第2節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別

——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第2節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別1第七章無窮級(jí)數(shù)第二節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)3一.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件比較判別法比值判別法根值判別法41.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義若級(jí)數(shù)則稱之為正項(xiàng)級(jí)數(shù).定義52.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù){Sn}有界.定理7.16級(jí)數(shù)是否收斂？該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),又有(n=1,2,…)故當(dāng)n1時(shí),有即其部分和數(shù)列{Sn}有界,從而,級(jí)數(shù)解例173.正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的比較判別法且0

un

vn(n=1,2,…)大收小收,小發(fā)大發(fā).8記

0

un

vn

(n=1,2,…)

0

Sn

Gn證(1)9記

0

un

vn

(n=1,2,…)

0

Sn

Gn證(2)10判斷級(jí)數(shù)的斂散性.(0<x<3

)由于又由等比級(jí)數(shù)的斂散性可知：原級(jí)數(shù)收斂.解例211討論P(yáng)

級(jí)數(shù)(p>0)的斂散性.當(dāng)p＝1時(shí),P

級(jí)數(shù)為調(diào)和級(jí)數(shù):它是發(fā)散的.當(dāng)0<p<1時(shí),有由比較判別法,P級(jí)數(shù)此時(shí)是發(fā)散的.解例312當(dāng)p>1時(shí),按1,2,22,23,…,2n,…項(xiàng)而對(duì)P

級(jí)數(shù)加括號(hào),不影響其斂散性：13……14故當(dāng)p>1時(shí),P級(jí)數(shù)收斂.綜上所述:當(dāng)p>1時(shí),P級(jí)數(shù)收斂.

當(dāng)p1時(shí),P級(jí)數(shù)發(fā)散.154.比較判別法的極限形式16由于(0<<+)故>0,N>0,當(dāng)n>N時(shí),不妨取運(yùn)用比較判別法可知,具有相同的斂散性.證(1)

當(dāng)0<<+時(shí),17由于(=0)取

=1時(shí),N>0,當(dāng)n>N時(shí),故由比較判別法,當(dāng)=0時(shí),證(2)18由于(=)

M>0(不妨取M>1),即由比較判別法,證(3)故

N>0,當(dāng)n>N時(shí),當(dāng)=時(shí),0

vn<un19判別級(jí)數(shù)的斂散性(a>0為常數(shù)).因?yàn)?即

=1為常數(shù))又是調(diào)和級(jí)數(shù),它是發(fā)散的,發(fā)散.解原級(jí)數(shù)故例4205.比值判別法(1)<1時(shí),級(jí)數(shù)收斂；(2)>1(包括=)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)=1時(shí),不能由此斷定級(jí)數(shù)的斂散性.利用級(jí)數(shù)本身來進(jìn)行判別.21判別級(jí)數(shù)的斂散性,其中,x0為常數(shù).即

=x2解記則例522當(dāng)0<|x|<1時(shí),<1,級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)|x|>1時(shí),>1,級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)|x|=1時(shí),

=1,但原級(jí)數(shù)此時(shí)為這是n=2的P

級(jí)數(shù),是收斂的.綜上所述,當(dāng)0<|x|1時(shí),原級(jí)數(shù)收斂,當(dāng)|x|>1時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散.23由達(dá)朗貝爾比值判別法知該正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得例6解246.柯西根值判別法(1)<1時(shí),級(jí)數(shù)收斂；(2)>1(包括=)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)=1時(shí),不能由此斷定級(jí)數(shù)的斂散性.25解例726判別的斂散性.(x>0,a>0為常數(shù))記解即當(dāng)x>a時(shí),當(dāng)0<x<a時(shí),當(dāng)x=a