2020-2021學(xué)年長(zhǎng)春八中高一年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年長(zhǎng)春八中高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共10小題，共50.0分）

1.下列命題中：

①若》,yeC,貝ijx+yi=1+i的充要條件是x=y=1；

②純虛數(shù)集相對(duì)于復(fù)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集；

③若復(fù)數(shù)Z1，z2,Z3滿足（Z1-Z2）2+（Z2-Z3）2=0,則Z]=Z?=Z3.

正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

2.定義在R上的函數(shù)f（x）,且/（x）,f（x+1）都是偶函數(shù)，當(dāng)xe[-1,0）時(shí)/（x）=G）x,則/（log28）

等于（）

A.3B.1C.-2D.2

3.已知斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋線”，它的畫(huà)法是：以斐波那契數(shù)列（即

ar=a2=1,an+2=冊(cè)+i+。式幾eN*））的各項(xiàng)為邊長(zhǎng)的正方形拼成長(zhǎng)方形，然后在每個(gè)正方

形中畫(huà)一個(gè)圓心角為90。的圓弧，將這些圓弧依次連起來(lái)的弧線就是斐波那契螺旋線,自然界存在

很多斐波拉契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等.如圖為該螺旋線的一部分，則第七項(xiàng)所對(duì)

應(yīng)的扇形的弧長(zhǎng)為（）

4.己知f(x+l)=/(%-1),/(%)=/(-%+2),方程7。)=0在［0,1］內(nèi)有且只有一個(gè)根％=：,

則/(x)=0在區(qū)間［0,2013］內(nèi)根的個(gè)數(shù)為()

A.2011B.1006C.2013D.1007

5.下列命題中，真命題是

A.匕0EK，使得＜0

B.函數(shù)/（X）=2*-/有兩個(gè)零點(diǎn)

a

c.a=0的充要條件是一二一1

h

D.a>1）>1是aA>1的充分不必要條件

6.已知銳角4,B滿足2tcm4=tan（A+B）,貝McrnB的最大值為（）.

A.2顯B.顯C.土D.在

W4

7.已知x,y為正實(shí)數(shù)，則（）.

A.2lgx+lgy=21gx+2lgyB.2Ig(x+y)=2lgx-2lgy

C.21gxlgy=21gx4-2lgyD.21g(秒)=2lgx-2lgy

8.己知Z7={y|y=log2x,x>l},F={_yy=1，x>2},則“尸=()

X

11

A.[2,+8)B.(0,-)

C.(0,+00)D.(-00,0]u[-,+8)

9.當(dāng)曲線y=1+4中與直線丁=k（x-3）+3有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí):貝Ik的取值范圍為（）

A.（等，竽）B.（竽9

C.（昌）D.&喳

10.設(shè)函數(shù)/■（%）=ln|2%+1|+ln|2%-1|,則/（%）（）

A.是偶函數(shù)，且在G，+8）單調(diào)遞增

B.是奇函數(shù)，且在（-：,手單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增

D.是奇函數(shù)，且在（一8,-》單調(diào)遞增

二、多選題（本大題共2小題，共10.0分）

11.設(shè)a=，og26,b=logs｝，則下列結(jié)論正確的有（）

A.a+b<0B.2=1C.ab<0D.+

12.如圖，在正方體4BCD-PBiG為中，M,N,P分別為棱1

CG的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.41cJ■平面/MN

B.點(diǎn)P與點(diǎn)。到平面/MN的距離相等

C.平面D】MN截正方體4BCD-&BiGDi所得截面圖形為等腰梯//

I9I/

形場(chǎng)

D.平面/MN將正方體4BCD-&B1QD1分割成的上、下兩部分的體積之比為7：17

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.哥函數(shù)/(久)=X。的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(43),則實(shí)數(shù)a=.

14.已知s譏a=$則8$2(]+弓)=.

15.已知函數(shù)/(%)=2y/3sinxcosx+2cos2x—1.

(1)求/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若/(a+》=個(gè)/("勺，且f(a)=f(￡),角a,￡的終邊不共線，求tan(a—°)的值.

16.已知函數(shù)=忱]；，>1，則/(嗨5)=.

四、解答題(本大題共5小題，共70.0分)

17.(1)求值：sin50°(l+V3tanl0°)

1TT

(2)已知：sinx-cosx=0<x<TT,求sin(2x-:)的值.

18.已知函數(shù)f(x)=4si7i(3%+。)，xER,其中(A>0,3>0,0V。V今的周期為yr,且圖象上一

個(gè)最低點(diǎn)為“(第一2).

(1)求/Q)的解析式；

(2)當(dāng)時(shí)，求“X)的最值.

19.已知函數(shù)/(%)=ln(e，+a+l)(a為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若關(guān)于光的方程意=x2-2ex+m有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的值.

J\.XJ

20.已知函數(shù)/(x)=asinx-cosx—\[3acos2x+亨a+b.

(1)當(dāng)a>0寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)設(shè)％6[0,與，求/(%)的最值.

21.已知函數(shù)/1(%)=(4-3a)/-2%+Q,x€[0,1],求/(%)的最大值.

參考答案及解析

1.答案：A

解析：解：對(duì)于①，若x,y&R,則x+yi=1+i的充要條件是x=y=1,故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，純虛數(shù)集相對(duì)于復(fù)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集和實(shí)數(shù)集，故②錯(cuò)誤；

20>

對(duì)于③，若實(shí)數(shù)Z1，z2>Z3滿足⑵一z2y+(z2-Z3)=則Z1=Z2=Z3,而復(fù)數(shù)不一定成立，故③

錯(cuò)誤.

故選：A.

直接利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，負(fù)數(shù)的分類(lèi)，復(fù)數(shù)的運(yùn)算判斷①②③的結(jié)論.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算，負(fù)數(shù)的分類(lèi)，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思

維能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.答案：D

解析：解：由門(mén)x+1)是偶函數(shù)，可得/(—x+l)=/(x+l),

則函數(shù)/(x)為周期為2的周期函數(shù)，

???f。唯8)=/⑶。&2)=/(3)=/(3-4)=/(-I).

又當(dāng)時(shí)，/(x)=G)，

.-./(log28)=/(-l)=2.

故選：D.

由函數(shù)+1)是偶函數(shù)，可得/(—x+1)=f(x+1變形得到函數(shù)的周期，然后利用函數(shù)的周期性

把f(log28)轉(zhuǎn)化為求給出的函數(shù)解析式范圍內(nèi)的值，從而得到答案.

本題考查了函數(shù)的周期性，考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了學(xué)生靈活分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，

是中檔題.

3.答案:C

解析：解：由斐波那契數(shù)的規(guī)律可知，從第三項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)之和，

根據(jù)題意，接下來(lái)的一段圓弧所在圓的半徑r=5+8=13,

對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)/=2兀X13x；=手，

故選：C.

根據(jù)題意，分析要求所對(duì)應(yīng)的扇形的弧，所在圓的半徑，由弧長(zhǎng)公式可得答案.

本題主要考查了斐波那契數(shù)的規(guī)律，扇形的弧長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.答案:C

解析：解：?；f(%)=/(-％+2),,??/(%)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，-x)=/(I+%).

又+1)=/(%-1),二/■(%-1)=f(l一%),即/(%)=/(-%),故函數(shù)/(%)為偶函數(shù).

再由/(%+1)=f(x-1)可得/(%+2)=/(%),故函數(shù)/(%)是周期等于2的周期函數(shù)，

???出)=0，

???/(-》=0,再由周期性得/(-1+2)=/(|)=0,

故函數(shù)f(x)在一個(gè)周期［0,2］上有2個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)/(x)在每?jī)蓚€(gè)整數(shù)之間都有一個(gè)零點(diǎn)，

f(無(wú))=0在區(qū)間［0,2013］內(nèi)根的個(gè)數(shù)為2013,

故選C；

由條件推出f(l-x)=/(l+x),進(jìn)而推出/。)為偶函數(shù)，且/(x)是周期等于2的周期函數(shù)，根據(jù)

/(1)=0,求出/(|))=0,從而得到函數(shù)/'(X)在一個(gè)周期的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，且函數(shù)f(x)在每?jī)蓚€(gè)整數(shù)之

間都有一個(gè)零點(diǎn)，從而得到f(x)=0在區(qū)間［0,2013］內(nèi)根的個(gè)數(shù).

本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，抽象函數(shù)的應(yīng)用，體

現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

5.答案：D

解析：選項(xiàng)A因VxeR,/＞0,故A錯(cuò).

選項(xiàng)B當(dāng)x=_］時(shí)，y=，＜0,當(dāng)x=_g時(shí)，^=r一］＞0可知，函數(shù)y=2*_/有一個(gè)

零點(diǎn)是負(fù)值，同時(shí)還有兩個(gè)零點(diǎn)x=2與工=4,故8錯(cuò).

選項(xiàng)C當(dāng)5=0時(shí)，顯然知不是充要條件.

故選。.

6.答案：D

儂!樸鷺-fcm，.他頷iid

解析：根據(jù)公式可得：=tan[(i4+B)—A]=

3詈愉囑里,蜀幄胤窟口富腳顆就

31

又>0,貝ij—■——-\-2tanA>2后,則tanB<—尸=.

------＜編幽通斕幅帆蜃一騫氏4

［注］直接按和角公式展開(kāi)也可.

7.答案：D

解析：根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可知，

2igz+igy_2igx.2igy,故A錯(cuò)，B錯(cuò)，C錯(cuò);

。中，21g(xy)=2lgx+lgy=2，BX-2lsy,故選D.

8.答案：A

解析：解：〃=螂產(chǎn)堿，則”F=,+00),故選A.

9.答案：B

解析：解：由y=1+"-％2,得/+(y-1)2=i(y21),

直線y=k(x-3)+3恒過(guò)定點(diǎn)(3,3),

作出兩曲線圖象如圖：

由圓心(0,1)到直線kx-y-3k+3=0的距離等于1,可得1號(hào)等^=1>

解得/或/c=過(guò)正.

44

T77_3-1_1

又kpA=?

二當(dāng)曲線y=1+6=/與直線y=k(x-3)+3有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，則k的取值范圍為(F，；］.

故選：B.

把已知曲線方程變形，畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合求解.

本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔

題.

10.答案：A

解析：解：根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=ln|2x+l|+ln|2%—l|,必有則有

即函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|x片±3，

/(-%)=ln|-2x+l|+ln|-2x-l|=ln|2x+1|+ln|2x-1|=f(x),即函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，

/(%)=ln|2x+1|+ln|2x-1|=ln|4x2-1|,

設(shè)t=|4%2—1|,X±1,則y=

4%2—1,%<-1

1—4x2,—|<%<

(4%2-l,x>

在區(qū)間(一叫一手、(0弓)上，亡=|4%2-1|為減函數(shù)，而丫=仇亡為增函數(shù)，則/(%)為減函數(shù)，

在區(qū)間(一表0)、C，+8)上，t=|4/一1|為增函數(shù)，而y="t為增函數(shù)，則/(%)為增函數(shù)，

故選：A.

根據(jù)題意，先求出函數(shù)的定義域，分析f(-%)與f(%)的關(guān)系，即可得函數(shù)的奇偶性，設(shè)￡=|4/-1|,

貝的=》3由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法分析可得了。)的單調(diào)性，綜合即可得答案.

本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)奇偶性的判斷，涉及分段函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：BCD

解析：

本題考查了不等式的性質(zhì)和基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和不等式的性質(zhì)判斷ABC,根據(jù)基本不等式判斷。.

解：設(shè)a=[0926/=則a+b=log26+log3；=log26-log36>0,故A錯(cuò)誤；

1-1=log62+log63=log66=1,故B正確；

a=log26>0,b=log3^<0,

ab<0,故正確；

22222

,+表=(log62)+(-log63)=(log62)+(log63)=(log62+log63)-2log62log63>1-2x

(小產(chǎn)史)2=1-：=：,故O正確.

故選：BCD.

12.答案：BCD

解析：解：設(shè)4B=1,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:

對(duì)于4,4式1,0,1),C(0,1,0),所以石■?=

1N?1,1,1),。式0,0,1),

所以而=(一：,0,1席?=C，L0)，

設(shè)平面D]MN的法向量為元=(x,y,z),

n-MN=0\--x4--z=0

則，即—

n-D^N=0

令％=1,得y=-g,z=l,所以元=(1,一/1),

因?yàn)檎枧c記不共線，所以因?yàn)镚/7/DiC〃4/,

所以41c與平面D1MN不垂直，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,P(0ji),PM=(l,0,0),點(diǎn)P到平面DiMN的距離為di=k=W『=3

N/11T"T*1

74

___>1,IDMnll1-7+zl2

￡>(0,0,0),DM=(1,1，5),點(diǎn)。到平面。1"7的距離為d2==3,

所以點(diǎn)P與點(diǎn)D到平面DiMN的距離相等，選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,連接45，AM,則四邊形4D1MN是平面為MN截正方體4BCD-AIBICI￡)I所得截面圖形，

因?yàn)镸N〃AD「且MNH4C1，所以四邊形AZ^MN是梯形，

又因?yàn)?M=DiN,所以梯形4D1MN是等腰梯形，選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,平面QMN將正方體4BCC-4IBIGDI分割成的上、下兩部分，

計(jì)算幾何體B1MN--414D1的體積為匕=2x(Zx*x1+l-x-x---x1x1+-xlxl)xl=—.

322272222224

另一部分幾何體的體積為%=13-3=葛，

所以上、下兩部分的體積之比為匕：V2=7：17,選項(xiàng)。正確.

故選：BCD.

設(shè)4B=1,建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量表示直線的方向向量，求出平面。的法向量，由此

判斷41c與平面QMN不垂直，得出選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

分別計(jì)算點(diǎn)P到平面DiMN的距離和點(diǎn)。到平面D】MN的距離，判斷選項(xiàng)B正確；

畫(huà)出平面QMN截正方體4BCD-/IIBIGDI所得截面圖形，判斷四邊形A/MN是等腰梯形，得出選

項(xiàng)C正確；

計(jì)算平面。1MN將正方體分割成的上、下兩部分體積，求出體積比，判斷選項(xiàng)。

正確.

本題以命題的真假判斷為載體，考查空間中的線面之間的關(guān)系和多面體的體積計(jì)算問(wèn)題，是中檔題.

13.答案：一：

解析：解：基函數(shù)/(攵)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(41)，

解得a=—

故答案為：-

把點(diǎn)的坐標(biāo)代入基函數(shù)/。)的解析式，求出a的值即可.

本題考查了用待定系數(shù)法求事函數(shù)解析式的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.

14.答案：!

解析：解：化簡(jiǎn)可得cos2G+?

l+cos(a+^)

2

.1

_1-sina_1_3_1

-2-2-3

故答案為：I

由二倍角的余弦公式的變形應(yīng)用及誘導(dǎo)公式可把原式變?yōu)閟iTia的式子，代值計(jì)算可得.

本題考查二倍角的余弦公式的變形應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

15.答案：解：(1)/(x)=2y/3sinxcosx+2cos2x-1=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+-),

6

由2/CTT4—W2xH—42/CTTH--(kGZ),

262

求得左兀+^<X</C7T+y(/c6Z),

???f(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為[k/r+3々兀+eZ).

oo

(2)/(a+,)=y/(a-^),2sm(2a+])=V3sin(2a),

^2cos2a=>/3sin2aytan2a=竽.

若角a,￡的終邊不共線，且f(a)=f(6)，

???譏譏夕+-),

2s(2a+6-)6=2s(2

*,*2a+&+234~~=2/CTT+TT,kWz,???a+/?=ku+—,

故tan(a+0)=V3.

tan(a—S)=tan[2a—(a+S)]

2V30

tan2a—tan(a+0)V3

1+tan2atan(a+/?)2A/3有

1H——xV3

-----V-3-.

9

解析：(1)利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求

解即可.

(2)由題意可得tan2a的值，2sin(2a+$=2s譏(20+弓)，由此求得a+0的值，利用角的變換可得

tan(a-/?)的值.

本題主要考查利用三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)性，屬于中檔題.

16.答案：2

解析：解：log256(2,3),log25-2<1.

函數(shù)/'(X)=>r則/。%5)=/(log25-l)=/(log25-2)=/(log2^)=2,喏=

故答案為：

判斷10g25的范圍，利用分段函數(shù)求解函數(shù)值即可.

本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

17.答案:解：(l)sin50℃l+V3tanl0°)=sin50°(l+

2GcoslO0+sinlO°)

coslO°+V3sinl0°

=sm50°?=sin500?

coslO0coslO°

2sin40°sin80。

=sm50°?

COS10°cos100

(2),?,sinx—cosx=sin2%+cos2x=1,

又0<x<71,

：?sinx>0.

sinx=-4

解方程組可得

cosx=|

247

???sin2x=2sinxcosx=—,cos2x=cosz7x—sin7zx=——

y[2.Qyf2o6-24—遮X(—乙)=衛(wèi)立

???sin(2x—g)=—sm2x----cosLX=-x—

222252,25750

解析：(1)利用切化弦，然后利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可;

(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.

本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是中檔題.

18.答案：(本題滿分12分)

解：⑴由最低點(diǎn)為M(g,-2),得4=2,

由T=7T得3=—=—=2,:./(%)=2sin(2x+9).

由點(diǎn)M(第一2)在圖象上,得2s出(等+@)=-2即sin(等+0)=-1,

即

—3+(p=2k7i―2―,kWZ,0=2/CTT—6—■>kEZ,

又3G(05)，.?.：?①=7，/(x)=+g).

Lk=\O,2Osin(2x

(2)vxG[0,^]..-.2x+=e[=J,

...當(dāng)+(=a即x=0時(shí)，f(x)取得最小值1；

當(dāng)2》+看=今即％時(shí)，/(x)取得最大值亞

解析：(1)利用函數(shù)的周期以及函數(shù)的最值，求解43,0即可得到函數(shù)的解析式.

(2)通過(guò)x的范圍求出函數(shù)的相位的范圍，利用正弦函數(shù)的有界性求解函數(shù)的最值即可.

本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，注意正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

19.答案:解：(1)函數(shù)/(%)=ln(ex+Q+1)(。為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，故f(0)=ln(2+a)=0,

???a=—1,

函數(shù)/(%)=ln(ex)=x.

(2)由(1)知，關(guān)于x的方程照=久2-2ex+m,即止=M-2ex+m.

令/i(X)=%(%)=x2-2ex+m,1?/(x)='*，故當(dāng)xG(0,e]時(shí)，//(x)>0,函數(shù)人(x)=?

為增函數(shù)；

當(dāng)x>e時(shí)，f；(x)<0,函數(shù)人(x)=卓為減函數(shù)，故當(dāng)無(wú)=e時(shí)，A(x)=?取得最大值為方

對(duì)于函數(shù)力(久)=M-2ex+m,在(0,e]上是減函數(shù)，在(e,+8)上是增函數(shù)，

故當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)心(x)=x2-2ex+nt取得最小值為m-e2.

要使關(guān)于x的方程簫=/-26%+6有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，只有!=m—e2,求得m=e2+5,

2

即當(dāng)m=e2+｝時(shí)，關(guān)于x的方程卷=x-2ex+m有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

解析：(1)由條件利用其函數(shù)的性質(zhì)，求得實(shí)數(shù)a的值.

22

(2)關(guān)于x的方程即手=x-2ex+m,令/i(x)=等，f2(x)=x-2ex+m,利用導(dǎo)數(shù)求得萬(wàn)⑶=

W取得最大值為%函數(shù)月。)=/一2"+6的最小值為根—02.再根據(jù)i=巾一02,求得m的值.

本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問(wèn)

題，屬于中檔題.

20.答案：解：(l)f(x)=asinxcosx—\[3acos2x+ya+h

a73V3

=—sinlx———a(l+cos2x)+—a4-h

=asin(2x—g)+b,

因?yàn)閍>0,

則由$+2/CTTW2.X——w+2/CTT,kWZ,

則與+kTiWxW—Fkji,k￡Z,

則函數(shù)