標(biāo)準(zhǔn)偏差計(jì)算

章平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)

2021/5/91

平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的統(tǒng)計(jì)量，用來(lái)表明資料中各觀測(cè)值相對(duì)集中較多的中心位置。平均數(shù)主要包括有：

算術(shù)平均數(shù)（arithmeticmean）

中位數(shù)（median）

眾數(shù)（mode）

幾何平均數(shù)（geometricmean）

調(diào)和平均數(shù)（harmonicmean）

2021/5/92

一、算術(shù)平均數(shù)

算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測(cè)值的總和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)所得的商，簡(jiǎn)稱平均數(shù)或均數(shù)，記為。算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而采用直接法或加權(quán)法計(jì)算。

(一)直接法

主要用于樣本含量n≤30以下、未經(jīng)分組資料平均數(shù)的計(jì)算。2021/5/93

設(shè)某一資料包含n個(gè)觀測(cè)值：x1、x2、…、xn，則樣本平均數(shù)可通過(guò)下式計(jì)算：

其中，Σ為總和符號(hào)；表示從第一個(gè)觀測(cè)值x1累加到第n個(gè)觀測(cè)值xn。當(dāng)在意義上已明確時(shí)，可簡(jiǎn)寫為Σx，（3-1）式可改寫為：2021/5/94【例3.1】某種公牛站測(cè)得10頭成年公牛的體重分別為500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均數(shù)。由于Σx=500+520+535+560+58+600+480+510+505+49=5285，

n=10

2021/5/95

得：即10頭種公牛平均體重為528.5kg。

（二）加權(quán)法

對(duì)于樣本含量n≥30以上且已分組的資料，可以在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計(jì)算平均數(shù)，計(jì)算公式為：

2021/5/96

式中：—第i組的組中值；

—第i組的次數(shù)；

—分組數(shù)第i組的次數(shù)fi是權(quán)衡第i組組中值xi在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此將fi

稱為是xi的“權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名。

【例3.2】將100頭長(zhǎng)白母豬的仔豬一月窩重（單位：kg）資料整理成次數(shù)分布表如下，求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。2021/5/97

表3—1100頭長(zhǎng)白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表2021/5/98

利用（3—2）式得：即這100頭長(zhǎng)白母豬仔豬一月齡平均窩重為45.2kg。計(jì)算若干個(gè)來(lái)自同一總體的樣本平均數(shù)的平均數(shù)時(shí)，如果樣本含量不等，也應(yīng)采用加權(quán)法計(jì)算。2021/5/99【例3.3】某牛群有黑白花奶牛1500頭，其平均體重為750kg，而另一牛群有黑白花奶牛1200頭，平均體重為725kg，如果將這兩個(gè)牛群混合在一起，其混合后平均體重為多少？此例兩個(gè)牛群所包含的牛的頭數(shù)不等，要計(jì)算兩個(gè)牛群混合后的平均體重，應(yīng)以兩個(gè)牛群牛的頭數(shù)為權(quán)，求兩個(gè)牛群平均體重的加權(quán)平均數(shù)，即2021/5/910

即兩個(gè)牛群混合后平均體重為738.89kg。

（三）平均數(shù)的基本性質(zhì)

1、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的和為零，即離均差之和等于零?；蚝?jiǎn)寫成2021/5/9112、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。

(xi-)2<(xi-a)2

（常數(shù)a≠）或簡(jiǎn)寫為：<

對(duì)于總體而言，通常用μ表示總體平均數(shù)，有限總體的平均數(shù)為：

2021/5/912

式中，N表示總體所包含的個(gè)體數(shù)。當(dāng)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于所估計(jì)的總體參數(shù)時(shí)，則稱此統(tǒng)計(jì)量為該總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用樣本平均數(shù)（）作為總體平均數(shù)（μ）的估計(jì)量，并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)μ的無(wú)偏估計(jì)量。2021/5/913二、中位數(shù)

將資料內(nèi)所有觀測(cè)值從小到大依次排列，位于中間的那個(gè)觀測(cè)值，稱為中位數(shù)，記為Md。

當(dāng)觀測(cè)值的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則以中間兩個(gè)觀測(cè)值的平均數(shù)作為中位數(shù)。當(dāng)所獲得的數(shù)據(jù)資料呈偏態(tài)分布時(shí)，中位數(shù)的代表性優(yōu)于算術(shù)平均數(shù)。中位數(shù)的計(jì)算方法因資料是否分組而有所不同。2021/5/914

（一）未分組資料中位數(shù)的計(jì)算方法

對(duì)于未分組資料，先將各觀測(cè)值由小到大依次排列。2021/5/9151、當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，(n+1)/2位置的觀測(cè)值，即x(n+1)/2為中位數(shù)：

Md=

2、當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，n/2和（n/2+1）位置的兩個(gè)觀測(cè)值之和的1/2為中位數(shù)，即：

2021/5/916【例3.4】觀察得9只西農(nóng)莎能奶山羊的妊娠天數(shù)為144、145、147、149、150、151、153、156、157，求其中位數(shù)。此例n=9，為奇數(shù)，則：

Md==150（天）即西農(nóng)莎能奶山羊妊娠天數(shù)的中位數(shù)為150天。2021/5/917【例3.5】某犬場(chǎng)發(fā)生犬瘟熱，觀察得10只仔犬發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡分別為7、8、8、9、11、12、12、13、14、14天，求其中位數(shù)。此例n=10，為偶數(shù)，則：

即10只仔犬從發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡天數(shù)的中位數(shù)為11.5天。

（二）已分組資料中位數(shù)的計(jì)算方法2021/5/918

若資料已分組，編制成次數(shù)分布表，則可利用次數(shù)分布表來(lái)計(jì)算中位數(shù)，其計(jì)算公式為：

式中：L—中位數(shù)所在組的下限；

i—組距；

f—中位數(shù)所在組的次數(shù)；

n—總次數(shù)；

c—小于中數(shù)所在組的累加次數(shù)。2021/5/919【例3.6】某奶牛場(chǎng)68頭健康母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間整理成次數(shù)分布表如表3—2所示，求中位數(shù)。表3—268頭母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間次數(shù)分布表2021/5/920

由表3—2可見(jiàn)：i=15，n=68，因而中位數(shù)只能在累加頭數(shù)為36所對(duì)應(yīng)的“57—71”這一組，于是可確定L=57，f=20，c=16，代入公式（3—5）得：

即奶牛頭胎分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間的中位數(shù)為70.5天。2021/5/921三、幾何平均數(shù)

n個(gè)觀測(cè)值相乘之積開(kāi)n次方所得的方根，稱為幾何平均數(shù)，記為G。它主要應(yīng)用于畜牧業(yè)、水產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)分析，畜禽疾病及藥物效價(jià)的統(tǒng)計(jì)分析。如畜禽、水產(chǎn)養(yǎng)殖的增長(zhǎng)率，抗體的滴度，藥物的效價(jià)，畜禽疾病的潛伏期等，用幾何平均數(shù)比用算術(shù)平均數(shù)更能代表其平均水平。其計(jì)算公式如下：

2021/5/922

為了計(jì)算方便，可將各觀測(cè)值取對(duì)數(shù)后相加除以n，得lgG，再求lgG的反對(duì)數(shù)，即得G值，即

【例3.7】某波爾山羊群1997—2000年各年度的存欄數(shù)見(jiàn)表3—3，試求其年平均增長(zhǎng)率。2021/5/923

表3—3某波爾山羊群各年度存欄數(shù)與增長(zhǎng)率2021/5/924

利用（3—7）式求年平均增長(zhǎng)率

G==lg-1[（-0.368-0.398–0.602）]=lg-1（-0.456）=0.3501

即年平均增長(zhǎng)率為0.3501或35.01%。2021/5/925四、眾數(shù)

資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)觀測(cè)值或次數(shù)最多一組的組中值，稱為眾數(shù)，記為M0。如表2-3所列的50枚受精種蛋出雛天數(shù)次數(shù)分布中，以22出現(xiàn)的次數(shù)最多，則該資料的眾數(shù)為22天。又如【例3.6】所列出的次數(shù)分布表中，57—71這一組次數(shù)最多，其組中值為64天，則該資料的眾數(shù)為64天。2021/5/926

五、調(diào)和平均數(shù)

資料中各觀測(cè)值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，稱為調(diào)和平均數(shù)，記為H，即

調(diào)和平均數(shù)主要用于反映畜群不同階段的平均增長(zhǎng)率或畜群不同規(guī)模的平均規(guī)模。2021/5/927【例3.8】某保種牛群不同世代牛群保種的規(guī)模分別為：0世代200頭，1世代220頭，2世代210頭；3世代190頭，4世代210頭，試求其平均規(guī)模。利用（3—9）式求平均規(guī)模：

即保種群平均規(guī)模為208.33頭。

2021/5/928

對(duì)于同一資料：算術(shù)平均數(shù)>幾何平均數(shù)>調(diào)和平均數(shù)上述五種平均數(shù)，最常用的是算術(shù)平均數(shù)。2021/5/929第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差

一、標(biāo)準(zhǔn)差的意義用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強(qiáng)弱受樣本資料中各觀測(cè)值變異程度的影響。僅用平均數(shù)對(duì)一個(gè)資料的特征作統(tǒng)計(jì)描述是不全面的，還需引入一個(gè)表示資料中觀測(cè)值變異程度大小的統(tǒng)計(jì)量。2021/5/930

全距（極差）是表示資料中各觀測(cè)值變異程度大小最簡(jiǎn)便的統(tǒng)計(jì)量。但是全距只利用了資料中的最大值和最小值，并不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各觀測(cè)值的變異程度，比較粗略。當(dāng)資料很多而又要迅速對(duì)資料的變異程度作出判斷時(shí)，可以利用全距這個(gè)統(tǒng)計(jì)量。2021/5/931

為了準(zhǔn)確地表示樣本內(nèi)各個(gè)觀測(cè)值的變異程度，人們首先會(huì)考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求出各個(gè)觀測(cè)值與平均數(shù)的離差，（），稱為離均差。雖然離均差能表示一個(gè)觀測(cè)值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度，但因?yàn)殡x均差有正、有負(fù)，離均差之和為零，即（）=0，因而不能用離均差之和Σ（）來(lái)表示資料中所有觀測(cè)值的總偏離程度。

2021/5/932

為了解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問(wèn)題，可先求離均差的絕對(duì)值并將各離均差絕對(duì)值之和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)n求得平均絕對(duì)離差，即Σ||/n。雖然平均絕對(duì)離差可以表示資料中各觀測(cè)值的變異程度，但由于平均絕對(duì)離差包含絕對(duì)值符號(hào)，使用很不方便，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中未被采用。2021/5/933

我們還可以采用將離均差平方的辦法來(lái)解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問(wèn)題。先將各個(gè)離均差平方，即()2

，再求離均差平方和，即，簡(jiǎn)稱平方和，記為SS；由于離差平方和常隨樣本大小而改變，為了消除樣本大小的影響，用平方和除以樣本大小，即，求出離均差平方和的平均數(shù)；2021/5/934

為了使所得的統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，在求離均差平方和的平均數(shù)時(shí)，分母不用樣本含量n，而用自由度n-1，于是，我們采用統(tǒng)計(jì)量表示資料的變異程度。統(tǒng)計(jì)量稱為均方（meansquare縮寫為MS）,又稱樣本方差，記為S2，即

S2=2021/5/935

相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體方差，記為σ2。對(duì)于有限總體而言，σ2的計(jì)算公式為：

2021/5/936

由于樣本方差帶有原觀測(cè)單位的平方單位，在僅表示一個(gè)資料中各觀測(cè)值的變異程度而不作其它分析時(shí)，常需要與平均數(shù)配合使用，這時(shí)應(yīng)將平方單位還原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng)計(jì)學(xué)上把樣本方差S2的平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差，記為S，即：

2021/5/937

由于所以上式可改寫為：

2021/5/938

相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ。對(duì)于有限總體而言，σ的計(jì)算公式為：

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ。

2021/5/939二、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法

（一）直接法

對(duì)于未分組或小樣本資料，可直接利用（3—11）或（3-12）式來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。2021/5/940【例3.9】計(jì)算10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的標(biāo)準(zhǔn)差。此例n=10，經(jīng)計(jì)算得：Σx=5400，Σx2=2955000，代入（3—12）式得：即10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量的標(biāo)準(zhǔn)差為65.828g。2021/5/941

（二）加權(quán)法

對(duì)于已制成次數(shù)分布表的大樣本資料，可利用次數(shù)分布表，采用加權(quán)法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算公式為：

式中，f為各組次數(shù)；x為各組的組中值；Σf=n為總次數(shù)。

2021/5/942

【例3.10】利用某純系蛋雞200枚蛋重資料的次數(shù)分布表（見(jiàn)表3-4）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。將表3-4中的Σf、Σfx、代入（3—14）式得：

即某純系蛋雞200枚蛋重的標(biāo)準(zhǔn)差為3.5524g。2021/5/943

表3—4某純系蛋雞200枚蛋重資料次數(shù)分布及標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表2021/5/944

三、標(biāo)準(zhǔn)差