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文檔簡介
第2講排列及排列數(shù)5種題型總結(jié)
【考點分析】
考點一:排列的有關(guān)概念
①定義:一般地,從”個不同元素中取出水個元素,按照一定的順序排成一列,
叫做從n個不同的元素中取出m個元素的一個排列.
②相同排列:兩個排列相同,當(dāng)且僅當(dāng)兩個排列的元素相回,且元素的排列順序也相同.
考點二:排列數(shù)與排列數(shù)公式
①排列數(shù):從n個不同元素中取出加生m個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元
素的排列數(shù),用符號型表示.
n\
②排列數(shù)公式:A:=n{n-lX?-2)---(n-m+1)特別地,匕=〃(〃一1)(〃一2)x…2xl=〃!
(n-
(m,且根9),規(guī)定:0!=1.
【題型目錄】
題型一:排列的概念
題型二:排列數(shù)的計算
題型三:解排列數(shù)方程和不等式
題型四:證明排列數(shù)恒等式
題型五:排列的簡單應(yīng)用
【典型例題】
題型一:排列的概念
【例1】下列問題是排列問題的是()
A.10個朋友聚會,每兩人握手一次,一共握手多少次?
B.平面上有2022個不同的點,且任意三點不共線,連接任意兩點可以構(gòu)成多少條線段?
C.集合{q,%,生,…,見}的含有三個元素的子集有多少個?
D.從高三(19)班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目,有多少種選法?
【答案】D
【分析】根據(jù)排列的定義逐個選項辨析即可.
【詳解】A中握手次數(shù)的計算與次序無關(guān),不是排列問題;
B中線段的條數(shù)計算與點的次序無關(guān),不是排列問題;
C中子集的個數(shù)與該集合中元素的次序無關(guān),不是排列問題;
D中,選出的2名學(xué)生,如甲、乙,其中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是2種不
同的選法,因此是排列問題.
故選:D
【例2】從集合{3,5,7,9,11}中任取兩個元素,①相加可得多少個不同的和?②相除可得多少個不同的商?
22
③作為橢圓5+當(dāng)=1(4>0/>0)中的a,b,可以得到多少個焦點在無軸上的橢圓方程?④作為雙曲線
cib
22
中的a,b,可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程?
上面四個問題屬于排列問題的是()
A.①②③④B.②④C.②③D.①④
【答案】B
【分析】根據(jù)排列的定義,關(guān)鍵是確定選取的兩個數(shù)有無順序.
【詳解】:.加法滿足交換律,①不是排列問題;
?.?除法不滿足交換律,...②是排列問題;
22
若方程方方=1(。>0,6>0)表示焦點在x軸上的橢圓,貝IJ必有故③不是排列問題;
22
在雙曲線?-斗=l(a>0,6>0)中不管還是。<6,方程均表示焦點在X軸上的雙曲線,且是不同的雙
cib
曲線,故④是排列問題.
故選:B.
【例3】(多選題)下列問題中,屬于排列問題的有()
A.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別擔(dān)任正、副班長,共有多少種不同的選取方法
B.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)參加志愿者活動,共有多少種不同的選取方法
C.平面上有五個點,任意三點不共線,這五個點最多可確定多少條直線
D.從1,2,3,4四個數(shù)字中任選兩個組成一個兩位數(shù),共有多少個不同的兩位數(shù)
【答案】AD
【分析】根據(jù)排列的定義即可得到結(jié)果
【詳解】對于A,因為兩名同學(xué)擔(dān)任的是正、副班長,所以是排列問題,A正確;
對于B,因為兩名同學(xué)參加的志愿者活動與順序無關(guān),所以不是排列問題,B錯誤;
對于C,五個點中任取兩個點,不涉及順序問題,因此不是排列問題,C錯誤;
對于D,四個數(shù)字中任取兩個組成兩位數(shù),與順序有關(guān),是排列問題,D正確.
故選:AD
【例4】(多選題)下列問題中,屬于排列問題的是()
A.有10個車站,共有多少種不同的車票
B.有10個車站,共有多少種不同的票價
C.平面內(nèi)有10個點,共可作出多少條不同的有向線段
D.從10名同學(xué)中選出2名分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽,有多少種選派方法
【答案】ACD
【分析】根據(jù)排列的概念逐項判斷即可.
【詳解】A:有10個車站,共需要準(zhǔn)備多少種車票?相當(dāng)于從10個不同元素中任取2個按一定順序排列起
來,屬于排列問題;
B:有10個車站,共有多少種不同的票價?相當(dāng)于從10個不同元素中任取2個并成一組,無順序要求,不
屬于排列問題;
C:平面內(nèi)有10個點,共可作出多少條不同的有向線段?相當(dāng)于從10個不同元素中任取2個按一定順序排
列起來,屬于排列問題;
D:從10名同學(xué)中選出2名分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽,有多少種選派方法?相當(dāng)于從10個不同元素中任取
2個按一定順序排列起來,屬于排列問題.
故選:ACD.
【題型專練】
1.下面問題中,是排列問題的是()
A.由1,2,3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)
B.從40人中選5人組成籃球隊
C.從100人中選2人抽樣調(diào)查
D.從1,2,3,4,5中選2個數(shù)組成集合
【答案】A
【分析】根據(jù)排列與排列數(shù)的定義,逐項判定,即可求解.
【詳解】根據(jù)排列及排列數(shù)的定義,可得:
對于A中,由1,2,3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),符合排列的定義,是排列問題;
對于B中,從40人中選5人組成籃球隊,與順序無關(guān)的問題,不是排列問題;
對于C中,從100人中選2人抽樣調(diào)查,與順序無關(guān)的問題,不是排列問題;
對于D中,從1,2,3,4,5中選2個數(shù)組成集合,與順序無關(guān)的問題,不是排列問題.
故選:A.
2.下列問題屬于排列問題的是()
①從10個人中選2人分別去種樹和掃地;
②從10個人中選2人去掃地;
③從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊;
④從數(shù)字5,6,7,8中任取兩個不同的數(shù)作賽運算.
A.①④B.①②
C.④D.①③④
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件,結(jié)合排列的定義,即可求解.
【詳解】解:①選出的2人有不同的勞動內(nèi)容,相當(dāng)于有順序,故屬于排列,
②選出的2人勞動內(nèi)容相同,無順序,故不屬于排列,
③5人一組無順序,故不屬于排列,
④選出的兩個數(shù)作為底數(shù)或指數(shù),其結(jié)果不同,有順序,故屬于排列,
綜上所述,屬于排列的為①④.
故選:A.
3.(多選題)從集合{3,5,7,9,11}中任取兩個元素,下列四個問題屬于排列問題的是().
A.相加可得多少個不同的和
B.相除可得多少個不同的商
22
C.作為橢圓二+捺=1中的a,b,可以得到多少個焦點為x軸上的橢圓方程
ab
22
D.作為雙曲線二-2=1中的a,b,可以得到多少個焦點在無軸上的雙曲線方程
ab
【答案】BD
【分析】利用排列的定義對四個選項一一判斷.
【詳解】對于A:因為加法滿足交換律,所以A不是排列問題;故A錯誤;
對于B:因為除法不滿足交換律,如=所以B是排列問題;
35
22
對于C:若方程=+與=1表示焦點在無軸上的橢圓,則必有a>b,a,。的大小關(guān)系一定.所以C不是排列
ab
問題;
22
對于D:在雙曲線.-白=1中不管。>人還是。<6,方程均表示焦點在x軸上的雙曲線,且是不同的雙曲
線,故D是排列問題.
故選:BD.
4.(多選題)下列問題是排列問題的是()
A.求從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)、物理興趣小組的方法種數(shù)
B.求從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名參加一項活動的方法種數(shù)
C.求從a,b,c,d中選出3個字母的方法種數(shù)
D.求從1,2,3,4,5中取出2個數(shù)字組成兩位數(shù)的個數(shù)
【答案】AD
【分析】根據(jù)排列的定義分別判斷即可.
【詳解】對于A,從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)、物理興趣小組,與順序有關(guān),是排列問題;
對于B,從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名參加一項活動,只要求選出即可,不是排列問題;
對于C,從。,b,c,d中選出3個字母,只要求選出即可,不是排列問題;
對于D,從1,2,3,4,5中取出2個數(shù)字組成兩位數(shù),需要先選出再排序,是排列問題.
故選:AD.
探究排列的核心是“順序”,有“順序”就是排列問題.那么如何判斷是否有順序呢?最常用的辦法是把得到
的結(jié)果變換元素的位置,如果結(jié)果變了,就是有“順序”,若結(jié)果不變,就是無“順序”.
題型二:排列數(shù)的計算
【例1】A;289A*8A”.
【答案】0
【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算公式,化簡得到A;;-89A;-8A;=A;;-90A;=10A;-10A)即可求解.
【詳解】根據(jù)排列數(shù)的計算公式,可得A;;-89A*8A;=A;b89A;_A;=Ab90A;
=10A^-10A?=0.
故答案為:0.
,,4Ao+2Ao
【例2】計算:人人5=-
4
【答案】y##0.8
【分析】利用排列數(shù)公式直接計算化簡即可
-4A;+2A:4X8X7X6X5+2X8X7X6X5X4
【詳角星]--------=-----------------------------------
A;-A:8x7x6x5x4x3x2xl-9x8x7x6x5
8x7x6x5x(4+2x4)124
-8x7x6x5x(4x3x2xl-9)-15-5,
4
故答案為:—
【例3】階乘是基斯頓?卡曼(ChristianKramp)于1808年發(fā)明的一種運算,正整數(shù)〃的階乘記為〃!,它的
值為所有小于或等于及的正整數(shù)的積,即M=lx2x3xxCn-Dxn.根據(jù)上述材料,以下說法錯誤的是()
A.4!=24B.8!=40320
2!3!n\
C.12!=12xll!D.1!+一+—+H--------------
1!2!(H-1)!
【答案】D
【分析】根據(jù)階乘的定義一一計算各選項的值,即可判斷出答案.
【詳解】根據(jù)階乘的定義可得4!=lx2x3x4=24,A正確;
8!=lx2x3x..x8=40320,B正確;
12!=lx2x3x.xllxl2=111x12=12x11!,C正確;
2131nl
1!+—1!+—2!++——=1+2+3+川,,故口乂D口錯十日誤厭,,
故選:D
【例4】對任意正整數(shù)",定義"的雙階乘〃!!:當(dāng)〃為偶數(shù)時,"!!="x(”一2)x(n-4)x.x6x4x2;當(dāng)w
為奇數(shù)時,〃!!=〃x(〃-2)x(〃-4)x.x5x3xl,則下列四個命題中錯誤的是()
A.209!!x208!!=209!B.208!!-2x104!
C.208!!的個位數(shù)字為0D.209!!的個位數(shù)字為5
【答案】B
【分析】根據(jù)階乘與雙階乘的定義與運算,逐項判定,即可求解.
【詳解】由根據(jù)雙階乘的定義可得209!!=209x207x-x3xl,208!!=208x206x...x4x2,
所以209!!x208!!=(209x207x.x3xl)x(208x206x...x4x2)=209x208x207x.x3x2xl=2019!,所以A
正確;
由208!!=208x206x.x4x2=2104xl04!,所以B錯誤;
因為208!!=208x206x…xl0x8x6x4><2能被10整除,
所以208!!的個位數(shù)字為0,所以C正確;
因為209!!=209x207x.x5x3xl能被5整除,所以209!!個位數(shù)字為5或0,又209!!是奇數(shù),所以209!!的
個位數(shù)字為5,故D正確.
故選:B.
【例5】("-1998)("-1999)…("-2021)("-2022)(“2022)可表示為()
AA24RA25pA24unA25
C"_i998D.c1998J^n-2Q22?八■〃-2022
【答案】B
【分析】由排列數(shù)的定義即可判斷.
【詳解】(力-1998)(〃-1999)…(〃-2021)(〃-2022)總共有5-1998)-5-2022)+1=25個數(shù)連乘,故
(n-1998)(?-1999)---(n-2021)(n-2022)=A^1998.
故選:B
【題型專練】
1.若”’是一種運算符號,并定義:l!=l,2!=2xl=2,3!=3x2xl=6,,則黑的值為()
9o!
A.—B.99!C.9900D.2!
49
【答案】C
【分析】根據(jù)題意,結(jié)合“!”是一種運算,即可求解.
【詳解】根據(jù)題意,可得黑=10°啜管出」7;,XI=]00X99=99OO.
98!98x97x.x2xl
故選:C.
A7
2.計算:-f=()
A3
A.A:B.A;C.C:D.A;
【答案】B
【分析】根據(jù)排列數(shù)公式計算即可
A77171
【詳解】三===^—=2
A;3!(7-4)!7
故選:B
3.A1-15A:+14A:3=().
A.A:B.14A%C.A%
【答案】ABD
【分析】利用排列數(shù)公式化簡,再逐一分析各個選項,計算判斷作答.
【詳解】A:5-15A:4+14A:3=15A:4-15A:4+14A:3=14A:3,B正確,C不正確;
141id1
而14A:3=A:4=^,即A:5-15A:4+14A:3=A:4=而,A正確,D正確.
故選:ABD
4.(n-3)(n-4)---(n-9)(n-10)(WGN\〃>10)可以表示為()
A.A"。B.A:-C.A"D.C"
【答案】B
【分析】根據(jù)排列數(shù)定義判斷.
【詳解】已知式中有8個連續(xù)正整數(shù)相等,最大的是“-3,因此可表示為A".
故選:B.
題型三:解排列數(shù)方程和不等式
【例I】若A:=2A3,則m=()
A.3B.4C.5D.6
【答案】C
【分析】根據(jù)排列數(shù)公式求解即可.
【詳解】由A;=2A:+1,得加(加一1)(根—2)=2(m+l)加,M/712-5/H=0>
所以m=5或〃7=0(舍去).
故選:C
【例2】已知自然數(shù)x滿足3AL=2$+6A則工=().
A.2B.3C.4D.5
【答案】C
【分析】根據(jù)題意得3(x+l>x(x-l)=2(x+2)(x+l)+6(x+l)x求解即可.
【詳解】因為3AM=2A\+6A2,
所以3(尤+1>X(龍-1)=2(x+2)(x+l)+6(x+l)x,
由X是自然數(shù)且X+1N3,整理得3元2_11X-4=0,
解得x=-g(舍)或x=4,所以x=4.
故選:C.
【例3】(1)解不等式:3A;<2A2+6A;;
(2)解方程:£+I=140組
【答案】(1){3,4,5};(2)x=3.
【解析】(1)利用排列數(shù)公式可得出關(guān)于x的不等式,結(jié)合xeN且x23可得出x的取值集合;
(2)由已知得出xeN且X23,根據(jù)排列數(shù)公式可得出關(guān)于x的方程,進而可解得x的值.
【詳解】(1)由題意可知,xeN且x23,
因為H=x(x-l)(x-2),4+i=(x+l)x,=%(x-l),
所以原不等式可化為3x(x—l)(x—2)W2x(x+l)+6M無T),整理得(3x—2)(尤—5)40,
所以,3<x<5,所以原不等式的解集為{3,4,5};
2x+l>4
(2)易得<xN3,所以*23,XGN,
xeN
由您+1=140.得(2x+l>2x?(2x—l)(2x—2)=140x(x—l)(x—2),
整理得4*2-35X+69=0,即(4X—23)(X-3)=O,解得X=3或X(舍去).
所以,原方程的解為x=3.
【點睛】易錯點點睛:本題考查排列數(shù)方程與不等式的求解,在解題時容易忽略參數(shù)的取值范圍,從而導(dǎo)
致求出不合乎要求的答案,所以在解題時,首先就可以根據(jù)組合數(shù)的定義得出參數(shù)的取值范圍,進而列等
式或不等式求解.
【例4】不等式A:<6XA>2的解集為()
A.[2,8]B.(7,12)C.{x[7<x<12,xeN}D.{8}
【答案】D
【分析】根據(jù)排列數(shù)的性質(zhì)和計算公式化簡求其解即可.
【詳解】因為A;<6xA-
…8!’8!
所以------<6x-----------,
(8—尤)?。?0—尤)!
所以(10-尤)(9-尤)<6,
所以(x-7)(尤一12)<0,X2<x<8,XGN,
所以x=8,
所以不等式A;<6xA>的解集為{8},
故選:D.
【題型專練】
1.若At,=10A:,則〃=()
A.7B.8C.9D.10
【答案】B
【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算公式即可求解.
【詳解】由題意,得2"(2"-1)(2"-2)=10〃("-1)(”-2),化簡可得4〃-2=5〃-10,解得鼠=8.
故選:B
2.已知A?-gA:+0!=4,則加的可能取值是()
A.0B.1C.2D.3
【答案】CD
【分析】將題設(shè)中的方程化為Af=6,從而可求小的可能取值.
【詳解】因為Af-:A;+0!=4,所以A;"-;x6+l=4,所以A,=6,
其中機eN,7*43,而A;=1,A;=3,A;=A;=6,
所以小的值可能是2或3.
故選:CD.
3.不等式&<6禺.的解集為().
A.{2,3,4,5,6,7,8}B.{2,3,4,5,6}
C.{8,9,10,11}D.{8}
【答案】D
【分析】按照排列數(shù)和組合數(shù)的定義計算即可.
8181
【詳解】由題意得日F<6X?F,(8-力!〉0,(10-尤)!〉0,
.-.(10-x)!<6x(8-x)!,(10-x)(9-x)<6,
X2-19X+84<0,解得7cx<12,
又x48,7<%<8,xeN*>即x=8;
故選:D.
4.(1)解方程:A&=140A:;
(2)解不等式:A;>6A;-2.
【答案】(1)x=3:(2){3,4,5,6,7}.
【分析】(1)根據(jù)排列數(shù)的定義化簡可求解;
(2)根據(jù)排列數(shù)的定義化簡可求解.
【詳解】(1)原方程可化為(2元+1>2廠(2無一l>(2x—2)=140-/(x-1>。一2),
化簡得(4尤2-35》+69)0—1)尤=0,
23
解得1=3,或兀=〒,或1=1,或%=0.
4
2x+l>4
2X+1GN*
由<,得%23,且xwN*.
x>3
X$N*
所以原方程的解為x=3.
916x91
(2)原不等式可化為—->—-----,其中2<x?9,XGN\整理得f一21%+104>0,即
(9-x)!(9-X+2)!
(x-8)(x-13)>0,
所以xv8或x>13.
因為2<xM9,xcN*,所以2Vx<8,XGN*.
所以原不等式的解集為{3,4,5,6,7}.
5.解不等式:3凰42心+6/;
【答案】{2,3,4}
【解析】利用排列數(shù)的計算公式進行求解;
【詳解】因為6+i=(x+l)x(x_l),^+2=(X+2)(X+1),^+1=(X+1)X,
所以不等式可化為3x(x-l)W2(x+2)+6x,
解得——<x<4,
又%>2,XGN,
所以不等式的解集為{2,3,4}.
【點睛】本題主要考查排列數(shù)和組合數(shù)的有關(guān)計算,明確計算公式的求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核
心素養(yǎng).
題型四:證明排列數(shù)恒等式
【例1】下列各式中,等于加的是()
A.m'NB.A:+1C.ALD.
【答案】CD
【分析】根據(jù)排列數(shù)公式依次判斷選項即可得到答案.
【詳解】對選項A,加人:=正癡/加,故A錯誤.
對選項B,A:M=I,=W+1!-7!,故B錯誤.
(〃+1—〃)!
.?-in\.
對選項C,A〃=「叫故C正確.
yn—n+iy.
對選項D,〃A>:=〃?(〃-1)!=〃!,故D正確.
故選:CD
【例2】(1)求證:(n+l)!-w!=?-n!;
nil
(2)求證:(n+l)!"^!"(n+l)!;
123n
(3)求和?—?---1------HTL+---—
2,小個,2!3!4!(n+l)!,
?1
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)
【分析】按照階乘的定義即可求解.
【詳解】(1)證明:(〃+1)!-〃!=("+1)川一〃!=〃?〃!.
nn'n\(n+l)!-n!11
(2)證明:
(n+1)!(n+1)!-n!(n+l)!-n!n\
n11
(3)由(2)知
(n+1)!n\+
…123n111111(11)1
所以一+—+—+LT++++L+=1—
2!3!4!(n+1)!12!2!3!3!4!n\(九+1)!,(九+1)!5
123n1
綽卜——+—+——+L+=1-
%,,2!3!4!(n+1)!,
編史;
【例3】求證:(1)y
5+1)!n\(n-k+l)'n\
(2)(k<n).
k\(左一1)!k\
【答案】見詳解.
【分析】(1)根據(jù)排列數(shù)的計算公式展開,通過計算即可證明式子成立;
(2)利用階乘的計算公式進行展開,通分,通過計算即可證明式子成立.
【詳解】(1)左邊=6:;-6=〃(〃+1)娼-
=■/+"_〃)*;=萃:=右邊,
???結(jié)論成立,即然
(2)當(dāng)無W九時,
(〃+1)!n\(〃+1)〃!kn\
左邊二
~\(I)!k\k(k-Y)\
(n+V)n\—kn\(n—k+V)n\
=右邊,
k\k\
5+1)!n\(〃一人+1)?"!
???結(jié)論成立,即(kWn).
k\(D!k\
【題型專練】
1.下列等式正確的是(
A%iYl\
A.(〃+l)A:=A^B.n
n-m
n\1
C.(〃-2)!D.A:+1-\m
n(nn—mn
【答案】ACD
【分析】根據(jù)階乘和排列數(shù)的運算公式,進行推理與判斷選項中的運算是否正確即可.
【詳解】對于A,""+1).記曠[(")_篇)]—,選項A正確;
,〃!〃!
對于B,A:=H-八7二乙—,所以選項B錯誤;
I)1![n-m+iy.
對于C,——-=-^―jg2!,選項C正確;
1.1n\n\.
對于D,—^A:+1=--?廠(’——V?=Am“,選項D正確.
n-mn-m1"-(m+l)」![n-m)\
故選:ACD.
nil
2?證明即=)一『,并利用這一結(jié)果化簡:
⑴LS+…+2;
2!3!4!10!
123n
⑵5+5+丁…+即.
111
【答案】⑴證明見詳解,1-而;(2)1—G訴.
【分析】⑴由加=〃><(〃—l)x(n—2)xx2xl可得(〃+l)!=(〃+l)x〃!,先證出
nil
兩區(qū)=3一兩區(qū)式子成立,進而求出前9項的和即可;
/、nil
(2)根據(jù)證出所幣=)-正市式子成立,求出前"項的和即可;
(1)
解:證明:由〃!=九x(〃一1)x(九一2)xx2xl可得(九+1)!=(幾+l)xM,
n(n+l)-ln+11
mi---=--L—=--------11
、(〃+l)!(〃+l)!(n+1)!(n+1)!n\(〃+l)!
所以,+—+…+—+---1------1--=11-----1--
2!3!4!10!1!2!2!-3!9!10!10!
(2)
癡jg“n(n+l)-ln+1111
解:因為而可=(1+1)!=而可麗IJTT訶Ji
123n1111
所以一+—+—+…+)--+-+1__
切以2!3!4!(^+1!7!2!2!3!+n\(n+1)!(n+1)!
題型五:排列的簡單應(yīng)用
【例1】從5本不同的書中選出3本分別送3位同學(xué)每人一本,不同的方法總數(shù)是()
A.10B.60C.243D.15
【答案】B
【分析】根據(jù)排列定義即可求解.
【詳解】不同的方法總數(shù)是A;=5x4x3=60
故選:B
【例2】從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓(xùn)、管理三項不同的工作,則選派方案共有()
A.60種B.80種C.100種D.120種
【答案】D
【分析】利用排列的定義直接列式求解.
【詳解】從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓(xùn)、管理三項不同的工作,則選派方案共覆=6他4=120
(種).
故選:D.
【例3】某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插
入原節(jié)目單中,且兩個新節(jié)目不相鄰,那么不同插法的種數(shù)為()
A.6B.12C.15D.30
【答案】D
【分析】由已知,根據(jù)題意可使用插空法,將2個新節(jié)目有順序插入5個節(jié)目形成的6個空中,直接列式
求解即可.
【詳解】因為增加了兩個新節(jié)目.將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中,且兩個新節(jié)目不相鄰,
所以原來5個節(jié)目形成6個空,新增的2個節(jié)目插入到6個空中,
共有A;=6x5=30種插法.
故選:D.
【例4】若一個三位正整數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大,則稱這個數(shù)為“傘數(shù)”,現(xiàn)從1,2,3,4,5這
5個數(shù)字中任取3個數(shù)字,組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中“傘數(shù)”共有()個.
A.60B.53C.20D.了
【答案】C
【分析】根據(jù)的“傘數(shù)”定義,十位數(shù)只能是3,4,5,然后分3類,分別求得“傘數(shù)”的個數(shù)再求和,
【詳解】由題意得:十位數(shù)只能是3,4,5,
當(dāng)十位數(shù)是3時,個位和百位只能是1,2,“傘數(shù)”共有A;=2個;
當(dāng)十位數(shù)是4時,個位和百位只能是1,2,3,“傘數(shù),,共有A;=6個;
當(dāng)十位數(shù)是5時,個位和百位只能是1,2,3,4,“傘數(shù)”共有A;=12個;
所以“傘數(shù),,共有20個,
故選:C.
【例5】某詩詞大會共設(shè)有十場比賽,每場比賽都有一首特別設(shè)計的開場詩詞.若將《將進酒》《山居秋暝》
《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩首詩詞排在后六場,并要求《將進酒》與《望岳》相鄰,且
《將進酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰,且均不排在最后,則后六
場開場詩詞的排法有()
A.144種B.48種C.36種D.72種
【答案】C
【分析】先利用捆綁法將《將進酒》與《望岳》進行捆綁后與另外兩首詩歌進行全排,然后將《山居秋暝》
與《送杜少府之任蜀州》插到三個空里,再用分步計數(shù)可求得答案.
【詳解】解:由題意得:
分兩步進行分析:
將《將進酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定的兩首詩詞進行全排列有團=6種排法;
再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在除最后一個空外的3個空里,有&=6種排法,則后六場
開場詩詞的排法有6x6=36(種).
故選:C
【例6】(多選題)甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排.()
A.若甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊,則不同的排法有24種
B.若最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法有42種
C.甲、乙不相鄰的排法有82種
D.甲、乙、丙按從左到右的順序排列的排法有20種
【答案】ABD
【分析】利用捆綁法可判斷A;分別算出甲在最左端時以及乙在最左端時的排法數(shù),可判斷B;用插空法可
判斷C;先從5個位置中選2個位置安排丁、戊兩人,再把甲、乙、丙按從左到右的順序排在剩下的3個位
置中,計算排法數(shù),可判斷D.
【詳解】對于A,甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊,把甲、乙看作一個人,兩人只有一種排法,然后與其他
人全排列,排法共有A:=24(種),A正確;
對于B,甲在最左端時,排法有A:=24(種),乙在最左端時,排法有A;A;=18(種),排法共有24+18=42
(種),B正確;
對于C,先排除甲、乙外的其他三人,再把甲、乙排進三人中間及兩端的4個位置中,排法共有A;A;=72
(種),C錯誤;
對于D,先從5個位置中選2個位置安排丁、戊兩人,再把甲、乙、丙按從左到右的順序排在剩下的3個
位置中,排法共有A;=20(種),D正確.
故選:ABD.
【例7]現(xiàn)有8個人(5男3女)站成一排.
(1)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法?
(2)女生必須排在一起,共有多少種不同的排法?
(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法?
(4)其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法?
(5)甲、乙不能排在前3位,有多少種不同排法?
(6)女生兩旁必須有男生,有多少種不同排法?
【答案】(1)5040;(2)4320;(3)21600;(4)20160;(5)14400;(6)2880
【分析】(1)分兩步,先考慮甲必須站在排頭的特殊要求,用特殊元素優(yōu)先法可解;
(2)女生必須排在一起,用捆綁法求解;
(3)甲、乙兩人不能排在兩端,用插空法求解;
(4)甲在乙的左邊,可采用倍縮法求解;
(5)甲、乙不能排在前3位,用特殊元素或特殊位置優(yōu)先法可解;
(6)女生兩旁必須有男生,用插空法求解.
【詳解】(1)根據(jù)題意,甲必須站在排頭,有1種情況,將剩下的7人全排列,有A;種情況,
則甲必須站在排頭有A;=5040種排法;
(2)根據(jù)題意,先將3名女生看成一個整體,考慮三人之間的順序,有A;種情況,
將這個整體與5名男生全排列,有A:種情況,則女生必須排在一起的排法有A;A,=4320種;
(3)根據(jù)題意,將甲、乙兩人安排在中間6個位置,有A:種情況,將剩下的6人全排列,有A:種情況,
則甲、乙兩人不能排在兩端有=21600種排法;
(4)根據(jù)題意,將8人全排列,有A;種情況,其中甲在乙的左邊與甲在乙的右邊的情況數(shù)目相同,
則甲在乙的左邊有=20160種不同的排法;
(5)根據(jù)題意,將甲、乙兩人安排在后面的5個位置,有A;種情況,
將剩下的6人全排列,有A;種情況,甲、乙不能排在前3位,有A;A:=14400種不同排法;
(6)根據(jù)題意,將5名男生全排列,有A;種情況,排好后除去2端有4個空位可選,在4個空位中任選3
個,安排3名女生,有A:種情況,
則女生兩旁必須有男生,有A;A:=2880種不同排法.
【題型專練】
1.在2022年北京冬奧會和冬殘奧會城市志愿者的招募項目中有一個“國際服務(wù)項目”,截止到2022年1月
25日還有8個名額空缺,需要分配給3個單位,則每個單位至少一個名額且各單位名額互不相同的方法種
數(shù)是()
A.14B.12C.10D.8
【答案】B
【分析】首先確定各單位名額互不相同的分配方式種數(shù),再應(yīng)用全排列求每種方式的分配方法數(shù),即可得
結(jié)果.
【詳解】各單位名額互不相同,則8個名額的分配方式有{1,2,5}、{1,3,4}兩種,
對于其中任一種名額分配方式,將其分配給3個單位的方法有A;種,
所以每個單位至少一個名額且各單位名額互不相同的分配方法種數(shù)為2A;=12種.
故選:B
2.將詩集《詩經(jīng)》、《唐詩三百首》,戲劇《牡丹亭》,四大名著《紅樓夢》、《西游記》、《三國演義》、《水滸
傳》7本書放在一排,下面結(jié)論成立的是()
A.戲劇放在中間的不同放法有7!種B.詩集相鄰的不同放法有6!種
C.四大名著互不相鄰的不同放法有4!x3!種D.四大名著不放在兩端的不同放法有6x4!種
【答案】C
【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理計數(shù)后進行判斷即可.
【詳解】選項A:戲曲書只有一本,所以其余6本書可以全排列,共有6!種不同排列方法;
選項B:詩集共2本,把詩集當(dāng)成一本,不同方法有6!種,這兩本又可交換位置,
所以不同放法總數(shù)為2x6!;
選項C:四大名著互不相鄰,那只能在這四本書的3個空隙中放置其他書,共有3!種放法,
這四本書又可以全排列,所以不同放法總數(shù)為4!x3!!
選項D:四大名著可以在第2至第6這5個位置上任選4個位置放置,共有A;種放法,
這四本書放好后,其余3本書可以在剩下的3個位置上全排列,
所以共有不同放法總數(shù)為A;x3!
故選:C.
3.2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕.某學(xué)校社團將舉辦慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年革命歌曲展演.現(xiàn)從《歌
唱祖國》《英雄贊歌》《南泥灣》《沒有共產(chǎn)黨就沒有新中國》4首獨唱歌曲和《保衛(wèi)黃河》《唱支山歌給黨聽》
《我和我的祖國》3首合唱歌曲中共選出4首歌曲安排演出,要求最后一首歌曲必須是合唱,則不同的安排
方法共有()
A.40B.240C.120D.360
【答案】D
【分析】用分步乘法計數(shù)原理,第一步選一首合唱歌曲最后唱,第二步在剩下的6首歌曲中選3首在排列,
由此可得.
【詳解】根據(jù)題意,在3首合唱歌曲中任選1首,安排在最后,有3種安排方法,在其他6首歌曲中任選3
首,作為前3首歌曲,有A:=120種安排方法,則有3x120=360種不同的安排方法,
故選:D.
4.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.為傳承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校國學(xué)社團
開展“六藝”講座活動,每藝安排一次講座,共講六次.講座次序要求“禮”在第一次,“數(shù)”不在最后,“射”和
“御”兩次相鄰,貝『'六藝”講座不同的次序共有()
A.48種B.36種C.24種D.20種
【答案】B
【分析】由題意,將“射”和“御”捆綁看作一個元素與“樂”和“書”進行全排列,再將“射”和“御”交換位置,最
后安排“數(shù)”,根據(jù)分步計數(shù)原理即可求解.
【詳解】解:因為“禮”在第一次,所以只需安排后面五次講座的次序即可,
又“數(shù)”不在最后,“射”和“御”兩次相鄰,
所以先將“射”和“御”捆綁看作一個元素與“樂”和“書”進行全排列有A;種排法,再將“射”和“御”交換位置有
A;種排法,最后安排“數(shù)”有A;種排法,
所以根據(jù)分步計數(shù)原理共有A;A;A;=36種排法,
故選:B.
5.六個人站成一排照相,其中甲乙要相鄰的站法種數(shù)有()
A.720B.120C.240D.360
【答案
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