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第2章圓與方程2.2直線與圓的位置關(guān)系2.2.3直線與圓的位置關(guān)系(3)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)方案檢測(cè)反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.綜合運(yùn)用直線與圓的位置關(guān)系解決復(fù)雜的問(wèn)題.2.體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想在直線與圓的位置關(guān)系中的應(yīng)用.活動(dòng)方案例1已知圓C的半徑為2,圓心在x軸的正半軸上,直線3x+4y+4=0與圓C相切.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求直線l:x-2y+2=0與圓C相交的弦長(zhǎng).活動(dòng)一求圓的方程【解析】(1)由題意設(shè)圓C的方程為(x-a)2+y2=4(a>0).因?yàn)閳AC與直線3x+4y+4=0相切,所以圓C的方程為(x-2)2+y2=4.(2)圓心C(2,0)到直線l:x-2y+2=0的距離例2已知圓C過(guò)點(diǎn)A(1,2),B(3,4)且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6,求圓C的方程.【解析】
設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.因?yàn)閳AC過(guò)點(diǎn)A(1,2),B(3,4),因?yàn)閳AC在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6,令y=0,則x2+Dx+F=0,故圓C的方程為x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.例3已知圓C:x2+y2-2y-2=0,直線l:mx-y+1+m=0,點(diǎn)P(-1,1).(1)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系,并證明;(2)設(shè)直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程;活動(dòng)二直線與圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用【解析】(1)因?yàn)橹本€l:mx-y+1+m=0過(guò)定點(diǎn)(-1,1),且(-1)2+12-2×1-2=-2<0,所以點(diǎn)(-1,1)在圓C內(nèi),所以直線l與圓C相交.(2)設(shè)M(x,y),當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P不重合,即x≠-1時(shí),連接CM,CP,則CM⊥MP,根據(jù)勾股定理得CM2+MP2=CP2,則x2+(y-1)2+(x+1)2+(y-1)2=1,化簡(jiǎn),得x2+y2+x-2y+1=0(x≠-1);當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí),x=-1,y=1也滿足上式,故弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2+x-2y+1=0.例4已知圓C過(guò)點(diǎn)M(0,-2),N(3,1),且圓心C在直線x+2y+1=0上.(1)求圓C的方程;(2)設(shè)直線ax-y+1=0與圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)a,使得過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線l垂直平分弦AB?若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,所以圓C的方程為x2+y2-6x+4y+4=0.(2)假設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在.因?yàn)橹本€l垂直平分弦AB,所以圓心C(3,-2)必在直線l上,所以直線l的斜率kPC=-2.將直線ax-y+1=0與圓C的方程聯(lián)立,消去y并整理,得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.因?yàn)橹本€ax-y+1=0交圓C于A,B兩點(diǎn),所以Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,故不存在實(shí)數(shù)a,使得過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線l垂直平分弦AB.檢測(cè)反饋【答案】
B245131.設(shè)P為圓x2+y2-2x-4y-4=0上的一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線3x-4y=0距離的取值范圍是(
)A.[2,4] B.[0,4]C.[1,2] D.[0,9]245132.若圓x2+y2=4上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線y=x+b的距離等于1,則b的取值范圍是(
)【答案】
B24533.(多選)(2023淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)已知圓M:(x-2)2+(y-2)2=4與直線l:2kx+y-k-2=0相交于C,D兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則下列說(shuō)法中正確的是(
)12453124531【答案】
ABD24534.由直線x-y+2=0上的點(diǎn)P向圓C:(x-4)2+(y+2)2=1引切線PT(T為切點(diǎn)),則線段PT的最小長(zhǎng)度為_(kāi)_______.124535.(2023龍巖期中)已知圓C的半徑為2,且圓心在直線y=x上,點(diǎn)A(2,4)在圓C上,點(diǎn)B(0,2)在圓C外.(1)求圓C的圓心坐標(biāo);(2)若點(diǎn)D在圓C上,
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