江蘇省鎮(zhèn)江市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題（含解析）

2022—2023鎮(zhèn)江高二4月期中考試一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿足z(1＋i)＝2(i為虛數(shù)單位)，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為()A. B. C. D.3.已知，，，則是()A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則()A.12 B.14 C.16 D.185.青花瓷是中華陶乲燒制工藝的珍品，屬秞下彩瓷.一只內(nèi)壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高為，碗口直徑為，碗深.瓷碗的軸截面輪廓可以近似地看成拋物線，碗里有一根長度為的筷子，筷子過瓷碗軸截面輪廓曲線的焦點(diǎn)，且兩端在碗的內(nèi)壁上.則筷子的中點(diǎn)離桌面的距離為()A. B. C. D.6.從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)候選人中，選一名班長和一名團(tuán)支部書記，則至少有一名女生當(dāng)選的不同選舉結(jié)果為()A.12 B.14 C.16 D.187.已知為橢圓C：的右焦點(diǎn)，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若等于的最小值的3倍，則C的離心率為()A. B. C. D.8求和：()A.512 B.1024 C.5120 D.10240二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知虛數(shù)，，則()A. B.C. D.是方程的一個(gè)根10.已知，則()A.B.C.數(shù)列，，，…，，的最大項(xiàng)為D.11.已知函數(shù)，則()A.函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn) B.函數(shù)的所有極值的和為2C.函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn) D.是函數(shù)圖像的一條切線12.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在：上，則()A.直線與相交B.線段中點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓C.的面積最大值為D.在運(yùn)動(dòng)過程中，能且只能得到4個(gè)不同的三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為______.14.雙曲線：(，)的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于，則雙曲線的漸近線方程為______.15.今天是第一天星期一，則第天是星期______.16.某公司第1年年初向銀行貸款1000萬元投資項(xiàng)目，貸款按復(fù)利計(jì)算，年利率為10%，約定一次性還款.貸款一年后每年年初該項(xiàng)目產(chǎn)生利潤300萬元，利潤隨即存入銀行，存款利息按復(fù)利計(jì)算，年利率也為10%，則到第年年初該項(xiàng)目總收益為______萬元，到第______年的年初，可以一次性還清貸款.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知，二項(xiàng)式.(1)若該二項(xiàng)展開式的第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求展開式中的系數(shù)；(2)若展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).18.喝酒不開車，開車不喝酒.若某人飲酒后，欲從相距的某地聘請(qǐng)代駕司機(jī)幫助其返程.假設(shè)當(dāng)?shù)氐缆废匏?油價(jià)為每升8元，當(dāng)汽車以的速度行駛時(shí)，油耗率為.已知代駕司機(jī)按每小時(shí)56元收取代駕費(fèi)，試確定最經(jīng)濟(jì)的車速，使得本次行程的總費(fèi)用最少，并求最小費(fèi)用.19.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長、短半軸長的乘積.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)，均在軸上，面積為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，與橢圓的面積比為，求直線的方程.20.已知數(shù)列中，，點(diǎn)直線上，數(shù)列中，，且對(duì)任意，滿足：.(1)分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)請(qǐng)比較與的大小，并證明你的結(jié)論.21.已知雙曲線：左、右頂點(diǎn)分別為，.(1)若過點(diǎn)的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，求直線的斜率范圍；(2)過原點(diǎn)的直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)(在軸的上方)，直線，與圓分別交于，，直線與直線的斜率分別為，，求.22.已知.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求m的取值范圍.

2022—2023鎮(zhèn)江高二4月期中考試一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿足z(1＋i)＝2(i為虛數(shù)單位)，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算，求得，再求其對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可判斷.【詳解】∵，∴，∴在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．故選：D．2.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接代入求導(dǎo)公式，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求得法則即可求解.【詳解】依題知，，即，由求導(dǎo)公式：，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)，則得：，故選：D.3.已知，，，則是()A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出，，的長度即可判斷詳解】，，，，，，，是直角三角形．故選：A．4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則()A.12 B.14 C.16 D.18【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：D.5.青花瓷是中華陶乲燒制工藝的珍品，屬秞下彩瓷.一只內(nèi)壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高為，碗口直徑為，碗深.瓷碗的軸截面輪廓可以近似地看成拋物線，碗里有一根長度為的筷子，筷子過瓷碗軸截面輪廓曲線的焦點(diǎn)，且兩端在碗的內(nèi)壁上.則筷子的中點(diǎn)離桌面的距離為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線的方程，代入點(diǎn)，求得拋物線的方程，利用拋物線的定義，即可求解.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)拋物線的方程為，其焦點(diǎn)為，碗口直徑為，碗深，所以拋物線過點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線的方程為，設(shè)，過中點(diǎn)作軸，由拋物線的定義可得，解得，所以，所以筷子的中點(diǎn)離桌面的距離為.故選：B.6.從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)候選人中，選一名班長和一名團(tuán)支部書記，則至少有一名女生當(dāng)選的不同選舉結(jié)果為()A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，先求出從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)候選人中，選一名班長和一名團(tuán)支部書記的方法總數(shù)，再求出沒有一名女生當(dāng)選的方法總數(shù)，即可得出答案.【詳解】從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)候選人中，選一名班長和一名團(tuán)支部書記，共有：種，沒有一名女生當(dāng)選，共有種，故至少有一名女生當(dāng)選的不同選舉結(jié)果為種.故選：B.7.已知為橢圓C：的右焦點(diǎn)，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若等于的最小值的3倍，則C的離心率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)以及通徑，可得，，再根據(jù)已知列式，結(jié)合橢圓的關(guān)系，求出離心率即可.【詳解】為橢圓C：的右焦點(diǎn)，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，由橢圓的性質(zhì)，可得.過F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，.等于的最小值的3倍，.橢圓中，，即，則.，，解得或(舍).故選：B.8.求和：()A.512 B.1024 C.5120 D.10240【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合組合數(shù)公式，以及倒序法，即可求解．【詳解】令，①則，即，②①②可得，，故．故選：．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知虛數(shù)，，則()A. B.C. D.是方程的一個(gè)根【答案】BCD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模長公式可判斷AB選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的乘法方法則與共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)；解方程可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，故B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，故C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由，可得，解得或，故D對(duì).故選：BCD.10.已知，則()A.B.C.數(shù)列，，，…，，的最大項(xiàng)為D.【答案】BD【解析】【分析】求出的通項(xiàng)，令，求出可判斷A；賦值法可判斷B；利用的通項(xiàng)知可判斷C；對(duì)二項(xiàng)式兩邊同時(shí)求導(dǎo)結(jié)合賦值法可判斷D.【詳解】對(duì)于A，的通項(xiàng)為：，令，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令可得：，故B正確；對(duì)于C，由的通項(xiàng)知，，故數(shù)列，，，…，，的最大項(xiàng)不為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，對(duì)函數(shù)兩邊同時(shí)取導(dǎo)，可得：，令可得：，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)，則()A.函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn) B.函數(shù)的所有極值的和為2C.函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn) D.是函數(shù)圖像的一條切線【答案】ABC【解析】【分析】求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，求得極小值為，極大值為，求得，結(jié)合當(dāng)時(shí)，，得到函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為，當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值為，所以，又由當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以A、B、C正確.假設(shè)是曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得或，顯然點(diǎn)和均不在曲線上，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.12.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在：上，則()A.直線與相交B.線段的中點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓C.的面積最大值為D.在運(yùn)動(dòng)過程中，能且只能得到4個(gè)不同的【答案】BD【解析】【分析】求出直線的方程，利用圓的圓心到直線的距離判斷A的正誤，求線段的中點(diǎn)軌跡判斷B的正誤，利用圓的圓心到直線的距離，轉(zhuǎn)化求解三角形的面積的最在值判斷C，判斷為直徑的圓與已知圓的位置關(guān)系，結(jié)合直角三角形的定義，判斷D的正誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，所以直線的方程，即，由，得，所以圓心，半徑為3，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即表示一個(gè)圓，所以線段的中點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，所以B正確，對(duì)于C，的面積最大值為，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，①設(shè)與直線垂直且過點(diǎn)的直線為，則，得，即直線為，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以以為直角頂點(diǎn)的直角三角形有2個(gè)，②設(shè)與直線垂直且過點(diǎn)的直線為，則，得，即直線為，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以直線與圓相離，無公共點(diǎn)，所以以為直角頂點(diǎn)的直角三角形不存在，③以為直徑的圓為，設(shè)圓心為，則，半徑為，所以，因?yàn)?，所以以為直徑的圓與圓相交，所以以為直角頂點(diǎn)的直角三角形有2個(gè)，綜上，在運(yùn)動(dòng)過程中，能且只能得到4個(gè)不同的，所以D正確，故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算，展開式中的系數(shù)為，結(jié)合組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，多項(xiàng)式，根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算，展開式中的系數(shù)為，又由.故答案為：.14.雙曲線：(，)的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于，則雙曲線的漸近線方程為______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到漸近線的距離，結(jié)合已知即可得出，進(jìn)而得出答案.【詳解】由已知可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸進(jìn)線方程為，則點(diǎn)到漸近線，即的距離.又因?yàn)?，所以，所以，雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.15.今天是第一天星期一，則第天是星期______.【答案】一【解析】【分析】先將化為，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開可得，除以7的余數(shù)為1，即可得出答案.【詳解】因，所以，除以7的余數(shù)為1，所以，第天是星期一.故答案為：一.16.某公司第1年年初向銀行貸款1000萬元投資項(xiàng)目，貸款按復(fù)利計(jì)算，年利率為10%，約定一次性還款.貸款一年后每年年初該項(xiàng)目產(chǎn)生利潤300萬元，利潤隨即存入銀行，存款利息按復(fù)利計(jì)算，年利率也為10%，則到第年年初該項(xiàng)目總收益為______萬元，到第______年的年初，可以一次性還清貸款.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意列出第年年初時(shí)借貸總額和總收益，即可求解.【詳解】由題知，到第年年初，借貸總額為，總收益為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故第年年初該項(xiàng)目總收益為，到第年的年初，可以一次性還清貸款.故答案為：；四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知，二項(xiàng)式.(1)若該二項(xiàng)展開式的第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求展開式中的系數(shù)；(2)若展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】(1)；(2)或.【解析】【分析】(1)根據(jù)第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，列出等式，求出n，再通過二項(xiàng)式展開通項(xiàng)，取的指數(shù)為2，求出項(xiàng)數(shù)，代入通項(xiàng)中，求出系數(shù)即可；(2)寫出通項(xiàng)，求出前三項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)等差中項(xiàng)的概念列出等式，解出n，設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大得，求解即可.【小問1詳解】因?yàn)檎归_式的第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得，則展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，代入通項(xiàng)公式有：，所以的系數(shù)為；【小問2詳解】二項(xiàng)式通項(xiàng)公式為：，所以第一項(xiàng)的系數(shù)為：，第二項(xiàng)的系數(shù)為：，第三項(xiàng)的系數(shù)為：，由于前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，所以，解得，或，因?yàn)橹辽儆星叭?xiàng)，所以(舍)，故，二項(xiàng)式通項(xiàng)公式為：，設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，故，即，即，解得，因?yàn)椋曰?，故系?shù)最大的項(xiàng)為或.18.喝酒不開車，開車不喝酒.若某人飲酒后，欲從相距的某地聘請(qǐng)代駕司機(jī)幫助其返程.假設(shè)當(dāng)?shù)氐缆废匏?油價(jià)為每升8元，當(dāng)汽車以的速度行駛時(shí)，油耗率為.已知代駕司機(jī)按每小時(shí)56元收取代駕費(fèi)，試確定最經(jīng)濟(jì)的車速，使得本次行程的總費(fèi)用最少，并求最小費(fèi)用.【答案】最經(jīng)濟(jì)的車速為時(shí)，使得本次行程的總費(fèi)用最少為元.【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)可得，，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可求該函數(shù)的最小值.【詳解】設(shè)汽車以行駛時(shí)，開車時(shí)間為小時(shí)，則代駕費(fèi)用為，油耗為，則總費(fèi)用，，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取到最小值，最小值為.最經(jīng)濟(jì)的車速為時(shí)，使得本次行程的總費(fèi)用最少為元.19.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓面積等于圓周率與橢圓的長半軸長、短半軸長的乘積.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)，均在軸上，面積為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，與橢圓的面積比為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)由題意可得，解方程即可求出，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，通過將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合三角形的面積公式求解直線的斜率，進(jìn)而得出直線方程.【小問1詳解】設(shè)橢圓的方程為：，因?yàn)闄E圓的面積為，點(diǎn)在橢圓上.所以解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，因?yàn)榕c橢圓的面積比為，但，即直線斜率存在；不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理可得：，不妨設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)榕c橢圓的面積比為，所以，化簡(jiǎn)為，即，即，解得：，所以直線的方程為或，所以直線的方程為或.20.已知數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上，數(shù)列中，，且對(duì)任意，滿足：.(1)分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)請(qǐng)比較與的大小，并證明你的結(jié)論.【答案】(1)

(2)當(dāng)時(shí),;當(dāng)或時(shí),

【解析】【分析】(1)用遞推關(guān)系構(gòu)造出等差、等比數(shù)列，進(jìn)而解出通項(xiàng)公式.(2)作差法，得到的表達(dá)式，然后構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而借助幾個(gè)關(guān)鍵的值來比較大小即可.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,所以有,即數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為4的等差數(shù)列.則.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.因?yàn)?則,又因?yàn)?，所?所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，則,即.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】證明：,,.構(gòu)造函數(shù),遞增.當(dāng)時(shí),,函數(shù)遞減,則時(shí),;當(dāng)時(shí),,即時(shí),.當(dāng)時(shí)，,函數(shù)遞增.當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),.綜上,當(dāng)時(shí)，;當(dāng)或時(shí)，.21.已知雙