樹和二叉樹概念

6.樹和二叉樹16.1樹的定義和基本概念6.2二叉樹

6.2.1樹的定義和基本術(shù)語

6.2.2二叉樹的性質(zhì)

6.2.3二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)6.3遍歷二叉樹

6.3.1遍歷二叉樹

6.3.2線索二叉樹2

6.4樹和森林

6.4.1樹的存儲結(jié)構(gòu)

6.4.2森林與二叉樹的轉(zhuǎn)換

6.4.3樹和森林的遍歷6.6赫夫曼樹及其應(yīng)用

6.6.1最優(yōu)二叉樹（赫夫曼樹）

6.6.2赫夫曼編碼36.1樹的定義和基本術(shù)語4樹的邏輯定義

樹(Tree)：是包括n(n>=0)個結(jié)點的有限集T。當(dāng)T非空時，滿足：（1）有且僅有一個特別標出的稱為根的結(jié)點；（2）除根結(jié)點外，其余結(jié)點可分為m（m>=0）個互不相交非空的有限集T1,T2,…,Tm,其中每一個集合本身又是一棵樹，稱為根的子樹(Subtree)。

ABCDEFIJGH5

樹結(jié)構(gòu)的特點：（1）樹的根的結(jié)點沒前驅(qū)結(jié)點，除了根結(jié)點之外的所有結(jié)點都有且只有一個前驅(qū)結(jié)點；（2）樹的結(jié)點可以有零個或多個后繼結(jié)點。樹結(jié)構(gòu)描述的是層次關(guān)系。ABCDEFIJGH6A只有根結(jié)點的樹ABCDEFGHIJKLM有子樹的樹根子樹7數(shù)據(jù)對象D：D是具有相同特性的數(shù)據(jù)元素的集合。

若D為空集，則稱為空樹。否則:(1)在D中存在唯一的稱為根的數(shù)據(jù)元素root；

(2)當(dāng)n>1時，其余結(jié)點可分為m(m>0)個互不相交的有限集T1,T2,…,Tm，其中每一棵子集本身又是一棵符合本定義的樹，稱為根root的子樹。

數(shù)據(jù)關(guān)系R：樹的定義8

基本操作：查找類Root(T)//求樹的根結(jié)點

Value(T,cur_e)//求當(dāng)前結(jié)點的元素值

Parent(T,cur_e)//求當(dāng)前結(jié)點的雙親結(jié)點LeftChild(T,cur_e)//求當(dāng)前結(jié)點的最左孩子

TreeEmpty(T)//判定樹是否為空樹

TreeDepth(T)//求樹的深度TraverseTree(T,Visit())//遍歷RightSibling(T,cur_e)//求當(dāng)前結(jié)點的右兄弟9InitTree(&T)//初始化置空樹

CreateTree(&T,definition)//按定義構(gòu)造樹Assign(T,cur_e,value)//給當(dāng)前結(jié)點賦值InsertChild(&T,&p,i,c)//將以c為根的樹插入為結(jié)點p的第i棵子樹

插入類刪除類

ClearTree(&T)//將樹清空

DestroyTree(&T)//銷毀樹的結(jié)構(gòu)DeleteChild(&T,&p,i)//刪除結(jié)點p的第i棵子樹10ABCDEFGHIJMKLA(B(E,F(K,L)),

C(G),

D(H,I,J(M))

)T1T3T2樹根例如:11(１)有確定的根；(２)樹根和子樹根之間為有向關(guān)系。有向樹：有序樹：子樹之間存在確定的次序關(guān)系。無序樹：子樹之間不存在確定的次序關(guān)系。12~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~線性結(jié)構(gòu)樹型結(jié)構(gòu)第一個數(shù)據(jù)元素

(無前驅(qū))

根結(jié)點

(無前驅(qū))最后一個數(shù)據(jù)元素

(無后繼)多個葉子結(jié)點

(無后繼)其它數(shù)據(jù)元素(一個前驅(qū)、一個后繼)其它數(shù)據(jù)元素(一個前驅(qū)、多個后繼)13

2、基本術(shù)語結(jié)點(node)——表示樹中的元素，包括數(shù)據(jù)項及若干指向其子樹的分支結(jié)點的度(degree)——結(jié)點擁有的子樹數(shù)葉子(leaf)——度為0的結(jié)點分支結(jié)點——度不為0的結(jié)點樹的度——一棵樹中各結(jié)點的度的最大值孩子(child)——結(jié)點子樹的根稱為該結(jié)點的孩子雙親(parents)——孩子結(jié)點的上層結(jié)點叫該結(jié)點的~兄弟(sibling)——同一雙親的孩子14祖先：從根到該結(jié)點所經(jīng)分支上的所有結(jié)點稱為該結(jié)點的祖先子孫：以某結(jié)點為根的子樹中的所有結(jié)點都稱為該結(jié)點的子孫結(jié)點的層次(level)——從根結(jié)點算起，根為第一層，它的孩子為第二層……堂兄弟：雙親在同一層的結(jié)點互為堂兄弟深度(depth)——樹中結(jié)點的最大層次數(shù)有序樹：如果將樹中結(jié)點的各子樹左右次序不能互換，則該樹為有序樹無序樹：如果將樹中結(jié)點的各子樹左右次序能互換，則該樹為無序樹森林(forest)——m(m

0)棵互不相交的樹的集合15ABCDEFGHIJKLM結(jié)點A的度：3結(jié)點B的度：2結(jié)點M的度：0葉子：K，L，F(xiàn)，G，M，I，J結(jié)點A的孩子：B，C，D結(jié)點B的孩子：E，F(xiàn)結(jié)點I的雙親：D結(jié)點L的雙親：E結(jié)點B，C，D為兄弟結(jié)點K，L為兄弟樹的度：3結(jié)點A的層次：1結(jié)點M的層次：4樹的深度：4結(jié)點F，G為堂兄弟結(jié)點F的祖先是結(jié)點B，A結(jié)點D的子孫是H,I,J,M166.2二叉樹176.2.1二叉樹的定義

定義：二叉樹是n(n0)個結(jié)點的有限集，它或為空樹(n=0)，或由一個根結(jié)點和兩棵分別稱為左子樹和右子樹的互不相交的二叉樹構(gòu)成.

特點:每個結(jié)點至多有二棵子樹(即不存在度大于2的結(jié)點);二叉樹的子樹有左、右之分，且其次序不能任意顛倒.18二叉樹的定義b)僅有根結(jié)點的二叉樹a)空二叉樹c)右子樹為空的二叉樹d)左、右子樹均非空的二叉樹e)左子樹為空的二叉樹19

性質(zhì)1：

在二叉樹的第i

層上至多有2i-1個結(jié)點。

(i≥1)用歸納法證明：

歸納基：

歸納假設(shè)：

歸納證明：i=1

層時，只有一個根結(jié)點：

2i-1=20=1；假設(shè)對所有的j，1≤j

i，命題成立；二叉樹上每個結(jié)點至多有兩棵子樹，則第i層的結(jié)點數(shù)=2i-2

2=2i-1

。6.2.2二叉樹的性質(zhì)20性質(zhì)2：

深度為k的二叉樹上至多含2k-1個結(jié)點（k≥1）。證明：基于上一條性質(zhì)，深度為k的二叉樹上的結(jié)點數(shù)至多為

20+21+

+2k-1=2k-1

。21

性質(zhì)3：

對任何一棵二叉樹，若它含有n0個葉子結(jié)點、n2個度為

2

的結(jié)點，則必存在關(guān)系式：n0=n2+1。證明：設(shè)二叉樹上結(jié)點總數(shù)n=n0+n1+n2又二叉樹上分支總數(shù)b=n1+2n2

而b=n-1=n0+n1+n2-1由此，n0=n2+1。22兩類特殊的二叉樹：滿二叉樹：指的是深度為k且含有2k-1個結(jié)點的二叉樹。完全二叉樹：樹中所含的n個結(jié)點和滿二叉樹中編號為1至n的結(jié)點一一對應(yīng)。123456789101112131415abcdefghij23123114589121367101415123114589126710123456712345624

性質(zhì)4：

具有n個結(jié)點的完全二叉樹的深度為

log2n

+1。證明：設(shè)完全二叉樹的深度為k則根據(jù)第二條性質(zhì)得2k-1≤n<2k

即

k-1≤log2n<k因為k只能是整數(shù)，因此，

k=log2n

+1。25性質(zhì)5：若對含n個結(jié)點的完全二叉樹從上到下且從左至右進行1

至n

的編號，則對完全二叉樹中任意一個編號為i

的結(jié)點：

(1)若i=1，則該結(jié)點是二叉樹的根，無雙親，否則，編號為

i/2

的結(jié)點為其雙親結(jié)點；

(2)若2i>n，則該結(jié)點無左孩子，

否則，編號為2i的結(jié)點為其左孩子結(jié)點；

(3)若2i+1>n，則該結(jié)點無右孩子結(jié)點，

否則，編號為2i+1的結(jié)點為其右孩子結(jié)點。266.2.3二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)1、順序存儲結(jié)構(gòu)按滿二叉樹的結(jié)點按層編號，依次存放二叉樹中的數(shù)據(jù)元素.結(jié)點在這個序列中的相互位置能反映出結(jié)點之間的邏輯關(guān)系：

#defineMax_Tree_Size100Typedef

TElemType

SqBiTree[Max_Tree_Size];SqBiTree

bt;

缺點是有可能對存儲空間造成極大的浪費，在最壞的情況下，一個深度為k且只有k個結(jié)點的右單支樹確需要2k-1個結(jié)點存儲空間。27abcdefghijkl

123456789101112abcdefghijkl完全二叉樹28ABCDEFG?????表示該處沒有元素存在僅僅為了好理解ABCDE????FG一般二叉樹292、二叉鏈表法

lchilddatarchild二叉鏈表存儲表示Typedef

struct

BiTNode{

TelemTypedata;

struct

BiTNode*lchild,*rchild;}BiTNode,*BiTree;30ABCDEFGAB

CD

E

F

G^^^^^^^^313、三叉鏈表lchilddatarchildparent三叉鏈表存儲表示Typedef

struct

BiTNode{

TelemTypedata;

struct

BiTNode*lchild,*rchild,*perent;}BiTNode,*BiTree;32ABCDEFGABCDEF

G^^^^^^^^^336.3遍歷二叉樹和線索二叉樹

346.3.1遍歷二叉樹在二叉樹的一些應(yīng)用中，常常要求在樹中查找具有某種特征的結(jié)點，或者對樹中全部結(jié)點逐一進行某種處理。這就引入了遍歷二叉樹的問題，即如何按某條搜索路徑巡訪樹中的每一個結(jié)點，使得每一個結(jié)點均被訪問一次，而且僅被訪問一次。遍歷對線性結(jié)構(gòu)是容易解決的，而二叉樹是非線性的，因而需要尋找一種規(guī)律，以便使二叉樹上的結(jié)點能排列在一個線性隊列上，從而便于遍歷。35

假如以L、D、R分別表示遍歷左子樹、遍歷根結(jié)點和遍歷右子樹，遍歷整個二叉樹則有DLR、LDR、LRD、DRL、RDL、RLD六種遍歷方案。若規(guī)定先左后右，則只有前三種情況，分別規(guī)定為：

DLR——先（根）序遍歷，

LDR——中（根）序遍歷，

LRD——后（根）序遍歷。361、先序遍歷二叉樹的操作定義為：若二叉樹為空，則空操作；否則（1）訪問根結(jié)點；（2）先序遍歷左子樹；（3）先序遍歷右子樹。2、中序遍歷二叉樹的操作定義為：若二叉樹為空，則空操作；否則（1）中序遍歷左子樹；（2）訪問根結(jié)點；（3）中序遍歷右子樹。3、后序遍歷二叉樹的操作定義為：若二叉樹為空，則空操作；否則（1）后序遍歷左子樹；（2）后序遍歷右子樹；（3）訪問根結(jié)點。37若先序遍歷此二叉樹,按訪問結(jié)點的先后次序?qū)⒔Y(jié)點排列起來,其先序序列為：-+a*b-cd/ef

按中序遍歷,其中序序列為：a+b*c-d-e/f按后序遍歷,其后序序列為：abcd-*+ef/-

－＋*a/b-dcfe38先序遍歷遞歸算法：voidpreorder(BiTreeT){if(T!=NULL){printf("%d\n",T->data);

preorder(T->lchild);

preorder(T->rchild);}}39ADBCDLRADLRDLR>B>>D>>CDLR先序遍歷序列：ABDC先序遍歷:40主程序Pre(T)返回返回pre(TR);返回返回pre(TR);ACBDTBprintf(B);pre(TL);BTAprintf(A);pre(TL);ATDprintf(D);pre(TL);DTCprintf(C);pre(TL);C返回T>左是空返回pre(TR);T>左是空返回T>右是空返回T>左是空返回T>右是空返回pre(TR);先序序列：ABDC41中序遍歷遞歸算法：voidinorder(BiTreeT){if(T!=NULL){inorder(T->lchild);

printf("%d\n",T->data);

inorder(T->rchild);}}42ADBCLDRBLDRLDR>A>>D>>CLDR中序遍歷序列：BDAC中序遍歷:43后序遍歷遞歸算法：voidpostorder(BiTreeT){if(T!=NULL){postorder(T->lchild);

postorder(T->rchild);

printf("%d\n",T->data);}}44ADBCLRDLRDLRD>A>>D>>CLRD后序遍歷序列：DBCA后序遍歷:B45四、遍歷算法的應(yīng)用舉例1、統(tǒng)計二叉樹中葉子結(jié)點的個數(shù)

(先序遍歷)2、求二叉樹的深度(后序遍歷)3、復(fù)制二叉樹(后序遍歷)4、建立二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)461、統(tǒng)計二叉樹中葉子結(jié)點的個數(shù)算法基本思想:

先序(或中序或后序)遍歷二叉樹，在遍歷過程中查找葉子結(jié)點，并計數(shù)。由此，需在遍歷算法中增添一個“計數(shù)”的參數(shù)，并將算法中“訪問結(jié)點”的操作改為：若是葉子，則計數(shù)器增1。47void

CountLeaf

(BiTreeT,int&count){

if(T){

if((!T->lchild)&&(!T->rchild))count++;//對葉子結(jié)點計數(shù)

CountLeaf(T->lchild,count);

CountLeaf(T->rchild,count);}//if}//CountLeaf482、求二叉樹的深度(后序遍歷)算法基本思想:

從二叉樹深度的定義可知，二叉樹的深度應(yīng)為其左、右子樹深度的最大值加1。由此，需先分別求得左、右子樹的深度，算法中“訪問結(jié)點”的操作為：求得左、右子樹深度的最大值，然后加1。

首先分析二叉樹的深度和它的左、右子樹深度之間的關(guān)系。49int

Depth(BiTreeT){//返回二叉樹的深度

if(!T)depthval=0;else{

depthLeft=Depth(T->lchild);

depthRight=Depth(T->rchild);

depthval=1+(depthLeft>depthRight?

depthLeft:depthRight);

}

return

depthval;}503、復(fù)制二叉樹其基本操作為：生成一個結(jié)點。根元素T左子樹右子樹根元素NEWT左子樹右子樹左子樹右子樹(后序遍歷)51BiTNode

*GetTreeNode(TElemType

item,

BiTNode

*lptr,BiTNode

*rptr){

if(!(T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode))))

exit(1);

T->data=item;

T->lchild=

lptr;T->rchild=

rptr;

returnT;}

生成一個二叉樹的結(jié)點(其數(shù)據(jù)域為item,左指針域為lptr,右指針域為rptr)52BiTNode

*CopyTree(BiTNode

*T){

if(!T)returnNULL;

if(T->lchild)

newlptr=

CopyTree(T->lchild);//復(fù)制左子樹

else

newlptr=NULL;

if(T->rchild)

newrptr

=

CopyTree(T->rchild);//復(fù)制右子樹

else

newrptr=NULL;

newT=GetTreeNode(T->data,newlptr,

newrptr);

return

newT;}//CopyTree53ABCDEFGHK^D^

C^^B^H^^K^G^F^E^A例如：下列二叉樹的復(fù)制過程如下：newT54

以字符串的形式根左子樹右子樹定義一棵二叉樹例如:ABCD以空白字符“

”表示A(B(,C(,)),D(,))空樹只含一個根結(jié)點的二叉樹A以字符串“A

”表示以下列字符串表示4、建立二叉樹55Status

CreateBiTree(BiTree

&T)

{

scanf(&ch);

if(ch=='')T=NULL;

else{

if(!(T=(BiTNode

*)malloc(sizeof(BiTNode))))

exit(OVERFLOW);T->data=ch;//生成根結(jié)點

CreateBiTree(T->lchild);//構(gòu)造左子樹

CreateBiTree(T->rchild);//構(gòu)造右子樹

}

returnOK;}//CreateBiTree56AB

C

D

ABCD上頁算法執(zhí)行過程舉例如下：ATBCD^^^^^57建立二叉樹的二叉鏈表，已知輸入序列為：

ABCDEGFABCDEFG58

僅知二叉樹的先序序列“abcdefg”

不能唯一確定一棵二叉樹，由二叉樹的先序和中序序列建樹

如果同時已知二叉樹的中序序列“cbdaegf”，則會如何？

二叉樹的先序序列二叉樹的中序序列左子樹左子樹右子樹右子樹根根59abcdefgcbdaegf例如:aabbccddeeffggabcdefg^^^^^^^^先序序列中序序列60void

CrtBT(BiTree&T,charpre[],charino[],

int

ps,intis,intn){//已知pre[ps..ps+n-1]為二叉樹的先序序列，//ino[is..is+n-1]為二叉樹的中序序列，本算//法由此兩個序列構(gòu)造二叉鏈表

if(n==0)T=NULL;

else{k=Search(ino,pre[ps]);//在中序序列中查詢

if(k==-1)T=NULL;

else{}}//}//CrtBT

……61T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));T->data=pre[ps];if(k==is)T->Lchild=NULL;else

CrtBT(T->Lchild,pre[],ino[],ps+1,is,k-is);if(k=is+n-1)T->Rchild=NULL;else

CrtBT(T->Rchild,pre[],ino[],ps+1+(k-is),k+1,n-(k-is)-1);62練習(xí)：已知二叉樹的先序遍歷次序為：ABCDEGF，中序遍歷次序為：CBEDAGF，則該二叉樹的后序遍歷次序為何？ABCDEFG后序遍歷次序CEDBFGA63作業(yè)五：1、編寫求兩棵二叉樹是否完全相等的遞歸算法,若相等函數(shù)返回真，否則返回假。Statusequal(BiTreeT1,BiTreeT2)2、編寫把一棵二叉樹復(fù)制生成另一棵二叉樹的遞歸算法。voidcopy(BiTreeT1,BiTree&T2)641、編寫求兩棵二叉樹是否完全相等的遞歸算法,若相等函數(shù)返回真，否則返回假。Statusequal(BiTreeT1,BiTreeT2){if(T1==NULL&&T2==NULL)returnTRUE;elseif(T1==NULL||T2==NULL)returnFALSE;elseif(T1->data!=T2->data)returnFALSE;elsereturnequal(T1->lchild,T2->lchild)&&equal(T1->rchild,T2->rchild);}652、編寫把一棵二叉樹復(fù)制生成另一棵二叉樹的遞歸算法。voidcopy(BiTreeT1,BiTree&T2){if(T1==NULL)T2=NULL;else{if(!(T2=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode))))

exit(OVERFLOW);T2->data=T1->data;T2->lchild=T1->lchild;T2->rchild=T1->rchild;copy(T1->lchild,T2->lchild);copy(T1->rchild,T2->rchild);}}66中序遍歷非遞歸算法:voidinorder(BiTreeT){InitStack(S);p=T;while(p||!StackEmpty(S)){

if(p){Push(S,p);p=p->lchild;}else{

Pop(S,p);

printf(p->data);p=p->rchild;}}}67ABCDEFGpiP->A(1)ABCDEFGpiP->AP->B(2)ABCDEFGpiP->AP->BP->C(3)p=NULLABCDEFGiP->AP->B訪問：C(4)68pABCDEFGiP->A訪問：CB(5)ABCDEFGiP->AP->D訪問：CBp(6)ABCDEFGiP->AP->DP->E訪問：CBp(7)ABCDEFGiP->AP->D訪問：CBEp(8)69ABCDEFGiP->AP->DP->G訪問：CBEP=NULL(9)ABCDEFGiP->A訪問：CBEGDp(11)ABCDEFGiP->AP->F訪問：CBEGDp(12)ABCDEFGiP->AP->D訪問：CBEGp(10)70ABCDEFGiP->A訪問：CBEGDFp=NULL(13)ABCDEFGi訪問：CBEGDFAp(14)ABCDEFGi訪問：CBEGDFAp=NULL(15)71

線索二叉樹72一、何謂線索二叉樹？遍歷二叉樹的結(jié)果是，求得結(jié)點的一個線性序列。ABCDEFGHK例如:先序序列:

ABCDEFGHK中序序列:

BDCAHGKFE后序序列:

DCBHKGFEA73“線索”：指向該線性序列中的“前驅(qū)”和“后繼”的指針。與其相應(yīng)的二叉樹，稱作“線索二叉樹”包含“線索”的存儲結(jié)構(gòu)，稱作“線索鏈表”ABCDEFGHK^D^

C^^B

E^74對線索鏈表中結(jié)點的約定：在二叉鏈表的結(jié)點中增加兩個標志域，并作如下規(guī)定：若該結(jié)點的左子樹不空，則Lchild域的指針指向其左子樹，且左標志域的值為“指針Link”；否則，Lchild域的指針指向其“前驅(qū)”，且左標志的值為“線索Thread”

。若該結(jié)點的右子樹不空，則rchild域的指針指向其右子樹，且右標志域的值為“指針Link”；否則，rchild域的指針指向其“后繼”，且右標志的值為“線索Thread”。

如此定義的二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)稱作“線索鏈表”。75typedef

struct

BiThrNod

{

TElemTypedata;

struct

BiThrNode

*lchild,*rchild;//左右指針

PointerThr

LTag,RTag;//左右標志}

BiThrNode,*BiThrTree;線索鏈表的類型描述：

typedef

enum

{

Link,Thread

}PointerThr;

//Link==0:指針，Thread==1:線索76二、線索鏈表的遍歷算法:

for(p=

firstNode(T);p;p=Succ(p))Visit(p);由于在線索鏈表中添加了遍歷中得到的“前驅(qū)”和“后繼”的信息，從而簡化了遍歷的算法。77例如:對中序線索化鏈表的遍歷算法

※中序遍歷的第一個結(jié)點？

※在中序線索化鏈表中結(jié)點的后繼？左子樹上處于“最左下”（沒有左子樹）的結(jié)點。若無右子樹，則為后繼線索所指結(jié)點；否則為對其右子樹進行中序遍歷時訪問的第一個結(jié)點。78void

InOrderTraverse_Thr(BiThrTreeT,

void(*Visit)(TElemTypee)){p=T->lchild;//p指向根結(jié)點

while(p!=T){//空樹或遍歷結(jié)束時，p==Twhile(p->LTag==Link)p=p->lchild;//第一個結(jié)點

Visit(p->data);while(p->RTag==Thread&&p->rchild!=T){p=p->rchild;Visit(p->data);//訪問后繼結(jié)點

}p=p->rchild;//p進至其右子樹根

}}//InOrderTraverse_Thr79在中序遍歷過程中修改結(jié)點的左、右指針域，以保存當(dāng)前訪問結(jié)點的“前驅(qū)”和“后繼”信息。遍歷過程中，附設(shè)指針pre,并始終保持指針pre指向當(dāng)前訪問的、指針p所指結(jié)點的前驅(qū)。三、如何建立線索鏈表？80void

InThreading(BiThrTreep)

{

if(p){//對以p為根的非空二叉樹進行線索化

InThreading(p->lchild);

//左子樹線索化

if(!p->lchild)//建前驅(qū)線索

{p->LTag=Thread;p->lchild=pre;}

if(!pre->rchild)//建后繼線索

{pre->RTag=Thread;pre->rchild=p;}

pre=p;//保持pre指向p的前驅(qū)

InThreading(p->rchild);

//右子樹線索化

}//if}//InThreading81Status

InOrderThreading(BiThrTree

&Thrt,

BiThrTreeT){//構(gòu)建中序線索鏈表

if(!(Thrt=(BiThrTree)malloc(

sizeof(BiThrNode))))

exit(OVERFLOW);

Thrt->LTag=Link;Thrt->RTag=Thread;

Thrt->rchild=Thrt;

//添加頭結(jié)點

returnOK;}//InOrderThreading

……82if(!T)

Thrt->lchild=Thrt;

else{

Thrt->lchild=T;

pre=Thrt;

InThreading(T);

pre->rchild=Thrt;//處理最后一個結(jié)點

pre->RTag=Thread;

Thrt->rchild=pre;

}836.4樹和森林

84ABCDEFGr=0n=70

A

-11

B

02

C

03

D

04

E

25

F

26

G

5dataparent一、雙親表示法:85

typedef

struct

PTNode

{

Elemdata;

intparent;//雙親位置域

}

PTNode;

dataparent#defineMAX_TREE_SIZE100結(jié)點結(jié)構(gòu):C語言的類型描述:typedef

struct{

PTNodenodes[MAX_TREE_SIZE];

intr,n;//根結(jié)點的位置和結(jié)點個數(shù)

}

PTree;樹結(jié)構(gòu):86ABCDEFG0

A

1

B

2

C

3

D

4

E

5

F

6

G

r=0n=7

datafirstchild

123456二、孩子鏈表表示法:-100022487typedef

struct

CTNode

{

intchild;

struct

CTNode

*next;

}*ChildPtr;孩子結(jié)點結(jié)構(gòu):

childnextC語言的類型描述:

datafirstchild雙親結(jié)點結(jié)構(gòu)

typedef

struct{

Elemdata;

ChildPtr

firstchild;//孩子鏈的頭指針

}

CTBox;typedef

struct{

CTBoxnodes[MAX_TREE_SIZE];

intn,r;//結(jié)點數(shù)和根結(jié)點的位置

}

CTree;樹結(jié)構(gòu):88ABCDEFGrootABCEDFG

ABCEDFG三、樹的二叉鏈表(孩子-兄弟）存儲表示法89typedef

struct

CSNode{

Elemdata;

struct

CSNode

*firstchild,*nextsibling;}

CSNode,*CSTree;C語言的類型描述:結(jié)點結(jié)構(gòu):

firstchilddatanextsibling90

森林和二叉樹的對應(yīng)關(guān)系設(shè)森林

F=(T1,T2,…,Tn);T1=(root，t11,t12,…,t1m);二叉樹

B=(LBT,Node(root),RBT);91由森林轉(zhuǎn)換成二叉樹的轉(zhuǎn)換規(guī)則為:若F=Φ，則B=Φ；否則，由ROOT(T1)

對應(yīng)得到Node(root)；

由(t11,t12,…,t1m)

對應(yīng)得到LBT；

由(T2,T3,…,Tn

)

對應(yīng)得到RBT。92由二叉樹轉(zhuǎn)換為森林的轉(zhuǎn)換規(guī)則為：若B=Φ，則F=Φ；否則，由Node(root)

對應(yīng)得到ROOT(T1

)；由LBT

對應(yīng)得到(t11,t12,…，t1m)；由RBT

對應(yīng)得到(T2,T3,…,Tn)。93一、樹的遍歷二、森林的遍歷三、樹的遍歷的應(yīng)用樹和森林的遍歷94樹的遍歷可有三條搜索路徑:按層次遍歷:先根(次序)遍歷:后根(次序)遍歷:若樹不空，則先訪問根結(jié)點，然后依次先根遍歷各棵子樹。若樹不空，則先依次后根遍歷各棵子樹，然后訪問根結(jié)點。若樹不空，則自上而下自左至右訪問樹中每個結(jié)點。95ABCDEFGHIJK先根遍歷時頂點的訪問次序：ABEFCDGHIJK后根遍歷時頂點的訪問次序：EFBCIJKHGDA層次遍歷時頂點的訪問次序：ABCDEFGHIJK96

BCDEFGHIJK1．森林中第一棵樹的根結(jié)點；2．森林中第一棵樹的子樹森林；3．森林中其它樹構(gòu)成的森林。森林由三部分構(gòu)成：971.先序遍歷森林的遍歷若森林不空，則訪問森林中第一棵樹的根結(jié)點；先序遍歷森林中第一棵樹的子樹森林；先序遍歷森林中(除第一棵樹之外)其余樹構(gòu)成的森林。即：依次從左至右對森林中的每一棵樹進行先根遍歷。98２．中序遍歷

若森林不空，則中序遍歷森林中第一棵樹的子樹森林；訪問森林中第一棵樹的根結(jié)點；中序遍歷森林中(除第一棵樹之外)其

余樹構(gòu)成的森林。即：依次從左至右對森林中的每一棵樹進行后根遍歷。99樹的遍歷和二叉樹遍歷的對應(yīng)關(guān)系？先根遍歷后根遍歷樹二叉樹森林先序遍歷先序遍歷中序遍歷中序遍歷100設(shè)樹的存儲結(jié)構(gòu)為孩子兄弟鏈表typedef

struct

CSNode{

Elemdata;

struct

CSNode

*firstchild,*nextsibling;}

CSNode,*CSTree;一、求樹的深度二、輸出樹中所有從根到葉子的路徑101int

TreeDepth(CSTreeT){if(!T)return0;else{h1=TreeDepth(T->firstchild);h2=TreeDepth(T->nextsibling);

}}//TreeDepthreturn(max(h1+1,h2));一、求樹的深度的算法：102二、輸出樹中所有從根到葉子的路徑的算法:ABCDEFGHIJK例如：對左圖所示的樹，其輸出結(jié)果應(yīng)為：ABEABFACADGHIADGHJADGHK103void

AllPath(BitreeT,Stack&S){

//輸出二叉樹上從根到所有葉子結(jié)點的路徑

if(T)

{

Push(S,T->data);

if(!T->Lchild&&!T->Rchild)PrintStack(S);

else{

AllPath(T->Lchild,S);

AllPath(T->Rchild,S);}

Pop(S);

}//

if(T)}//AllPath104voidOutPath(BitreeT,Stack&S){

//輸出森林中所有從根到葉的路徑

while(!T){

Push(S,T->data);

if(!T->firstchild)Printstack(s);elseOutPath(T->firstchild,s);

Pop(S);

T=T->nextsibling;

}//while}//OutPath1056.6赫夫曼樹106一、最優(yōu)樹的定義樹的路徑長度定義為：

樹中每個結(jié)點的路徑長度之和。結(jié)點的路徑長度定義為：

從根結(jié)點到該結(jié)點的路徑上分支的數(shù)目。107最優(yōu)二叉樹：在所有含n個葉子結(jié)點、并帶不同權(quán)值的二叉樹中，必存在一棵其帶權(quán)路徑長度取最小值的樹，稱為“最優(yōu)二叉樹”。樹的帶權(quán)路徑長度定義為：樹中所有葉子結(jié)點的帶權(quán)路徑長度之和

WPL(T)=

wklk

(對所有葉子結(jié)點)。10827975492WPL(T)=72+52+23+43+92=60WPL(T)=74+94+53+42+21=8954109

（1）根據(jù)給定的n個權(quán)值{w1,w2,…,wn}，構(gòu)造n棵二叉樹的集合

F={T1,T2,…,Tn}，其中每棵二叉樹中均只含一個帶權(quán)值為wi

的根結(jié)點，其左、右子樹為空樹；二、如何構(gòu)造最優(yōu)樹(赫夫曼算法)以二叉樹為例：110（2）在F中選取其根結(jié)點的權(quán)值為最小的兩棵二叉樹，分別作為左、右子樹構(gòu)造一棵新的二叉樹，并置這棵新的二叉樹根結(jié)點的權(quán)值為其左、右子樹根結(jié)點的權(quán)值之和；（3）從F中刪去這兩棵樹，同時加入剛生成的新樹；（4）重復(fù)(2)和(3)兩步，直至F中只含一棵樹為止。1119例如:已知權(quán)值W={5,6,2,9,7}5627527697671395271126713952795271667132900001111000110110111113

指的是，任何一個字符的編碼都不是同一字符集中另一個字符的編碼的前綴。三、前綴編碼

利用赫夫曼樹可以構(gòu)造一種不等長的二進制編碼，并且構(gòu)造所得的赫夫曼編碼是一種最優(yōu)前綴編碼，即使所傳電文的總長度最短。114例：已知某系統(tǒng)在通信中只可能出現(xiàn)八種字符，其概率分別為0.05，0.29，0.07，0.08，0.14，0.23，0.03，0.11，試設(shè)計赫夫曼編碼。115Huffman樹應(yīng)用：