題設(shè)的等式x*y=ax+by-cxy

及x*m二x(mWO)

得a?0+bm-c?0?m=0,

/.bm=0.

Vm^O,b=0.

/.等式改為x*y=ax-cxy.

V1*2=3,2*3=4,

fa-2c=3,

解得a=5,c=l.

[2a-6c=4.

工題設(shè)的等式即x*y=5x-xy.

在這個(gè)等式中，令x=Ly=m,得5-Am=4.

3????打開所有關(guān)閉著的20個(gè)房間，

???最多要試開

20+1

20+19+18+???+3+2+1=20=210次.

2

4.利用“十字相乘法”分解二次三項(xiàng)式的知識(shí)，可以判定給出的二元二次六項(xiàng)式

6x2+mxy-4y2-x+17y-15

中劃波浪線的三項(xiàng)應(yīng)當(dāng)這樣分解：

3x-5

2x+3

現(xiàn)在要考慮y,只須先改寫作

然后根據(jù)-4y2,17y這兩項(xiàng)式，即可斷定是：

由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17yT5就是原六項(xiàng)式，所以m=5.

5.設(shè)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)是a-1,a,a+L則它們的平方和是［-1)2+22+(@+1尸=31+2,

顯然，這個(gè)和被3除時(shí)必得余數(shù)2.

另一方面，自然數(shù)被3除時(shí)，余數(shù)只能是0或1或2,于是它們可以表示成

3b,3b+l,3b+2(b是自然數(shù))中的一個(gè)，但是它們的平方

(3b)2=91?

(3b+l)2=9b2+6b+l,

(3b+2)Mb2+12b+4

=(9b2+12b+3)+l

被3除時(shí)，余數(shù)要么是0,要么是1,不能是2,所以三個(gè)連續(xù)自然數(shù)平方和不是某個(gè)自

然數(shù)的平方.

三、解答題

1.設(shè)兩輛汽車一為甲一為乙，并且甲用了x升汽油時(shí)即回返，留下返程需的x桶汽油,

將多余的(24-2x)桶汽油給乙.讓乙繼續(xù)前行，這時(shí)，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油,

依題意，應(yīng)當(dāng)有48-3xW24,；.x》8.

甲、乙分手后，乙繼續(xù)前行的路程是

-.60=30(48-4x)(公里)

這個(gè)結(jié)果中的代數(shù)式30(48-4x)表明，當(dāng)x的值愈小時(shí)，代數(shù)式的值愈大，因?yàn)閤28,

所以當(dāng)x=8時(shí)，得最大值30(48-4?8)=480(公里)，

因此,乙車行駛的路程一共是2(60?8+480)=1920(公里).

2.由題設(shè)可得

，

5(S-1)=4S-S1-S2-S3,

<

S1=S2=3S3.

S=—……①

J37

X2S-1S1-S2-S3=8,

即2S-5s3=8②

由①、②消去S3,得$啜.

3.?/x,y,z是正整數(shù)，并且！+」+3=?<1,

xyz6

Ax,y,z都>1,

不妨設(shè)l<x<y<z于是

xyz

即n竺，可確定x=2或3.

x6x55

當(dāng)x=2時(shí)，得[<[+工=2-工=1<1+2.=2,

yyz623yyy

即!<2=3<y<6,可確定y=4或5或6.

y3y

當(dāng)x=3時(shí)，由1+。+工=:-1=2?得

xyz632

1/111/112

—q.—+—=——+—=一.

yyz2yyy

119

即W,=2<y<4可知y=3或4.

y2y

于是由=f得z=12，々晨，得z=/(舍)

lv=4,1y=5,15

因此，當(dāng)IVxWyWz時(shí)，解

(x,y,z)共(2,4,12),(2,6,6),

(3,3,6),(3,4,4)四組.

由于x,y,z在方程中地位平等.所以可得如下表所列的15組解.

X22441212266336344

Y41221224626363443

Z12412242662633434

希望杯第二屆(1991年)初中一年級(jí)第一試試題

一、選擇題(每題1分，共15分)

以下每個(gè)題目的A,B,C,D四個(gè)結(jié)論中，僅有一個(gè)是正確的，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)填上正確的

那個(gè)結(jié)論的英文字母代號(hào).

1.數(shù)1是()

A.最小整數(shù).B.最小正數(shù).C.最小自然數(shù).D.最小有理數(shù).

2.若a>b,則()

11

A.—<—;B.-a<-b.C.|a|>|b|.

ab

3.a為有理數(shù)，則一定成立的關(guān)系式是(

A.7a>a.B.7+a>a.C.7+a>7.D.

4.圖中表示陰影部分面積的代數(shù)式是(

A.ad+bc.B.c(b-d)+d(a-c).C.ad+c(b-d).D.ab-cd.

5.以下的運(yùn)算的結(jié)果中，最大的一個(gè)數(shù)是()

A.(-13579)+0.2468;B.(-13579)+-----

2468

1

C.(-13579)XD.(-13579)4------

24682468

6.3.1416X7.5944+3.1416X(-5.5944)的值是()

A.6.1632.B.6.2832.C.6.5132.D.5.3692.

7.如果四個(gè)數(shù)的和心是8,其中三個(gè)數(shù)分別是-6,山2,則笫四個(gè)數(shù)是（）

A.16.B.15.C.14.D.13.

8.下列分?jǐn)?shù)中，大于且小于的是（）

34

11436

A.----;B.----;C.----;D.----.

20131617

3

9.方程甲：:（x-4）=3x與方程乙:x-4=4x同解，其根據(jù)是（）

4

4

A.甲方程的兩邊都加上了同一個(gè)整式x.B.甲方程的兩邊都乘以］x;

43

C.甲方程的兩邊都乘以二；D.甲方程的兩邊都乘以二.

34

10.如圖：一a-6-1b—\數(shù)軸上標(biāo)出了有理數(shù)a,b,c的位置，其中

o是原點(diǎn)，則的大小關(guān)系是（）

abc

111111111111

A.B.—>—>—;C.—>—>一;D.—>—>一

abcbcabaccab

Y5

IL方程京二7=的根是（）

22.23.7

A.27.B.28.C.29.D.30.

12.當(dāng)x1=5，y=時(shí),代數(shù)4x式-2寸y的值是（）

A.-6.B.~2.C.2.D.6.

13.在-4,-1,-2.5,-0.01與-15這五個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)與絕對(duì)值最大的那個(gè)數(shù)的乘

積是（）

A.225.B.0.15.C.0.0001.D.1.

14.不等式1+X土+X土+X土+X土〉x的解集是（）

24816

1

A.x<16.B.x>16.C.x<l.D.x>---.

16

15.濃度為p%的鹽水m公斤與濃度為q%的鹽水n公斤混合后的溶液濃度是（）

%;B.(，即+〃")％;C.也％D9也％.

p+qm+n

二、填空題（每題1分，共15分）

1.計(jì)算：(-l)+(-l)-(-l)X(-1)-?(-1)=

計(jì)算：-3?+6x1=

2.

6

(—63)x36

3.計(jì)算:

162~

4.求值:(-1991)-|3-|-31||=

___1___1___1_

5.

T'2~6~12~20~30~42

6.n為正整數(shù)，1990匚1991的末四位數(shù)字山千位、百位、十位、個(gè)位、依次排列組成

的四位數(shù)是8009.貝M的最小值等于

7.計(jì)算3：卜(1前919而19H、(一1麗919上、——?

8.計(jì)算：1[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=,

9.在(-2)I(-3))中，最大的那個(gè)數(shù)是________.

10.不超過(guò)超1.7）2的最大整數(shù)是.

2r-1IQx+l2x+1.

11.解方程一T-丁Tx=

12

13.一個(gè)質(zhì)數(shù)是兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的差是7,則這個(gè)質(zhì)數(shù)是—

14.一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的負(fù)倒數(shù)是上，則這個(gè)數(shù)是.

19

15.如圖11,a,b,c,d,e,f均為有理數(shù).圖中各行，各列、兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)

ab+cd+ef

之和都相等,則

a+6+c+d+e+f

答案與提示

一、選擇題

1.C2.B3.B4.C5.C6.B7.B8.B9.C10.B11.D12.A13.B

14.A15.D

提示：

1.整數(shù)無(wú)最小數(shù)，排除A；正數(shù)無(wú)最小數(shù)，排除B；有理數(shù)無(wú)最小數(shù)，排除D.1是最

小自然數(shù).選C.

2.若3〉-2,排除A；若2〉-3,有|2|<|-3|,排除C；若2>-3有爐

<(-3)2,排除D；事實(shí)上，a>b必有-aV-b.選B.

3.若a=0,7X0=0排除A：7+0=7排除C|01V7排除D,事實(shí)上因?yàn)?>0,必有7+a>

0+a=a.選B.

4.把圖形補(bǔ)成一個(gè)大矩形，則陰影部分面積等于

ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d).選C.

5.運(yùn)算結(jié)果對(duì)負(fù)數(shù)來(lái)說(shuō)絕對(duì)值越小其值越大。

易見-13579X占的絕對(duì)值最小，所以其值最大.

選C.

6.3.1416X7.5944+3.1416X(-5.5944)

=3.1416(7.5944-5.5944)=2X3.1416

=6.2832.選B.

7.由四個(gè)數(shù)之和的9是8知四個(gè)數(shù)之和

為32.第四個(gè)數(shù)數(shù)=32-(-6+11+12)=15.選B.

-A<_2_-1.-A<-3排除c-9<-U,

11,101,11616'41616排防'17183

8.—<--------—<—排除4

202023414441

排除A而一3=一二<_忘<_77=一7,選§.

51/13104

4

9.甲方程兩邊都乘以同一個(gè)非。實(shí)數(shù)所得新方程x-4=4x與原方程同解.選C.

圖中易見匕I〉卬」＞」4滕4c但］＞0,所以必有1〉L〉2.選反

10.

cabbca

11.—=—?-=5=＞x=30.選D.

22.23.76

A>4X——2(—2)0

12.^y=—2——=^=-6.選A.

燈2X(_2)-]

13.-4,-1,-2.5,-0.01與-15中最大的數(shù)是-0.01,絕對(duì)值最大的數(shù)是T5,(-0.01)

X(-15)=0.15.選B.

14-由1+>/I+式》x，

16x-8x-4x-2x-x

<lnx<16.選A.

16

15.設(shè)混合溶液濃度為x,則mXp%+nXq%=(m+n)x.x="小+%.選D.

m+n

二、填空題

提示:

1.(-1)+(-1)-(-1)X(-1)+(-1)=(-2)-(-1)=-1.

2,-32-6xl=(-9)xlx2=-2.

67664

3(-63)X36__7X9X4X9__14

162-2X9X9>

4.(-1991)-13-1-311I=-1991-28=-2019.

6.1990”的末四位數(shù)字應(yīng)為1991+8009的末四位數(shù)字.即為0000,即1990”末位至少要4

個(gè)0,所以n的最小值為4.

71919^

?I91919VI919V

=(-/(妙。?

8.1[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+

(-1993)]=-1991.

9.絕對(duì)值最小者為(4,，所以最大的數(shù)為

(」)，」

13，243,

10.(-1.7)2=2.89,不超過(guò)2.89的最大整數(shù)為2.

「2x-110x+l2x+1q

11.-----------=----------1

3124

去分母得

4(2x-l)-(10x+l)=3(2x+l)-12.

8x-4-1Ox-l=6x+3-12.

8x-10x-6x=3-12+4+l.

-8x=4,x=-.

2

當(dāng)?工當(dāng)

|lW3)|113||113113

(3551=355-

I-mJ-H3

2X—

-_H3__

~_355-2

~U3

13.十位數(shù)比個(gè)位數(shù)大7的兩位數(shù)有70,81,92,個(gè)位數(shù)比十位數(shù)大7的兩位數(shù)有18,

29,其中只有29是質(zhì)數(shù).

14.設(shè)這個(gè)數(shù)為x,其相反數(shù)為-x,它的負(fù)

倒數(shù)是-2「，即)=』，所以x=19.

-xxx19

15.由6+d+f=f+7+2=d=3；

由d+2+a=6+b+a,d=3=-1；

b+d+7=T+3+7=9,所以各行各列兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)之和等于9.易求得a=4,e=l,

c=5,f=0.

ab+cd+ef

則

a+b+c+d+e+f

4X(-1)+5X(3)+1XQ11

4+(-1)+5+3+1+012

希望杯第二屆（1991年）初中一年級(jí)第二試試題

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.設(shè)a,b為正整數(shù)（a>b）.p是a,b的最大公約數(shù)，q是a,b的最小公倍數(shù).則p,

q,a,b的大小關(guān)系是（）

A.p2q2a>b.B.q2a>b2P.C.q2p2a>b.D.p2a>b2q.

2.一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母都是正整數(shù)，且分子比分母小1,若分子和分母都減去1,則

所得分?jǐn)?shù)為小于9的正數(shù),則滿足上述條件的分?jǐn)?shù)共有（）

7

A.5個(gè).B.6個(gè).C.7個(gè).D.8個(gè).

3.下列四個(gè)等式：0=0,ab=0,a2=0,l+bJO中，可以斷定a必等于0的式子共有

h

（）

A.3個(gè).B.2個(gè).C.1個(gè).D.0個(gè).

4.a為有理數(shù).下列說(shuō)法中正確的是（）

A.（a+l）?的值是正數(shù).B.M+1的值是正數(shù).C.-（a+l）2的值是負(fù)數(shù).D.-a'+l的值小

于1.

5.如果"x<2,則代數(shù)式尼二4一?11+區(qū)的值是（）

x-2x-1x

A.-1.B.1.C.2.D.3.

6.a,b,c均為有理數(shù).在下列

甲：若a>b,貝iJac^Abc、乙：若ac">bc\貝lja>b.兩個(gè)結(jié)論中，（）

A.甲、乙都真.B.甲真，乙不真.C.甲不真，乙真.D.甲、乙都不真.

7.有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子|a|+b+|a+b|+|b-c|化簡(jiǎn)結(jié)果為

（）

_1____I___L___I____I___

A.2a+3b-c.B.3b-c.C.b+c.D.c-b.=5°1k

8.①若a=0,b#0,方程ax=b無(wú)解.②若a=0,b#0,不等式ax>b無(wú)解.③若aWO,

bI）

則方程ax二b有唯一解x二一；④若aWO,則不等式ax〉b的解為x>—.則（）

aa

A.①、②、③、④都正確.B.①、③正確，②、④不正確.

C.①、③不正確，②、④正確.D.①、②、③、④都不正確.

9.若abc=l,則-67-+-b_~+—J的值是（）

ab+a+\bc+b+\co+c+1

A.1.B.0.C.-1.1）.-2.

10.有一份選擇題試卷共六道小題.其得分標(biāo)準(zhǔn)是：一道小題答對(duì)得8分，答錯(cuò)得。分,

不答得2分.某同學(xué)共得了20分，則他（）

A.至多答對(duì)一道小題.B.至少答對(duì)三道小題.

C.至少有三道小題沒(méi)答.D.答錯(cuò)兩道小題.

二、填空題（每題1分，共10分）

1.絕對(duì)值大于13并且小于15.9的所有整數(shù)的乘積等于.

3、—-21m-900

2.單項(xiàng)式zx/z”與3盯Zz—十”是同類項(xiàng)，則m=

?匕190091

3.化簡(jiǎn)：-------5----------------------二

199019912-19901989x19901991

4.現(xiàn)在弟弟的年齡是哥哥年齡的;，而9年前弟弟的年齡只是哥哥的!，則哥哥現(xiàn)在

的年趟齡是_____.

5.某同學(xué)上學(xué)時(shí)步行，放學(xué)回家乘車往返全程共用了1.5小時(shí)，若他上學(xué)、下學(xué)都

乘車.則只需0.5小時(shí).若他上學(xué)、下學(xué)都步行，則往返全程要用小時(shí).

19

6.四個(gè)連續(xù)正整數(shù)的倒數(shù)之和是一，則這四個(gè)正整數(shù)兩兩乘積之和等于.

20

7.1.23452+0.76552+2.469X0.7655=.

8.在計(jì)算一個(gè)正整數(shù)乘以3.57的運(yùn)算時(shí),某同學(xué)誤將3.57錯(cuò)寫為3.57,結(jié)果與正確

答案相差14,則正確的乘積是.

21

9.某班學(xué)生人數(shù)不超過(guò)50人.元旦上午全班學(xué)生的一去參加歌詠比賽，全班學(xué)生的一

94

去玩乒乓球，而其余學(xué)生都去看電影,則看電影的學(xué)生有人.

10.游泳者在河中逆流而上.于橋A5面將水壺遺失被水沖走.繼續(xù)前游20分鐘后他

發(fā)現(xiàn)水壺遺失，于是立即返回追尋水壺.在橋A下游距橋A2公里的橋B下面追到了水壺.那

么該河水流的速度是每小時(shí)公里.

三、解答題（每題5分，共10分，要求：寫出完整的推理、計(jì)算過(guò)程，語(yǔ)言力求簡(jiǎn)明，

字跡與繪圖力求清晰、工整）

I.有一?百名小運(yùn)動(dòng)員所穿運(yùn)動(dòng)服的號(hào)碼恰是從I到100這一百個(gè)自然數(shù)，問(wèn)從這100名

運(yùn)動(dòng)員中至少要選出多少人，才能使在被選出的人中必有兩人，他們運(yùn)動(dòng)服的號(hào)碼數(shù)相差

9?請(qǐng)說(shuō)明你的理由.

2.少年科技組制成一臺(tái)單項(xiàng)功能計(jì)算器，對(duì)任意兩個(gè)整數(shù)只能完成求差后再取絕對(duì)

值的運(yùn)算，其運(yùn)算過(guò)程是：輸入第一個(gè)整數(shù)X”只顯示不運(yùn)算，接著再輸入整數(shù)整后則顯

示IX「Xz|的結(jié)果，此后每輸入一個(gè)整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差取絕對(duì)值的運(yùn)算，

現(xiàn)小明將從1到1991這一千九百九十一個(gè)整數(shù)隨意地一個(gè)一個(gè)地輸入，全部輸入完畢之后

顯示的最后結(jié)果設(shè)為P.試求出p的最大值，并說(shuō)明理由.

答案與提示

一、選擇題

1.B2.A3.A4.B5.B6.C7.C8.B9.A10.D

提示：

1.兩個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)一定不小于兩數(shù)中較大者.兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)一

定不大于兩數(shù)中較小者?.所以q》a>b》p.選B.

2.設(shè)a為正整數(shù)，該分?jǐn)?shù)表為..依題意

—解得0<a<7,所以a可取1,2,3,4,

a7

5,6,六個(gè)值.因此滿足上述條件的分?jǐn)?shù)共有五

3.；=0,由于分母b#1。=以=0,ab=0

b

=a=0或8=0,即抹必為0.a2=0=>a=0,

a2+c2=0,則a=0且b=0,也有該為0.所以

，也有a必為0.所以a必為。的式子共有.3個(gè).

選A.

4.a=T時(shí)(a+1)"=0,A不真；a=T時(shí)-(a+1)、0,C也不真；a=0時(shí)-@2+1=1,D不真；只

有對(duì)任意有理數(shù)a,a2+l>0成立.選B.

5.當(dāng)1VXV2時(shí)，x>0,x-l>0,x-2<0.

A|x|=x,|x-l|=x-L|x-2|=2-x.

=-1-(-1)+1=1.選B.

6.若c=0,甲不正確.對(duì)于乙，若ac2>bc、可推出c#0,??.(?>0,進(jìn)而推出a>b,

乙正確.選C.

7.由圖4可見，a<0=>|a|=-a,b>0=>|b|=b,

々+右=1+以+?—1)〉0./.\a+i|=a+i.c〉A(chǔ)=

c-b>0,|b-c|=c-b.|a|+1b|+1a+b|+|b-c|=一a+b+a+b+c-b=b+c?選C?

8.若a=0,b=-l,Ox>-1,可見②無(wú)解不

真.若a。。比如a=-l,-x>b=>x<-b9④不真.

只有①，③是正確.選民

9.abc=l,則a,b,c均不為0.

abc

--------------4-------------------1----------------

ab+a+1bc+b+1ca+c+1

acbbe

=--------------H--------------------1-----------------

1+ac+cbe4-b4