壓軸題03不等式壓軸題13題型（學(xué)生版）

壓軸題03不等式壓軸題十三大題型匯總命題預(yù)測本專題考查類型主要涉及點等式與基本不等式的內(nèi)容，其中涉及了基本不等式與三角函數(shù)，正余弦定理，解析幾何，集合，函數(shù)等內(nèi)容的結(jié)合。預(yù)計2024年后命題會在上述幾個方面進(jìn)行，尤其是多圓不等式的考查。高頻考法題型01多元不等式最值、取值范圍問題題型02基本不等式提升題型03基本不等式與三角函數(shù)結(jié)合題型04基本不等式與解析幾何結(jié)合題型05基本不等式與向量結(jié)合題型06基本不等式新考點題型07基本不等式與正余弦定理結(jié)合題型08指對函數(shù)與不等式題型09基本不等式與立體幾何結(jié)合題型10基本不等式與集合、函數(shù)新定義題型11不等式與數(shù)列結(jié)合題型12基本不等式與函數(shù)結(jié)合題型13不等式新考點01多元不等式最值、取值范圍問題利用基本不等式求最值時，要從整體上把握運用基本不等式，有時可乘以一個數(shù)或加上一個數(shù)，以及“1”的代換等應(yīng)用技巧.1.（2024·貴州·三模）以maxMminM表示數(shù)集M中最大（?。┑臄?shù).設(shè)a>0,b>0,c>0，已知a22.（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測）已知正數(shù)a，b滿足a+b=1，c∈R，則3a3.（多選）（2024·浙江·二模）已知正實數(shù)a，b，c，且a>b>c，x，y，z為自然數(shù)，則滿足xa?b+yb?c+zc?aA．x=1，y=1，z=4 B．x=1，y=2，z=5C．x=2，y=2，z=7 D．x=1，y=3，z=94.（2024·河北邯鄲·三模）記min{x,y,z}表示x，y，z中最小的數(shù)．設(shè)a>0，b>0，則mina,15.（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y，z滿足x2+xy+yz+xz+x+z=6，則3x+2y+z的最小值是02基本不等式提升在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．6.（2024·全國·模擬預(yù)測）若實數(shù)a，b，c滿足條件：ea?b+c+ea+b?c=27.（2024·全國·模擬預(yù)測）已知x>0，y>0且x+y=1，則x2A．15 B．25 C．358.（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知“a>0,b>0”與“a+b=1”互為充要條件，則“1a+4ab”和“9.（2023·全國·模擬預(yù)測）已知x∈4,+∞，y∈0,5，z∈0,1，則10.（2023·天津武清·模擬預(yù)測）已知a>0，b>0，c>0,blog42+4c03基本不等式與三角函數(shù)結(jié)合據(jù)三角恒等變換結(jié)合基本不等式求最值需要注意去等條件是否滿足，去等條件不滿足時，也可以通過對勾函數(shù)進(jìn)行求解11.（2023·山西·模擬預(yù)測）已知α,β,γ均是銳角，設(shè)sinαcosβ+sinβA．3 B．1513 C．1 D．12.（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖所示，面積為π的扇形OMN中，M,N分別在x,y軸上，點P在弧MN上（點P與點M,N不重合），分別在點P,N作扇形OMN所在圓的切線l1,l2，且l1與l2交于點Q，其中l(wèi)1A．4 B．23 C．6 13.（2023·江西·二模）在△ABC中2sinA+sinA．14 B．16 C．18 D．2014.（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）若α+β?sinγ=0，則α+15.（22-23高三上·江蘇·階段練習(xí)）在△PAB中，PA=PB，點C，D分別在PB，PA邊上．(1)若∠APB=π3，CD=1，求(2)設(shè)四邊形ABCD的外接圓半徑為R，若∠APB∈π3,π，且AB?BC?CD?DA的最大值為404基本不等式與解析幾何結(jié)合16.（2024·河南·模擬預(yù)測）已知點Pm,n是圓C:x2A．25 B．24 C．23 D．2217.（2024·浙江·一模）已知A,B分別是雙曲線C:x24?y2=1的左，右頂點，P是雙曲線C上的一動點，直線PA，PB與x=1交于M,NA．316 B．34 C．318.（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F，點A在C的漸近線上，點A關(guān)于x軸的對稱點為B,OA?AF19.（2023·上海崇明·一模）已知正實數(shù)a,b,c,d滿足a2?ab+1=0,c2+d20.（2024·全國·模擬預(yù)測）我們將離心率相等的所有橢圓稱為“一簇橢圓系”．已知橢圓E:x22+y(1)若橢圓F:x2s+y(2)設(shè)橢圓G:x22+y2=λ(0<λ<1)，過A作斜率為k1的直線l1與橢圓G有且只有一個公共點，過D作斜率為k(3)若橢圓H:x22+y2t=1(t>2)與橢圓E在“一簇橢圓系”中，橢圓H上的任意一點記為05基本不等式與向量結(jié)合21.（2024·河北邯鄲·二模）對任意兩個非零的平面向量a和b，定義：a⊕b=a?ba2+b2，a⊙bA．1 B．32 C．1或74 22.（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知單位向量e，向量bi(i=1,2)，滿足e?bi=e?bi23.（23-24高三下·天津和平·開學(xué)考試）在△ABC中，M是邊BC的中點，N是線段BM的中點．設(shè)AB=a，AC=b，記AN=ma+nb，則m?n=；若∠A=π6，24.（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知e為單位向量，a?e=1，2022b=A．2022 B．20222022 C．2021 D．25.（2023·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0與雙曲線x2m2?y2n2=1m>0,n>0有公共焦點F1?c,0，F(xiàn)2c,0c>0，橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，點P為兩曲線的一個公共點，且06基本不等式新考點26.（2024·廣東湛江·二模）當(dāng)x>0，y>0時，x+y2≥xy.這個基本不等式可以推廣為當(dāng)x，y>0時，λx+μy≥xλyμ，其中λ+μ=1且λ>0，μ>0.考慮取等號的條件，進(jìn)而可得當(dāng)x≈y時，λx+μy≈xλA．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.03927.（2024·浙江·模擬預(yù)測）任意大于1的正整數(shù)m的三次冪均可“分裂”成m個連續(xù)奇數(shù)的和，如：23=3+5，33=7+9+11，A．46 B．45 C．44 D．4328.（2024·廣東廣州·二模）設(shè)10≤x1<x2<x3<x4<xA．DB．DC．DD．Dξ1與Dξ29.（2023·山東·二模）已知隨機變量ξ~N2,σ2，且PA．3+23 B．C．2+3 D．30.（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲?乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對抗訓(xùn)練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時，則認(rèn)為這輪訓(xùn)練過關(guān)；否則不過關(guān).若甲?乙兩人每局獲勝的概率分別為p1，p2，且滿足p1+p2=43A．27 B．24 C．32 D．2807基本不等式與正余弦定理結(jié)合求解三角形中有關(guān)邊、角、面積的最值（范圍）問題，常利用正弦定理、余弦定理與三角形的面積公式等建立a+b，ab,a2+31.（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,2sinA=acosC,c=2．若G為A．12?429 B．8+429 C．32.（2024·黑龍江·二模）“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內(nèi)角α滿足cosα=

A．1030+15C．1010+533.（2024·四川瀘州·二模）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c2=3a2?334.（2024·四川瀘州·二模）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c2=2a2?235.（2024·福建莆田·二模）如圖，點O是邊長為1的正六邊形ABCDEF的中心，l是過點O的任一直線，將此正六邊形沿著l折疊至同一平面上，則折疊后所成圖形的面積的最大值為．

08指對函數(shù)與不等式36.（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：xt=X0coshabt?baY0sinhabtyt=Y0coshabtA．若X0>Y0B．若X0>Y0C．若X0D．若X037.（2024·北京豐臺·一模）目前發(fā)射人造天體，多采用多級火箭作為運載工具．其做法是在前一級火箭燃料燃燒完后，連同其殼體一起拋掉，讓后一級火箭開始工作，使火箭系統(tǒng)加速到一定的速度時將人造天體送入預(yù)定軌道．現(xiàn)有材料科技條件下，對于一個n級火箭，在第n級火箭的燃料耗盡時，火箭的速度可以近似表示為v=3ln其中ai注：mp表示人造天體質(zhì)量，mj表示第j（給出下列三個結(jié)論：①a1②當(dāng)n=1時，v<3ln③當(dāng)n=2時，若v=12ln2，則其中所有正確結(jié)論的序號是．38.（2023·天津濱海新·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y，z滿足2xA．1x+1C．x2>y39.（2021·陜西安康·三模）若對任意x∈[2,8]，總存在y∈[1,2]，使得y+2A．?254 B．?234 C．40.（2023·天津濱海新·三模）已知正實數(shù)m，n，滿足e1?2m=2m+nen09基本不等式與立體幾何結(jié)合41.（2024·安徽·模擬預(yù)測）設(shè)P?ABCD與Q?ABCD為兩個正四棱錐，正方形ABCD的邊長為2且∠PCQ=90°，點M在線段AC上，且3CM=AM，將異面直線PD，QM所成的角記為θ，則sinθA．53 B．23 C．3342.（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）在三棱錐P?ABC中，AB=22，PC=1，PA+PB=4，CA?CB=2，且PC⊥AB，則二面角P?AB?CA．23 B．34 C．1243.（23-24高三下·山西·階段練習(xí)）在棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是A．3 B．23 C．13 D．44.（2022高三·全國·專題練習(xí)）四棱錐S?ABCD中，側(cè)面SBC為等邊三角形，底面ABCD為矩形，BC=2,AB=a，頂點S在底面ABCD的射影為H，當(dāng)H落在AD上時，四棱錐S?ABCD體積的最大值是（

）A．1 B．32 C．2 45.（多選）（2024·河南信陽·二模）如圖，在四棱錐Q?EFGH中，底面是邊長為22的正方形，M為QG的中點．QE=QF=QG=QH=4，過Q作平面EFGH的垂線，垂足為O，連EG，EM，設(shè)EM，QO的交點為A，在△QHF中過A作直線BC交QH，QF于B，C兩點，QB=xQH，QC=yQF，過EM作截面將此四棱錐分成上、下兩部分，記上、下兩部分的體積分別為V

A．QA=13C．V1=23xy 10基本不等式與集合、函數(shù)新定義函數(shù)新定義問題，命題新穎，常?？紤]函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，奇偶性，值域等，且存在知識點交叉，會和導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列等知識進(jìn)行結(jié)合，很好的考慮了知識遷移，綜合運用能力，對于此類問題，一定要解讀出題干中的信息，正確理解問題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來進(jìn)行解決.46.（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)z=f(x,y)在約束條件g(x,y)的可能極值點，首先構(gòu)造出一個拉格朗日輔助函數(shù)L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)，其中λ為拉格朗日系數(shù)．分別對L(x,y,λ)中的x,y,λ部分求導(dǎo)，并使之為0，得到三個方程組，如下：Lx(x,y,λ)=fx(x,y)+λgx(x,y)=0Ly(x,y,λ)=補充說明：【例】求函數(shù)f(x,y)=x2+xy+y2關(guān)于變量x的導(dǎo)數(shù)．即：將變量y當(dāng)做常數(shù)，即：fx(x,y)=2x+y(1)求函數(shù)f(x,y)=x2y2+2xy+x(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實數(shù)x,y滿足g(x,y)=4x2+(3)①若x,y,z為實數(shù)，且x+y+z=1，證明：x2②設(shè)a>b>c>0，求2a47.（多選）（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）定義函數(shù)y=fx的曲率函數(shù)Kx=y''1+y'23A．若曲線在各點處的曲率均不為0，則曲率越大，曲率圓越小B．函數(shù)y=sinx在C．若圓C為函數(shù)y=lnx的一個曲率圓，則圓D．若曲線y=lnx在x48.（2024·全國·模擬預(yù)測）“讓式子丟掉次數(shù)”：伯努利不等式伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又稱貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)的分析不等式中最常見的一種不等式，由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利提出：對實數(shù)x∈?1,+∞，在n∈1,+∞時，有不等式1+xn(1)猜想伯努利不等式等號成立的條件；(2)當(dāng)n≥1時，對伯努利不等式進(jìn)行證明；(3)考慮對多個變量的不等式問題．已知a1,a249.（2024·海南?？凇ひ荒＃┰谟嬎銠C科學(xué)中，n維數(shù)組X=x1,x2,?,xn,xi∈0,1,i∈N(1)若n維數(shù)組C=0,0,?,0，證明：d(2)證明：對任意的數(shù)組A,B,C，有dA?C,B?C(3)設(shè)集合Sn=XX=x1,x2,?,xn,50.（2020·全國·模擬預(yù)測）定義：設(shè)函數(shù)y=fx在a,b上的導(dǎo)函數(shù)為f'x，若f'x在a,b上也存在導(dǎo)函數(shù)，則稱函數(shù)y=fx在a,b上存在二階導(dǎo)函數(shù)，簡記為y=f″x.若在區(qū)間a,b上f″x<0，則稱函數(shù)11不等式與數(shù)列結(jié)合數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的常見題型1.數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形．2.數(shù)列常與不等式結(jié)合，如比較大小、不等式恒成立、求參數(shù)范圍等問題，需要熟練應(yīng)用不等式知識解決數(shù)列中的相關(guān)問題．51.（多選）（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且2SA．當(dāng)0<α<13?14時，aC．?dāng)?shù)列S2n?1單調(diào)遞增，S2n單調(diào)遞減 D．當(dāng)α=52.（2024·廣東·一模）數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計算，是計算數(shù)學(xué)的一個重要分支，其主要研究對象包括向量和矩陣.對于平面向量a=(x,y)，其模定義為|a|=x2+y2.類似地，對于n行n列的矩陣Ann=a11a12a13?(1)?n∈N?，n≥3，矩陣Bnn=1(2)?n∈N?，n≥3，，矩陣Cnn=(3)矩陣Dmn=lnn+2n+1??053.（23-24高三下·安徽·開學(xué)考試）基本不等式可以推廣到一般的情形：對于n個正數(shù)a1,a2,?,an，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即a1+a2+?+a(1)若an=n+4(2)若bn=12n?1，記(3)若cn=1+1n54.（2024高三上·全國·競賽）已知等比數(shù)列an的公比q>1，a1,(1)求q+d的最小值；(2)當(dāng)a11取最小值時，求集合A={55.（2023·全國·模擬預(yù)測）古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個人布施，初日施2子安貝（古印度貨幣單位），以后逐日倍增，問一月共施幾何？在這個問題中，以一個月31天計算，記此人第n日布施了an子安貝（其中1≤n≤31，n∈N*），數(shù)列an的前n項和為Sn.若關(guān)于nA．15 B．20 C．24 D．2712基本不等式與函數(shù)結(jié)合56.（23-24高三上·浙江寧波·期末）設(shè)實數(shù)x，y滿足x>32，y>3，不等式A．12 B．24 C．23 D．57.（2024·云南大理·模擬預(yù)測）若m為函數(shù)fx=m(x?m)A．m>n>0 B．m<n<0C．mn>m2 58.（2024·全國·模擬預(yù)測）mina,b表示兩個實數(shù)a，b中的較小數(shù)．已知函數(shù)fx=min3+log14x,59.（2024·湖北·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=x?2+1x在不同兩點A60.（2024·廣東深圳·一模）已知函數(shù)fx=ax?x1x?x2x?x3(a>0)，設(shè)曲線13不等式新考點61.（2024·全國·二模）已知a,b為實數(shù)，若不等式2ax2+4a+bx+4a+b≤2x+162.（2024·浙江·模擬預(yù)測）對x,y定義一種新運算T，規(guī)定：Tx,y=ax+by2x+y（其中a,b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：T0,1=a×0+b×12×0+1=b，已知T63.（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測）從古至今，中國人一直追求著對稱美學(xué)．世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)——故宮：金黃的宮殿，朱紅的城墻，漢