小學(xué)四年級奧數(shù)幻方教程

小學(xué)四年級數(shù)學(xué)提高教程——幻方與數(shù)陣圖【知識點(diǎn)解析】一、幻方的概念：所謂幻方是指在正方形方格表的每個方格內(nèi)填入數(shù)，使得每行、每列和兩條對角線上的各數(shù)之和相等；而階數(shù)是指每行、每列所包含的方格數(shù)。幻方題可以粗略的分為兩種，一種是限制了所填入的數(shù)字，或者給出了需要填入的各個數(shù)字，或者已經(jīng)填入一個或幾個數(shù)字；另一種是對填入的數(shù)字沒有任何限制，填對即可?；梅接址Q為魔方，方陣等，它最早起源于我國。宋代數(shù)學(xué)家楊輝稱之為縱橫圖。關(guān)于幻方的起源，我國有“河圖”和“洛書”之說。相傳在遠(yuǎn)古時期，伏羲氏取得天下，把國家治理得井井有條，感動了上蒼，于是黃河中躍出一匹龍馬，背上馱著一張圖，作為禮物獻(xiàn)給他，這就是“河圖”了，是最早的幻方。伏羲氏憑借著“河圖”而演繹出了八卦。后來大禹治洪水時，洛水中浮出一只大烏龜，它的背上有圖有字，人們稱之為“洛書”。“洛書”所畫的圖中共有黑、白圓圈45個。把這些連在一起的小圓和數(shù)目表示出來，得到1至9這九個數(shù)，恰組成一個三階幻方。二、幻方問題主要方法1、累加法利用累加的方法可以求出“幻和”和關(guān)鍵位置上的數(shù)字。通常將若干個“幻和”累加在一起，再計(jì)算每一個位置上的重?cái)?shù)，從而求出“幻和”和關(guān)鍵位置上的數(shù)字。2、求出“幻和”和關(guān)鍵位置上的數(shù)字后，結(jié)合枚舉法完成數(shù)陣圖的填寫，在填寫數(shù)陣圖的過程中注意從特殊的數(shù)字和位置入手。3、比較法利用比較的方法可以直接填出某些位置的數(shù)字。注意觀察數(shù)陣圖中相關(guān)聯(lián)的“幻和”之間的關(guān)系，注意它們之間共同的部分，去比較不同的部分。4、掌握好3階幻方中的規(guī)律。【例題】1、如下圖，將1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及兩條對角線上的三個數(shù)字之和都相等，你一共可以得到多少種填法？第第1題「分析」首先，我們思考要填出一個三階幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我們就知道，那個所謂的“幻和”，即每行、每列、每條對角線三個數(shù)的和是最重要的量。它是多少呢？哦，如果我們按照行（按照列也一樣）把幻方中的九個數(shù)加起來，那么它們的總和不就是3倍的“幻和”嗎？而另一方面，我們也知道，由于1到9這九個數(shù)字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（請復(fù)習(xí)學(xué)過的等差數(shù)列知識）。于是最后，我們終于得到這個至關(guān)重要的“幻和”就是45÷3=15。接下來第二步，我們來關(guān)心一下中間一格應(yīng)該填哪個數(shù)字。同學(xué)們可能會說，中間一定填5，因?yàn)?到9的中間數(shù)字就是5，而幻方又是上下左右對稱的。沒錯，同學(xué)們有這樣的數(shù)學(xué)直觀很好，但是為了確定我們的判斷，還是需要嚴(yán)格地說明一下。ABCDEFGHI看上面的表格，由于我們還沒有填入任何一個數(shù)字，所以就用了九個大寫字母來表示。下面就需要技巧了，我們現(xiàn)在只考慮包含E的四條直線：因?yàn)锳+E+I=15,B+E+H=15,C+E+G=15,D+E+F=15,所以如果我們把這四個式子的左右兩邊分別相加，就可以得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3×E=60,而A+B+C+D+E+F+G+H+I不就是所填數(shù)的總和嗎？不論填法如何，這個數(shù)是不變的，它就是45，于是那么我們就得到E=5了?！冈斀狻垢鶕?jù)上面的分析，我們知道“幻和”=15，而E=5。從而我們知道A+I=B+H=C+G=D+F=10，也意味著在所有經(jīng)過中心的直線上，兩端的數(shù)字奇偶性相同。然后我們可以通過枚舉的方法確定每個位置上數(shù)字的奇偶性：（大家自己完成）偶奇偶奇5奇偶奇偶我們可以看到，如果4個角上的偶數(shù)被確定下來，那么其余4個奇數(shù)也就被確定了，所以我們可以只考慮這4個偶數(shù)的填法。利用一點(diǎn)簡單的乘法原理，大家就可以知道本題共有8種填法。具體填法如下：294276834816753951159357618438672492492438672618357951159753816276834294271731292521193323「評議」至此，本講對于三階幻方的深入研究告一段落，最后重申幾點(diǎn)注意事項(xiàng)：這些性質(zhì)只適用于三階幻方，對于四階和四階以上的幻方，有些性質(zhì)可能就不成立了，而有些需要修改，請同學(xué)們慎重，具體問題具體處理。這幾條性質(zhì)適合于所有的三階幻方，并沒有局限性。2、求任一列、任一行以及兩條對角線上的三個數(shù)之和都等于267的三階質(zhì)數(shù)幻方?！冈斀狻梗河衫?知中間方格中的數(shù)為267÷3＝89。由于在兩條對角線、中間一行及中間一列這四組數(shù)中，每組的三個數(shù)中都有89，所以每組的其余兩數(shù)之和必為267-89＝178。兩個質(zhì)數(shù)之和為178的共有六組：5+173＝11＋167＝29＋149＝41＋137＝47+131＝71+107。經(jīng)試驗(yàn)，可得右圖所示的三階質(zhì)數(shù)幻方。10210254783、將1—12填入圖中的12個區(qū)域內(nèi)，使得每個圓圈內(nèi)的4個數(shù)字之和都相等?！阜治觥乖瓌t上我們是可以通過分析每個數(shù)所屬于的圓圈個數(shù)（“重?cái)?shù)”）來分析每個圓圈內(nèi)4個數(shù)字之和的范圍，確定其最小值和最大值，再一一篩選。具體方法大家可以參考三年級下學(xué)期的內(nèi)容。但是這種方法在一些特殊的數(shù)陣圖題目中顯得非常不實(shí)用。當(dāng)然，由于同學(xué)們做題時只需要找出一種可能的填法，所以上面說的這種方法在很多情況下也是可行的，只是繁瑣些。10254781025478ABCDEA+B+2+5=B+C+7+8，則A-C=8。因此要么A=9，C=1或者A=11，C=3（因?yàn)?2和10已經(jīng)有了）。如果A=11，C=3，那么仿照以上的步驟，就可以知道D=E-10（為什么？大家自己思考），所以不可能。因此A=9，C=1，那還剩下4個數(shù)字需要填：3，6，11，12。由于10+D+A(9)=E+4+7，于是D+8=E。所以就有D=3而E=11。剩下的數(shù)就很簡單了。102102547891311612「評議」還是那句話，特殊而巧妙的方法是因題而異的，這需要經(jīng)驗(yàn)和積累。也就是說，大家不能做完題就算了，而是需要牢牢記住這些好方法，久而久之才能融會貫通。4、將1、2、3、4、5、6、7、8、9分別填入圖中的9個圓圈內(nèi)，使圖中每條直線上圓圈內(nèi)所填數(shù)之和都相等，那么這個相等的和為_______；（圖中有7條直線，請?zhí)畛觯阜治觥刮覀冏屑?xì)看看上面這張圖，就會發(fā)現(xiàn)有些圓圈處于三條直線上，而另一些圓圈處于兩條直線上，還有一個圓圈只處于一條直線上。要想利用所謂“重?cái)?shù)”的分析方法，有很大的困難。當(dāng)然也不是說這種方法就失靈了，我們綜合分析一下，就不難發(fā)現(xiàn)某些位置上的數(shù)字應(yīng)該偏大，而另一些數(shù)字顯然偏小。如果去猜一猜的話，也不難填出一種來。A那么我們就可以去考慮一下是否有更好或更直接的方法來做本題。我們發(fā)現(xiàn)有一個圓圈很特殊，從它出發(fā)，就很容易找到答案。A「詳解」除去位置A處的數(shù)字，剩下的8個數(shù)字恰好組成三行，也就是說1+2+3+4+5+6+7+8+9-A=3ד每條直線上圓圈內(nèi)所填數(shù)之和”。6DBC6DBC但是，如果A=9的話，那么右下角的圓圈內(nèi)只能填1或者2了，此時就要求左下角的數(shù)字至少為10，顯然不可能。如果A=6，則每條直線上圓圈內(nèi)所填數(shù)之和等于13，而在下圖中我們知道B=C+6（比較法），因此就要D+6+B=C+