第6章 圖形的相似【單元提升卷】（蘇科版）（解析版）

第6章圖形的相似【單元提升卷】（蘇科版）（滿分120分，完卷時間100分鐘）注意事項：1．本試卷分選擇題、填空題、解答題三部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。單選題（每題3分，共30分）1．如圖．利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度．已知標(biāo)桿BE高1.2m，測得AB＝1.6m．BC＝12.4m．則建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m【答案】B【分析】先證明△ABE∽△ACD，則利用相似三角形的性質(zhì)得，然后利用比例性質(zhì)求出CD即可．【詳解】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴，即，∴CD=10.5（米）．故選B．【點睛】考查了相似三角形的應(yīng)用：借助標(biāo)桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．2．在平面直角坐標(biāo)系中，點E（﹣4，2），點F（﹣1，﹣1），以點O為位似中心，按比例1：2把△EFO縮小，則點E的對應(yīng)點E的坐標(biāo)為（

）A．（2，﹣1）或（﹣2，1） B．（8，﹣4）或（﹣8，4） C．（2，﹣1） D．（8，﹣4）【答案】A【分析】利用位似比為1：2，可求得點E的對應(yīng)點E′的坐標(biāo)為（2，-1）或（-2，1），注意分兩種情況計算．【詳解】∵E（-4，2），位似比為1：2，∴點E的對應(yīng)點E′的坐標(biāo)為（2，-1）或（-2，1）．故選A．【點睛】本題考查了位似的相關(guān)知識，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．注意位似的兩種位置關(guān)系．3．在同一時刻，身高1.6m的小強(qiáng)，在太陽光線下影長是1.2m，旗桿的影長是15m，則旗桿高為（

）A．22m B．20m C．18m D．16m【答案】B【詳解】試題分析：利用在同一時刻身高與影長成比例計算：設(shè)旗桿高為x，根據(jù)題意可得：根據(jù)在同一時刻身高與影長成比例可得：.故選B．考點：相似三角形的應(yīng)用．4．如圖，AC與BD相交于點E，AD∥BC．若AE=2，CE=3，AD=3，則BC的長度是（

）A．2 B．3 C．4．5 D．6【答案】C【詳解】試題分析：因為AD∥BC，所以△ADE∽△CBE,所以,因為AE=2，CE=3，AD=3，所以，所以BC=4．5，故選C．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．5．如圖，CB＝CA，∠ACB＝90°，點D在邊BC上(與B，C不重合)，四邊形ADEF為正方形，過點F作FG⊥CA，交CA的延長線于點G，連接FB，交DE于點Q，給出以下結(jié)論：①AC＝FG；②S△FAB∶S四邊形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【詳解】試題解析：∵四邊形ADEF為正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠GAF+∠AFG=90°，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正確；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，F(xiàn)G⊥CA，∴FG∥BC，∴四邊形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB=FB?FG=S四邊形CBFG，②正確；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正確；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD?FE=AD2=FQ?AC，④正確；故選D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．6．在中，點、分別為邊、的中點，則與的面積之比為A． B． C． D．【答案】C【分析】由點D、E分別為邊AB、AC的中點，可得出DE為△ABC的中位線，則DE∥BC，進(jìn)而得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出△ADE與△ABC的面積之比．【詳解】如圖所示，∵點D、E分別為邊AB、AC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴.故選C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理，利用三角形的中位線定理找出DE∥BC是解題的關(guān)鍵．7．如圖，已知在正方形網(wǎng)格中的兩個格點三角形是位似形，它們的位似中心是()A．點A B．點B C．點C D．點D【答案】A【詳解】如圖，位似中心為點A.故選A.8．四邊形ABCD相似四邊形A'B'C'D'，且AB:A'B'=1:2,已知BC=8，則B'C'的長是(

)A．4 B．16

C．24 D．64【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊長比等于相似比即可解答.【詳解】已知四邊形ABCD相似四邊形A'B'C'D'，且AB:A'B'=1:2,已知BC=8，則B'C'的長=16.即答案選B.【點睛】熟悉掌握相似三角形對應(yīng)邊長比等于相似比這一性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.9．如圖是小瑩設(shè)計用手電來測量某古城墻高度的示意圖．在點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻CD的頂端C處．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且測得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么該古城墻CD的高度是()．A．6米；B．8米；C．10米；D．12米．【答案】B【詳解】解：∵∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，∴△ABP∽△CDP，∴AB：CD=BP：PD，即1.4：CD=2.1：12，解得：CD=8米．故選B．【點睛】本題考查了直角三角形的有關(guān)知識，同時滲透光學(xué)中反射原理，注意到相似三角形，解決本題關(guān)鍵．10．如圖，DE∥BC，AD：DB=1：2，則△ADE和△ABC的相似比為（）A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．2：3【答案】B【詳解】試題解析：∵AD：BD=1：2，∴AD：AB=1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，則△ADE和△ABC的相似比為：AD：AB=1：3，故選B．考點：相似三角形的判定與性質(zhì).填空題（每題3分，共24分）11．若△ABC∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大邊長為15，那么它們的相似比是______，△A′B′C′的周長是______．【答案】

2：5

37.5【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及已知求得相似比，再由相似三角形周長的比等于相似比，即可求得△A′B′C′的周長．【詳解】解：∵△ABC∽△A′B′C′∴相似比是6：15=2：5∵△ABC的周長是15∴△A′B′C′的周長是37.5．故答案為2：5；37.5．【點睛】本題考查了相似三角形周長的比等于相似比的性質(zhì)．12．如圖，△ABC中，A、B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標(biāo)是（﹣1，0）．以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍．設(shè)B′的坐標(biāo)是（3，﹣1），則點B的坐標(biāo)是________．【答案】（﹣3，）．【詳解】試題分析：作BD⊥x軸于D，B′D′⊥x軸于D′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CD，BD的長，得到點B的坐標(biāo)．解：作BD⊥x軸于D，B′D′⊥x軸于D′，∵點C的坐標(biāo)是（﹣1，0），B′的坐標(biāo)是（3，﹣1），∴CD′=4，B′D′=1，由題意得，△ABC∽A′B′C，相似比為1：2，∴==，∴CD=2，BD=，∴點B的坐標(biāo)是（﹣3，）．故答案為（﹣3，）．考點：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．13．已知實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=10,且，則的值是________【答案】【分析】根據(jù)已知條件把所求的式子進(jìn)行整理,即可求出答案;【詳解】解∵a+b+c=10，∴a=10?(b+c),b=10?(a+c),c=10?(a+b)，∴==10()-3∵，∴=10×-3=故答案為.【點睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)，解決本題要熟練掌握比例的基本性質(zhì)，注意整體代入思想的應(yīng)用.14．在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點，△DOE的面積是2，△DOA的面積_____．【答案】4【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E為CD中點，∴DE=CD=AB，∵AB∥CD，∴△AOB∽△EOD，∴，∵△AOD和△DOE等高，∴=，∵△DOE的面積是2，∴△DOA的面積是4，故答案為4．15．如圖，小強(qiáng)和小華共同站在路燈下，小強(qiáng)的身高EF＝1.8m，小華的身高M(jìn)N＝1.5m，他們的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.8m，CN＝1.5m，且兩人相距4.7m，則路燈AD的高度是___．【答案】4m【分析】設(shè)路燈的高度為x(m)，根據(jù)題意可得△BEF∽△BAD，再利用相似三角形的對應(yīng)邊正比例整理得DF=x﹣1.8，同理可得DN=x﹣1.5，因為兩人相距4.7m，可得到關(guān)于x的一元一次方程，然后求解方程即可．【詳解】設(shè)路燈的高度為x(m)，∵EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴，即，解得：DF=x﹣1.8，∵M(jìn)N∥AD，∴△CMN∽△CAD，∴，即，解得：DN=x﹣1.5，∵兩人相距4.7m，∴FD+ND=4.7，∴x﹣1.8+x﹣1.5=4.7，解得：x=4m，答：路燈AD的高度是4m．16．如圖，在△ABC中，AB=7，AC=6，∠A=45°，點D、E分別在邊AB、BC上，將△BDE沿著DE所在直線翻折，點B落在點P處，PD、PE分別交邊AC于點M、N，如果AD=2，PD⊥AB，垂足為點D，那么MN的長是_____．【答案】【詳解】∵∠A=45°，∠ADM=90°，∴∠AMD=45°=∠A，∴DM=AD=2，∵AB=7，∴BD=7-AD=5，∵△BDE沿著DE所在直線翻折得到△PDE，∴PD=BD=5，∠PDE=∠BDE，∴PM=PD-DM=3，∵∠PDE+∠BDE=∠BDP=90°，∴∠BDE=45°=∠A，∴DE//AC，∴△BDE∽△BAC，∴BD：BA=DE：AC，即5：7=DE：6，∴DE=，∵DE//AC，∴△PMN∽△PDE，∴MN：DE=PM：PD，即：MN：=3：5，∴MN=，故答案為.【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，能根據(jù)已知證明出DE//AC是解題的關(guān)鍵.17．已知，則____________【答案】-4【詳解】分析：可以設(shè)=a，進(jìn)而可以得出x、y、z的值，代入所要求的代數(shù)式中即可得出答案．詳解：設(shè)=a，則可以得出：x=2a，y=3a，z=5a，代入中得，原式=．故答案為-4．點睛：本題考查了分式的化簡求值問題，解決此類問題要求不拘泥于形式，能夠根據(jù)不同的條件來得出不同的求解方法．在平時要多加練習(xí)，熟能生巧，解題會很方便．18．如圖，△ABC的兩條中線AD和BE相交于點G，過點E作EF∥BC交AD于點F，那么＝________．【答案】【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)得到AG=2DG，BG=2GE，根據(jù)平行線分線段成比例定理計算即可．【詳解】解：∵△ABC的兩條中線AD和BE相交于點G，∴點G是△ABC的重心，∴AG=2DG，BG=2GE，∵EF∥BC，∴＝=．故答案為．【點睛】本題考查的是三角形的重心的概念和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．三、解答題（共66分）19．如圖，△ABC中，DE//BC，EF//AB．求證：△ADE∽△EFC．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADE=∠B，∠EFC=∠B，∠AED=∠C，等量代換得到∠ADE=∠EFC，于是得到結(jié)論．【詳解】∵ED∥BC，EF∥AB，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠EFC=∠B，∴∠ADE=∠EFC，∠AED=∠C，∴△ADE∽△EFC．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理．20．如圖，一人拿著一支刻有厘米分劃的小尺，他站在距電線桿約30米的地方，把手臂向前伸直，小尺豎直，看到尺上約12個分劃恰好遮住電線桿，已知臂長約60厘米．求電線桿的高．【答案】電線桿的高為6米．【分析】由題意可作出示意圖，由題意可知△ADE∽△AFG，DE=12厘米=0.12米，AB=60厘米=0.6米，AC=30米，，可得出FG的長度，即電線桿的高度．【詳解】由題意可作出下圖：由題意得：DE=12厘米=0.12米，AB=60厘米=0.6米，AC=30米．∵DE∥FG，∴△ADE∽△AFG，∴，∴FG==6米，∴電線桿的高為6米，答：電線桿的高為6米．【點睛】本題考查了相似三角形在實際問題中的運用．21．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，點P、D分別在邊BC、AC上，AP2=AD?AB，求∠APD的正弦值．【答案】.【詳解】試題分析：由AP2=AD?AB，AB=AC，可證得△ADP∽△APC，由相似三角形的性質(zhì)得到∠APD=∠ACB=∠ABC，作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求得AE，由三角函數(shù)的定義可得結(jié)論，試題解析：∵AP2=AD?AB，AB=AC，∴AP2=AD?AC，即，∵∠PAD=∠CAP，∴△ADP∽△APC，∴∠APD=∠ACB=∠ABC，作AE⊥BC于E，∵AB=AC，∴BE=CE=×24=12，∴AE=∴sin∠APD=sin∠ABC=.考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．22．已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于點O，EF經(jīng)過點O且和兩底平行，交AB于E，交CD于F，求證：OE=OF．【答案】詳見解析.【分析】由梯形ABCD中，AD∥BC，EF經(jīng)過點O且和兩底平行，易得△AOD∽△COB，△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論．【詳解】∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴OA：OC=OA：OB，∴OA：AC=OD：BD．∵EF∥BC，∴△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，∴OE：BC=OA：AC，OF：BC=OD：BD，∴OE：BC=OF：BC，∴OE=OF．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△AOD∽△COB，△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC是關(guān)鍵．23．如圖，已知E是平行四邊形ABCD中DA邊的延長線上一點，且AE=AD，連接EC分別交AB，BE于點F、G．（1）求證：BF=AF；（2）若BD=12cm，求DG的長．【答案】（1）詳見解析；（2）DG=8.【分析】（1）欲證BF=AF，只需證△AEF≌△BCF即可．（2）由BC∥DE，得到△BCG∽△DEG，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵平行四邊形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠E=∠BCF．∵AE=AD，∴AE=BC．∵∠AFE=∠BFC，∴△AEF≌△BCF，∴BF=AF．（2）∵BC∥DE，∴△BCG∽△DEG，∴BC：DE=BG：DG．∵DE=2BC，∴DG=2BG，∴DG=BD．∵BD=12，∴DG=8．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形全等．掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．24．如圖5，點P在平行四邊形ABCD的CD邊上，連結(jié)BP并延長與AD的延長線交于點Q．（1）求證：△DQP∽△CBP；（2）當(dāng)△DQP≌△CBP，且AB=8時，求DP的長．【答案】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AQ∥BC,∴△DQP∽△CBP；（2）∵△DQP≌△CBP，∴DP=CP=CD,∵AB="CD=8,"∴DP=4.【詳解】試題分析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AP∥BC,∴△DQP∽△CBP；（2）∵△DQP≌△CBP，∴DP=CP=CD,∵AB="CD=8,"∴DP=4.考點：相似三角形點評：本題屬于對相似三角形的基本性質(zhì)和判定定理的熟練把握，考生要學(xué)會掌握好這些基本判定方式25．如圖，G是邊長為4的正方形ABCD的邊BC上的一點，矩形DEFG的邊EF過A，GD=5．（1）指出圖中所有的相似三角形；（2）求FG的長．【答案】（1）△AFH，△DCG，△DEA，△GBH均是相似三角形；（2）FG=．【分析】（1）根據(jù)都是直角，其余兩個角加起來為90°，根據(jù)對頂角、余角等關(guān)系，可以看出△AFH，△DCG，△DEA，△GBH均是相似三角形．（2）根據(jù)，可以求出FG，由ED=FG，只要求出＝即可，因為△DEA∽△DCG，可以求出．【詳解】解:（1）△AFH，△DCG，△DEA，△GBH均是相似三角形；（2）由∠E=∠C=90°，∠EDA與∠CDG均為∠ADG的余角，得△DEA∽△DCG∴＝，ED=FG，∴，由已知GD=5，AD=CD=4，∴，即FG=．【點睛】在做題過程中，要找全相似三角形，要綜合考慮，不要丟掉一種情況；要掌握相似三角形判定和應(yīng)用．26．在銳角△ABC中，正方形EFGH的兩個頂點E、F在BC上，另兩個頂點G、H分別在AC、AB上，BC=15cm，BC邊上的高是10cm，求正方形的面積．【答案】

【分析】過A作AD⊥BC，交BC于點D，交HG于點M，則可證明△AHG∽△ABC，進(jìn)而求出HG的長，即可解決問題．【詳解】作AD⊥BC，交BC于點D，交HG于點M，∵四邊形EFGH是正方形，∴EH=MD=HG，設(shè)正方形的邊長HG=x，則AM=10﹣x，且AM⊥GH．∵HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴=，即=，解得：x=6，∴S正方形HEFG=36（cm2）．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點的應(yīng)用問題，作輔助線，構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．27．如圖，正方形ABCD的邊長為10，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于點H，AH=10，連接BD，分別交AE、AH、AF于點P、G、Q．（1）求△CEF的周長；（2）若E是BC的中點，求證：CF=2DF；（3）連接QE，求證：AQ=EQ．【答案】（1）△ECF的周長為20；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）利用題中條件證明EB＝EH，F(xiàn)D＝FH，即可解決問題；（2）通過計算求出CF、DF即可解決問題；（3）利用題中條件證明△APB∽△QPE，可得∠AEQ＝∠ABP＝45°即可解決問題.【詳解】解：（1）在Rt△ABE和Rt△AHE中，∵∠ABE=∠AHE=90°，AB=AH=10，AE=AE，∴△ABE≌△AHE，∴BE=HE，同理，DF=FH，∴△ECF的周長=CE+CF+EF=CE+BE+CF+FD=CB+CD=20．（2）∵E是BC中點，∴BE=EC=EH=5，設(shè)DF=FH=x，則CF=10﹣x，在Rt△ECF中，∵∠C=90°，∴EF2=EC2+CF2，∴52+（10﹣x）2=（5+x）2，解得x=，即DF=，則CF=10﹣=，∴CF=2DF；（3）在△BPE和△APQ中，∠EBP=∠QAP=45°，∠BPE=∠APQ，∴△BPE∽△APQ，∴=