2015年上海市中考數(shù)學(xué)試卷（含解析版）

2015年上海市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：（每題4分，共24分）

1、下列實(shí)數(shù)中，是有理數(shù)的為（）.

A、V2；,B、V?；C>7t；D、0.

2、當(dāng)。＞0時(shí)，下列關(guān)于塞的運(yùn)算正確的是（）.

D、/=斗

12

A、tz°=1；BNa=—a；C.、（―a）=—a?；

CT

3、下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是正比例函數(shù)的為（）.

2_2「XrX+1

A、y=x；B>y=—；C、y=一.；D>y=.

x22

4、如果一個(gè)正多邊形的中心角為72,那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）.

A、4；B^5；C>6；D、7.

5、下列各統(tǒng)計(jì)量中，表示一組數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的量是（）.

A、平均數(shù)；B、眾數(shù)；C、方差；.D、頻率

6、如圖，已知在。。中，A3是弦，半徑OCLAB,垂足為點(diǎn)。，要使四邊形OAC8

為菱形，還需要添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是（）.

A、AD=BD；B、OD=CD；C,ZCAD=ZCBD；D、ZOCA=ZOCB.

二、填空題：（每題4分，共48分）

7、計(jì)算：卜2|+2=.

8、方程j3x—2=2的解是.

9、如果分式二有意義，那么x的取值范圍是

10、如果關(guān)于％的一元二次方程V+4x-m=0沒有實(shí)數(shù)根，那么〃的取值范圍

是.

1

Q

11、同一溫度的華氏度數(shù)y（°F）與攝氏.度數(shù)x（℃）之間的函數(shù)關(guān)系是y=（x+32,

如果某一溫度的攝氏度數(shù)是25C,那么它.的華氏度數(shù)是°F.

12、如果將拋物線y=f+2x—1向上平移，使它經(jīng)過點(diǎn)40,3）,那么所得新拋物

線的表達(dá)式是.

13、某校學(xué)生會(huì)提倡雙休日到養(yǎng)老院參加服務(wù)活動(dòng)，首次活動(dòng)需要7位同學(xué)參加,

現(xiàn)有包括小杰在內(nèi)的50位同學(xué)報(bào)名，因此學(xué)生會(huì)將從這50位同學(xué)中隨機(jī)抽取7

位，小杰被抽到參加首次活動(dòng)的概率是.

14、已知某校學(xué)生“科技創(chuàng)新社團(tuán)”成員的年齡與人數(shù)情況如下表所示：

年齡（歲）1112131415

人數(shù)55161512

那么“科技創(chuàng)新社團(tuán)”成員年齡的中位數(shù)是歲.

15、如圖，已知在A4BC中，。、E分別是邊A3、邊AC的中點(diǎn)，AB=m,AC=n,

那么向量。E用向量加、〃表示為.

16、已知E是正方形45CD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AE=AD,過點(diǎn)E作4c的垂

線，交邊CD于點(diǎn)F,那么NE4￡>=度..

17、在矩形ABC。中，AB=5,BC=12,點(diǎn)A在B上.如果。與：3相交，

且點(diǎn)5在O。內(nèi)，那么的半徑長(zhǎng)可以等于.（只需寫出一個(gè)符合

要求的數(shù)）

18、已知在AABC中，AB=AC=8,N84C=30.將AABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)8

落在原AABC的點(diǎn)。處，此時(shí)點(diǎn)C落在點(diǎn)。處.延長(zhǎng)線段4。，交原AABC的邊

6c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,那么線段OE的長(zhǎng)等于.

2

三、.解答題

21

19、（本題滿分10分）先化簡(jiǎn)，再求值：———―—-，其中1.

x+4%+4x+2x+2

20、（本題滿分10分）.

4x>2x-6

解不等式組：x]<x+l，并把解集在數(shù)軸上表示出來.

-3-2-101234

21、（本題滿分10分，第⑴小題滿分4分，第⑵小題滿分6分）

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系，中，正比例函數(shù)y=gx的圖像經(jīng)過點(diǎn)A,

點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,.反比.例函數(shù)丁=生的圖像也經(jīng)過點(diǎn)A,第一象限內(nèi)的點(diǎn)3在

X

這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上，過點(diǎn)8作BC//X軸，交y軸于點(diǎn)C,且AC=AB.

求：（1）這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；（2）直線A8的表達(dá)式.

3

22、（本題滿分10分，第⑴小題滿分4分，第⑵小題滿分6分）

如圖，表示一段筆直的高架道路，線段表示高架道路旁的一排居民樓.已

知點(diǎn)A到例N的距離為.15米，的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)。，且NBDN=30,

假設(shè)汽車在高速道路上行駛時(shí)，周圍39米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響.

（1）過點(diǎn)A作的垂線，垂足為點(diǎn)如果汽車沿著從M到N的方向在

上行駛，當(dāng)汽車到達(dá)點(diǎn)P處時(shí)，噪音開始影響這一排的居民樓，那么此時(shí)汽車與

點(diǎn)”的距離為多少米？

（2）降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板.當(dāng)汽車行駛到點(diǎn)，。時(shí)，

它與這一排居民，樓的距離。。為39米，那么對(duì)于這一排居民樓，高架道路旁安

裝的隔音板至少需要多少米長(zhǎng)？（精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：V3?1.7）

23、（本題滿分12分，每小題滿分各6分）

已知：如圖，平行四邊形A8CO的對(duì)角線相.交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在邊的延長(zhǎng)線上,

且?！?03,聯(lián)結(jié)?！?

（1）求證：DE上BE；⑵如果_LCZ）,求證：BDCE=CDDE.

4

24、（本題滿分12分，每小題滿分各4分）

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），拋物線y=狽2-4與x軸的負(fù)半軸相交于

點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)3,AB=2卮點(diǎn)P在拋物線上，線段AP與y軸的正半

軸交于點(diǎn)C,線段3尸與x軸相交于點(diǎn)。.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為團(tuán).

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）用含"的代數(shù)式表示線段C。的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)tan/OQC=一時(shí)，求NA4O的正弦值.

2

木y

5

25^(本題滿分14分，第⑴小題滿分4分，第(2)小題滿分5分，第(3)小題滿分5

分)

已知：如圖，是半圓。的直徑，弦CD//AB,動(dòng)點(diǎn)P、。分別在線段OC、CD

上，且OQ=QP,AP的延長(zhǎng)線與射線。。相交于點(diǎn)E、與弦CD相交于點(diǎn)F(點(diǎn)

4

F與點(diǎn)、C、。不重合)，AB=20,cosZAOC=-.設(shè)OP=x,ACPF■的面積為

》-

(1)求證：AP=OQ；

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域;

(3)當(dāng)AOPE是直角三角形時(shí)，求線段0P的長(zhǎng).

6

2015年上海市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題

1.下列實(shí)數(shù)中，是有理數(shù)的為（）

A^V2；.B、V?；C、萬；D、0.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù).

【分析】

根據(jù)有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小

數(shù)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：V5是無理數(shù)，A不正確；

北是無理數(shù)，B不正確；

R是無理數(shù),C不正確；

。是有理數(shù)，D正確；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】

此題主要考查了無理數(shù)和有理數(shù)的區(qū)別，解答此題的關(guān)鍵是要明確：有理數(shù)能

寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù).

2.當(dāng)a>0時(shí)，下列關(guān)于幕的運(yùn)算正確的是（）

1j

A、a°=1；B、a'=—ci；C、（―a）~——a~；D、———

a-

【考點(diǎn)】負(fù)整數(shù)指數(shù)幕；有理數(shù)的乘方；分?jǐn)?shù)指數(shù)幕；零指數(shù)幕.

【分析】

分別利用零指數(shù)幕的性質(zhì)以及負(fù)指數(shù)幕的性質(zhì)和分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的性質(zhì)分別分析求

出即可.

【解答】解：A、a0=l（a>0）,正確；

B、a7,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

a

C、（-a）2=a2,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

7

2_

D、a萬=我（a>0）,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】

此題主要考查了零指數(shù)幕的性質(zhì)以及負(fù)指數(shù)幕的性質(zhì)和分?jǐn)?shù)指數(shù)器的性質(zhì)等知

識(shí)，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是正比例函數(shù)的為（）

A2c2XcX+1

A>y—x；B>y=-；C\y=D、y=-~―?

x22

【考點(diǎn)】正比例函數(shù)的定義.

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義來判斷即可得出答案.

【解答】解：A、y是x的二次函數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、y是x的反比例函數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、y是x的正比例函數(shù)，故C選項(xiàng)正確；

D、y是x的一次函數(shù),故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查了正比例函數(shù)的定義：一般地，兩個(gè)變量x,y之間的關(guān)系式可以表示

成形如y=kx（k為常數(shù)，且k/0）的函數(shù),那么y就叫做x的正比例函數(shù).

4.如果一個(gè)正多邊形的中心角為72。，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角.

【分析】

根據(jù)正多邊形的中心角和為360。和正多邊形的中心角相等，列式計(jì)算即可.

【解答】解：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是360+72=5,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查的是正多邊形的中心角的有關(guān)計(jì)算，掌握正多邊形的中心角和為360。

和正多邊形的中心角相等是解題的關(guān)鍵.

8

5.下列各統(tǒng)計(jì)量中，表示一組數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的量是（）

A、平均數(shù)；B、眾數(shù)；C、方差；,D、頻率.

【考點(diǎn)】統(tǒng)計(jì)量的選擇.

【分析】

根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，而方差、標(biāo)準(zhǔn)差反映一

組數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)大小進(jìn)行選擇.

【解答】解：能反映一組數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的是方差或標(biāo)準(zhǔn)差，

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查了標(biāo)準(zhǔn)差的意義，波動(dòng)越大，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定，反之也成

立.

6.如圖,已知在。。中，AB是弦，半徑OC_LAB,垂足為點(diǎn)D,要使四邊形OACB

為菱形，還需要添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是（）

A、AD=BD；B、OD=CD；C,ZCAD=ZCBD；D>ZOCA=ZOCB.

【考點(diǎn)】菱形的判定；垂徑定理.

【分析】利用對(duì)角線互相垂直且互相平分的四邊形是菱形，進(jìn)而求出即可.

【解答】解：；在。。中,AB是弦，半徑OCJ_AB,

AD=DB,

當(dāng)DO=CD,

則AD=BD,DO=CD,AB±CO,

故四邊形OACB為菱形.

故選：B.

9

【點(diǎn)評(píng)】

此題主要考查了菱形的判定以及垂徑定理，熟練掌握菱形的判定方法是解題關(guān)

鍵.

二、填空題

7.（4分）（2015?上海）計(jì)算：|-21+2=4.

【考點(diǎn)】有理數(shù)的加法；絕對(duì)值.

【分析】先計(jì)算|-2|,再加上2即可.

【解答】解：原式=2+2

=4.

故答案為4.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查了有理數(shù)的加法，以及絕對(duì)值的求法，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)

8.（4分）（2015?上海）方程.府工=2的解是x=2.

【考點(diǎn)】無理方程.

【分析】

首先根據(jù)乘方法消去方程中的根號(hào)，然后根據(jù)一元一次方程的求解方法，求出x

的值是多少，最后驗(yàn)根，求出方程岳二1=2的解是多少即可.

【解答】解：寂二^=2,

3x-2=4,

x=2,

當(dāng)x=2時(shí),

左邊=J3X2_2=2，

右邊=2,

???左邊=右邊，

???方程后”=2的解是：x=2.

10

故答案為：x=2.

【點(diǎn)評(píng)】

此題主要考查了無理方程的求解，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1

）解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時(shí)要注意

根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法.常用的方法有：乘方法，配方法，因式分

解法，設(shè)輔助元素法，利用比例性質(zhì)法等.（2）注意：用乘方法（即將方程兩

邊各自乘同次方來消去方程中的根號(hào)）來解無理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注

意驗(yàn)根.

9.（4分）（2015?上海）如果分式互有意義，那么x的取值范圍是_

x+3

XH?3.

【考點(diǎn)】分式有意義的條件.

【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不為0,列出算式，計(jì)算得到答案.

【解答】解：由題意得，x+3x0,

即xx-3,

故答案為：x#-3.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查的是分式有意義的條件，從以下三個(gè)方面透徹理解分式的概念：（1）

分式無意義Q分母為零；（2）分式有意義Q分母不為零；（3）分式值為零Q

分子為零且分母不為零.

10.（4分）（2015?上海）如果關(guān)于x的一元二次方程X2+4X-m=0沒有實(shí)數(shù)根，

那么m的取值范圍是m<-4.

【考點(diǎn)】根的判別式.

【分析】

根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程X2+4X-m=0沒有實(shí)數(shù)根，得出△=16-4（-m）<0

,從而求出m的取值范圍.

【解答】解：；一元二次方程X2+4X-m=0沒有實(shí)數(shù)根，

△=16-4(-m)<0,

11

m<-4,

故答案為m<-4.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(axO)的根的判別式△=b?-4ac：當(dāng)4>0

,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)仆=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)仆<0,

方程沒有實(shí)數(shù)根.

11.(4分)(2015?上海)同一溫度的華氏度數(shù)y(°F)與攝氏度數(shù)x(T)之

間的函數(shù)關(guān)系是y=g<+32,如果某一溫度的攝氏度數(shù)是25P,那么它的華氏度數(shù)

5

是77°F.

【考點(diǎn)】函數(shù)值.

【分析】把x的值代入函數(shù)關(guān)系式計(jì)算求出y值即可.

【解答】解：當(dāng)x=25。時(shí)，

y=§x25+32

5

=77,

故答案為：77.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查的是求函數(shù)值，理解函數(shù)值的概念并正確代入準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵

12.(4分)(2015?上海)如果將拋物線y=x2+2x-1向上平移，使它經(jīng)過點(diǎn)A(

0,3),那么所得新拋物線的表i大式是.V=X2+2X+3.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【分析】

設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x2+2x-1+b,把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入進(jìn)行求值即可得到

b的值.

【解答】解：設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x2+2x-1+b,

把A(0,3)代入，得

3=-1+b,

12

解得b=4,

則該函數(shù)解析式為y=x2+2x+3.

故答案是：y=x2+2x+3.

【點(diǎn)評(píng)】

主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減

,并用規(guī)律求函數(shù)解析式.會(huì)利用方程求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).

13.（4分）（2015?上海）某校學(xué)生會(huì)提倡雙休日到養(yǎng)老院參加服務(wù)活動(dòng)，首

次活動(dòng)需要7位同學(xué)參加，現(xiàn)有包括小杰在內(nèi)的50位同學(xué)報(bào)名，因此學(xué)生會(huì)將從

這50位同學(xué)中隨機(jī)抽取7位，小杰被抽到參加首次活動(dòng)的概率是_工_.

50

【考點(diǎn)】概率公式.

【分析】

由某校學(xué)生會(huì)提倡雙休日到養(yǎng)老院參加服務(wù)活動(dòng)，首次活動(dòng)需要7位同學(xué)參加，

現(xiàn)有包括小杰在內(nèi)的50位同學(xué)報(bào)名，直接利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：學(xué)生會(huì)將從這50位同學(xué)中隨機(jī)抽取7位，

小杰被抽到參加首次活動(dòng)的概率是：-1.

50

故答案為：.

50

【點(diǎn)評(píng)】

此題考查了概率公式的應(yīng)用.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之

比.

14.（4分）（2015?上海）已知某校學(xué)生"科技創(chuàng)新社團(tuán)”成員的年齡與人數(shù)情

況如下表所示：

年齡（歲）1112131415

人數(shù)55161512

那么"科技創(chuàng)新社團(tuán)”成員年齡的中位數(shù)是」_歲.

【考點(diǎn)】中位數(shù).

13

【分析】

一共有53個(gè)數(shù)據(jù)，根據(jù)中位數(shù)的定義，把它們按從小到大的順序排列，第27名

成員的年齡就是這個(gè)小組成員年齡的中位數(shù).

【解答】解：從小到大排列此數(shù)據(jù)，第27名成員的年齡是14歲，

所以這個(gè)小組成員年齡的中位數(shù)是14.

故答案為14.

【點(diǎn)評(píng)】

本題屬于基礎(chǔ)題，考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的能力.注意找中位數(shù)的時(shí)候

一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個(gè)來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)

個(gè)，則正中間的數(shù)字即為所求，如果是偶數(shù)個(gè)則找中間兩位數(shù)的平均數(shù).

15.（4分）（2015?上海）如圖,已知在△ABC中,D、E分別是邊AB、邊AC的

中點(diǎn)，AB=n,AC=n,那么向量DEffl向量IT,n表ZF為——n~-IT_.

22

【考點(diǎn)】*平面向量.

【分析】

由族=7,AC=n,利用三角形法則求解即可求得前,又由在△ABC中，D、E分別

是邊AB、邊AC的中點(diǎn)，可得口￡是^ABC的中位線，然后利用三角形中位線的性

質(zhì)求解即可求得答案.

【解答】解：AB=n,AC=n,

BC=AC-AB=n-K,

,?-在^ABC中，D、E分別是邊AB、邊AC的中點(diǎn)，

.??施亞或

2222

故答案為：勺-品.

22

14

【點(diǎn)評(píng)】

此題考查了平面向量的知識(shí)以及三角形中位線的性質(zhì).注意掌握三角形法則的

應(yīng)用.

16.（4分）（2015?上海）已知E是正方形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AE=AD,

過點(diǎn)E作AC的垂線，交邊CD于點(diǎn)F,那么NFAD=22.5度.

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)可得NDAC=45°,再由AD=AE易證△ADF^△AEF,求出NFAD

【解答】解：如圖，

在RtAAEFfORtAADF中,

[AD=AE

lAF=AF

RtAAEF"RtAADF,

ZDAF=ZEAF,

四邊形ABCD為正方形，

ZCAD=45°,

ZFAD=22.5°.

故答案為：22.5.

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，求證RSAEFVRtAADF

是解本題的關(guān)鍵.

15

17.（4分）（2015?上海）在矩形ABCD中,AB=5,BC=12，點(diǎn)A在OB上,如果

OD與OB相交，且點(diǎn)B在。D內(nèi)，那么。D的半徑長(zhǎng)可以等于一

10（答案不唯一）..（只需寫出一個(gè)符合要求的數(shù)）

【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

專題：開放型.

【分析】

首先求得矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)，然后根據(jù)點(diǎn)A在。B上得到。B的半徑為5,再根據(jù)

OD與。B相交，得到。D的半徑R滿足8<R<18,在此范圍內(nèi)找到一個(gè)值即可.

【解答】解：矩形ABCD中,AB=5,BC=12,

AC=BD=13,

?.?點(diǎn)A在OB上,

。B的半徑為5,

如果。D與。B相交,

?？诘陌霃酱?。<18,

?點(diǎn)B在。D內(nèi)，

R>5,

8<R<18,

10符合要求，

故答案為：10（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查了圓與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是首先確定。B

的半徑，然后確定。D的半徑的取值范圍，難度不大.

18.（4分）（2015?上海）已知在△ABC中,AB=AC=8,ZBAC=30°,將仆ABC繞

點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在原△ABC的點(diǎn)C處，此時(shí)點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，延長(zhǎng)線段AD,交

原^ABC的邊BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,那么線段DE的長(zhǎng)等于4才-4.

【考點(diǎn)】解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì).

專題：計(jì)算題.

16

【分析】

作CHJLAE于H,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出NACB=1

2

(180°-ZBAC)=75°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AB=8,ZCAD=ZBAC=30°,則

利用三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出NE=45。，接著在RSACH中利用含30度的直角三

角形三邊的關(guān)系得CH=^AC=4,AH=V3CH=4V3,所以DH=AD-AH=8-4?,然

后在RtaCEH中利用NE=45°得到EH=CH=4,于是可得DE=EH-DH=4?-4.

【解答】解：作CH_LAE于H,如圖，

AB=AC=8,

ZB=ZACB=1(180--ZBAC)=1(180°-30°)=75°,

22

1?,△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在原△ABC的點(diǎn)C處，此時(shí)點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，

AD=AB=8,ZCAD=ZBAC=30°,

,/ZACB=ZCAD+ZE,

ZE=75°-30°=45°,

在RSACH中,???ZCAH=30°,

CH=-1AC=4,AH=V3CH=4-\/3,

2

DH=AD-AH=8-4T,

在RtaCEH中,---ZE=45°,

EH=CH=4,

DE=EH-DH=4-(8-473)=473-4.

故答案為4b-4.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就

是解直角三角形.也考查了等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

17

三、解答題

19.（10分）（2015?上海）先化簡(jiǎn)，再求值：r—工-口，其中x=

2

X+4X+4X+2X+2

V2-1.

【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值.

【分析】

先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把x的值代入進(jìn)行計(jì)算即可.

X-1

【解答】解：原式=一

（x+2）2xx+2

=X.x-1

x+2x+2

=1

----/

x+2

當(dāng)x=&-1時(shí)，原式=-=1----=V2'1.

V2-1+2

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵.

(4x>2x-6

20.（10分）（2015?上海）解不等式組：,并把解集在數(shù)軸上表

示出來.

-?-1n1~?a'

【考點(diǎn)】解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集.

【分析】

先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集

即可.

’4x>2x-6①

【解答】解：x-1

《晉②

3y

..?解不等式①得：x>-3,

解不等式②得：x<2,

18

??.不等式組的解集為-3<X42,

在數(shù)軸上表示不等式組的解集為：-2-101?.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集的應(yīng)用，解此

題的關(guān)鍵是能根據(jù)不等式的解集求出不等式組的解集，難度適中.

21.(10分)(2015?上海)已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正比例函

數(shù)y=Wx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,反比例函數(shù)y=z的圖象也經(jīng)過點(diǎn)A,

3x

第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)B作BCIIx軸，交y軸于點(diǎn)C,

且AC=AB.求：

(1)這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.

【分析】

(1)根據(jù)正比例函數(shù)y=2x的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,求出點(diǎn)A的坐標(biāo)

3

,根據(jù)反比例函數(shù)y=E的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,求出m的值；

x

(2)根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)和等腰三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求

出直線AB的表達(dá)式.

【解答】解：；正比例函數(shù)y=&的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,

3

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),

反比例函數(shù)y二工的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,

19

m=12,

反比例函數(shù)的解析式為：y=A2；

X

（2）如圖,連接AC、AB，作ADJ_BC于D,

???AC=AB,AD±BC,

BC=2CD=6,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（6,2）,

設(shè)直線AB的表達(dá)式為：y=kx+b,

由題意得，（3k+b=4,

16k+b=2

f__i

解得，k飛,

b=6

本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)與反

比例函數(shù)的解得的求法，注意數(shù)形結(jié)合的思想在解題中的應(yīng)用.

22.（10分）（2015?上海）如圖，MN表示一段筆直的高架道路，線段AB表示

高架道路旁的一排居民樓，已知點(diǎn)A到MN的距離為15米,BA的延長(zhǎng)線與MN相

交于點(diǎn)D,且NBDN=30。，假設(shè)汽車在高速道路上行駛時(shí)，周圍39米以內(nèi)會(huì)受到

噪音（XRS）的影響.

（1）過點(diǎn)A作MN的垂線，垂足為點(diǎn)H,如果汽車沿著從M到N的方向在MN上行

駛，當(dāng)汽車到達(dá)點(diǎn)P處時(shí)，噪音刑臺(tái)影響這一排的居民樓，那么此時(shí)汽車與點(diǎn)H

的距離為多少米？

20

（2）降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板，當(dāng)汽車行駛到點(diǎn)Q時(shí)，

它與這一排居民樓的距離QC為39米，那么對(duì)于這一排居民樓，高架道路旁安裝

的隔音板至少需要多少米長(zhǎng)？（精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：73=1.7）

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；勾股定理的應(yīng)用.

【分析】（1）連接PA.在直角△PAH中利用勾股定理來求PH的長(zhǎng)度；

（2）由題意知，隔音板的長(zhǎng)度是PQ的長(zhǎng)度.通過解RSADH、RtACDQ分別求

得DH、DQ的長(zhǎng)度，然后結(jié)合圖形得到：PQ=PH+DQ-DH,把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代

入求值即可.

【解答】

解：（1）如圖，連接PA.由題意知，AP=39m.在直角△APH中，PH=

7AP2-AH2=7392-152=36（米）；

（2）由題意知，隔音板的長(zhǎng)度是PQ的長(zhǎng)度.

在RSADH中，DH=AH?cot300=15V3（米）.

在RSCDQ中,DQ=-—=學(xué)=78（米）.

sin30°1

2

貝!]PQ=PH+HQ=PH+DQ-DH=36+78-15后114-15x1.7=88.5=89（米）.

答：高架道路旁安裝的隔音板至少需要89米.

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用.根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適

當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得

到實(shí)際問題的答案.

21

23.(12分)(2015?上海)已知，如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)0

，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，且OE=OB,連接DE.

(1)求證：DEJ_BE；

(2)如果OELCD,求證：BD?CE=CD?DE.

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

專題：證明題.

【分析】

(1)由平行四邊形的性質(zhì)得到BO」BD,由等量代換推出OEJBD,根據(jù)平行四

22

邊形的判定即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)等角的余角相等，得到NCEO=ZCDE,推出△BDE”△CDE,即可得到

結(jié)論.

【解答】證明：(1).「四邊形ABCD是平行四邊形，

BO=1BD,

2

OE=OB,

OE=1BD,

2

ZBED=90°,

DE±BE；

(2),??OE±CD

ZCEO+ZDCE=ZCDE+ZCE=90°,

ZCEO=ZCDE,

OB=OE,

ZDBE=ZCDE,

???ZBED=ZBED,

.1.△BDEs△CDE,

22

.BDDE

-CD=CE'

BD?CE=CD?DE.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形

的性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵.

24.(12分)(2015?上海)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖)，拋物線y=a

x2-4與x軸的負(fù)半軸(XRS)相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)B,AB=2娓，點(diǎn)P在拋

物線上，線段AP與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,線段BP與x軸相交于點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)P的橫

坐標(biāo)為m.

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)用含m的代數(shù)式表示線段C。的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)tanNODC=-?0j-,求NPAD的正弦值.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

【分析】

(1)根據(jù)已知條件先求出0B的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理得出0A=2,求出點(diǎn)A的坐標(biāo)

,再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=ax2-4,求出a的值，從而求出解析式；

(2)根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，過點(diǎn)P作PELx軸于點(diǎn)E,得出0E=m,PE

=m2-4,從而求出AE=2+m,再根據(jù)區(qū)=旭,求出。C；

PEAE

23

(3)根據(jù)tanNODC=J，得出國(guó)=衛(wèi)，求出0D和0C,再根據(jù)△ODB-&EDP，得

20D2

出以=還,求出0C,求出NPAD=45",從而求出NPAD的正弦值.

EDEP

【解答】解：(1)?「拋物線y=ax2-4與y軸相交于點(diǎn)B,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,-4),

OB=4,

VAB=2泥,

OA=VAB2+OB2=2，

二點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),

把(-2,0)代入y=ax2-4得：0=4a-4,

解得：a=l,

則拋物線的解析式是：y=x2-4；

(2)?二點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,m2-4),

過點(diǎn)P作PE_Lx軸于點(diǎn)E,

/.OE=m,PE=m2-4