人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)17.1 勾股定理　　教案

課題第十七章勾股定理§17.1勾股定理（一）時(shí)間教學(xué)目的知識(shí)與技能了解勾股定理的文化背景，體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程.過(guò)程與方法通過(guò)觀察、歸納、猜想和驗(yàn)證勾股定理，體驗(yàn)由特殊到一般的探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法和數(shù)形結(jié)合的思想.情感態(tài)度與價(jià)值觀1．通過(guò)對(duì)勾股定理歷史的了解，感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.2．對(duì)比介紹我國(guó)古代和西方數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的研究，對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育.教學(xué)重點(diǎn)探索和證明勾股定理.教學(xué)難點(diǎn)用拼圖的方法證明勾股定理.教學(xué)手段用多媒體課件教學(xué)內(nèi)容和過(guò)程一、復(fù)習(xí)提問(wèn)1、三角形的三邊關(guān)系是什么？2、直角三角形的三邊有什么關(guān)系？①兩邊之和大于第三邊；②斜邊大于任何一條直角邊；③30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等.3、介紹直角三角形各邊的古代名：勾：較短的直角邊；股：較長(zhǎng)的直角邊；弦：斜邊二、引入1、2002年北京召開(kāi)了被譽(yù)為數(shù)學(xué)界“奧運(yùn)會(huì)”的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，這就是當(dāng)時(shí)采用的會(huì)徽.你知道這個(gè)圖案的名字嗎？你知道它的背景嗎？你知道為什么會(huì)用它作為會(huì)徽嗎？2、相傳2500年前，古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用地磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)同學(xué)們也觀察一下，看看能發(fā)現(xiàn)什么？(1)引導(dǎo)學(xué)生觀察三個(gè)正方形之間的面積的關(guān)系；(2)引導(dǎo)學(xué)生把面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系.結(jié)論：等腰直角三角形三邊的特殊關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.3、等腰直角三角形有上述性質(zhì)，其它直角三角形也有這個(gè)性質(zhì)嗎？（書(shū)P65探究）4、計(jì)算機(jī)演示(1)如圖：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，改變a、b、c的長(zhǎng)度，但始終保持∠ACB=90°，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，測(cè)算，，，的值.取其中幾組測(cè)算值，讓學(xué)生觀察這幾個(gè)數(shù)值之間的關(guān)系？提問(wèn)：哪些量是不變的？（∠ACB=90°）哪些關(guān)系是不變的？（）(2)演示銳角三角形、鈍角三角形三邊的平方是否存在這種關(guān)系？因此這個(gè)結(jié)論只適用于是直角三角形.三、新課讓學(xué)生敘述猜想、畫(huà)圖，并說(shuō)出已知、求證.命題1：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么.已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b，c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊.求證：到目前為止，對(duì)這個(gè)命題的證明方法已有幾百種.下面，我們就來(lái)看一看我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽是怎樣證明這個(gè)命題的提問(wèn)：拼接后的圖形是否是由原4個(gè)直角三角形和小正方形沒(méi)有重疊、沒(méi)有空隙地拼成的？拼接后的圖形是什么圖形？由此得到：小結(jié)：這種證法是面積證法．圖形割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊、沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變．下面介紹另一種拼圖的證法：（選講）做八個(gè)全等的直角三角形和分別以a、b、c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形.拼成如下兩個(gè)圖形：提問(wèn)：①這兩個(gè)圖形分別是什么圖形？（正方形，四條邊都相等，四個(gè)角都為直角）②這兩個(gè)圖形的面積相等嗎？（相等，都等于）③如何利用這兩個(gè)圖形證明：？勾股定理：(P65)如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么.幾何語(yǔ)言：∵Rt△ABC中，∠C=90°∴（勾股定理）（或，，等.）注：①勾股定理存在于直角三角形中，運(yùn)用勾股定理必須具備“直角”的條件；②勾股定理說(shuō)明了直角三角形中三邊之間的關(guān)系．在直角三角形中，已知任意兩邊的長(zhǎng)，就可以求出第三邊的長(zhǎng).③運(yùn)用勾股定理要注意哪個(gè)角是直角，由此確定哪條邊是斜邊，抓住“斜邊的平方等于兩直角邊的平方和”；④無(wú)論求斜邊，還是求直角邊，最后都要開(kāi)平方.開(kāi)平方時(shí)，由于邊長(zhǎng)為正，所以取算術(shù)平方根；⑤勾股定理是直角三角形的一條重要性質(zhì)，它由一個(gè)角是直角作“因”，三邊的數(shù)量關(guān)系作“果”，體現(xiàn)了由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，是數(shù)形結(jié)合思想的一個(gè)典范.⑥勾股定理不僅是最古老的數(shù)學(xué)定理之一，也是數(shù)學(xué)中證法最多的一個(gè)定理.目前世界上已有幾百種證法，就連美國(guó)第20屆總統(tǒng)加菲爾德也提供了一種面積證法.請(qǐng)同學(xué)們課下閱讀書(shū)上P71~72.例、(1)已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，求AB.(2)已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5，BC=6，求AC.(3)已知Rt△ABC中，∠B=90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，c∶a=3∶4，b=15，求a，c及斜邊高線(xiàn)h.解：先畫(huà)圖(1)∵Rt△ABC中，∠C=90°∴（勾股定理）∴===10(2)(3)∵c∶a=3∶4∴設(shè)a=4k，c=3k∵Rt△ABC中，∠B=90°∴（勾股定理）∴（舍負(fù)）∴a=4k=12，c=3k=9∵∠ABC=90°，h是斜邊高線(xiàn)∴ac=bh∴h===∴a=12，c=9，h=四、課堂小結(jié)1、勾股定理從邊的角度刻畫(huà)了直角三角形的又一特征；2、勾股定理把直角三角形“形”的特征，即一角為90°，轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.五、課堂練習(xí)如圖，所有的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)是a，則圖中四個(gè)小正方形A、B、C、D的面積之和是.（）六、作業(yè)見(jiàn)素材課后反思課§17.1勾股定理（二）時(shí)間教學(xué)目的知識(shí)與技能1、利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題.2、從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，利用勾股定理解決，滲透建模思想和數(shù)形結(jié)合思想和方程思想.過(guò)程與方法運(yùn)用勾股定理解決與直角三角形相關(guān)的問(wèn)題.情感態(tài)度與價(jià)值觀1、通過(guò)研究一系列富有探究性的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生與他人交流、合作的意識(shí)和品質(zhì)．2、通過(guò)對(duì)勾股定理的運(yùn)用體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.教學(xué)重點(diǎn)勾股定理的應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用．教學(xué)手段講練結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和過(guò)程一、復(fù)習(xí)提問(wèn)1、勾股定理？應(yīng)用條件？2、證明方法？（面積法）3、在長(zhǎng)方形ABCD中，寬AB為1m，長(zhǎng)BC為2m，求AC的長(zhǎng)．答：AC的長(zhǎng)為．二、新課例1、一個(gè)門(mén)框的尺寸如圖所示：(1)若有一塊長(zhǎng)3米，寬0.8米的薄木板，能否從門(mén)框內(nèi)通過(guò)？(2)若有一塊長(zhǎng)3米，寬1.5米的薄木板，能否從門(mén)框內(nèi)通過(guò)？(3)若有一塊長(zhǎng)3米，寬2.2米的薄木板，能否從門(mén)框內(nèi)通過(guò)？分析：(3)木板的寬2.2米大于1米，所以橫著不能從門(mén)框內(nèi)通過(guò)．木板的寬2.2米大于2米，所以豎著不能從門(mén)框內(nèi)通過(guò)．因?yàn)閷?duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng)度最大，所以只能試試斜著能否通過(guò)．所以將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．解：(3)∵在Rt△ABC中，∠B=90°∴AC2=AB2+BC2(勾股定理)∴AC==≈2.236∵AC≈2.236>2.2∴木板能從門(mén)框內(nèi)通過(guò)（書(shū)上P67填空）小結(jié)：此題是將實(shí)際為題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，從中抽象出Rt△ABC，并求出斜邊AC的長(zhǎng).例2、如圖，一個(gè)3米長(zhǎng)的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO的距離為2.5米．如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米嗎？（計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）分析：要求出梯子的底端B是否也外移0.5米，實(shí)際就是求BD的長(zhǎng)，而B(niǎo)D=OD-OB解：∵在Rt△ABO中，∠AOB=90°∴OB2=AB2-AO2(勾股定理)∴OB===≈1.658∵OC=AO-AC∴OC=2.5-0.5=2∵在Rt△COD中，∠COD=90°∴OD2=CD2-CO2(勾股定理)∴OD===≈2.236∴BD=OD-OB≈2.236-1.658≈0.58答：梯的頂端A沿墻下滑0.5米時(shí)，梯子的底端B外移約0.58米．例3、一個(gè)大樹(shù)高8米，折斷后大樹(shù)頂端落在離大樹(shù)底端2米處，折斷處離地面的高度是多少？分析：方程思想解：設(shè)AB=xm，則AC=(8-x)m∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°∴AB2+BC2=AC2∴x=3.75∴折斷處離地面的高度是3.75m.小結(jié)：1、方程思想.2、勾股定理是此題的等量關(guān)系.三、課堂練習(xí)1、已知：△ABC為等邊三角形，AD⊥BC于D，AD=6.求AC的長(zhǎng).解：∵△ABC為等邊三角形∴AB=AC=BC∵AD⊥BC∴DC=BC∴DC=AC設(shè)DC=x，則AC=2x∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°∴AD2+DC2=AC2(勾股定理)∴（舍負(fù)）∴2、如圖，要修建一個(gè)蔬菜大棚，大棚的截面是直角三角形，棚寬m=4米，高n=2米，長(zhǎng)d=15米，求覆蓋在頂上的塑料薄膜需多少平方米？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后1位）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°∴AB2=m2+n2(勾股定理)∴AB===∴S=AB?d=×15≈4.472×15=67.08≈68（平方米）注意：這里要取過(guò)剩近似值.四、課堂小結(jié)1、勾股定理的作用——它把直角三角形的圖形特征轉(zhuǎn)化為邊的數(shù)量關(guān)系.2、會(huì)用勾股定理進(jìn)行有關(guān)計(jì)算和證明，要注意利用方程的思想求有關(guān)三角形的邊長(zhǎng).3、會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，從而解決實(shí)際問(wèn)題.五、作業(yè)見(jiàn)素材課后反思課§17.1勾股定理（三）時(shí)間教學(xué)目的知識(shí)與技能1、會(huì)在數(shù)軸上表示（n為正整數(shù)）.2、利用勾股定理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)一步滲透方程思想和數(shù)形結(jié)合思想.過(guò)程與方法運(yùn)用勾股定理解決與直角三角形相關(guān)的問(wèn)題.情感態(tài)度與價(jià)值觀1、通過(guò)研究一系列富有探究性的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生與他人交流、合作的意識(shí)和品質(zhì)．2、通過(guò)對(duì)勾股定理的運(yùn)用體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.教學(xué)重點(diǎn)勾股定理的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)利用勾股定理建立方程.教學(xué)手段講練結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和過(guò)程一、復(fù)習(xí)提問(wèn)1、勾股定理？2、解決有關(guān)直角三角形問(wèn)題常用方程思想.二、新課例1、（書(shū)P68）我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無(wú)理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫(huà)出表示的點(diǎn)嗎？分析：(1)若能畫(huà)出長(zhǎng)為的線(xiàn)段，就能在數(shù)軸上畫(huà)出表示的點(diǎn).(2)由勾股定理知，直角邊為1的等腰Rt△，斜邊為．因此在數(shù)軸上能表示的點(diǎn)．那么長(zhǎng)為的線(xiàn)段能否是直角邊為正整數(shù)的直角三角形的斜邊呢？解：∵在Rt△ABC中，∠OAB=90°，OA=3，AB=2∴OB==∴在數(shù)軸上取點(diǎn)A，使OA=3，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OA于A，使AB=2，以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)C即為表示的點(diǎn).思考：怎樣在數(shù)軸上畫(huà)出表示（n為正整數(shù)）的點(diǎn)？利用勾股定理，可以做出長(zhǎng)為（n為正整數(shù)）的線(xiàn)段，進(jìn)而可以在數(shù)軸上畫(huà)出表示（n為正整數(shù)）的點(diǎn).（P69）結(jié)論：利用勾股定理，可以做出長(zhǎng)為（n為正整數(shù)）的線(xiàn)段，進(jìn)而在數(shù)軸上可畫(huà)出表示（n是正整數(shù)）的點(diǎn).練習(xí)：書(shū)P69練習(xí)1，（再練，等）例2、已知：如圖，四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°,∠B=∠D=90°.求四邊形ABCD的面積.解：延長(zhǎng)BC與AD交于點(diǎn)E∵∠A=60°，∠B=90°∴∠E=30°∵在Rt△ABE中，∠E=30°∴AE=2AB=4∵在Rt△ABE中，∠B=90°∴∴∵在Rt△DCE中，∠E=30°∴CE=2CD=2∵在Rt△DCE中，∠CDE=90°∴∴∴小結(jié)：通過(guò)添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決問(wèn)題.例3、已知：如圖，在△ABC中，ADBC于D，AB=6，AC=4，BC=8，求BD，DC的長(zhǎng).解：設(shè)BD=x，則CD=8-x∵ADBC∴∠1=∠2=90°∵在Rt△ABD中，∠1=90°∴∵在Rt△ADC中，∠2=90°∴∴（雙勾股）∴∴BD=，CD=8-x=小結(jié)：當(dāng)兩個(gè)直角三角形有公共邊時(shí)，可以利用公共邊作橋梁，建立方程，這種方法稱(chēng)為雙勾股.三、課堂練習(xí)已知矩形ABCD沿直線(xiàn)BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C’處，BC’與AD交于點(diǎn)E，AD=6，AB=4，求DE的長(zhǎng).解：∵矩形ABCD∴BC=AD=6，CD=AB=4，∠C=90°，AD∥BC∵矩形ABCD沿直線(xiàn)BD折疊∴△BC’D≌△BCD∴BC’=BC=6，C’D=CD=4，∠C’=∠C=90°，∠1=∠2∵AD∥BC∴∠2=∠3∴∠1=∠3∴BE=DE設(shè)DE=BE=x，則C’E=6-x∵在Rt△DC’E中，∠C’=90°∴∴∴四、課堂小結(jié)1、在數(shù)軸上畫(huà)出表示（n為正整數(shù)）的點(diǎn)的方法.2、利用輔助線(xiàn)構(gòu)造Rt△.3、利用直角三角形的公共邊構(gòu)造方程，簡(jiǎn)稱(chēng)“雙勾股”.五、作業(yè)見(jiàn)素材課后反思課§17.1勾股定理（四）時(shí)間教學(xué)目的知識(shí)與技能利用勾股定理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)一步滲透方程思想和數(shù)形結(jié)合思想.過(guò)程與方法運(yùn)用勾股定理解決與直角三角形相關(guān)的問(wèn)題.情感態(tài)度與價(jià)值觀1、通過(guò)研究一系列富有探究性的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生與他人交流、合作的意識(shí)和品質(zhì)．2、通過(guò)對(duì)勾股定理的運(yùn)用體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.教學(xué)重點(diǎn)勾股定理的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)利用勾股定理建立方程.教學(xué)手段講練結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和過(guò)程一、復(fù)習(xí)提問(wèn)1、直角三角形的性質(zhì)：(1)直角三角形兩銳角互余.(2)斜邊大于直角邊.(3)直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊一半.(4)勾股定理2、在數(shù)軸上畫(huà)出表示（n為正整數(shù)）的點(diǎn)的方法.二、新課例1、(1)已知直角三角形有一個(gè)銳角為30°，求這個(gè)直角三角形三邊的比值.(2)已知等腰直角三角形，求其三邊的比值.（此題讓學(xué)生練習(xí)）解：(1)設(shè)BC=k∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°∴AB=2BC=2k∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴AC2=AB2-BC2(勾股定理)∴AC==∴BC∶AC∶AB=1∶∶2(2)設(shè)BC=k∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°∴AC=BC=k∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2(勾股定理)∴AB==∴BC∶AC∶AB=1∶1∶小結(jié)：記住以上結(jié)論.例2、某風(fēng)景區(qū)的湖心島有一涼亭A，其正東方向有一棵樹(shù)B，小明想測(cè)量A、B之間的距離，他從湖邊C處測(cè)得A在北偏西45°方向上，測(cè)得B在北偏東30°方向上，且量得B、C之間的距離為100米，根據(jù)上述測(cè)量結(jié)果，請(qǐng)你幫助小明計(jì)算A、B之間的距離是多少？（只分析，不板書(shū)）解：過(guò)C作CD⊥AB于D∵在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠1=30°∴∵在Rt△BCD中，∠CDB=90°∴∵在Rt△CDA中，∠CDA=90°，∠2=45°∴AD=CD=∴米.例3、△ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，猜想的值是否隨點(diǎn)P位置的變化而變化，并證明你的猜想.結(jié)論：不變證明：過(guò)A作AD⊥BC于D∵AB=AC，AD⊥BC∴BD=CD∴BP=BD-PD，PC=CD+PD=BD+PD∴∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∴∵在Rt△APD中，∠ADP=90