2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破練習(xí)題型11 綜合探究題 類型4 與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的探究題（專題訓(xùn)練）（教師版）

PAGE類型四與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的探究題（專題訓(xùn)練）1．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在SKIPIF1<0中、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點(diǎn)M，D是線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段SKIPIF1<0繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到線段SKIPIF1<0．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段SKIPIF1<0上時(shí)，求證：D是SKIPIF1<0的中點(diǎn)；(2)如圖2，若在線段SKIPIF1<0上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直接寫(xiě)出SKIPIF1<0的大小，并證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用三角形外角的性質(zhì)求出SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，等量代換得到SKIPIF1<0即可；（2）延長(zhǎng)SKIPIF1<0到H使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，然后求出SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明SKIPIF1<0即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即D是SKIPIF1<0的中點(diǎn)；（2）SKIPIF1<0；證明：如圖2，延長(zhǎng)SKIPIF1<0到H使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．2.(2022·重慶市B卷)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AC，AD上任意一點(diǎn)，連接EF，將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG，連接FG，AG．

(1)如圖1，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，且GF的延長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)B，若點(diǎn)P為FG的中點(diǎn)，連接PD，求PD的長(zhǎng)；

(2)如圖2，EF的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)N在AC上，∠AGN=∠AEG且GN=MF，求證：AM+AF=2AE；

(3)如圖3，F(xiàn)為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，連接BE，H為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接EH，將△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B'EH，連接B'G，直接寫(xiě)出線段【答案】(1)解：如圖1，連接CP，

由旋轉(zhuǎn)知，CF=CG，∠FCG=90°，

∴△FCG為等腰直角三角形，

∵點(diǎn)P是FG的中點(diǎn)，

∴CP⊥FG，

∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴DP=12BC，

在Rt△ABC中，AB=AC=22，

∴BC=2AB=4，

∴DP=2；

(2)證明：如圖2，

過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AE交AD的延長(zhǎng)線于H，

∴∠AEH=90°，

由旋轉(zhuǎn)知，EG=EF，∠FEG=90°，

∴∠FEG=∠AEH，

∴∠AEG=∠HEF，

∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°，

∴∠H=90°?∠CAD=45°=∠CAD，

∴AE=HE，

∴△EGA≌△EFH(SAS)，

∴AG=FH，∠EAG=∠H=45°，

∴∠EAG=∠BAD=45°，

∵∠AMF=180°?∠BAD?∠AFM=135°?∠AFM，

∵∠AFM=∠EFH，

∴∠AMF=135°?∠EFH，

∵∠HEF=180°?∠EFH?∠H=135°?∠EFH，

∴∠AMF=∠HEF，

∵△EGA≌△EFH，

∴∠AEG=∠HEF，

∵∠AGN=∠AEG，

∴∠AGN=∠HEF，

∴∠AGN=∠AMF，

∵GN=MF，

∴△AGN≌△AMF(AAS)，

∴AG=AM，

∵AG=FH，

∴AM=FH，

∴AF+AM=AF+FH=AH=2AE；

(3)解：∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

∴AE=12AC=2，

根據(jù)勾股定理得，BE=AE2+AB2=10，

由折疊直，BE=B'E=10，

∴點(diǎn)B'是以點(diǎn)E為圓心，10為半徑的圓上，

由旋轉(zhuǎn)知，EF=EG，

∴點(diǎn)G是以點(diǎn)E為圓心，EG為半徑的圓上，

∴B'G的最小值為B'E?EG，

要B'G最小，則EG最大，即EF最大，

∵3.（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖1，一大一小兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是斜邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0．

(1)將SKIPIF1<0繞頂點(diǎn)SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0距離的最大值和最小值；(2)將SKIPIF1<0繞頂點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0（如圖SKIPIF1<0），求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【答案】(1)最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線，得出SKIPIF1<0的值，進(jìn)而根據(jù)題意求得最大值與最小值即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)SKIPIF1<0，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得SKIPIF1<0，進(jìn)而得出SKIPIF1<0，進(jìn)而可得SKIPIF1<0，勾股定理解SKIPIF1<0，即可求解．【詳解】（1）解：依題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線上時(shí)，SKIPIF1<0的距離最大，最大值為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上時(shí)，SKIPIF1<0的距離最小，最小值為SKIPIF1<0；

（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0繞頂點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．4.（湖南省郴州市2021年中考數(shù)學(xué)試卷）如圖1，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），將線段SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

（1）證明：SKIPIF1<0；（2）如圖2，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．①證明：在點(diǎn)SKIPIF1<0的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總有SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0的長(zhǎng)度為多少時(shí)，SKIPIF1<0為等腰三角形？【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）①見(jiàn)詳解；②當(dāng)SKIPIF1<0的長(zhǎng)度為2或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為等腰三角形【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AH=AG，∠HAG=90°，從而得∠BAH=∠CAG，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）①由SKIPIF1<0，得AH=AG，再證明SKIPIF1<0，進(jìn)而即可得到結(jié)論；②SKIPIF1<0為等腰三角形，分3種情況：（a）當(dāng)∠QAG=∠QGA=45°時(shí)，（b）當(dāng)∠GAQ=∠GQA=67.5°時(shí)，（c）當(dāng)∠AQG=∠AGQ=45°時(shí)，分別畫(huà)出圖形求解，即可．【詳解】解：（1）∵線段SKIPIF1<0繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，∴AH=AG，∠HAG=90°，∵在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，AB=AC，∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG，∴SKIPIF1<0；（2）①∵在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，AB=AC，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴AE=AF，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∵AH=AG，∠BAH=∠CAG，∴SKIPIF1<0，∴∠AEH=∠AFG=45°，∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：SKIPIF1<0；②∵SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴AE=AF=2，∵∠AGH=45°，SKIPIF1<0為等腰三角形，分3種情況：（a）當(dāng)∠QAG=∠QGA=45°時(shí)，如圖，則∠HAF=90°-45°=45°，∴AH平分∠EAF，∴點(diǎn)H是EF的中點(diǎn)，∴EH=SKIPIF1<0；（b）當(dāng)∠GAQ=∠GQA=（180°-45°）÷2=67.5°時(shí)，如圖，則∠EAH=∠GAQ=67.5°，∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠EHA=∠EAH，∴EH=EA=2；（c）當(dāng)∠AQG=∠AGQ=45°時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)F重合，不符合題意，舍去，綜上所述：當(dāng)SKIPIF1<0的長(zhǎng)度為2或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定定理，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，進(jìn)行分類討論，是解題的關(guān)鍵．5．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上（不與點(diǎn)SKIPIF1<0重合），連接SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，得到線段SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為點(diǎn)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段SKIPIF1<0與線段SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上時(shí)，求證：SKIPIF1<0；(3)連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積記為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)見(jiàn)解析(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）可先證SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得到線段SKIPIF1<0與線段SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系．（2）可先證SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，進(jìn)而得到SKIPIF1<0，問(wèn)題即可得證．（3）分兩種情況：①點(diǎn)D在線段SKIPIF1<0上，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，利用勾股定理，可用含SKIPIF1<0的代數(shù)式表示SKIPIF1<0，根據(jù)三角形面積公式，即可得到答案．②點(diǎn)D在線段SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0延長(zhǎng)線于點(diǎn)SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0，可證SKIPIF1<0，進(jìn)一步證得SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，利用勾股定理，可用含SKIPIF1<0的代數(shù)式表示SKIPIF1<0，根據(jù)三角形面積公式，即可得到答案【詳解】（1）解：SKIPIF1<0．理由如下：如圖，連接SKIPIF1<0．根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知SKIPIF1<0．由題意可知，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0為等腰直角三角形SKIPIF1<0斜邊SKIPIF1<0上的中線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．（2）解：SKIPIF1<0為等腰直角三角形SKIPIF1<0斜邊SKIPIF1<0上的中線，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．（3）解：當(dāng)點(diǎn)D在線段SKIPIF1<0延長(zhǎng)線上時(shí)，不滿足條件SKIPIF1<0，故分兩種情況：①點(diǎn)D在線段SKIPIF1<0上，如圖，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0；過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．根據(jù)題意可知，四邊形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0為等腰直角三角形．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由（2）證明可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．根據(jù)勾股定理可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0之比SKIPIF1<0②點(diǎn)D在線段SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0延長(zhǎng)線于點(diǎn)SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0,由題意知，四邊形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是矩形，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0而SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0之比SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活利用全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6.（2021·四川中考真題）在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0重合），連結(jié)SKIPIF1<0．（1）如圖1，若SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)SKIPIF1<0，結(jié)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________；（2）若SKIPIF1<0，將線段SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到線段SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0．①在圖2中補(bǔ)全圖形；②探究SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，試探究SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）30°；（2）①見(jiàn)解析；②SKIPIF1<0；見(jiàn)解析；（3）SKIPIF1<0，見(jiàn)解析【分析】（1）先根據(jù)題意得出△ABC是等邊三角形，再利用三角形的外角計(jì)算即可（2）①按要求補(bǔ)全圖即可②先根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，再證明SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0（3）先證明SKIPIF1<0，再證明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，從而證明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，從而證明SKIPIF1<0【詳解】解：（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴△ABC是等邊三角形∴∠B=60°∵點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)SKIPIF1<0∴AB⊥DE，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0；（2）①補(bǔ)全圖如圖2所示；②SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系為：SKIPIF1<0；證明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0為正三角形，又∵SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）連接SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的證明及性質(zhì)、全等三角形的證明及性質(zhì)、三角形的外角、軸對(duì)稱，熟練進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，相似三角形的證明是重點(diǎn)7．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展了一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)【問(wèn)題情境】劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級(jí)下冊(cè)第SKIPIF1<0頁(yè)“探索”部分內(nèi)容：如圖，將一個(gè)三角形紙板SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0到達(dá)SKIPIF1<0的位置，那么可以得到：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（

）

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵；故數(shù)學(xué)就是一門(mén)哲學(xué)．【問(wèn)題解決】（1）上述問(wèn)題情境中“（

）”處應(yīng)填理由：____________________；（2）如圖，小王將一個(gè)半徑為SKIPIF1<0，圓心角為SKIPIF1<0的扇形紙板SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0到達(dá)扇形紙板SKIPIF1<0的位置．

①請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)SKIPIF1<0；②如果SKIPIF1<0，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_________；【問(wèn)題拓展】小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置，另一個(gè)在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開(kāi)紙板，使其擺動(dòng)到豎直位置時(shí)靜止，此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖所示，請(qǐng)你幫助小李解決這個(gè)問(wèn)題．

【答案】問(wèn)題解決（1）旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等（2）①見(jiàn)解析；②SKIPIF1<0問(wèn)題拓展：SKIPIF1<0【分析】問(wèn)題解決（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；（2）①分別作SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的垂直平分線，兩垂直平分線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)O；②根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可；問(wèn)題拓展，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由旋轉(zhuǎn)得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的長(zhǎng)，可以求出SKIPIF1<0，再證明SKIPIF1<0，即可求出最后結(jié)果．【詳解】解：【問(wèn)題解決】（1）旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等

（2）①下圖中，點(diǎn)O為所求

②連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0扇形紙板SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0到達(dá)扇形紙板SKIPIF1<0的位置，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為以點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心，圓心角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為半徑的所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)SKIPIF1<0；

【問(wèn)題拓展】解：連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0如圖所示

SKIPIF1<0．由旋轉(zhuǎn)得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，

在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，解直角三角形，三角形全等的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是抓住圖形旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，正確作出輔助線構(gòu)造出直角三角形．8.（2021·浙江嘉興市·中考真題）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁(yè)例2后，進(jìn)一步開(kāi)展探究活動(dòng)：將一個(gè)矩形SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，得到矩形SKIPIF1<0[探究1]如圖1，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0恰好在SKIPIF1<0延長(zhǎng)線上．若SKIPIF1<0，求BC的長(zhǎng)．

[探究2]如圖2，連結(jié)SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

[探究3]在探究2的條件下，射線SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（如圖3），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0存在一定的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

【答案】[探究1]SKIPIF1<0；[探究2]SKIPIF1<0，證明見(jiàn)解析；[探究3]SKIPIF1<0，證明見(jiàn)解析【分析】[探究1]設(shè)SKIPIF1<0，根據(jù)旋轉(zhuǎn)和矩形的性質(zhì)得出SKIPIF1<0，從而得出SKIPIF1<0，得出比例式SKIPIF1<0，列出方程解方程即可；[探究2]先利用SAS得出SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再結(jié)合已知條件得出SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0；[探究3]連結(jié)SKIPIF1<0，先利用SSS得出SKIPIF1<0，從而證得SKIPIF1<0，再利用兩角對(duì)應(yīng)相等得出SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0即可得出結(jié)論．【詳解】[探究1]如圖1，設(shè)SKIPIF1<0．∵矩形SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到矩形SKIPIF1<0，∴點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在同一直線上．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0延長(zhǎng)線上，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（不合題意，舍去）∴SKIPIF1<0．[探究2]SKIPIF1<0．證明：如圖2，連結(jié)SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．[探究3]關(guān)系式為SKIPIF1<0．證明：如圖3，連結(jié)SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程等，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題．9．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形SKIPIF1<0中（頂點(diǎn)SKIPIF1<0按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，SKIPIF1<0為銳角，且SKIPIF1<0．

(1)如圖1，求SKIPIF1<0邊上的高SKIPIF1<0的長(zhǎng)．(2)SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0同時(shí)繞點(diǎn)SKIPIF1<0按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)SKIPIF1<0得點(diǎn)SKIPIF1<0．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0落在射線SKIPIF1<0上時(shí)，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．②當(dāng)SKIPIF1<0是直角三角形時(shí)，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【答案】(1)8(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）利用正弦的定義即可求得答案；（2）①先證明SKIPIF1<0，再證明SKIPIF1<0，最后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程即可；②分三種情況討論完成，第一種：SKIPIF1<0為直角頂點(diǎn)；第二種：SKIPIF1<0為直角頂點(diǎn)；第三種，SKIPIF1<0為直角頂點(diǎn)，但此種情況不成立，故最終有兩個(gè)答案．【詳解】（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．（2）①如圖1，作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，由（1）得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0延長(zhǎng)線于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．由旋轉(zhuǎn)知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．②由旋轉(zhuǎn)得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．情況一：當(dāng)以SKIPIF1<0為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖2．

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0落在線段SKIPIF1<0延長(zhǎng)線上．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．情況二：當(dāng)以SKIPIF1<0為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3．

設(shè)SKIPIF1<0與射線SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．情況三：當(dāng)以SKIPIF1<0為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線上，不符合題意．綜上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，正弦的定義，全等的判定及性質(zhì)，相似的判定及性質(zhì)，理解記憶相關(guān)定義，判定，性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.（2021·浙江中考真題）如圖，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是銳角，E是SKIPIF1<0邊上的動(dòng)點(diǎn)，將射線SKIPIF1<0繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)F．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，①求證：SKIPIF1<0；②連結(jié)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交射線SKIPIF1<0于點(diǎn)M，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交射線SKIPIF1<0于點(diǎn)N，連結(jié)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0為何值時(shí)，SKIPIF1<0是等腰三角形．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0或2或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0是等腰三角形．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到邊相等，對(duì)角相等，根據(jù)已知條件證明出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到AC是EF的垂直平分線，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根據(jù)已知條件證明出SKIPIF1<0，算出面積之比；（2）等腰三角形的存在性問(wèn)題，分為三種情況：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，得到CE=SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，得到CE=2；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，得到CE=SKIPIF1<0．【詳解】（1）①證明：在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（ASA），∴SKIPIF1<0．②解：如圖1，連結(jié)SKIPIF1<0．由①知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．

（2）解：在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是等腰三角形有三種情況：①如圖2，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②如圖3，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．③如圖4，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．綜上所述，當(dāng)SKIPIF1<0或2或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形中等腰三角形的存在性問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵在于畫(huà)出三種情況的等腰三角形（利用兩圓一中垂），通過(guò)證明三角形相似，利用相似比求出所需線段的長(zhǎng)．11.（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上，連接SKIPIF1<0．當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)SKIPIF1<0不與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），判斷SKIPIF1<0的形狀，并說(shuō)明理由．(3)在（2）的條件下，已知SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)正方形的基本性質(zhì)以及“斜中半定理”等推出SKIPIF1<0，即可證得結(jié)論；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得SKIPIF1<0，從而利用等腰三角形的性質(zhì)推出SKIPIF1<0，再結(jié)合正方形對(duì)角線的性質(zhì)推出SKIPIF1<0，即可證得結(jié)論；（3）結(jié)合已知信息推出SKIPIF1<0，從而利用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】（1）證：∵四邊形SKIPIF1<0為正方形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：SKIPIF1<0為等腰直角三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等腰直角三角形；（3）解：如圖所示，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（不合題意，舍去），∴SKIPIF1<0．

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)等，理解并熟練運(yùn)用基本圖形的證明方法和性質(zhì)，掌握勾股定理等相關(guān)計(jì)算方式是解題關(guān)鍵．12.在等腰△ABC中，AC＝BC，SKIPIF1<0是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝SKIPIF1<0∠ACB，連接BD，BE，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接CF．（1）當(dāng)∠CAB＝45°時(shí)．①如圖1，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EAB與∠CBA的數(shù)量關(guān)系是．線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是；②如圖2，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，（1）中線段BE與線段CF的