高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性講義第2講　排列及排列數(shù)5種題型總結(jié)

第2講排列及排列數(shù)5種題型總結(jié)

【考點分析】

考點一：排列的有關(guān)概念

①定義：一般地，從”個不同元素中取出水個元素,按照一定的順序排成一列，

叫做從n個不同的元素中取出m個元素的一個排列.

②相同排列：兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)兩個排列的元素相回，且元素的排列順序也相同.

考點二：排列數(shù)與排列數(shù)公式

①排列數(shù)：從n個不同元素中取出加生m個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元

素的排列數(shù)，用符號型表示.

n\

②排列數(shù)公式：A：=n{n-lX?-2)---(n-m+1)特別地，匕=〃（〃一1）（〃一2）x…2xl=〃!

(n-

（m,且根9）,規(guī)定：0!=1.

【題型目錄】

題型一：排列的概念

題型二：排列數(shù)的計算

題型三：解排列數(shù)方程和不等式

題型四：證明排列數(shù)恒等式

題型五：排列的簡單應(yīng)用

【典型例題】

題型一：排列的概念

【例1】下列問題是排列問題的是（）

A.10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？

B.平面上有2022個不同的點，且任意三點不共線，連接任意兩點可以構(gòu)成多少條線段？

C.集合｛q,%,生，…，見｝的含有三個元素的子集有多少個？

D.從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目，有多少種選法？

【答案】D

【分析】根據(jù)排列的定義逐個選項辨析即可.

【詳解】A中握手次數(shù)的計算與次序無關(guān)，不是排列問題；

B中線段的條數(shù)計算與點的次序無關(guān)，不是排列問題；

C中子集的個數(shù)與該集合中元素的次序無關(guān)，不是排列問題；

D中，選出的2名學(xué)生，如甲、乙，其中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是2種不

同的選法，因此是排列問題.

故選:D

【例2】從集合｛3,5,7,9,11｝中任取兩個元素，①相加可得多少個不同的和？②相除可得多少個不同的商？

22

③作為橢圓5+當(dāng)=1（4>0/>0）中的a,b,可以得到多少個焦點在無軸上的橢圓方程？④作為雙曲線

cib

22

中的a,b,可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程？

上面四個問題屬于排列問題的是（）

A.①②③④B.②④C.②③D.①④

【答案】B

【分析】根據(jù)排列的定義，關(guān)鍵是確定選取的兩個數(shù)有無順序.

【詳解】:.加法滿足交換律，①不是排列問題；

?.?除法不滿足交換律，...②是排列問題；

22

若方程方方=1（。>0,6>0）表示焦點在x軸上的橢圓，貝IJ必有故③不是排列問題；

22

在雙曲線?-斗=l（a>0,6>0）中不管還是。<6,方程均表示焦點在X軸上的雙曲線，且是不同的雙

cib

曲線，故④是排列問題.

故選：B.

【例3】（多選題）下列問題中，屬于排列問題的有（）

A.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別擔(dān)任正、副班長，共有多少種不同的選取方法

B.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)參加志愿者活動，共有多少種不同的選取方法

C.平面上有五個點，任意三點不共線，這五個點最多可確定多少條直線

D.從1,2,3,4四個數(shù)字中任選兩個組成一個兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)

【答案】AD

【分析】根據(jù)排列的定義即可得到結(jié)果

【詳解】對于A,因為兩名同學(xué)擔(dān)任的是正、副班長，所以是排列問題，A正確；

對于B,因為兩名同學(xué)參加的志愿者活動與順序無關(guān)，所以不是排列問題，B錯誤；

對于C,五個點中任取兩個點，不涉及順序問題，因此不是排列問題，C錯誤；

對于D,四個數(shù)字中任取兩個組成兩位數(shù)，與順序有關(guān)，是排列問題，D正確.

故選：AD

【例4】（多選題）下列問題中，屬于排列問題的是（）

A.有10個車站，共有多少種不同的車票

B.有10個車站，共有多少種不同的票價

C.平面內(nèi)有10個點，共可作出多少條不同的有向線段

D.從10名同學(xué)中選出2名分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽，有多少種選派方法

【答案】ACD

【分析】根據(jù)排列的概念逐項判斷即可.

【詳解】A：有10個車站，共需要準(zhǔn)備多少種車票？相當(dāng)于從10個不同元素中任取2個按一定順序排列起

來，屬于排列問題；

B：有10個車站，共有多少種不同的票價？相當(dāng)于從10個不同元素中任取2個并成一組，無順序要求，不

屬于排列問題；

C：平面內(nèi)有10個點，共可作出多少條不同的有向線段？相當(dāng)于從10個不同元素中任取2個按一定順序排

列起來，屬于排列問題；

D：從10名同學(xué)中選出2名分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽，有多少種選派方法？相當(dāng)于從10個不同元素中任取

2個按一定順序排列起來，屬于排列問題.

故選：ACD.

【題型專練】

1.下面問題中，是排列問題的是（）

A.由1,2,3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)

B.從40人中選5人組成籃球隊

C.從100人中選2人抽樣調(diào)查

D.從1,2,3,4,5中選2個數(shù)組成集合

【答案】A

【分析】根據(jù)排列與排列數(shù)的定義，逐項判定，即可求解.

【詳解】根據(jù)排列及排列數(shù)的定義，可得：

對于A中，由1,2,3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，符合排列的定義，是排列問題；

對于B中，從40人中選5人組成籃球隊，與順序無關(guān)的問題，不是排列問題；

對于C中，從100人中選2人抽樣調(diào)查，與順序無關(guān)的問題，不是排列問題；

對于D中，從1,2,3,4,5中選2個數(shù)組成集合，與順序無關(guān)的問題，不是排列問題.

故選：A.

2.下列問題屬于排列問題的是（）

①從10個人中選2人分別去種樹和掃地；

②從10個人中選2人去掃地；

③從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊；

④從數(shù)字5,6,7,8中任取兩個不同的數(shù)作賽運算.

A.①④B.①②

C.④D.①③④

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合排列的定義，即可求解.

【詳解】解：①選出的2人有不同的勞動內(nèi)容，相當(dāng)于有順序，故屬于排列，

②選出的2人勞動內(nèi)容相同，無順序，故不屬于排列，

③5人一組無順序，故不屬于排列，

④選出的兩個數(shù)作為底數(shù)或指數(shù)，其結(jié)果不同，有順序，故屬于排列，

綜上所述，屬于排列的為①④.

故選：A.

3.（多選題）從集合｛3,5,7,9,11｝中任取兩個元素，下列四個問題屬于排列問題的是（）.

A.相加可得多少個不同的和

B.相除可得多少個不同的商

22

C.作為橢圓二+捺=1中的a,b,可以得到多少個焦點為x軸上的橢圓方程

ab

22

D.作為雙曲線二-2=1中的a,b,可以得到多少個焦點在無軸上的雙曲線方程

ab

【答案】BD

【分析】利用排列的定義對四個選項一一判斷.

【詳解】對于A：因為加法滿足交換律，所以A不是排列問題；故A錯誤；

對于B：因為除法不滿足交換律，如=所以B是排列問題；

35

22

對于C：若方程=+與=1表示焦點在無軸上的橢圓，則必有a＞b,a,。的大小關(guān)系一定.所以C不是排列

ab

問題；

22

對于D：在雙曲線.-白=1中不管。＞人還是。＜6,方程均表示焦點在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲

線，故D是排列問題.

故選：BD.

4.（多選題）下列問題是排列問題的是（）

A.求從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)、物理興趣小組的方法種數(shù)

B.求從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名參加一項活動的方法種數(shù)

C.求從a,b,c,d中選出3個字母的方法種數(shù)

D.求從1,2,3,4,5中取出2個數(shù)字組成兩位數(shù)的個數(shù)

【答案】AD

【分析】根據(jù)排列的定義分別判斷即可.

【詳解】對于A,從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)、物理興趣小組，與順序有關(guān)，是排列問題;

對于B,從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名參加一項活動，只要求選出即可，不是排列問題；

對于C,從。，b,c,d中選出3個字母，只要求選出即可，不是排列問題；

對于D,從1,2,3,4,5中取出2個數(shù)字組成兩位數(shù)，需要先選出再排序，是排列問題.

故選：AD.

探究排列的核心是“順序”，有“順序”就是排列問題.那么如何判斷是否有順序呢？最常用的辦法是把得到

的結(jié)果變換元素的位置，如果結(jié)果變了，就是有“順序”，若結(jié)果不變，就是無“順序”.

題型二：排列數(shù)的計算

【例1】A；289A*8A”.

【答案】0

【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算公式，化簡得到A；；-89A；-8A；=A；；-90A；=10A；-10A）即可求解.

【詳解】根據(jù)排列數(shù)的計算公式，可得A；；-89A*8A；=A；b89A；_A；=Ab90A；

=10A^-10A?=0.

故答案為：0.

,,4Ao+2Ao

【例2】計算：人人5=-

4

【答案】y##0.8

【分析】利用排列數(shù)公式直接計算化簡即可

-4A；+2A：4X8X7X6X5+2X8X7X6X5X4

【詳角星］--------=-----------------------------------

A；-A：8x7x6x5x4x3x2xl-9x8x7x6x5

8x7x6x5x(4+2x4)124

-8x7x6x5x(4x3x2xl-9)-15-5,

4

故答案為：—

【例3】階乘是基斯頓?卡曼(ChristianKramp)于1808年發(fā)明的一種運算，正整數(shù)〃的階乘記為〃!，它的

值為所有小于或等于及的正整數(shù)的積，即M=lx2x3xxCn-Dxn.根據(jù)上述材料，以下說法錯誤的是()

A.4!=24B.8!=40320

2!3!n\

C.12!=12xll!D.1!+一+—+H--------------

1!2!（H-1）!

【答案】D

【分析】根據(jù)階乘的定義一一計算各選項的值，即可判斷出答案.

【詳解】根據(jù)階乘的定義可得4!=lx2x3x4=24,A正確；

8!=lx2x3x..x8=40320,B正確;

12!=lx2x3x.xllxl2=111x12=12x11!,C正確;

2131nl

1!+—1!+—2!++——=1+2+3+川，,故口乂D口錯十日誤厭，，

故選:D

【例4】對任意正整數(shù)"，定義"的雙階乘〃!!：當(dāng)〃為偶數(shù)時，"!!="x(”一2)x(n-4)x.x6x4x2；當(dāng)w

為奇數(shù)時，〃!!=〃x(〃-2)x(〃-4)x.x5x3xl,則下列四個命題中錯誤的是()

A.209!!x208!!=209!B.208!!-2x104!

C.208!!的個位數(shù)字為0D.209!!的個位數(shù)字為5

【答案】B

【分析】根據(jù)階乘與雙階乘的定義與運算，逐項判定，即可求解.

【詳解】由根據(jù)雙階乘的定義可得209!!=209x207x-x3xl,208!!=208x206x...x4x2,

所以209!!x208!!=(209x207x.x3xl)x(208x206x...x4x2)=209x208x207x.x3x2xl=2019!,所以A

正確；

由208!!=208x206x.x4x2=2104xl04!,所以B錯誤；

因為208!!=208x206x…xl0x8x6x4><2能被10整除,

所以208!!的個位數(shù)字為0,所以C正確；

因為209!!=209x207x.x5x3xl能被5整除，所以209!!個位數(shù)字為5或0,又209!!是奇數(shù)，所以209!!的

個位數(shù)字為5,故D正確.

故選：B.

【例5】("-1998)("-1999)…("-2021)("-2022)(“2022)可表示為()

AA24RA25pA24unA25

C"_i998D.c1998J^n-2Q22?八■〃-2022

【答案】B

【分析】由排列數(shù)的定義即可判斷.

【詳解】(力-1998)(〃-1999)…(〃-2021)(〃-2022)總共有5-1998)-5-2022)+1=25個數(shù)連乘，故

(n-1998)(?-1999)---(n-2021)(n-2022)=A^1998.

故選：B

【題型專練】

1.若”’是一種運算符號，并定義：l!=l，2!=2xl=2,3!=3x2xl=6,，則黑的值為()

9o!

A.—B.99!C.9900D.2!

49

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合“!”是一種運算，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，可得黑=10°啜管出」7；,XI=]00X99=99OO.

98!98x97x.x2xl

故選：C.

A7

2.計算：-f=()

A3

A.A：B.A；C.C：D.A；

【答案】B

【分析】根據(jù)排列數(shù)公式計算即可

A77171

【詳解】三===^—=2

A；3!(7-4)!7

故選：B

3.A1-15A：+14A：3=().

A.A:B.14A%C.A%

【答案】ABD

【分析】利用排列數(shù)公式化簡，再逐一分析各個選項，計算判斷作答.

【詳解】A：5-15A：4+14A：3=15A：4-15A：4+14A：3=14A：3,B正確，C不正確；

141id1

而14A：3=A：4=^,即A：5-15A：4+14A：3=A：4=而,A正確，D正確.

故選：ABD

4.(n-3)(n-4)---(n-9)(n-10)(WGN\〃>10)可以表示為()

A.A"。B.A：-C.A"D.C"

【答案】B

【分析】根據(jù)排列數(shù)定義判斷.

【詳解】已知式中有8個連續(xù)正整數(shù)相等，最大的是“-3,因此可表示為A".

故選:B.

題型三：解排列數(shù)方程和不等式

【例I】若A：=2A3,則m=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)排列數(shù)公式求解即可.

【詳解】由A；=2A：+1,得加(加一1)(根—2)=2(m+l)加，M/712-5/H=0>

所以m=5或〃7=0(舍去).

故選：C

【例2】已知自然數(shù)x滿足3AL=2$+6A則工=().

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得3(x+l>x(x-l)=2(x+2)(x+l)+6(x+l)x求解即可.

【詳解】因為3AM=2A\+6A2，

所以3(尤+1>X(龍-1)=2(x+2)(x+l)+6(x+l)x,

由X是自然數(shù)且X+1N3,整理得3元2_11X-4=0,

解得x=-g(舍)或x=4,所以x=4.

故選：C.

【例3】(1)解不等式：3A；<2A2+6A；；

(2)解方程：￡+I=140組

【答案】(1){3,4,5}；(2)x=3.

【解析】(1)利用排列數(shù)公式可得出關(guān)于x的不等式，結(jié)合xeN且x23可得出x的取值集合；

(2)由已知得出xeN且X23,根據(jù)排列數(shù)公式可得出關(guān)于x的方程，進而可解得x的值.

【詳解】(1)由題意可知，xeN且x23,

因為H=x(x-l)(x-2),4+i=(x+l)x,=%(x-l),

所以原不等式可化為3x(x—l)(x—2)W2x(x+l)+6M無T),整理得(3x—2)(尤—5)40,

所以，3<x<5,所以原不等式的解集為{3,4,5}；

2x+l>4

(2)易得<xN3,所以*23,XGN,

xeN

由您+1=140.得(2x+l>2x?(2x—l)(2x—2)=140x(x—l)(x—2),

整理得4*2-35X+69=0,即(4X—23)(X-3)=O,解得X=3或X(舍去).

所以，原方程的解為x=3.

【點睛】易錯點點睛：本題考查排列數(shù)方程與不等式的求解，在解題時容易忽略參數(shù)的取值范圍，從而導(dǎo)

致求出不合乎要求的答案，所以在解題時，首先就可以根據(jù)組合數(shù)的定義得出參數(shù)的取值范圍，進而列等

式或不等式求解.

【例4】不等式A：<6XA>2的解集為()

A.[2,8]B.(7,12)C.{x[7<x<12,xeN}D.{8}

【答案】D

【分析】根據(jù)排列數(shù)的性質(zhì)和計算公式化簡求其解即可.

【詳解】因為A；<6xA-

…8!’8!

所以------<6x-----------,

（8—尤）?。?0—尤）！

所以（10-尤）（9-尤）<6,

所以（x-7）（尤一12）<0,X2<x<8,XGN,

所以x=8,

所以不等式A；<6xA>的解集為{8},

故選：D.

【題型專練】

1.若At,=10A：,則〃=（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算公式即可求解.

【詳解】由題意，得2"（2"-1）（2"-2）=10〃（"-1）（”-2）,化簡可得4〃-2=5〃-10,解得鼠=8.

故選:B

2.已知A?-gA：+0!=4,則加的可能取值是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】CD

【分析】將題設(shè)中的方程化為Af=6,從而可求小的可能取值.

【詳解】因為Af-：A；+0!=4,所以A；"-；x6+l=4,所以A，=6,

其中機eN,7*43,而A；=1,A；=3,A；=A；=6,

所以小的值可能是2或3.

故選：CD.

3.不等式&<6禺.的解集為（）.

A.{2,3,4,5,6,7,8}B.{2,3,4,5,6}

C.{8,9,10,11}D.{8}

【答案】D

【分析】按照排列數(shù)和組合數(shù)的定義計算即可.

8181

【詳解】由題意得日F<6X?F，(8-力!〉0,(10-尤)!〉0,

.-.(10-x)!<6x(8-x)!,(10-x)(9-x)<6,

X2-19X+84<0,解得7cx<12,

又x48,7<%<8,xeN*>即x=8；

故選：D.

4.(1)解方程：A&=140A：；

(2)解不等式：A；>6A；-2.

【答案】(1)x=3:(2){3,4,5,6,7}.

【分析】(1)根據(jù)排列數(shù)的定義化簡可求解；

(2)根據(jù)排列數(shù)的定義化簡可求解.

【詳解】(1)原方程可化為(2元+1>2廠(2無一l>(2x—2)=140-/(x-1>。一2),

化簡得(4尤2-35》+69)0—1)尤=0,

23

解得1=3,或兀=〒，或1=1,或%=0.

4

2x+l>4

2X+1GN*

由<，得％23,且xwN*.

x>3

X$N*

所以原方程的解為x=3.

916x91

(2)原不等式可化為—->—-----,其中2<x?9,XGN\整理得f一21%+104>0,即

(9-x)!(9-X+2)!

(x-8)(x-13)>0,

所以xv8或x>13.

因為2<xM9,xcN*,所以2Vx<8,XGN*.

所以原不等式的解集為{3,4,5,6,7}.

5.解不等式:3凰42心+6/；

【答案】{2,3,4}

【解析】利用排列數(shù)的計算公式進行求解;

【詳解】因為6+i=(x+l)x(x_l)，^+2=(X+2)(X+1),^+1=(X+1)X,

所以不等式可化為3x(x-l)W2(x+2)+6x,

解得——<x<4,

又%>2,XGN,

所以不等式的解集為{2,3,4}.

【點睛】本題主要考查排列數(shù)和組合數(shù)的有關(guān)計算，明確計算公式的求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核

心素養(yǎng).

題型四：證明排列數(shù)恒等式

【例1】下列各式中，等于加的是()

A.m'NB.A：+1C.ALD.

【答案】CD

【分析】根據(jù)排列數(shù)公式依次判斷選項即可得到答案.

【詳解】對選項A,加人：=正癡/加，故A錯誤.

對選項B,A：M=I，=W+1!-7!,故B錯誤.

(〃+1—〃)！

.?-in\.

對選項C,A〃=「叫故C正確.

yn—n+iy.

對選項D,〃A>：=〃?(〃-1)!=〃!,故D正確.

故選：CD

【例2】(1)求證：(n+l)!-w!=?-n!；

nil

(2)求證：(n+l)!"^!"(n+l)!;

123n

(3)求和?—?---1------HTL+---—

2,小個,2!3!4!(n+l)!,

?1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)

【分析】按照階乘的定義即可求解.

【詳解】(1)證明：(〃+1)!-〃!=("+1)川一〃!=〃?〃！.

nn'n\(n+l)!-n!11

(2)證明:

(n+1)!(n+1)!-n!(n+l)!-n!n\

n11

(3)由(2)知

(n+1)!n\+

…123n111111(11)1

所以一+—+—+LT++++L+=1—

2!3!4!(n+1)!12!2!3!3!4!n\(九+1)!,(九+1)!5

123n1

綽卜——+—+——+L+=1-

%，，2!3!4!(n+1)!,

編史;

【例3】求證：(1)y

5+1)!n\(n-k+l)'n\

(2)(k<n).

k\(左一1)!k\

【答案】見詳解.

【分析】(1)根據(jù)排列數(shù)的計算公式展開，通過計算即可證明式子成立;

(2)利用階乘的計算公式進行展開，通分，通過計算即可證明式子成立.

【詳解】(1)左邊=6：；-6=〃(〃+1)娼-

=■/+"_〃)*;=萃：=右邊,

???結(jié)論成立，即然

(2)當(dāng)無W九時,

(〃+1)!n\(〃+1)〃！kn\

左邊二

~\(I)!k\k(k-Y)\

(n+V)n\—kn\(n—k+V)n\

=右邊,

k\k\

5+1)!n\(〃一人+1)?"!

???結(jié)論成立，即(kWn).

k\(D!k\

【題型專練】

1.下列等式正確的是(

A%iYl\

A.(〃+l)A：=A^B.n

n-m

n\1

C.(〃-2)!D.A：+1-\m

n(nn—mn

【答案】ACD

【分析】根據(jù)階乘和排列數(shù)的運算公式，進行推理與判斷選項中的運算是否正確即可.

【詳解】對于A,""+1）.記曠[（"）_篇）]—,選項A正確;

,〃！〃！

對于B,A：=H-八7二乙—，所以選項B錯誤；

I）1![n-m+iy.

對于C,——-=-^―jg2!,選項C正確；

1.1n\n\.

對于D,—^A：+1=--?廠（’——V?=Am“，選項D正確.

n-mn-m1"-（m+l）」！[n-m）\

故選：ACD.

nil

2?證明即=）一『,并利用這一結(jié)果化簡：

⑴LS+…+2；

2!3!4!10!

123n

⑵5+5+丁…+即.

111

【答案】⑴證明見詳解，1-而；（2）1—G訴.

【分析】⑴由加=〃><（〃—l）x（n—2）xx2xl可得（〃+l）!=（〃+l）x〃!，先證出

nil

兩區(qū)=3一兩區(qū)式子成立，進而求出前9項的和即可；

/、nil

（2）根據(jù)證出所幣=）-正市式子成立，求出前"項的和即可；

（1）

解：證明：由〃!=九x（〃一1）x（九一2）xx2xl可得（九+1）!=（幾+l）xM,

n(n+l)-ln+11

mi---=--L—=--------11

、(〃+l)!(〃+l)!(n+1)!(n+1)!n\(〃+l)!

所以，+—+…+—+---1------1--=11-----1--

2!3!4!10!1!2!2!-3!9!10!10!

(2)

癡jg“n(n+l)-ln+1111

解：因為而可=(1+1)!=而可麗IJTT訶Ji

123n1111

所以一+—+—+…+)--+-+1__

切以2!3!4!(^+1!7!2!2!3!+n\(n+1)!(n+1)!

題型五：排列的簡單應(yīng)用

【例1】從5本不同的書中選出3本分別送3位同學(xué)每人一本，不同的方法總數(shù)是（）

A.10B.60C.243D.15

【答案】B

【分析】根據(jù)排列定義即可求解.

【詳解】不同的方法總數(shù)是A；=5x4x3=60

故選：B

【例2】從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓(xùn)、管理三項不同的工作，則選派方案共有（）

A.60種B.80種C.100種D.120種

【答案】D

【分析】利用排列的定義直接列式求解.

【詳解】從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓(xùn)、管理三項不同的工作，則選派方案共覆=6他4=120

（種）.

故選:D.

【例3】某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插

入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（）

A.6B.12C.15D.30

【答案】D

【分析】由已知，根據(jù)題意可使用插空法，將2個新節(jié)目有順序插入5個節(jié)目形成的6個空中，直接列式

求解即可.

【詳解】因為增加了兩個新節(jié)目.將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，

所以原來5個節(jié)目形成6個空，新增的2個節(jié)目插入到6個空中，

共有A；=6x5=30種插法.

故選：D.

【例4】若一個三位正整數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個數(shù)為“傘數(shù)”，現(xiàn)從1,2,3,4,5這

5個數(shù)字中任取3個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中“傘數(shù)”共有（）個.

A.60B.53C.20D.了

【答案】C

【分析】根據(jù)的“傘數(shù)”定義，十位數(shù)只能是3,4,5,然后分3類，分別求得“傘數(shù)”的個數(shù)再求和，

【詳解】由題意得：十位數(shù)只能是3,4,5,

當(dāng)十位數(shù)是3時，個位和百位只能是1,2,“傘數(shù)”共有A；=2個；

當(dāng)十位數(shù)是4時，個位和百位只能是1,2,3,“傘數(shù)，，共有A；=6個；

當(dāng)十位數(shù)是5時，個位和百位只能是1,2,3,4,“傘數(shù)”共有A；=12個；

所以“傘數(shù)，，共有20個，

故選：C.

【例5】某詩詞大會共設(shè)有十場比賽，每場比賽都有一首特別設(shè)計的開場詩詞.若將《將進酒》《山居秋暝》

《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩首詩詞排在后六場，并要求《將進酒》與《望岳》相鄰，且

《將進酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰，且均不排在最后，則后六

場開場詩詞的排法有（）

A.144種B.48種C.36種D.72種

【答案】C

【分析】先利用捆綁法將《將進酒》與《望岳》進行捆綁后與另外兩首詩歌進行全排，然后將《山居秋暝》

與《送杜少府之任蜀州》插到三個空里，再用分步計數(shù)可求得答案.

【詳解】解：由題意得：

分兩步進行分析：

將《將進酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定的兩首詩詞進行全排列有團=6種排法；

再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在除最后一個空外的3個空里，有&=6種排法，則后六場

開場詩詞的排法有6x6=36（種）.

故選：C

【例6】（多選題）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排.（）

A.若甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種

B.若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法有42種

C.甲、乙不相鄰的排法有82種

D.甲、乙、丙按從左到右的順序排列的排法有20種

【答案】ABD

【分析】利用捆綁法可判斷A；分別算出甲在最左端時以及乙在最左端時的排法數(shù)，可判斷B;用插空法可

判斷C；先從5個位置中選2個位置安排丁、戊兩人，再把甲、乙、丙按從左到右的順序排在剩下的3個位

置中，計算排法數(shù)，可判斷D.

【詳解】對于A,甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，把甲、乙看作一個人，兩人只有一種排法，然后與其他

人全排列，排法共有A：=24(種)，A正確；

對于B,甲在最左端時，排法有A：=24(種)，乙在最左端時，排法有A；A；=18(種)，排法共有24+18=42

(種)，B正確；

對于C,先排除甲、乙外的其他三人，再把甲、乙排進三人中間及兩端的4個位置中，排法共有A；A；=72

(種),C錯誤；

對于D,先從5個位置中選2個位置安排丁、戊兩人，再把甲、乙、丙按從左到右的順序排在剩下的3個

位置中，排法共有A；=20(種)，D正確.

故選：ABD.

【例7］現(xiàn)有8個人(5男3女)站成一排.

(1)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？

(2)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？

(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？

(4)其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？

(5)甲、乙不能排在前3位，有多少種不同排法？

(6)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？

【答案】(1)5040；(2)4320；(3)21600；(4)20160；(5)14400；(6)2880

【分析】(1)分兩步，先考慮甲必須站在排頭的特殊要求，用特殊元素優(yōu)先法可解；

(2)女生必須排在一起，用捆綁法求解；

(3)甲、乙兩人不能排在兩端，用插空法求解；

(4)甲在乙的左邊，可采用倍縮法求解；

(5)甲、乙不能排在前3位，用特殊元素或特殊位置優(yōu)先法可解；

(6)女生兩旁必須有男生，用插空法求解.

【詳解】(1)根據(jù)題意，甲必須站在排頭，有1種情況，將剩下的7人全排列，有A；種情況，

則甲必須站在排頭有A；=5040種排法;

（2）根據(jù)題意，先將3名女生看成一個整體，考慮三人之間的順序，有A；種情況,

將這個整體與5名男生全排列，有A：種情況，則女生必須排在一起的排法有A；A，=4320種；

（3）根據(jù)題意，將甲、乙兩人安排在中間6個位置，有A：種情況，將剩下的6人全排列，有A：種情況，

則甲、乙兩人不能排在兩端有=21600種排法；

（4）根據(jù)題意，將8人全排列，有A；種情況，其中甲在乙的左邊與甲在乙的右邊的情況數(shù)目相同，

則甲在乙的左邊有=20160種不同的排法；

（5）根據(jù)題意，將甲、乙兩人安排在后面的5個位置，有A；種情況，

將剩下的6人全排列，有A；種情況，甲、乙不能排在前3位，有A；A：=14400種不同排法；

（6）根據(jù)題意，將5名男生全排列，有A；種情況，排好后除去2端有4個空位可選，在4個空位中任選3

個，安排3名女生，有A：種情況，

則女生兩旁必須有男生，有A；A：=2880種不同排法.

【題型專練】

1.在2022年北京冬奧會和冬殘奧會城市志愿者的招募項目中有一個“國際服務(wù)項目”，截止到2022年1月

25日還有8個名額空缺，需要分配給3個單位，則每個單位至少一個名額且各單位名額互不相同的方法種

數(shù)是（）

A.14B.12C.10D.8

【答案】B

【分析】首先確定各單位名額互不相同的分配方式種數(shù)，再應(yīng)用全排列求每種方式的分配方法數(shù)，即可得

結(jié)果.

【詳解】各單位名額互不相同，則8個名額的分配方式有｛1,2,5｝、｛1,3,4｝兩種，

對于其中任一種名額分配方式，將其分配給3個單位的方法有A；種，

所以每個單位至少一個名額且各單位名額互不相同的分配方法種數(shù)為2A；=12種.

故選：B

2.將詩集《詩經(jīng)》、《唐詩三百首》，戲劇《牡丹亭》，四大名著《紅樓夢》、《西游記》、《三國演義》、《水滸

傳》7本書放在一排，下面結(jié)論成立的是（）

A.戲劇放在中間的不同放法有7!種B.詩集相鄰的不同放法有6!種

C.四大名著互不相鄰的不同放法有4!x3!種D.四大名著不放在兩端的不同放法有6x4!種

【答案】C

【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理計數(shù)后進行判斷即可.

【詳解】選項A：戲曲書只有一本，所以其余6本書可以全排列，共有6!種不同排列方法；

選項B：詩集共2本，把詩集當(dāng)成一本，不同方法有6!種，這兩本又可交換位置，

所以不同放法總數(shù)為2x6!；

選項C：四大名著互不相鄰，那只能在這四本書的3個空隙中放置其他書，共有3!種放法，

這四本書又可以全排列，所以不同放法總數(shù)為4!x3!!

選項D：四大名著可以在第2至第6這5個位置上任選4個位置放置，共有A；種放法，

這四本書放好后，其余3本書可以在剩下的3個位置上全排列，

所以共有不同放法總數(shù)為A；x3!

故選：C.

3.2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕.某學(xué)校社團將舉辦慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年革命歌曲展演.現(xiàn)從《歌

唱祖國》《英雄贊歌》《南泥灣》《沒有共產(chǎn)黨就沒有新中國》4首獨唱歌曲和《保衛(wèi)黃河》《唱支山歌給黨聽》

《我和我的祖國》3首合唱歌曲中共選出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必須是合唱，則不同的安排

方法共有（）

A.40B.240C.120D.360

【答案】D

【分析】用分步乘法計數(shù)原理，第一步選一首合唱歌曲最后唱，第二步在剩下的6首歌曲中選3首在排列，

由此可得.

【詳解】根據(jù)題意，在3首合唱歌曲中任選1首，安排在最后，有3種安排方法，在其他6首歌曲中任選3

首，作為前3首歌曲，有A：=120種安排方法，則有3x120=360種不同的安排方法，

故選：D.

4.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.為傳承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校國學(xué)社團

開展“六藝”講座活動，每藝安排一次講座，共講六次.講座次序要求“禮”在第一次，“數(shù)”不在最后，“射”和

“御”兩次相鄰，貝『'六藝”講座不同的次序共有（）

A.48種B.36種C.24種D.20種

【答案】B

【分析】由題意，將“射”和“御”捆綁看作一個元素與“樂”和“書”進行全排列，再將“射”和“御”交換位置，最

后安排“數(shù)”，根據(jù)分步計數(shù)原理即可求解.

【詳解】解：因為“禮”在第一次，所以只需安排后面五次講座的次序即可，

又“數(shù)”不在最后，“射”和“御”兩次相鄰,

所以先將“射”和“御”捆綁看作一個元素與“樂”和“書”進行全排列有A；種排法，再將“射”和“御”交換位置有

A；種排法，最后安排“數(shù)”有A；種排法，

所以根據(jù)分步計數(shù)原理共有A；A；A；=36種排法，

故選：B.

5.六個人站成一排照相，其中甲乙要相鄰的站法種數(shù)有（）

A.720B.120C.240D.360

【答案