【數(shù)學(xué)反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用探究7500字（論文）】

數(shù)學(xué)反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用研究目錄0.引言 11.數(shù)學(xué)反例的構(gòu)建 21.1特例法 21.2逆向思維法 31.3類比法 32.數(shù)學(xué)反例在教學(xué)中的作用 42.1有利于學(xué)生思維縝密性的發(fā)展 42.2有助于學(xué)生思維的發(fā)散 52.3有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的形成和理解 62.4有助于數(shù)學(xué)知識的歸納總結(jié) 63.數(shù)學(xué)反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用方式 73.1教師提出問題，讓學(xué)生尋找反例來解答 73.2教師提出反例，讓學(xué)生判斷 83.3教師將學(xué)生作業(yè)中的錯題當(dāng)反例來分析講解 94.反例教學(xué)的幾點(diǎn)要求 94.1在數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行反例教學(xué)，要注意反例的選擇 104.2要搭建科學(xué)的反例教學(xué)模式，不斷地創(chuàng)新和優(yōu)化教學(xué)過程 104.3進(jìn)行反例教學(xué)時要注意循序漸進(jìn) 115.總結(jié) 11參考文獻(xiàn) 12摘要：在實際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，反例的教學(xué)常常被忽略，但反例在數(shù)學(xué)教學(xué)上有著至關(guān)重要的地位，在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用反例教學(xué)可以使教學(xué)的效果得到很好的提升。將反例教學(xué)的作用充分的發(fā)揮出來，使學(xué)生培養(yǎng)出良好的思維能力，應(yīng)當(dāng)是所有數(shù)學(xué)教師的責(zé)任和義務(wù)。本文結(jié)合反例教學(xué)在課堂中的實際應(yīng)用，淺談在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中反例的地位和作用，以及反例教學(xué)的幾種方法。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)反例，反例構(gòu)建，反例教學(xué)引言反例是相對于全稱命題的一個概念，顧名思義就是與命題相反，也就是不符合命題的例子。反例在數(shù)學(xué)和哲學(xué)中都有著至關(guān)重要的作用。反例在數(shù)學(xué)證明的過程是經(jīng)常會用到的。我們都知道，在數(shù)學(xué)中，要判斷一個命題是真命題，必須經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，但要判斷一個命題是假命題，只要提出一個符合命題的條件但不符合命題結(jié)論的例子就行，這種例子我們就稱之為反例。數(shù)學(xué)中很多命題或猜想是全稱命題，稱所有某類事物都有某種性質(zhì)，或者只要滿足某種條件，就會得到某種必然的結(jié)果。當(dāng)人們很難證明這樣的數(shù)學(xué)猜想時，數(shù)學(xué)家常會找一個反例證明這個猜想是錯的。例如在公元前五世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為“萬物皆是數(shù)”——任何數(shù)均能表示為整數(shù)或整數(shù)的比。后來希伯索斯發(fā)現(xiàn)了反例：正方形的邊長為1時，這個正方形對角線的長就無法用整數(shù)表示，直接導(dǎo)致了數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn)。反例具有的明顯、直觀、形象等特點(diǎn)，使其在數(shù)學(xué)教學(xué)中擁有不可或缺的地位。本文將結(jié)合實際的數(shù)學(xué)教學(xué)，淺談數(shù)學(xué)反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用及實際運(yùn)用。數(shù)學(xué)反例的構(gòu)建數(shù)學(xué)是一門抽象但又嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S科學(xué)，思維方式獨(dú)特且多樣，用直觀的感覺想當(dāng)然地去看待它，往往會“差之毫厘，失之千里”，此時構(gòu)建反例是判斷自己的理解是否正確的有效方法。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生掌握多種思維方法與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉壿?，讓學(xué)生學(xué)會舉反例也同樣重要。在概念和定理的教學(xué)中，巧妙的運(yùn)用反例教學(xué)，能使概念與定理變的形象易懂，容易掌握。在習(xí)題的練習(xí)中，舉反例是判斷與糾正錯誤最有效的方法，是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的重要工具。經(jīng)常進(jìn)行反例教學(xué)有助于學(xué)生形成具有批判性和創(chuàng)造性的良好思維品質(zhì)，有助于培養(yǎng)學(xué)生合理懷疑的“批判精神”?；谝陨险J(rèn)知，構(gòu)建反例就是一項必要的數(shù)學(xué)技能，是數(shù)學(xué)教育和學(xué)習(xí)中必不可少的基本功，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要重視培養(yǎng)學(xué)生的這一技能。反例的構(gòu)建非常靈活，它需要我們運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識，并充分展開想象。有時候，經(jīng)過長時間的思考所得到的反例卻意外的簡單，使人興奮的同時又懊惱自己看破的太晚，并深深地沉浸在優(yōu)美而奇異的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中。反例其實就是說明命題不成立的一個特例，一般來說，一些命題不是一切情況下均假，而是在有的情況下真，有的情況下假，經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，一一驗證，把成立的情況排除，不成立的情況挑選出來，繼而得到反例。當(dāng)把一個命題作為真命題去分析時，如果遇到困難無法進(jìn)展，甚至得到一些互相矛盾的結(jié)果，那這就是尋找反例解決問題的好時機(jī)。文獻(xiàn)[2]中論述了數(shù)學(xué)反例的幾種分類和構(gòu)建方法，本文將引用并深入探討其中的三種反例構(gòu)建方法:特例法、逆向思維法、類比法。特例法構(gòu)建一個命題的反例，是判斷命題及其逆命題真?zhèn)蔚某Ｓ梅椒āＶ乜紤]題設(shè)的特例，往往能很快的發(fā)現(xiàn)反例。例如，對于命題：“兩個非周期函數(shù)的積一定是非周期函數(shù)”，我們要尋找它的反例，如函數(shù)與，這兩個函數(shù)都不是周期函數(shù)，而它們的積=顯然是周期函數(shù)，舉這一個反例就可以簡單明了的判斷原命題為假命題。逆向思維法考慮命題的反面，運(yùn)用“逆向思維”構(gòu)建反例，就能否定命題。例如：判斷命題“對于任意的三角形，包含這個三角形的最小圓是它的外接圓”。我們可以運(yùn)用逆向思維來構(gòu)建它的反例，如圖（1）：作一大一小兩個相交的圓，在大圓包含于小圓內(nèi)的那段圓弧上取三點(diǎn)相互連接構(gòu)成一個三角形，大圓即為該三角形的外接圓，顯然兩個圓都包含這個三角形，但這個三角形的外接圓顯然不是包含這個三角形的最小圓。圖（1）圖（1）類比法類比法構(gòu)建反例有兩種不同的形式：一種是根據(jù)已知的反例的特點(diǎn)與思維方式，在不同的地方用類似的方法構(gòu)建反例。例如關(guān)于連續(xù)函數(shù)是否處處可導(dǎo)的問題，1860年，魏爾斯特拉斯用級數(shù)的方法構(gòu)造出了一個處處連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)，后來該方法被廣泛使用，構(gòu)造出了更多處處連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)。另一種是將所給的命題與相似的已知命題作比較，根據(jù)兩者不同的地方構(gòu)建反例。如例題：判斷命題“互不相交的兩條直線平行”是否正確。我們知道平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。作比較可以發(fā)現(xiàn)例題所給命題少了一個前提條件“在同一平面內(nèi)”，于是我們就可以作不在同一平面中并且互不相交的兩條直線，使這兩條直線不平行，即為所給命題的反例。如圖（2）：圖（2）圖（2）ba數(shù)學(xué)反例的在教學(xué)中的作用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個階段中，反例都很常見，通過對反例的教學(xué)可以幫助學(xué)生對一些數(shù)學(xué)概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生對知識的歸納總結(jié)能力，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的能力，并且學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)反例的構(gòu)建還能鍛煉學(xué)生思維發(fā)散的能力，課堂教學(xué)中合理地使用反例教學(xué)，可以使學(xué)生更全面的掌握數(shù)學(xué)知識，更好的解決數(shù)學(xué)問題。此外，學(xué)會舉反例有助于學(xué)生形成批判意識，這也是新課改提出的要求。綜上所述，顯然數(shù)學(xué)反例在教學(xué)中具有獨(dú)特且重要的作用，所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中既要重視解答數(shù)學(xué)命題的能力，也要加強(qiáng)反例的教學(xué)[3]。有利于學(xué)生思維縝密性的發(fā)展反例教學(xué)有利于學(xué)生思維縝密性的發(fā)展，關(guān)于這一觀點(diǎn)我們可以通過分析下述例子得出。例如命題：“對于正整數(shù)，的結(jié)果總是素數(shù)”。我們對這個式子進(jìn)行分析，如果從第一個正整數(shù)開始進(jìn)行代入驗證的話，我們就會認(rèn)為這個結(jié)論是正確的：從開始進(jìn)行數(shù)值代入，一直代到，結(jié)果都是素數(shù)。一般來說，學(xué)生不會進(jìn)行個數(shù)字的代入，他們往往代入幾個數(shù)值之后就會對結(jié)論進(jìn)行判定。這樣的解題方式很容易使學(xué)生得出一個錯誤的結(jié)論。構(gòu)建這個命題的反例可以從式子本身結(jié)構(gòu)的角度去考慮，仔細(xì)觀察這個命題，多數(shù)學(xué)生都能看出當(dāng)時，肯定不是素數(shù)。但少有學(xué)生會想到時，，顯然也不是素數(shù)。因此在構(gòu)建反例時，同樣也鍛煉了學(xué)生，是讓學(xué)生學(xué)習(xí)從多個層面去思考問題的一個過程，注重合理的運(yùn)用反例教學(xué)，不但能讓學(xué)生快速發(fā)現(xiàn)問題中的錯誤，補(bǔ)全相關(guān)知識，而且有助于學(xué)生學(xué)習(xí)從多個層面去思考問題，發(fā)展學(xué)生思維的縝密性。有助于學(xué)生思維的發(fā)散在廣大數(shù)學(xué)教師多年的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，他們得出了這樣的一個結(jié)論：構(gòu)建反例的過程有助于鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維。對于該結(jié)論的證明，同樣可以通過分析反例進(jìn)行。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，矩形的學(xué)習(xí)是一個十分重要的內(nèi)容。矩形具有一些自身獨(dú)特的性質(zhì)，例如矩形的兩條對角線長度是相等的，且兩條對角線互相平分。為了讓學(xué)生能熟練掌握這個重要的知識點(diǎn)，教師可以使用反例教學(xué)的模式來進(jìn)行講授。我們可以進(jìn)行提問：（一）是不是所有對角線長度相等的四邊形都是矩形？（二）是不是所有對角線互相平分的四邊形形都是矩形？如果不是請舉例說明。很顯然，觀點(diǎn)一和觀點(diǎn)二都是錯誤的，而反例也很容易找出來，如等腰梯形以及菱形。對于學(xué)生來說，這兩個反例是他們熟悉的，生活中經(jīng)常能看到的，學(xué)生就能很快的理解和接受。這時，教師可以再進(jìn)一步提問：還有沒有其它的反例呢？讓學(xué)生去發(fā)散思維，獨(dú)立的進(jìn)行思考?？傊蠢虒W(xué)是數(shù)學(xué)課堂中的重要教學(xué)方式，合理的運(yùn)用反例教學(xué)能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的記憶更深刻，并且能促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)散能力。為此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)的過程中要時刻謹(jǐn)記：要用反例教學(xué)的方法，引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行思考，不斷地提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力及學(xué)習(xí)興趣。有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的形成和理解ababc圖（3）對學(xué)生來說學(xué)習(xí)一個新概念不是一時就能學(xué)會的，它是一個認(rèn)知逐漸深入的過程，需要花時間去理解消化其中的內(nèi)涵，有的比較軸象的數(shù)學(xué)概念學(xué)生很難理解，教師不能只是簡簡單單的敘述一遍，而是要努力去尋找能讓學(xué)生理解的表達(dá)方法，如果從正面解釋學(xué)生不能理解的話，可以從反面來解釋說明，此時舉幾個反例，根據(jù)概念的內(nèi)涵、概念的關(guān)鍵點(diǎn)作比較、解釋，再讓學(xué)生去理解學(xué)生就會更容易接受。有助于數(shù)學(xué)知識的歸納總結(jié)學(xué)習(xí)完一定課時或章節(jié)的數(shù)學(xué)知識后，經(jīng)常需要對學(xué)到的知識進(jìn)行總結(jié)歸納，通常我們會使用歸類法、列提綱法。對于同類的數(shù)學(xué)知識，教師基本都會進(jìn)行總結(jié)歸納，教師要幫助學(xué)生找到概念的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，以此對所學(xué)知識進(jìn)行分類，還要注意對概念的內(nèi)涵和外延進(jìn)行講解，要發(fā)展學(xué)生用“三段論”進(jìn)行推理判斷的能力。總結(jié)時通過舉反例讓學(xué)生判斷來提高學(xué)生對概念的認(rèn)知是非常常用的方法，例如判斷一個四邊形是平行四邊形，除了教材里已有的判定定理之外，還有其它判定方法，如“兩組對角分別相等的平面四邊形是平行四邊形”，為了讓學(xué)生記住這個判定方法，教師可以拿相似的命題讓學(xué)生回答是否正確，比如像“一組對角相等，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形嗎？”只要舉一個反例就能證明這個命題是錯誤的，但是這個反例學(xué)生不一定能找出來，這時教師就要為學(xué)生引導(dǎo)、解答。如圖（4），四邊形ABCD為平行四邊形，我們利用同弧所對圓周角相等這一性質(zhì)，分別過點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)A，D，C作兩個相等的圓，然后將點(diǎn)B在圓上移動到點(diǎn)E，使得AB=AE，此時得到四邊形AECD，它滿足對邊AE=CD,對角AEC=ADC，但很明顯它不是平行四邊形。AABCDE圖（4）這類情形在數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常會有，只要教師把握好方法和時機(jī)，就能達(dá)到良好的教學(xué)效果。數(shù)學(xué)反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用方式反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用場景和方法多種多樣，本文將列舉幾種數(shù)學(xué)反例在課堂教學(xué)中常見的使用方法并加以說明。教師提出問題，讓學(xué)生尋找反例來解答數(shù)學(xué)中的概念多種多樣層出不窮，有的比較抽象的概念是學(xué)生很難理解的，學(xué)生經(jīng)常會混淆或忽略它們的某些本質(zhì)屬性，就算教師多次強(qiáng)調(diào)，學(xué)生依然還是會出錯。教師在教授這類概念的時候，可以舉一個反例，利用講解這個反例來加深學(xué)生對這個概念的理解。例如，在教證明三角形全等的方法時，我們常用的證明方法有邊邊邊（SSS）、邊角邊（SAS）、角邊角(ASA)、角角邊(AAS)以及直角邊斜邊(HL)這幾種，要使學(xué)生真正理解證明三角形全等的這幾種方法，除了認(rèn)真分析每一種證明方法外，還應(yīng)從與它們表面相似卻無法證明三角形全等的反面情形“邊邊角”來進(jìn)行區(qū)分判斷，從而使學(xué)生真正掌握如何證明三角形全等。BDAC圖（5）如教師可以在講解完三角形全等的幾種證明方法后，可以對學(xué)生們提出問題：“現(xiàn)在我們知道了邊邊邊、邊角邊、角角邊、角邊角都能證明三角形全等，那我們想一想，邊邊角能不能證明三角形全等呢？”此時肯定有一部分學(xué)生會覺得不能證明三角形全等，教師就可以讓學(xué)生找反例來說明。當(dāng)然學(xué)生不一定能找到恰當(dāng)?shù)姆蠢?，這時候教師就要幫助學(xué)生找出這個反例，以此來說明“邊邊角”是不能證明三角形全等的，如圖（5），在鈍角ABC中，取斜邊AC上一點(diǎn)D，使BD=BA，就能得到在ABC和DBC中，對應(yīng)邊AB=DB，BC為公共邊，對應(yīng)角C為公共角，符合“邊邊角”，但顯然ABC和DBC不全等。BDAC圖（5）通過對這樣的一個反例的講解，從而讓學(xué)生對已經(jīng)學(xué)過的知識記憶更加深刻，有利于學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握。教師提出反例，讓學(xué)生判斷在復(fù)習(xí)某些概念時，教師可以舉幾個反例，讓學(xué)生根據(jù)之前所學(xué)過的知識判斷是否正確。當(dāng)教師結(jié)合反例再次分析講解這些知識點(diǎn)時，學(xué)生就會對這些知識點(diǎn)有更加深刻的記憶和理解。同時對于一些學(xué)生容易犯錯的知識點(diǎn)，教師可以在講解時將過往學(xué)生的易錯點(diǎn)當(dāng)作反例，讓學(xué)生來判斷，找出應(yīng)該注意些什么，從而規(guī)范學(xué)生的解題方法，減少出現(xiàn)錯誤的幾率。教材上的多數(shù)例題是正例，用來教學(xué)生正確的解題方法，這時加入適當(dāng)?shù)姆蠢龝懈玫慕虒W(xué)效果。所以在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要注重正、反例的合理搭配教學(xué)，以此來讓學(xué)生更熟練地掌握所學(xué)知識，防止出錯。如講授七年級上冊第二章的整式時，老師可以讓學(xué)生判斷下面的式子中哪些屬于整式：，，，，0.顯然以上式子中，，0屬于單項式，屬于多項式，這幾個式子均屬于整式，但屬于分式，不是整式。通過這樣的正、反例互相結(jié)合的提問方式，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識點(diǎn)中的重難點(diǎn)、易錯點(diǎn)，減少學(xué)生解題錯誤的情況發(fā)生的幾率。教師將學(xué)生作業(yè)中的錯題當(dāng)做反例來分析講解在學(xué)生的作業(yè)中，經(jīng)常會有一些錯誤的解題過程，相當(dāng)于學(xué)生無意中“構(gòu)建”的反例，教師可以從習(xí)題中看出學(xué)生對所學(xué)知識的掌握程度。教師應(yīng)慎重看待學(xué)生的作業(yè)情況，盡量把錯誤的題著重講解，在講解時不能只是告訴學(xué)生正確的答案，雖然這樣更省事，但是學(xué)生不一定能真正理解其中的過程和方法，教師可以把錯題當(dāng)做反例讓學(xué)生一起討論、分析、解答，通過教師有意識的引導(dǎo)，一起找到錯誤的原因并找到正確的解題方法，這樣學(xué)生就能知道自己錯在哪，為什么犯錯，為其留下深刻的印象，這樣相比于簡單的講授教學(xué)效果更好。教師如果能刻意的針對重難點(diǎn)、易錯點(diǎn)安排一些練習(xí)，學(xué)生在做這些練習(xí)時，總會出現(xiàn)一些錯誤，教師再加以講解就能降低再犯錯的幾率。如我在教育實習(xí)中教學(xué)七年級上冊整式的加減時，在批改作業(yè)時發(fā)現(xiàn)有不少學(xué)生在合并同類項時將的結(jié)果寫成，于是我在第二天的課堂上就將這個題目單獨(dú)拿出來對學(xué)生們進(jìn)行提問，并向他們解釋就等于，可以直接省略掉不寫，該題目的結(jié)果就是，于是這個題做錯了的學(xué)生就都弄明白了，之后的作業(yè)中也沒有學(xué)生再犯同樣的錯誤?？傊?，教師應(yīng)重視學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中冒出的這些錯誤，將其合理利用成為有效的教學(xué)資源。反例教學(xué)的幾點(diǎn)要求在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要進(jìn)行反例教學(xué)，需要教師謹(jǐn)慎選擇合適的反例以及合理運(yùn)用反例教學(xué)的幾種方式，否則就達(dá)不到預(yù)期的教學(xué)效果。所以本文論述了反例教學(xué)當(dāng)中一些需要注意的要點(diǎn)。要選擇合適的反例進(jìn)行教學(xué)因為學(xué)生個體間是存在差異性的，每個學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法和認(rèn)知水平不一樣，使得有些學(xué)生對于教師舉出的反例很容易理解，講一遍就懂了；但是有的學(xué)生對于教師舉出的反例卻很難理解，甚至一些學(xué)生還會把反例和原本的概念弄混淆。所以，因材施教的教學(xué)方法是必要的。如在學(xué)習(xí)整式時，經(jīng)常有如之類的分式作為錯誤選項出現(xiàn)在題目中，此時的學(xué)生還沒有系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過分式的概念，教師就不應(yīng)過多的向?qū)W生講分式的概念，只需要和學(xué)生強(qiáng)調(diào)分母含有未知數(shù)的式子不屬于整式就行了，否則學(xué)生可能會將整式和分式的概念弄混淆，導(dǎo)致適得其反。要搭建科學(xué)的反例教學(xué)模式，不斷地創(chuàng)新和優(yōu)化教學(xué)過程數(shù)學(xué)教師在教學(xué)活動當(dāng)中，對于反例教學(xué)的模式也要操作得當(dāng)。首先要先引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)過的相關(guān)知識，然后用已有的知識點(diǎn)引出要教學(xué)的新知識點(diǎn)，通過正例來進(jìn)行指導(dǎo)講解，當(dāng)學(xué)生對新知識點(diǎn)有一定的理解后，再進(jìn)行反例教學(xué)，提出反例讓學(xué)生判斷或者是提出問題讓學(xué)生尋找反例來解決，通過正反例的合理搭配教學(xué)來使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識有更加深刻的認(rèn)知理解，以達(dá)到更好的教學(xué)效果。如講授二元一次方程的概念時，教師可以先進(jìn)行復(fù)習(xí)引入，讓學(xué)生回憶之前學(xué)過的一元一次方程的概念和基本形式，然后讓學(xué)生回答“元”和“次”的含義，通過類比的方法引出二元一次方程的概念：含有兩個未知數(shù)且所含未知數(shù)項次數(shù)都為1的整式方程叫做二元一次方程；一般形式為：，（為常數(shù)且，）。學(xué)生對二元一次方程的概念和形式有了基本的理解了之后教師就可以開始進(jìn)行反例教學(xué)，可以向?qū)W生提問如下列哪些方程屬于二元一次方程：，，，，，；可以看出前兩個方程屬于二元一次方程，均為一般形式的變式，第三個方程不符合概念中的包含兩個未知數(shù)，第四個方程不符合未知數(shù)次數(shù)為1，第四個方程不是整式方程，這三個方程均不屬于二元一次方程，是典型的反例。教師不僅自身要熟練、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反例教學(xué)，還要幫助學(xué)生構(gòu)建運(yùn)用反例解決問題的思維。通過構(gòu)建恰當(dāng)?shù)那榫?，讓學(xué)生自主的思考尋找反例來解決問題，更好地了解反例當(dāng)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)哲理和數(shù)學(xué)知識。進(jìn)行反例教學(xué)時要注意循序漸進(jìn)數(shù)學(xué)教師在運(yùn)用反例教學(xué)時當(dāng)中應(yīng)該由易到難、由淺到深，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知水平的發(fā)展程度，調(diào)整反例的難易程度，從而讓學(xué)生能夠更好的理解和接受，另外，教師還可以通過模塊的分解把一些學(xué)生不懂的問題分層次解答，方便學(xué)生更好地掌