第二十四章《圓》同步單元基礎與培優(yōu)高分必刷卷（全解全析）

第二十四章《圓》同步單元基礎與培優(yōu)高分必刷卷全解全析1．A【分析】根據圓、圓心角、弧、弦的相關知識進行解答即可．【詳解】解：圓心角性質是在同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，因此①錯誤；平分弦的直徑垂直于弦，被平分的弦不能是直徑，因此②項錯誤；不在同一條直線上的三個點確定一個圓，因此③錯誤；經過圓心的直線是圓的對稱軸，因此④正確．故選A．【點睛】本題主要考查圓圓、圓心角、弧、弦等知識點，解決本題的關鍵是要熟練掌握圓的相關性質和定理．2．B【分析】設圓錐的母線長為l，根據圓錐的底面圓周長為半圓形鐵皮的周長（不包括直徑）列式求解即可．【詳解】解：設圓錐的母線長為l，由題意得：，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了求圓錐的母線長，熟知圓錐的底面圓周長為半圓形鐵皮的周長（不包括直徑）是解題的關鍵．3．C【分析】直接根據圓內接四邊形的性質即可得出結論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=60°，∴∠C=180°-60°=120°，故C正確．故選：C．【點睛】本題考查的是圓內接四邊形的性質，熟知圓內接四邊形的對角互補是解答此題的關鍵．4．D【分析】根據垂徑定理可得,再利用勾股定理直接求得的長，即可得出答案．【詳解】解：設半徑為，，，根據垂徑定理得：，，在中，，，，解得，即的半徑為5．故答案為：D．【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解決本題的關鍵是熟練運用垂徑定理得出結論，列式計算．5．A【分析】首先連接OC，由切線的性質可得OC⊥CE，又由圓周角定理，可求得∠COB的度數(shù)，繼而可求得答案．【詳解】解：連接OC，∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥CE，即∠OCE＝90°，∵∠COB＝2∠CDB＝50°，∴∠E＝90°﹣∠COB＝40°．故選：A．【點睛】本題考查了切線性質，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．6．C【分析】利用勾股定理易得圓錐的底面半徑，利用底面周長即為扇形的弧長計算即可．【詳解】解：圓錐的高為4，母線長為5，由勾股定理得：圓錐的底面半徑為：，展開扇形的弧長為：，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查圓錐側面積公式的運用，注意運用圓錐的高，母線長，底面半徑組成直角三角形這個知識點．7．C【分析】作FG⊥AC，F(xiàn)H⊥CB，垂足分別為G、H，然后證明△DFG≌△EFH，得到DF=EF，再利用勾股定理，即可求出DE的長度．【詳解】解：作FG⊥AC，F(xiàn)H⊥CB，垂足分別為G、H，如圖則四邊形BCGF是矩形，，，∵，點F是AB的中點，∴，∴四邊形BCGF是正方形，∴∠GFH=90°，∵DE是直徑，則∠DFE=90°，∴，∴，∵，，∴△DFG≌△EFH，∴DF=EF，∵在直角△DFG中，，，∴，在直角△DEF中，；故選：C【點睛】本題考查了圓周角定理，全等三角形的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握所學的知識，證明DF=EF．8．D【分析】根據圓中弦的概念可判斷①，根據等弧的概念結合圓心角與弧的關系可判斷②，根據垂徑定理的推論可判斷③，根據四點共圓的判定方法可判斷④，根據切線的性質可判斷⑤，從而可得答案．【詳解】解：直徑是圓中最長的弦；說法正確，故①符合題意；等弧是能夠互相重合的弧，則等弧所對的圓心角相等；說法正確，故②符合題意；平分弦（弦不是直徑）的直徑垂直于弦；原說法不準確，故③不符合題意；對角互補的四邊形內接于圓；這是四點共圓的判定方法，說法正確，故④符合題意；圓的切線垂直于過切點的半徑，說法正確，故⑤符合題意；故選D．【點睛】本題考查的是圓中的基本概念，垂徑定理，弧，圓心角的關系，四點共圓的判定，切線的性質定理，掌握以上基本概念與定理是解本題的關鍵．9．C【分析】根據直徑所對的圓周角是直角推出∠ACB=90°，再結合圖形由直角三角形的性質得到∠ABC=90°-∠CAB=40°，進而根據同弧所對的圓周角相等推出∠D=∠B=40°．【詳解】解：∵AB是直徑，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查圓周角定理，正確理解在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等是解題的關鍵．10．D【分析】根據已知條件能求出圓的直徑，即可求出半徑，此題點的位置不確定所以要分類討論．【詳解】解：①當點在圓外時，∵圓外一點和圓周的最短距離為2cm，最長距離為7cm，∴圓的直徑為7﹣2＝5（cm），∴該圓的半徑是2.5cm；②當點在圓內時，∵點到圓周的最短距離為2cm，最長距離為7cm，∴圓的直徑＝7+2＝9（cm），∴圓的半徑為4.5cm，故選：D．【點睛】本題考查了點和圓的位置關系的應用，能根據已知條件求出圓的直徑是解此題的關鍵．11．D【分析】過點作于點，則邊心距，先根據正六邊形的性質、等邊三角形的判定可得是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質、勾股定理可得，由此即可得．【詳解】解：如圖，過點作于點，由題意得：邊心距，六邊形是正六邊形，，是等邊三角形，，，，解得，則正六邊形的周長為，故選：D．【點睛】本題考查了正多邊形的邊心距、等邊三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握正多邊形的性質是解題關鍵．12．C【分析】根據正方形的性質以及切線的性質，求得的長，勾股定理求得的長，進而根據即可求解．【詳解】如圖，連接,，邊長為的正方形內接于，即，，，為的直徑，，，分別與相切于點和點，，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，．故選C．【點睛】本題考查了圓的切線的性質，正方形的性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．13．110°##110度【分析】根據同圓中，等弧所對的圓周角相等，即可得到∠AEC的度數(shù)，再根據圓內接四邊形對角互補，即可求得∠ADC的度數(shù)．【詳解】解：∵點是的中點，∴，∴∠AED=∠CED=35°，∴∠AEC=70°，∵∠AEC+∠ADC=180°，∴∠ADC=110°．故答案為：110°【點睛】本題考查圓周角定理、圓內接四邊形的性質，熟練掌握圓內接四邊形對角互補是解答本題的關鍵．14．70【分析】首先連接OA，OB，由PA、PB是⊙O的切線，即可得∠PAO=∠PBO=90°，又由∠APB=40°，即可求得∠AOB的度數(shù)，然后由圓周角定理，即可求得答案．【詳解】解：如圖，連接OA，OB，∵PA、PB是⊙O的切線，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠APB=40°，∴∠AOB=360°-∠APB-∠PAO-∠PBO=140°，∴∠ACB=∠AOB=70°．故答案為：70．【點睛】此題考查了切線的性質與圓周角定理．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．15．20【分析】設圓的半徑為rcm，連接OC、OA，作AD⊥OC，垂足為D．利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到，求出r即可．【詳解】解：設圓的半徑為rcm，如圖，連接OC、OA，作AD⊥OC，垂足為D，∵，∴四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=8cm，AD=BC=16cm，∴OD=（r-8）cm，在Rt△AOD中，即，解得：r=20，即該圓的半徑為20cm．故答案為：20．【點睛】本題考查的是切線的性質，根據切線的性質，利用圖形得到直角三角形，然后用勾股定理計算求出圓的半徑．16．【分析】先作出輔助線，進而得出兩個弓形的面積相等，即可確定陰影部分的面積等于△BCD的面積，計算求解即可.【詳解】如圖，連接BD．∵菱形ABCD中∠A=60°，∴△ABD和△BCD是邊長相等的等邊三角形．∴BD與圍成的弓形面積等于CD與圍成的弓形面積．∴陰影部分的面積等于△BCD的面積．過點D作，于點E，在Rt△CDE中，CD=4cm，CE==2cm，∴，∴△BCD的面積等于（cm2），即陰影部分的面積等于cm2．故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，勾股定理，求陰影部分的面積等，將陰影部分的面積轉化為求三角形的面積是解題的關鍵．17．##【分析】作關于的對稱點，取中點，連接，，，由題意可得出點的運動軌跡，同時通過作點關于的對稱點的方式可以將進行轉換，進而即可求解．【詳解】解：如圖所示，作關于的對稱點，取中點，連接，，．可得，在以為直徑的圓上，，為直角三角形，點M在以CD為直徑的圓上，為斜邊的中點，，此時當，，三邊共線時，有長度的最小值等于，，分別是，的中點，，，，，長度的最小值為，

，的最小值為，故答案為．【點睛】本題主要考查了軸對稱問題、勾股定理、直角三角形斜邊中線定理及圓的基本性質，本題的重難點在于找出點的運動軌跡，屬于中等題．18．(1)∠CAD=35°；(2)DE=4-．【分析】（1）由OD⊥AC，求出∠AOD，根據等腰三角形的性質求出∠OAD，進一步計算即可求解；（2）由勾股定理求出BC，根據垂徑定理得出AE=EC，再根據三角形中位線定理求出OE，結合圖形進一步計算即可求解．（1）解：∵OD⊥AC，∴∠AOD=90°-∠CAB=70°，∵OA=OD，∴∠OAD==55°，∴∠CAD=55°-20°=35°；（2）解：∵AB是半圓O的直徑，∴∠C=90°，∵AB=8，AC=6，∴BC=，∵OD⊥AC，∴AE=EC，∵OA=OB=OD=4，∴OE=BC=，∴DE=4-．【點睛】本題考查的是圓周角定理、垂徑定理、三角形中位線定理的應用，掌握直徑所對的圓周角是直角、靈活運用勾股定理是解題的關鍵．19．(1)見解析；(2)12【分析】（1）連接OB，證明△APO≌△BPO（SSS），由全等三角形的判定與性質得出∠PAO=∠PBO=90°，得出OB⊥PB，則可得出結論；（2）由切線長定理可得出答案．（1）證明：連接OB，∵PA與⊙O相切于點A，∴∠PAO=90°，在△APO和△BPO中，，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO=∠PBO=90°，∴OB⊥PB，∴PB與⊙O相切；（2）解：∵PA，PB是⊙O的切線，過點Q作⊙O的切線，PA=6，∴MA=MQ，NQ=NB，PA=PB=6，∴△PMN的周長=PM+MQ+NQ+PN=PA+PB=12；故答案為：12．【點睛】本題考查了切線的判定與性質，切線長定理，全等三角形的判定與性質，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接OD，由切線性質得∠ODF=，進而證明∠BDF+∠A=∠A+∠B=，得∠B=∠BDF，便可得BF=DF；（2）設半徑為r，連接OD，OF，則OC=4-r，求得DF，再由勾股定理，利用OF為中間變量列出r的方程便可求得結果．（1）解：（1）連接OD，如圖1，∵過點D作半圓O的切線DF，交BC于點F，∴∠ODF=，∴∠ADO+∠BDF=，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠OAD+∠BDF=，∵∠C=，∴∠OAD+∠B=，∴∠B=∠BDF，∴BF=DF；（2）連接OF，OD，如圖2，設圓的半徑為r，則OD=OE=r，∵AC=4，BC=3，CF=1，∴OC=4-r，DF=BF=3-1=2，∵∴∴．故圓的半徑為．【點睛】本題主要考查了切線的性質，等腰三角形的性質與判定，勾股定理，已知切線，往往連接半徑為輔助線，第（2）題關鍵是由勾股定理列出方程．21．(1)60°(2)∠BOC=90°-∠A，見解析【分析】（1）方法一：先根據平角的定義求出∠EBC和∠DCF的度數(shù)，再根據切線長定理得到∠EBO=∠DBO=∠EBC=50°，∠DCO=∠FCO=∠DCF=70°，據此理由三角形內角和定理求解即可；方法二：如圖，連接OD，OE，OF，則由切線的性質可知，證明Rt△ODB≌Rt△OEB(HL)，Rt△ODC≌Rt△OFC(HL)，得到∠EOB=∠DOB，∠COD=∠COF，先求出∠A的度數(shù)，再利用四邊形內角和定理求出∠EOF=120°，則∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=60°．（2）同（1）方法二求解即可．（1）解：方法一：由題意得∠EBC=180°-∠ABC=180°-80°=100°，∠DCF=180°-∠ACB=180°-40°=140°，由切線長定理可知，∠EBO=∠DBO=∠EBC=50°，∠DCO=∠FCO=∠DCF=70°，∴在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠BCO=180°-70°-50°=60°；方法二：如圖，連接OD，OE，OF，則由切線的性質可知，∠BEO=∠BDO=∠CDO=∠CFO=90°，又∵OD=OE=OF，OB=OB，OC=OC，∴Rt△ODB≌Rt△OEB(HL)，Rt△ODC≌Rt△OFC(HL)，∴∠EOB=∠DOB，∠COD=∠COF，在△ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，在四邊形AEOF中，∠A+∠EOF=180°，∴∠EOF=120°，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=60°．（2）解：同（1）方法二可得，∠EOB=∠DOB，∠COD=∠COF，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=．【點睛】本題主要考查了切線的性質，切線長定理，三角形內角和定理，四邊形內角和定理，全等三角形的性質與判定等等，熟知切線的性質和切線長定理是解題的關鍵．22．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC證明ODAC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可證明直線DE是⊙O的切線；（2）由線段AB是⊙O的直徑證明∠ADB＝90°，再根據等角的余角相等證明∠M＝∠ABM，則AB＝AM；（3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°證明∠BAM＝60°，則△ABM是等邊三角形，所以∠M＝60°，則∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再證明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．（1）證明：連接OD，則OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴ODAC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半徑，且DE⊥OD，∴直線DE是⊙O的切線．（2）證明：線段是的直徑，，∴∠ADM＝180°－∠ADB＝，∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，∴△ABM是等邊三角形，∴∠M＝60°，∵∠DEM＝90°，ME＝1，∴∠EDM＝30°，∴MD＝2ME＝2，∴BD＝MD＝2，∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2．【點睛】此題重點考查切線的判定、直徑所對的圓周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．23．(1)見解析(2)2cm【分析】（1）連接OC，由切線的性質易得到，進而推出，結合易得，即可求解；（2）設半徑為r，進而求出，然后根據勾股定理求解．（1）證明：連接OC，∵是⊙O的切線，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴BC平分∠PBD；（2）解：設半徑為r，則，則，在Rt△POC中，由勾股定理得：，∴，∴，即⊙O的半徑是2cm．【點睛】本題主要考查了切線的性質，平行線的判定和性質，角平分線的判定，勾股定理，理解相關知識是解答關鍵．24．(1)B（1，）