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文檔簡介
北京市東城區(qū)北京第六十六中學(xué)2024屆高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,在棱長為4的正方體中,E,F(xiàn),G分別為棱AB,BC,的中點,M為棱AD的中點,設(shè)P,Q為底面ABCD內(nèi)的兩個動點,滿足平面EFG,,則的最小值為()A. B. C. D.2.函數(shù)的圖像大致為().A. B.C. D.3.已知集合,則=()A. B. C. D.4.如圖,在平行四邊形中,為對角線的交點,點為平行四邊形外一點,且,,則()A. B.C. D.5.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,,則()A. B.2 C.3 D.6.設(shè)為非零實數(shù),且,則()A. B. C. D.7.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的最長棱的長為()A. B. C. D.8.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為,則下列結(jié)論正確的是()A. B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是C. D.9.函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B. C. D.10.某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是邊長為4的正三角形,俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個半圓構(gòu)成,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.11.一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A. B. C. D.12.已知直三棱柱中,,,,則異面直線與所成的角的正弦值為().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線y=e-5x+2在點(0,3)處的切線方程為________.14.已知,滿足約束條件,則的最小值為______.15.設(shè)點P在函數(shù)的圖象上,點Q在函數(shù)的圖象上,則線段PQ長度的最小值為_________16.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、,其中為左焦點.點為兩曲線在第一象限的交點,、分別為曲線、的離心率,若是以為底邊的等腰三角形,則的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-2a-x-a(Ⅰ)若f(1)>1,求a的取值范圍;(Ⅱ)若a<0,對?x,y∈-∞,a,都有不等式f(x)≤(y+2020)+18.(12分)已知,,動點滿足直線與直線的斜率之積為,設(shè)點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若過點的直線與曲線交于,兩點,過點且與直線垂直的直線與相交于點,求的最小值及此時直線的方程.19.(12分)已知的面積為,且.(1)求角的大小及長的最小值;(2)設(shè)為的中點,且,的平分線交于點,求線段的長.20.(12分)隨著時代的發(fā)展,A城市的競爭力、影響力日益卓著,這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數(shù)懷揣夢想的年輕人前來發(fā)展,目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日,某報社記者作了有關(guān)“你來A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問卷,參與調(diào)查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:來A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計自然環(huán)境1.森林城市,空氣清新2003002.降水充足,氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務(wù)到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開放且包容250合計10001000(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),預(yù)測400萬25~44歲年齡的人中,選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有多少人;(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,從這6人中再選取3人發(fā)放紀(jì)念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”的概率;(3)在選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性;在選擇“人文環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性;請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)?自然環(huán)境人文環(huán)境合計男女合計附:,.P()0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821.(12分)如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分別是AC,B1C1的中點.求證:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)AN⊥A1B.22.(10分)分別為的內(nèi)角的對邊.已知.(1)若,求;(2)已知,當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時,求的周長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
把截面畫完整,可得在上,由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上,利用對稱性可得的最小值.【詳解】如圖,分別取的中點,連接,易證共面,即平面為截面,連接,由中位線定理可得,平面,平面,則平面,同理可得平面,由可得平面平面,又平面EFG,在平面上,∴.正方體中平面,從而有,∴,∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓(圓在正方形內(nèi)的部分)上,顯然關(guān)于直線的對稱點為,,當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號,∴所求最小值為.故選:C.【點睛】本題考查空間距離的最小值問題,解題時作出正方體的完整截面求出點軌跡是第一個難點,第二個難點是求出點軌跡,第三個難點是利用對稱性及圓的性質(zhì)求得最小值.2、A【解析】
本題采用排除法:由排除選項D;根據(jù)特殊值排除選項C;由,且無限接近于0時,排除選項B;【詳解】對于選項D:由題意可得,令函數(shù),則,;即.故選項D排除;對于選項C:因為,故選項C排除;對于選項B:當(dāng),且無限接近于0時,接近于,,此時.故選項B排除;故選項:A【點睛】本題考查函數(shù)解析式較復(fù)雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號的正負(fù)等有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行逐一排除是解題的關(guān)鍵;屬于中檔題.3、D【解析】
先求出集合A,B,再求集合B的補集,然后求【詳解】,所以.故選:D【點睛】此題考查的是集合的并集、補集運算,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
連接,根據(jù)題目,證明出四邊形為平行四邊形,然后,利用向量的線性運算即可求出答案【詳解】連接,由,知,四邊形為平行四邊形,可得四邊形為平行四邊形,所以.【點睛】本題考查向量的線性運算問題,屬于基礎(chǔ)題5、A【解析】
由奇函數(shù)定義求出和.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù),.又當(dāng)時,,.故選:A.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性,掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.6、C【解析】
取,計算知錯誤,根據(jù)不等式性質(zhì)知正確,得到答案.【詳解】,故,,故正確;取,計算知錯誤;故選:.【點睛】本題考查了不等式性質(zhì),意在考查學(xué)生對于不等式性質(zhì)的靈活運用.7、D【解析】
先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個四棱錐,根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù),計算各棱的長度.【詳解】根據(jù)三視圖可知,幾何體是一個四棱錐,如圖所示:由三視圖知:,所以,所以,所以該幾何體的最長棱的長為故選:D【點睛】本題主要考查三視圖的應(yīng)用,還考查了空間想象和運算求解的能力,屬于中檔題.8、D【解析】
首先求得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)除法運算對選項逐一分析,由此確定正確選項.【詳解】由題意知復(fù)數(shù),則,所以A選項不正確;復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,所以B選項不正確;,所以C選項不正確;,所以D選項正確.故選:D【點睛】本小題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)的乘法和除法運算等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結(jié)合思想.9、D【解析】
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式和輔助角公式化簡表達(dá)式,再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,求得的單調(diào)區(qū)間,由此確定正確選項.【詳解】因為,由單調(diào)遞增,則(),解得(),當(dāng)時,D選項正確.C選項是遞減區(qū)間,A,B選項中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選:D【點睛】本小題考查三角函數(shù)的恒等變換,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識.10、A【解析】由題意得到該幾何體是一個組合體,前半部分是一個高為底面是邊長為4的等邊三角形的三棱錐,后半部分是一個底面半徑為2的半個圓錐,體積為故答案為A.點睛:思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系,遵循“長對正,高平齊,寬相等”的基本原則,其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高,長是幾何體的長;俯視圖的長是幾何體的長,寬是幾何體的寬;側(cè)視圖的高是幾何體的高,寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫出整體,然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.11、D【解析】
試題分析:如圖所示,截去部分是正方體的一個角,其體積是正方體體積的,剩余部分體積是正方體體積的,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為,故選D.考點:本題主要考查三視圖及幾何體體積的計算.12、C【解析】
設(shè)M,N,P分別為和的中點,得出的夾角為MN和NP夾角或其補角,根據(jù)中位線定理,結(jié)合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形:設(shè)M,N,P分別為和的中點,則的夾角為MN和NP夾角或其補角可知,.作BC中點Q,則為直角三角形;中,由余弦定理得,在中,在中,由余弦定理得所以故選:C【點睛】此題考查異面直線夾角,關(guān)鍵點通過平移將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角,屬于較易題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】
先利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率,再寫出切線方程.【詳解】因為y′=-5e-5x,所以切線的斜率k=-5e0=-5,所以切線方程是:y-3=-5(x-0),即y=-5x+3.故答案為y=-5x+3.【點睛】(1)本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的求導(dǎo),意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率,相應(yīng)的切線方程是14、2【解析】
作出可行域,平移基準(zhǔn)直線到處,求得的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示,由圖可知平移基準(zhǔn)直線到處時,取得最小值為.故答案為:【點睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求最值,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
由解析式可分析兩函數(shù)互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對稱,則點到的距離的最小值的二倍即為所求,利用導(dǎo)函數(shù)即可求得最值.【詳解】由題,因為與互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對稱,設(shè)點為,則到直線的距離為,設(shè),則,令,即,所以當(dāng)時,,即單調(diào)遞減;當(dāng)時,,即單調(diào)遞增,所以,則,所以的最小值為,故答案為:【點睛】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問題.16、【解析】
設(shè),由橢圓和雙曲線的定義得到,根據(jù)是以為底邊的等腰三角形,得到,從而有,根據(jù),得到,再利用導(dǎo)數(shù)法求的范圍.【詳解】設(shè),由橢圓的定義得,由雙曲線的定義得,所以,因為是以為底邊的等腰三角形,所以,即,因為,所以,因為,所以,所以,即,而,因為,所以在上遞增,所以.故答案為:【點睛】本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和幾何性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(-∞,-1)∪(1,+∞);(Ⅱ)-1010,0.【解析】
(Ⅰ)由題意不等式化為|1-2a|-|1-a|>1,利用分類討論法去掉絕對值求出不等式的解集即可;(Ⅱ)由題意把問題轉(zhuǎn)化為[f(x)]max≤[|y+2020|+|y-a|]min,分別求出【詳解】(Ⅰ)由題意知,f(1)=|1-2a|-|1-a|>1,若a≤12,則不等式化為1-2a-1+a>1,解得若12<a<1,則不等式化為2a-1-(1-a)>1,解得若a≥1,則不等式化為2a-1+1-a>1,解得a>1,綜上所述,a的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞);(Ⅱ)由題意知,要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y-a|恒成立,只需[f(x)]max當(dāng)x∈(-∞,a]時,|x-2a|-|x-a|≤-a,[f(x)]max因為|y+2020|+|y-a|≥|a+2020|,所以當(dāng)(y+2020)(y-a)≤0時,[|y+2020|+|y-a|]min即-a≤|a+2020|,解得a≥-1010,結(jié)合a<0,所以a的取值范圍是[-1010,0).【點睛】本題考查了絕對值不等式的求解問題,含有絕對值的不等式恒成立應(yīng)用問題,以及絕對值三角不等式的應(yīng)用,考查了分類討論思想,是中檔題.含有絕對值的不等式恒成立應(yīng)用問題,關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化為最值問題,再通過絕對值三角不等式求解最值,從而建立不等關(guān)系,求出參數(shù)范圍.18、(1)(2)的最小值為1,此時直線:【解析】
(1)用直接法求軌跡方程,即設(shè)動點為,把已知用坐標(biāo)表示并整理即得.注意取值范圍;(2)設(shè):,將其與曲線的方程聯(lián)立,消元并整理得,設(shè),,則可得,,由求出,將直線方程與聯(lián)立,得,求得,計算,設(shè).顯然,構(gòu)造,由導(dǎo)數(shù)的知識求得其最小值,同時可得直線的方程.【詳解】(1)設(shè),則,即整理得(2)設(shè):,將其與曲線的方程聯(lián)立,得即設(shè),,則,將直線:與聯(lián)立,得∴∴設(shè).顯然構(gòu)造在上恒成立所以在上單調(diào)遞增所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時取“=”即的最小值為1,此時直線:.(注:1.如果按函數(shù)的性質(zhì)求最值可以不扣分;2.若直線方程按斜率是否存在討論,則可以根據(jù)步驟相應(yīng)給分.)【點睛】本題考查求軌跡方程,考查直線與橢圓相交中的最值.直線與橢圓相交問題中常采用“設(shè)而不求”的思想方法,即設(shè)交點坐標(biāo)為,設(shè)直線方程,直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元,然后用韋達(dá)定理得(或),把這個代入其他條件變形計算化簡得出結(jié)論,本題屬于難題,對學(xué)生的邏輯推理、運算求解能力有一定的要求.19、(1),;(2).【解析】
(1)根據(jù)面積公式和數(shù)量積性質(zhì)求角及最大邊;(2)根據(jù)的長度求出,再根據(jù)面積比值求,從而求出.【詳解】(1)在中,由,得,由,得,所以,所以,,因為在中,,所以,因為(當(dāng)且僅當(dāng)時取等),所以長的最小值為;(2)在三角形中,因為為中線,所以,,所以,因為,所以,所以,由(1)知,所以,或,,所以,因為為角平分線,,,或2,所以,或,所以.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算,余弦定理解三角形及三角形面積公式的應(yīng)用,屬于中檔題.20、(1)(萬)(2)(3)填表見解析;有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)【解析】
(1)在1000個樣本中選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有300個,根據(jù)頻率公式即可求得結(jié)果.(2)由分層抽樣的知識可得,抽取6人中,4人選擇“森林城市,空氣清新”,2人選擇“降水充足,氣候怡人”求出對應(yīng)的基本事件數(shù),即可求得結(jié)果.(3)計算的值,對照臨界值表可得答案.【詳解】(1)(萬)(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展理由的300人中
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