高數(shù)-10寒-02-二次函數(shù)-教師版

一、二次函數(shù)的解析式的三種形式

1.一般式：/（x）=ox2+/?X+C（＜2^0）

2.頂點(diǎn)式：/（%）=〃（%-力）2+左（々力0）,其中k=f（h）（h,k）為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

3.交點(diǎn)式（零點(diǎn)式）：/（X）=Q（X-玉）（工一九2）（〃W。），（玉,0）和（九2,。）為拋物線與X軸的

交點(diǎn)坐標(biāo).

二、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

A，一

二次函數(shù)丁=以2+/^+。的圖象的對(duì)稱軸方程是％=—2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是——,-----

2aI2a4a

當(dāng)。＞。時(shí)，函數(shù)在-2,+8］上是增函數(shù)，在1-00,-2上是減函數(shù)；

i2aJI2a\

當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)在1-8,-2上是增函數(shù)，在-2,+oo］上是減函數(shù).

I2a2a）

三、根與系數(shù)關(guān)系

2

設(shè)f[x}=ax+Z?x+c(aw0)的兩根為xvx2,

則有X]+%2=------9XyX2=—,卜]一%2I=+%)2-4再%2=~

aa網(wǎng)

四、一元二次方程根的分布:

22

設(shè)/(x)=ax+bx+c(aw0,A=Z?-4ac>0)的兩根為xvx2.,

A>0A>0

-2〉o-2<o

1.%>0,x2>00<2.%1<0,x2<0<=><

aa

c

->0>0

a、a

王<0,x>0o￡<00/(0)<0

3.2

a

A>0A>0

bb

4.匹</<加o<-------<m5.加<匹<%2=<------->m

2ala

f(m)>0/(加)〉o

f(m)<0

6.xx<m<x2/(ni)<07.x[<m<n<x2O<

/(?)<o

A>0

b

m<-------<n

8.m<xx<x2<no<2a

/(m)>0

7■⑺〉o

7"(如<o7"(刈)>0

9.xi<m<x2<n<^<10.m<xx<n<x2<^<

/(H)>o/(n)<0

11./（x）=ax2+bx+c=G^{m,ri）內(nèi)恰有一解〈。或，加）=0（檢驗(yàn)另一根

在（冽,〃）內(nèi)）或/（幾）=0（檢驗(yàn)另一根在（北〃）內(nèi)）

/(m)>0

/(?)<0

12.m<xi<n<p<x2<qo<

,一'f(p)<。

J(q)〉O

討論二次函數(shù)的區(qū)間根的分布情況一般需從三方面考慮：①判別式；②區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符

號(hào)；③對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置

五'一元二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域

設(shè)/(%)=依2+/zx+c(a>。)‘xe[m,n](m<n)

A

1.當(dāng)五時(shí)，/(X)的值域?yàn)?(初”加小

AA

2.當(dāng)〃z〈一丁〈”時(shí)，/加=/(—丁)，finax=}Tiax{f(m),f(n)}；(如果再細(xì)分的話，

2a2a

是什么情況呢，讓同學(xué)思考)

A

3.當(dāng)-五<帆時(shí)，/(%)的值域?yàn)?/p>

討論二次函數(shù)的區(qū)間最值問題：①注意對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置；②開口方向

六、二次函數(shù)'一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系

設(shè)/(1)=加+bx+c^a>0)

①A<0o函數(shù)y的圖像與x軸無交點(diǎn)o方程〃刈=0無實(shí)根o不等式/(刈>0

的解集為R=不等式f(x)<Q的解集為0；

②A=0o函數(shù)y=/(刈的圖像與x軸相切o方程/(刈=0有兩個(gè)相等的實(shí)根=不等式

b

/(X)>0的解集為\xx^----卜；

2a

③A>0o函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)o方程f(x)=0有兩個(gè)不等的實(shí)根:

a，口（設(shè)a<0o不等式”xJ>0的解集為（-°o,a）（小,內(nèi)）o不等式f（x）<0的解集為

（。,尸）.

一、二次函數(shù)的概念

【例1】若〃x）=—三+僅+2）x+3,xe也c］的圖像關(guān)于x=l對(duì)稱，則°=

【難度】★

【答案】2

【解析】由題意可知2^=1,解得辦=0,.?.匕上=1,解得c=2.

22

【例2】已知二次函數(shù)/（%）=以2+bx+c,如果/（玉）=/（%2）（其中石W4）,則/

【難度】★

4ac-b2

【答案】

4a

【例3】若函數(shù)〃%）=（加—1）9+（加—1卜+1是偶函數(shù)，則在區(qū)間（YO,0］上/（%）是

A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.常數(shù)D.可能是增函數(shù)，也可能是常數(shù)

【難度】★

【答案】D

【解析】函數(shù)/(尤)無2+(療-l)x+l是偶函數(shù)=>m2-1=0=>7"=±1,當(dāng)"2=1時(shí),

/(x)=l是常數(shù)；當(dāng)機(jī)=—1時(shí)，/(%)=—2*+1,在區(qū)間(—8,0］上〃尤)是增函數(shù)，故選D.

【例4】已知函數(shù)/(x)=-f+依在［2,4］上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍為.

【難度】★

【答案】kW4或左28

【解析】函數(shù)/(%)=——+丘的圖像是開口向下的拋物線，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x=1,

k

?：已知函數(shù)在［2,4］上是單調(diào)函數(shù)，；.區(qū)間［2,4］應(yīng)在直線x=-的左側(cè)或右側(cè)，

2

即有&V2或幺24,解得上W4或左28.

22

【鞏固訓(xùn)練】

1.若函數(shù)/(%)=ar?+Z?X+3Q+/?(Q-1V%<2〃)是偶函數(shù)，則點(diǎn)(a,b)的坐標(biāo)是.

【難度】★

【答案】

【解析】根據(jù)題意可知應(yīng)有a—1+2a=0旦b=0,即a=g目2=0,..?點(diǎn)(。1)的坐標(biāo)是

2已知函數(shù)2)*+以+,且小+2)是偶函數(shù)，則/⑴，吟用)的大小關(guān)系是()

A./(|)</(1)</(1)B./(I)</(1)</(1))

C.D,/(1)</(()</(1)

【難度】★

【答案】A

【解析】由/(x+2)是偶函數(shù)可知函數(shù)/(幻=/+辦+入關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以/⑴=/(3),

又該函數(shù)圖象開口向上，當(dāng)x>2時(shí)單調(diào)遞增，故/(g)</(I)</(g),故答案為A.

3.已知函數(shù)/(x)=必+2ox+2,xe［-5,5］,且函數(shù)在［-5,5］上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是

【難度】★

【答案】。4一5或。之5

二'和二次函數(shù)相關(guān)的函數(shù)的值域和最值問題

【例5】如果函數(shù)/(x)=(x—iy+1定義在區(qū)間%/+1］上，求/(x)的最小值.

【難度】★★

【答案】

/(%)min=1,0</<1

產(chǎn)+1z<0

【解析】函數(shù)/(X)=(X-1)2+1,其對(duì)稱軸方程為X=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),圖象開口向上.

如圖1所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間上/+1］左側(cè)時(shí)，有1</,此時(shí)，當(dāng)X=t時(shí)，函數(shù)取得最小值

2

/（x）min=/（o=a-i）+i.

圖1

如圖2所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間上4+1］上時(shí)，有+即OW/VL當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取

得最小值/(X)min=/'⑴=L

圖2

如圖3所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間［。+1］右側(cè)時(shí)，有/+1<1,即/<0.當(dāng)x=/+l時(shí)，函數(shù)取得

最小值/（乃?1m=/?+l）=『+L

圖3

綜上討論，/(x)mm=1,0<r<l

〃+1f<0

【例6】已知函數(shù)/。)=。必+2奴+1在區(qū)間［-3,2］上的最大值為4,求實(shí)數(shù)a的值.

【難度】★★

3

【答案】或a=—3

8

【解析】/(x)=?(x+l)2+l-?,xe［-3,2］

(1)若a=0,/(x)=L，不符合題意；

3

(2)若a>0,則/(x)3=/(2)=8a+l,由8a+l=4,得。=—；

8

(3)若。<0時(shí)，則/(%)111ax=/(—1)=1—a,由1—a=4,得a=—3；

3、

綜上知a=—或a=-3

8

Y2

【例7】已知函數(shù)/(%)=啜+%在區(qū)間［北川上的最小值是3加，最大值是3〃，求加，〃的值.

【難度】★★

【答案】m=—4,n=0

【解析】由/(%)=-工(九一1)2+工，知?jiǎng)t［加,利］口(-00,1］,

2226

f(x)——3n

又?.?在［7〃,汨上當(dāng)X增大時(shí)/(X)也增大所以〈八，解得771=-4,〃=O.

J(x)1rali=/(m)=3m

【例8】函數(shù)y=VTFI++Jl-x2的值域是

【難度】★★

【答案】［V2,3］

【解析】設(shè)+則〃=2+2jl—%2,貝uJ1—

22

:.2<e<4,故行孕<2,又因?yàn)閥=/+42=52+—i,所以原函數(shù)的值域?yàn)椴窔v,3］

【例9】已知函數(shù)y=J匚1+71+3的最大值為M,最小值為加，則/的值是

【難度】★★

【答案】，

【解析】由題意得<1：；：；,解得—3WxWl,y2=4+2j（l—山+3）=4+2,—（x+iy+4,

mV2

所以當(dāng)x=—1時(shí)，y的最大值〃=2后，當(dāng)x=—3或1時(shí)，y的最小值m=2

~M~^~

【鞏固訓(xùn)練】

1.若函數(shù)y=2—無e[0,4]的取值范圍是.

【難度】★

【答案】[0,2]

2.設(shè)/(x)=x2-4x-4,xe[?J+1]。eR),求函數(shù)/(x)的最小值g⑺的解析式.

【難度】★★

廠--7/e(-8,1)

【答案】g⑺=—8/e[l,2]

3.函數(shù)y=爐+4&-2尤2的值域是

【難度】★★

【答案】-,4

_2_

______]_.2

【解析】令t=^l-2x2,則/=二_,由％220和非負(fù)性得到0＜，＜1,則

2

[一戶11「1一

y-------=—產(chǎn)+4%H—，可得原函數(shù)的值域?yàn)橐?4

2222

4.函數(shù)y=Vx-3+j5-x的值域?yàn)?/p>

【難度】★★

【答案】[V2,2]

3>0_________

【解析】由題意得—,解得3WxW5,y2=2+2)(九一3)(5一%)=2+2)—(龍一4)2+1,

5-x>0

所以可得2</<4,由y的非負(fù)性知原函數(shù)的值域?yàn)椴窔v,2]

3

5.已知二次函數(shù)〃"=依29+(2?！?及+1在區(qū)間[—5,2]上的最大值為3,求實(shí)數(shù)Q的值.

【難度】★★★

12

【答案】。=—或。=一一

23

【解析】這是一個(gè)逆向最值問題，若從求最值入手，需分。>0與。<0兩大類五種情形討論，過程

繁瑣不堪.若注意到最大值總是在閉區(qū)間的端點(diǎn)或拋物線的頂點(diǎn)處取到，因此先計(jì)算這些點(diǎn)的函數(shù)

值，再檢驗(yàn)其真假，過程就簡(jiǎn)明多了.

具體解法為：

(1)令/(_^^)=3,得a=—1

2a2

31

此時(shí)拋物線開口向下，對(duì)稱軸方程為％=—2,且-2w[-^,2],故--不合題意；

22

(2)令/(2)=3,得

此時(shí)拋物線開口向上，閉區(qū)間的右端點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，故。=!符合題意；

2

32

(3)若/(——)=3,得。=——

23

2

此時(shí)拋物線開口向下，閉區(qū)間的右端點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，故〃=--符合題意.

3

12

綜上，a=一或。=—.

23

三、一元二次方程根的分布

【例10］求實(shí)數(shù)m的范圍，使關(guān)于x的方程/+2(相—1)X+2M+6=0.

(1)有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比2大，一個(gè)比2小.

(2)有兩個(gè)實(shí)根a,夕，且滿足0<c<1</?<4.

(3)至少有一個(gè)正根.

【難度】★★

75

【答案】(1)m<-l;(2)----<m<——;(3)m<-1

54

【解析】y=/(x)-x2+2(m-l)x+2m+6.

(1)依題意有/(2)<0,即4+4(m—l)+2〃z+6<0,得根<—1

⑵依題意有

/(0)=2m+6>0

75

\/(I)=4m+5<0解得：---<m<——.

54

/(4)=10m+14>0

(3)方程至少有一個(gè)正根，則有三種可能:

A>0m<-1或機(jī)>5

①有兩個(gè)正根，此時(shí)可得＜f(0)>0，即<m>-3—3<m<—1.

冽心>0m<l

-2

②有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，此時(shí)可得/(0)＜0,得加＜—3.

6+2m=0

③有一個(gè)正根，另一根為0,此時(shí)可得＜m=—3.

2(m-l)<0

綜上所述，得mW-1

【例11］已知。是實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=2奴②+2x-3-a,如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［—1,1］上有零點(diǎn),

求a的取值范圍.

【難度】★★

_3_yfy

【答案】Y或二之1

【解析】函數(shù)y=/(X)在區(qū)間［—1,1］上有零點(diǎn)，即方程/(x)=2a?+2x-3-a=0在［-1,1］上有解,

。=。時(shí)，不符合題意，所以a#。，方程/(%)=(在［—1,1］上有解。1)"(1)WO或

叭1)>0

△=4+80(3+0注°01￡^5或。<^^或。之50?！碸^或^1.

122

—￡[—1.1]

a

_3_

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是a＜二^—或a21.

【例12】對(duì)于函數(shù)/(x),若存在光()eH,使/(%)=/，則稱X。是/(X)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，已知函

數(shù)/(%)=加+(Z?+l)x+(Z?-l)(?w0).

(1)當(dāng)a=l3=—2時(shí)，求函數(shù)/(x)的不動(dòng)點(diǎn)；

(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)匕，函數(shù)/(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求。的取值范圍.

【難度】★★

【答案】見解析

【解析】(1)/(%)=X2-X-3,5是/(X)的不動(dòng)點(diǎn)，則/(尤)=/2-/一3=%，得％=-1或

%=3,函數(shù)/(X)的不動(dòng)點(diǎn)為—1和3.

(2)：函數(shù)/(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，，/(x)—x=ajc2+bx+(b-l)=0恒有兩個(gè)不等的實(shí)根,

△=/—4a(6—l)=/—4ab+4a>0對(duì)恒成立，/.(4?)2-1&<C,得a的取值范圍為

(0,1).

【例13】設(shè)二次函數(shù)/(x)=a\+(c?0,方程/(x)—玲(的兩個(gè)根和々滿足

0<%!<%<—.

2a

(1)當(dāng)無￡(0,玉)時(shí)，證明X</(X)<M；

(2)函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于直線x=/對(duì)稱，證明：x0<y.

【難度】★★★

【答案】見解析

【解析】(1)由題意可知-x=a(x-x^x-x2)

0<x<Xj<x2a(x-xj(x-x2)>0,.?.當(dāng)當(dāng)x￡(0,玉)時(shí)，/(x)>x.

a一

又/(x)-x1=a(x-xr)(x-x2)+x-xl=(x-)(ax-ax2+1),

%一再<0且。九一。犬2+1>1一。九2〉0，二/(工)<%，綜上可知，所給問題獲證.

°b-1

(2)由題意f(x)-x=ax+(b-l)x+c,它的對(duì)稱軸方程為冗二----，

-2a

由方程/(X)—X=O的兩個(gè)根石,％2滿足0<芯<%2〈工，可得

a

?b-11口b-1b-1

t)<%<----<XV-且------%1=X?------,

—2a2ci—2a—2。

.b—1_b—11b—1

????Xi—x0<,

—2?！?aa—2a

b—b,,x

即nn---<玉，而毛=-----，故無。<—}?

a2a2

【鞏固訓(xùn)練】

1.已知方程41+2(m一l)x+(2m+3)=0(根eR)有兩個(gè)負(fù)根，求加的取值范圍.

【難度】★

【答案】m>ll

2.已知拋物線丁=2f-7加+m與直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)(0,0),(1,1)為端點(diǎn)的線段(除去兩個(gè)端點(diǎn))

有公共點(diǎn)，求切取值范圍.

【難度】★★

【答案】(—8,0)(0,3-272]

3.已知關(guān)于x的二次方程式+27nx+2m+1=0.

（1）若方程有兩根，其中一根在區(qū)間（-1,0）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1,2）內(nèi)，求加的范圍.

（2）若方程兩根均在區(qū)間（0,1）內(nèi)，求機(jī)的范圍.

【難度】★★

【答案】（-?I',-、）；（-彳,1-五］

622

4.二次函數(shù)/(x)=px?+qx+廠中實(shí)數(shù)滿足一H——-——F—=0,其中加>0,求證:

'm+2m+1m

(1)川(7)<0；

(2)方程/(x)=0在(0,1)內(nèi)恒有解.

【難度】★★★

【答案】見解析

【斛析】(1)pf{——-)=p[p(——-)-+<7(——-)+r]

m+1m+1m+1

pmqrpmp

=pm[r---------H--------1——J=pm[]

(m+1)m+1m(m+1)2m+2

m(m+2)-(m+1)2

=小2[r(2而說)一]n

=p2m

(m+l)2(m+2)

rn

由于/(x)是二次函數(shù)，故pwO,又加>0,所以，pf{--)<0.

m+1

(2)由題意,得/(0)=r,/(1)="+q+r,

rn

①當(dāng)2>0時(shí)，由(1)知/(——)<0,

m+1

若r>0,則/(0)>0,又/(一生一)<0,所以/(x)=。在(0,—經(jīng)一)內(nèi)有解；

m+1m+1

若貝11/(1)=p+q+r=/7+(m+l)(------------—)+r=------—>0,

m+2mm+2m

又/(“一)<0,所以/(x)=。在(/L,1)內(nèi)有解?

m+1m+1

②當(dāng)。<0時(shí)同理可證.

故方程/(x)=0在(0,1)內(nèi)恒有解.

四、二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式的聯(lián)系

【例14］是否存在實(shí)數(shù)a、b、c,使關(guān)于x的不等式依2+區(qū)+。>。的解為一L<x（工？若存在,

32

請(qǐng)解不等式—法—。<0；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【難度】★

【答案】存在，「<0且人=—^a,c=—工。時(shí)滿足條件；不等式解集為（TO,—2）（3,^o）

x~_x_2>0<、

【例15】已知不等式組{,的整數(shù)解的集合是1-2},求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

2/+（2左+5）x+5左<0

【難度】★★

【答案】-3<k<2

【例16】已知二次函數(shù)/(同=依2+公+。的圖象過點(diǎn)(―1,0),問是否存在常數(shù)a、b、C,使不等

式x4/(x)<；(l+x2)對(duì)一切xeH都成立？

【難度】★★★

【答案】見解析

【解析】假設(shè)存在常數(shù)〃、b、。滿足題意，

,.,/(X)的圖象過點(diǎn)(—1,0)??**f(—1)=ci—b+c=0@

又；不等式x</(x)<g(1+/)對(duì)一切尤eH都成立，

.?.當(dāng)尤=1時(shí)，l</(l)<g(l+F),即lWa+b+cWl,.??a+/?+c=l②

由①②可得：ti+c——1f(JV)—cix^+—x+(――a),

由尤</(%)<；(1+%2)對(duì)一切R都成立得：x<ax2+gx+(；-a)4；(1+%2)恒成立,

11

ax2——%+(——a)>0

???<22的解集為R,

(2a—I)%2+x—2a<0

2〃一1<0a>0a<—1

\11且《，即《_且42,??a=—

——4a(——a)<0[l+8a(2a—1)<0[(l-W<024

、42[U—4a)—u

c=L,.?.存在常數(shù)a=L/=Lc=L使不等式x</(x)〈工(1+/)對(duì)一切xeH都成立.

44242

【鞏固訓(xùn)練】

1.不等式9—依—6<0的解集為（2,3）,貝I不等式法2—公―1>。的解集為.

【難度】★

【答案】口,一］

2.已知關(guān)于x的不等式0￡X2+辦+5<4恰好有一個(gè)解，則。的值為.

【難度】★★

【答案】±2

3.不等式2%2—X—1>。的解集為A,集合6=卜（2工+5）（%+。）<。}.設(shè)z為整數(shù)集，若

An5nz={-「2},則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【難度】★★

【答案】［—2,1）

五'二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題

【例17】“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn).研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚

時(shí)，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長(zhǎng)速度V（單位：千克/年）是養(yǎng)殖密度X（單位：尾

/立方米）的函數(shù).當(dāng)X不超過4（尾/立方米）時(shí)，v的值為2（千克/年）；當(dāng)4KxW20時(shí)，v是x

的一次函數(shù)；當(dāng)x達(dá)到20（尾/立方米）時(shí)，因缺氧等原因，v的值為0（千克/年）.

（1）當(dāng)0<xV20時(shí)，求函數(shù)v（九）的表達(dá)式;

(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時(shí)，魚的年生長(zhǎng)量(單位：千克/立方米)/(x)=x“(x)可以達(dá)到最大,

并求出最大值.

【難度】★★

【答案】見解析

【解析】⑴由題意：當(dāng)0<xW4時(shí)，v(x)=2；

當(dāng)4<xW20時(shí)，設(shè)v(x)=ax+b,顯然v(x)=ox+b在［4,20］是減函數(shù),

1

a=——

20a+b=0解得8

由已知得<I

4〃+人=2

b=-

[2

2,0<x<4,xeN*

故函數(shù)y(x)=4i5

——x+—，4<X<20,XGN

[82

2%,0<xK4,xeN*

(2)依題意并由(1)可得y(x)=.

125

4KxK20”N*.

I82

當(dāng)0WXW4時(shí)，/'(X)為增函數(shù)，^Znax(^)=/(4)=4X2=8'

2

當(dāng)4WxW20時(shí)，/(X)=--X2+-X=--(X2-20X)=--(X-10)2+—,

v782888

4⑴="0)=125.

所以，當(dāng)0<xW20時(shí)，/(X)的最大值為12.5.

當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時(shí)，魚的年生長(zhǎng)量可以達(dá)到最大，最大值約為12.5千克/立方米.

【例18】某倉(cāng)庫(kù)為了保持庫(kù)內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的

下部ABCD是矩形，其中A3=2米，BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點(diǎn)E為A3的中

點(diǎn).AEMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通風(fēng)），是可以沿設(shè)施邊框

上下滑動(dòng)且始終保持和AB平行的伸縮橫桿.

（1）設(shè)與A3之間的距離為x米，試將AEMN的面積S（平方米）表示成關(guān)于x的函數(shù);

（2）求AEMN的面積S（平方米）的最大值.

【難度】★★★

【答案】見解析

【解析】（1）①如圖1所示，當(dāng)"N在矩形區(qū)域滑動(dòng)，

即0<xWl時(shí)，AEW的面積S=LX2XX=X；

2

②如圖2所示，當(dāng)在三角形區(qū)域滑動(dòng)，

即l<x<l+Q時(shí)，如圖，連接EG,交CD于點(diǎn)、F,交MN于懸H,

E為AB中點(diǎn)，

產(chǎn)為中點(diǎn)，GF^CD,且=

又：MN!/CD,/.AMNGNDCG.

：.3=空,即MN-2[6+1T]

DCGF6

一"(1+3

故的面積S=

綜合可得：

x,(OVxWl)

s=v+h+x.

[—3也I也3]J

（2）①當(dāng)MV在矩形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，S=x,所以有0<SWl；

S=—母》2+（1+苧x

②當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)時(shí),

因而，當(dāng)》=匕@（米）時(shí)，S得到最大值，最大值5=工+且（平方米）.

223

,/-+—>1,AS有最大值，最大值為4+魚平方米.

2323

【鞏固訓(xùn)練】

1.通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，專家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的注意力隨著老師講課時(shí)間的變化而變化，講課開始

時(shí)，學(xué)生的興趣激增；中間有一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分

散，設(shè)/⑺表示學(xué)生注意力隨時(shí)間分鐘）的變化規(guī)律（/⑺越大，表明學(xué)生的注意力越集中），

經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析得知：

-r2+24/+100,0</<10

/⑺=<240,10<?<20

—7/+380,20</V40

（1）講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最為集中？能持續(xù)多少分鐘？

（2）講課開始后5分鐘和講課開始后25分鐘比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更為集中？

（3）一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到180,那么經(jīng)過適當(dāng)安排，

老師能否在學(xué)生達(dá)到所需狀態(tài)下講授完這道題目？

【難度】★★

【答案】見解析

【解析】（1）—產(chǎn)+241+100=—?—12）2+244

則/⑺最大值為240,即開課開始后10分鐘，學(xué)生的注意力最為集中，能持續(xù)10分鐘.

（2）*5）=195,/（25）=205,/（25）>/（5）,所以開課后25分鐘學(xué)生的注意力更為集中.

(3)/(0>180

當(dāng)0W/W10時(shí)，一產(chǎn)+2夕+100之180,4<r<10；

當(dāng)10</W20時(shí)，2402180恒成立;

當(dāng)20</W40時(shí)，一7f+3802180，t<-

7

則te[4,迎]時(shí)，學(xué)生注意力至少達(dá)到180,2（）（^-4>24,則從第4分鐘開始講課，老師可以在

77

學(xué)生達(dá)到所需狀態(tài)下講授完這道題目.

2.某企業(yè)為打入國(guó)際市場(chǎng)，決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn).已知投資生產(chǎn)這兩

種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：（單位：萬美元）

年固定每件產(chǎn)品每件產(chǎn)品每年最多可

類別成本成本銷售價(jià)生產(chǎn)的件數(shù)

A產(chǎn)品20m10200

B產(chǎn)品40818120

其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，m為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價(jià)格決定，

預(yù)計(jì)me[6,8].另外，年銷售x件B產(chǎn)品時(shí)需上交0.05V萬美元的特別關(guān)稅.假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)

品都能在當(dāng)年銷售出去.

（I）寫出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤(rùn)%,為與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)%之間的函數(shù)

關(guān)系并指明其定義域；

（II）如何投資才可獲得最大年利潤(rùn)？請(qǐng)你做出規(guī)劃.

【難度】★★★

【答案】見解析

【解析】（1）由年銷售量為x件，按利潤(rùn)的計(jì)算公式，有生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品的年利潤(rùn)%,為分別為:

=10xx-（20+/m;）=（10-m）x-200WxW200且xeN

%=18xx-（40+8x）-0.05x2=-O.O5%2+10x-40

y2=-0.05（x-IO。）?+460,0<x<120,xeN.

（2）9.96<m<8,,10—m>0,...%=（10-根）%一20為增函數(shù)，

又04%?200,%￡/^/.％=200時(shí)，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤(rùn)為（10—加）義200—20=1980—20（歷t（萬

美元），又為=-0.05（x—100y+460,04尤<120,xwN.."=100時(shí)，生產(chǎn)B產(chǎn)品有最大利潤(rùn)為

460（萬美元）.

現(xiàn)在我們研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤(rùn)最大，為此，我們作差比較：

>0,6<m<7.6

（）max-（y2）max=（1980-200m）-460=1520-200m=0,m=7.6

<0,7.6<m<8

所以：當(dāng)6Wm<7.6時(shí)，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤(rùn)；

當(dāng)m=7.6時(shí)，生產(chǎn)A產(chǎn)品與生產(chǎn)B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤(rùn)；

當(dāng)7.6〈機(jī)W8時(shí)，投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤(rùn).

六、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

【例19】直線y=l與曲線y=f-|x|+a有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【難度】★★

【答案】l<a<-

4

【例20］設(shè)函數(shù)/(%)=%國(guó)+瓜+(;(%€尺)給出下列4個(gè)命題

①當(dāng)b=O,c=O時(shí)，/(x)=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)c=O時(shí)，y=/(x)是偶函數(shù)；

③函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,c)對(duì)稱；

④當(dāng)bw0,cw0時(shí)，方程/(x)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

上述命題中，所有正確命題的序號(hào)是.

【難度】★★

【答案】①③

【例21】對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=/(x),若同時(shí)滿足：①/(x)在D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②

存在區(qū)間使/(x)在［a,b］上的值域?yàn)椋邸?同，那么把y=/(x)(尤e。)叫做閉函數(shù).

Y1

(1)判斷函數(shù)/(%)=—+—,尤￡(0,+00)是否為閉函數(shù)？并說明理由；

2x

(2)若/(%)=左+是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【難度】★★★

【答案】見解析

【解析】(1)函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增也不單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù).

(2)若/(x)=k+Jx+2是閉函數(shù),:函數(shù)/(幻=左+石石在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

a=+二/為方程無=左+五”的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

b-左+Jb+2

方程g(x)=x2-(2k+l)x+k2-2=0(x>k)有兩個(gè)不相等的實(shí)根.

A>0

實(shí)數(shù)上的取值范圍為1—g,—2.

...有4g(k)>0,解得keI-,

2k+1,

-------->k

2

【例22】設(shè)aeR,函數(shù)/(x)-x-\x-a\+2x.

(1)若a=2,求函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,3］上的最大值;

(2)若a>2,寫出函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間(不必證明);

(3)若存在ae［-2,4］,使得關(guān)于x的方程/(x)=/./(a)有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)f的取

值范圍.

【難度】★★★

x2x>2;

【答案】(1)當(dāng)a=2,xe[0,3]時(shí)，f(x)=x-\x-2\+2x=<

-x2+4x,0<x<2.

作函數(shù)圖像(圖像略)，可知函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,3］上是增函數(shù)，所以/(幻的最大值為"3)=9.

x2+(2-d)x,x>a,

(2)/(%)=

-x2+(2+d)x,x<a.

①當(dāng)尤2a時(shí)，/⑴=〃22)~

n—2

因?yàn)椤?gt;2,所以——<a,

2

所以/(%)在［a,+8)上單調(diào)遞增.

a+22I(a+2)2

②當(dāng)x<a時(shí)，/(%)=-x------

24

因?yàn)閍>2,所以"2<a,所以/(x)在1-oo,"2上單調(diào)遞增，在"2，a上單調(diào)遞減.

2I2」L2_

綜上，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是1-8,3q2和［a,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是等，a.

。Io

(3)①當(dāng)—2WaW2時(shí)，色萬三《。，色薩2°，所以/(%)在(一8，+8)上是增函數(shù)，關(guān)于x的

方程于(x)=t-/(?)不可能有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.

②當(dāng)2<aW4時(shí)，由(1)知/(幻在1—8,3^和［a,+8)上分別是增函數(shù)，在，。上

是減函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)2a“/(a)<一時(shí)，方程小)="⑷有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.

(a+2)2

即1</<

8a8(aJ

4

令g(a)=a+—,g(a)在?！?2,4］時(shí)是增函數(shù)，故g(〃)max=5.

a

所以，實(shí)數(shù)r的取值范圍是］,?!

【鞏固訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)/(x)=x|x-a|+2x,若a>0,關(guān)于x的方程/(x)=9有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則。

的取值范圍是.

【難度】★★

【答案】卜，力

2.已知函數(shù)一2依+。|,xeR.給出下列命題：

①/(￡)必是偶函數(shù)；

②/(0)=/■⑵時(shí)，/(x)的圖像必關(guān)于直線x=l對(duì)稱；

③若/—bvo,則廣⑴在區(qū)間［a,+oo)上是增函數(shù)；

①/(x)有最大值1/一切.

其中，正確命