培優(yōu)沖刺02 二次函數(shù)與幾何的綜合（原卷版）-2024中考數(shù)學(xué)查缺補(bǔ)漏

培優(yōu)沖刺02二次函數(shù)與幾何的綜合1、二次函數(shù)與特殊四變形的綜合2、二次函數(shù)與最值的綜合3、二次函數(shù)與相似的綜合4、二次函數(shù)與新定義的綜合題型一：二次函數(shù)與特殊四邊形的綜合此類問題都是在拋物線的基礎(chǔ)之上與平行四邊形、特殊平行四邊形結(jié)合，考察特殊平行四邊形的性質(zhì)或者存在性問題；做題時(shí)需要將二者的性質(zhì)結(jié)合思考，共同應(yīng)用?！局锌颊骖}練】1．（2023?揚(yáng)州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A在y軸正半軸上．（1）如果四個(gè)點(diǎn)（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)y＝ax2（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象上．①a＝；②如圖1，已知菱形ABCD的頂點(diǎn)B、C、D在該二次函數(shù)的圖象上，且AD⊥y軸，求菱形的邊長；③如圖2，已知正方形ABCD的頂點(diǎn)B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B、D在y軸的同側(cè)，且點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，試探究n﹣m是否為定值．如果是，求出這個(gè)值；如果不是，請說明理由．（2）已知正方形ABCD的頂點(diǎn)B、D在二次函數(shù)y＝ax2（a為常數(shù)，且a＞0）的圖象上，點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，直接寫出m、n滿足的等量關(guān)系式．2．（2023?棗莊）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)D．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．（2023?濟(jì)寧）如圖，直線y＝﹣x+4交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，對稱軸為的拋物線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)M，作x軸的垂線PN，垂足為N，直線MN交y軸于點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）若，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形CDNP是平行四邊形？（3）若，設(shè)直線MN交直線BC于點(diǎn)E，是否存在這樣的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此時(shí)m的值；若不存在，請說明理由．【中考模擬練】1．（2024?新沂市模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P在線段OB上，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E．（1）a＝，b＝；（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，若△CDE是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題型二：二次函數(shù)與最值的綜合1、二次函數(shù)本身可以轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式求最值；2、拋物線上不規(guī)則三角形求面積最大值，常用“水平寬×鉛垂高÷2”來計(jì)算【中考真題練】1．（2023?荊州）已知：y關(guān)于x的函數(shù)y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．（1）若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，且a＝4b，則a的值是；（2）如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），并與動(dòng)直線l：x＝m（0＜m＜4）交于點(diǎn)P，連接PA，PB，PC，BC，其中PA交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．設(shè)△PBE的面積為S1，△CDE的面積為S2．①當(dāng)點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求△PBC的面積；②探究直線l在運(yùn)動(dòng)過程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由．2．（2023?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2過點(diǎn)（1，3），且交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)E，求△PDE周長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）中△PDE周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線CB方向平移個(gè)單位長度，點(diǎn)M為平移后的拋物線的對稱軸上一點(diǎn)．在平面內(nèi)確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．【中考模擬練】1．（2024?東平縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在x軸上，點(diǎn)C、D在y軸上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，直線AD與拋物線交于另一點(diǎn)M．（1）求這條拋物線的解析式；（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)N，使得△ANC的周長最小，若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）點(diǎn)E是直線AM上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上直線AM下方一動(dòng)點(diǎn)，EP∥y軸，當(dāng)線段PE的長度最大時(shí)，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和△AMP面積的最大值．題型三：二次函數(shù)與相似的綜合【中考真題練】1．（2023?樂至縣）如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)D是拋物線在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的平行線與直線AB交于點(diǎn)C，求DC的長的最大值；（3）點(diǎn)Q是線段AO上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PQ交y軸于點(diǎn)N．是否存在點(diǎn)P，使△ABQ與△BQN相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．2．（2023?朝陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l⊥x軸于點(diǎn)M（m，0），交BC于點(diǎn)N，連接CM，PB，PC．△PCB的面積記為S1，△BCM的面積記為S2，當(dāng)S1＝S2時(shí)，求m的值；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q在拋物線上，直線MQ與直線BC交于點(diǎn)H，當(dāng)△HMN與△BCM相似時(shí)，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【中考模擬練】1．（2024?東莞市一模）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)A．（1）如圖1，求拋物線的解析式；（2）如圖2，點(diǎn)D為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、CD，設(shè)直線BC交線段AD于點(diǎn)E，△CDE的面積為S1，△ACE的面積為S2．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)小于2，是否在數(shù)軸上存在一點(diǎn)P，使得以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，如果存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．題型四：二次函數(shù)與新定義的綜合【中考真題練】1．（2023?南通）定義：平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（a，b），點(diǎn)Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k為常數(shù)，且k≠0，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“k級變換點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（﹣4，6）是點(diǎn)（2，3）的“﹣2級變換點(diǎn)”．（1）函數(shù)y＝﹣的圖象上是否存在點(diǎn)（1，2）的“k級變換點(diǎn)”？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；（2）動(dòng)點(diǎn)A（t，t﹣2）與其“k級變換點(diǎn)”B分別在直線l1，l2上，在l1，l2上分別取點(diǎn)（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求證：y1﹣y2≥2；（3）關(guān)于x的二次函數(shù)y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的圖象上恰有兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)的“1級變換點(diǎn)”都在直線y＝﹣x+5上，求n的取值范圍．2．（2023?鄂州）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)F（0，）的距離PF，始終等于它到定直線l：y＝﹣的距離PN（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，y＝﹣叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為H．其中原點(diǎn)O為FH的中點(diǎn)，F(xiàn)H＝2OF＝．例如，拋物線y＝2x2，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，），準(zhǔn)線方程為l：y＝﹣，其中PF＝PN，F(xiàn)H＝2OF＝．【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（1）請分別直接寫出拋物線y＝x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：，；【技能訓(xùn)練】（2）如圖2，已知拋物線y＝x2上一點(diǎn)P（x0，y0）（x0＞0）到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【能力提升】（3）如圖3，已知拋物線y＝x2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為l．直線m：y＝x﹣3交y軸于點(diǎn)C，拋物線上動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離為d1，到直線m的距離為d2，請直接寫出d1+d2的最小值；【拓展延伸】該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．拋物線y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）內(nèi)有一定點(diǎn)F（h，k+），直線l過點(diǎn)M（h，k﹣）且與x軸平行．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離PP1始終等于點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離（該結(jié)論不需要證明）．例如：拋物線y＝2（x﹣1）2+3上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，）的距離等于點(diǎn)P到直線l：y＝的距離．請閱讀上面的材料，探究下題：（4）如圖4，點(diǎn)D（﹣1，）是第二象限內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線y＝x2﹣1上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)PO+PD取最小值時(shí)，請求出△POD的面積．【中考模擬練】1．（2024?新吳區(qū)一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx（a≠0）頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣4，且與x軸交于點(diǎn)A（4，0）．作出該拋物線位于x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱的圖象，位于x軸上方的圖象保持不變，就得到y(tǒng)＝|ax2+bx|的圖象，直線y＝kx（k＞0）與y＝|ax2+bx|的圖象交于O、B、C三點(diǎn)．（1）求a、b的值；（2）新定義：點(diǎn)M（xm，ym）與點(diǎn)N（xn，yn）的“折線距離”為ρ（M，N）＝|xm﹣xn|+|ym﹣yn|．已知ρ（O，B）＝ρ（B，C）．①求k的值；②以點(diǎn)B為圓心、OB長為半徑的⊙B交∠AOC的平分線于點(diǎn)D（異于點(diǎn)O），交x軸點(diǎn)E（異于點(diǎn)O），求ρ（D，E）的值．2．（2024?寶安區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，有如下定義：若某圖形W上的所有點(diǎn)都在一個(gè)矩形的內(nèi)部或邊界上（該矩形的一條邊平行于x軸），這些矩形中面積最小的矩形叫圖形W的“美好矩形”．