極限知識(shí)拓展

極限知識(shí)拓展【知識(shí)拓展】收斂數(shù)列有幾個(gè)重要性質(zhì)，它們可表現(xiàn)為下面幾個(gè)定理：證明：假設(shè)數(shù)列有兩個(gè)極限a與b，即與，根據(jù)數(shù)列極限定義，對(duì)于任意的ε>0分別有：存在自然數(shù)當(dāng)時(shí)，有；存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，有．取，當(dāng)n>N時(shí)，同時(shí)有與，于是當(dāng)n>N時(shí)，有因?yàn)閍與b是常數(shù)，2ε是任意小的正數(shù)，所以只有a=b，上述不等式才能成立，即數(shù)列的極限是惟一的．定理2：（有界性）若數(shù)列收斂，則有界，即存在正數(shù)M，對(duì)任意自然數(shù)n有證明：設(shè)，根據(jù)數(shù)列極限的定義，取定（ε可以根據(jù)需要任意選取），存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有因?yàn)椋援?dāng)n>N時(shí)，有或即…．在數(shù)列中不滿足不等式的項(xiàng)充其量不過是前N項(xiàng)：.令．于是，對(duì)任意自然數(shù)n，有定理2指出收斂的數(shù)列必有界．反之，有界數(shù)列不一定收斂．例如，已知數(shù)列是有界的，但它卻是發(fā)散的．換句話說，有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件．2．什么是有界數(shù)列?定義：若存在兩個(gè)數(shù)A，B(設(shè)A<B)，數(shù)列中的每一項(xiàng)都在閉區(qū)間[A，B]內(nèi)，亦即，則稱為有界數(shù)列．這時(shí)A稱為它的下界，B稱為它的上界．關(guān)于有界數(shù)列有下面幾點(diǎn)說明．(1)如果B是數(shù)列的上界，那么B＋1，B＋2，B+α(α>0)都是的上界．這表明上界并不是惟一的，下界也是如此．(2)對(duì)于數(shù)列，如果存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，總有,我們就說數(shù)列往后有界．要注意，往后有界一定是有界的，這是因?yàn)樵贜項(xiàng)之前只有有限多個(gè)數(shù)在這有限個(gè)數(shù)中必有最大的數(shù)和最小的數(shù)，設(shè)，δ>0，使當(dāng)時(shí)，f(x)>g(x)．證明：取那么存在當(dāng)時(shí)，有；同時(shí)又存在，當(dāng)時(shí)，有，現(xiàn)在，令，那么當(dāng)時(shí)，就有性質(zhì)2．若且存在δ>0，使當(dāng)時(shí)，f(x)<g(x)，則A≤B．性質(zhì)3．若而A>B(A<B)，則存在δ>0，使當(dāng)時(shí),f(x)>B(f(x)<B)．性質(zhì)4．若則A=B，這說明了函數(shù)極限的惟一性．證明：采用反證法，如果A≠B，不妨設(shè)A>B，由性質(zhì)1知道，存在δ>0，當(dāng)時(shí)，有f(x)>f(x)矛盾，這就證明了A=B性質(zhì)5．若存在δ>0，使當(dāng)時(shí)，f(x)≤g(x)≤h(x)，并且則性質(zhì)6．(局部有界性)若，則存在著δ>0，使得f(x)在區(qū)間和內(nèi)有界，亦即在不等式所表示的區(qū)間內(nèi)有界．[注：若函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間Z內(nèi)滿足A≤f(x)≤B，其中A，B是兩個(gè)常數(shù)，我們稱f(x)在Z內(nèi)有界，并稱A是f(x)在Z內(nèi)的下界，B是f(x)在Z內(nèi)的上界．顯然，對(duì)任何α>0，A-α都是f(x)的下界，同樣對(duì)任何β>0，B+β都是f(x)的上界．這個(gè)定義也可以這樣敘述：設(shè)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間Z內(nèi)滿足|f(x)|≤M，其中M是一個(gè)正實(shí)數(shù)，我們就稱f(x)在Z內(nèi)有界．以上兩種說法顯然是等價(jià)的．]證明：取—個(gè)固定的ε，譬如說取ε=1，由知道，存在δ>0，當(dāng)時(shí)，有A-1<f(x)<A+1，這就證明了f(x)在和內(nèi)有界．要注意的是，由極限存在，只能斷定函數(shù)在相應(yīng)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有界，而不能斷定它在整個(gè)定義域內(nèi)有界．例如,它的定義域是(-∞，1)和(1，+∞)，由前面的例子知道．根據(jù)性質(zhì)6，存在某個(gè)δ>0，在(1-δ，1)和(1，1+δ)內(nèi)，有界．但是這個(gè)函數(shù)在它的定義域內(nèi)有，它的圖形是一條拋物線，但除去x=1，可見在(-∞，1)和(1，+∞)內(nèi)是無界的．6．連續(xù)函數(shù)有哪些性質(zhì)?若函數(shù)f(x)和g(x)均在點(diǎn)處連續(xù)，則函數(shù)f(x)±g(x)，f(x)·g(x)，f(x)/g(x)在點(diǎn)處也連續(xù)．若函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)處連續(xù)，在點(diǎn)連續(xù)，且，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)．若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)、連續(xù)，且f(a)=α，f(b)=β，則其反函數(shù)在區(qū)間[α，β]或[β，α]上單調(diào)、連續(xù)．基本初等函數(shù)(包括冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù))在它們各自的定義域上皆連續(xù).由函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義及，有．這就是說，對(duì)于連續(xù)函數(shù)，極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)可以交換，例求思路啟迪由于函數(shù)y=sinx是初等函數(shù)，所以它在其定義域(-∞，+∞)上是連續(xù)函數(shù)，這樣就可以利用這個(gè)等式．規(guī)范解法因已知y=sinx在實(shí)數(shù)域上的任意一點(diǎn)都連續(xù)，所以有有時(shí)我們只討論函數(shù)f(x)在的左側(cè)或