【數(shù)學(xué)反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用探究7500字（論文）】

數(shù)學(xué)反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用研究目錄0.引言 11.數(shù)學(xué)反例的構(gòu)建 21.1特例法 21.2逆向思維法 31.3類(lèi)比法 32.數(shù)學(xué)反例在教學(xué)中的作用 42.1有利于學(xué)生思維縝密性的發(fā)展 42.2有助于學(xué)生思維的發(fā)散 52.3有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成和理解 62.4有助于數(shù)學(xué)知識(shí)的歸納總結(jié) 63.數(shù)學(xué)反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用方式 73.1教師提出問(wèn)題，讓學(xué)生尋找反例來(lái)解答 73.2教師提出反例，讓學(xué)生判斷 83.3教師將學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)題當(dāng)反例來(lái)分析講解 94.反例教學(xué)的幾點(diǎn)要求 94.1在數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行反例教學(xué)，要注意反例的選擇 104.2要搭建科學(xué)的反例教學(xué)模式，不斷地創(chuàng)新和優(yōu)化教學(xué)過(guò)程 104.3進(jìn)行反例教學(xué)時(shí)要注意循序漸進(jìn) 115.總結(jié) 11參考文獻(xiàn) 12摘要：在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，反例的教學(xué)常常被忽略，但反例在數(shù)學(xué)教學(xué)上有著至關(guān)重要的地位，在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用反例教學(xué)可以使教學(xué)的效果得到很好的提升。將反例教學(xué)的作用充分的發(fā)揮出來(lái)，使學(xué)生培養(yǎng)出良好的思維能力，應(yīng)當(dāng)是所有數(shù)學(xué)教師的責(zé)任和義務(wù)。本文結(jié)合反例教學(xué)在課堂中的實(shí)際應(yīng)用，淺談在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中反例的地位和作用，以及反例教學(xué)的幾種方法。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)反例，反例構(gòu)建，反例教學(xué)引言反例是相對(duì)于全稱(chēng)命題的一個(gè)概念，顧名思義就是與命題相反，也就是不符合命題的例子。反例在數(shù)學(xué)和哲學(xué)中都有著至關(guān)重要的作用。反例在數(shù)學(xué)證明的過(guò)程是經(jīng)常會(huì)用到的。我們都知道，在數(shù)學(xué)中，要判斷一個(gè)命題是真命題，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，但要判斷一個(gè)命題是假命題，只要提出一個(gè)符合命題的條件但不符合命題結(jié)論的例子就行，這種例子我們就稱(chēng)之為反例。數(shù)學(xué)中很多命題或猜想是全稱(chēng)命題，稱(chēng)所有某類(lèi)事物都有某種性質(zhì)，或者只要滿(mǎn)足某種條件，就會(huì)得到某種必然的結(jié)果。當(dāng)人們很難證明這樣的數(shù)學(xué)猜想時(shí)，數(shù)學(xué)家常會(huì)找一個(gè)反例證明這個(gè)猜想是錯(cuò)的。例如在公元前五世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為“萬(wàn)物皆是數(shù)”——任何數(shù)均能表示為整數(shù)或整數(shù)的比。后來(lái)希伯索斯發(fā)現(xiàn)了反例：正方形的邊長(zhǎng)為1時(shí)，這個(gè)正方形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)就無(wú)法用整數(shù)表示，直接導(dǎo)致了數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn)。反例具有的明顯、直觀、形象等特點(diǎn)，使其在數(shù)學(xué)教學(xué)中擁有不可或缺的地位。本文將結(jié)合實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)，淺談數(shù)學(xué)反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用及實(shí)際運(yùn)用。數(shù)學(xué)反例的構(gòu)建數(shù)學(xué)是一門(mén)抽象但又嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S科學(xué)，思維方式獨(dú)特且多樣，用直觀的感覺(jué)想當(dāng)然地去看待它，往往會(huì)“差之毫厘，失之千里”，此時(shí)構(gòu)建反例是判斷自己的理解是否正確的有效方法。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生掌握多種思維方法與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉壿嫞寣W(xué)生學(xué)會(huì)舉反例也同樣重要。在概念和定理的教學(xué)中，巧妙的運(yùn)用反例教學(xué)，能使概念與定理變的形象易懂，容易掌握。在習(xí)題的練習(xí)中，舉反例是判斷與糾正錯(cuò)誤最有效的方法，是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的重要工具。經(jīng)常進(jìn)行反例教學(xué)有助于學(xué)生形成具有批判性和創(chuàng)造性的良好思維品質(zhì)，有助于培養(yǎng)學(xué)生合理懷疑的“批判精神”?；谝陨险J(rèn)知，構(gòu)建反例就是一項(xiàng)必要的數(shù)學(xué)技能，是數(shù)學(xué)教育和學(xué)習(xí)中必不可少的基本功，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，要重視培養(yǎng)學(xué)生的這一技能。反例的構(gòu)建非常靈活，它需要我們運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，并充分展開(kāi)想象。有時(shí)候，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的思考所得到的反例卻意外的簡(jiǎn)單，使人興奮的同時(shí)又懊惱自己看破的太晚，并深深地沉浸在優(yōu)美而奇異的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中。反例其實(shí)就是說(shuō)明命題不成立的一個(gè)特例，一般來(lái)說(shuō)，一些命題不是一切情況下均假，而是在有的情況下真，有的情況下假，經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，一一?yàn)證，把成立的情況排除，不成立的情況挑選出來(lái)，繼而得到反例。當(dāng)把一個(gè)命題作為真命題去分析時(shí)，如果遇到困難無(wú)法進(jìn)展，甚至得到一些互相矛盾的結(jié)果，那這就是尋找反例解決問(wèn)題的好時(shí)機(jī)。文獻(xiàn)[2]中論述了數(shù)學(xué)反例的幾種分類(lèi)和構(gòu)建方法，本文將引用并深入探討其中的三種反例構(gòu)建方法:特例法、逆向思維法、類(lèi)比法。特例法構(gòu)建一個(gè)命題的反例，是判斷命題及其逆命題真?zhèn)蔚某Ｓ梅椒āＶ乜紤]題設(shè)的特例，往往能很快的發(fā)現(xiàn)反例。例如，對(duì)于命題：“兩個(gè)非周期函數(shù)的積一定是非周期函數(shù)”，我們要尋找它的反例，如函數(shù)與，這兩個(gè)函數(shù)都不是周期函數(shù)，而它們的積=顯然是周期函數(shù)，舉這一個(gè)反例就可以簡(jiǎn)單明了的判斷原命題為假命題。逆向思維法考慮命題的反面，運(yùn)用“逆向思維”構(gòu)建反例，就能否定命題。例如：判斷命題“對(duì)于任意的三角形，包含這個(gè)三角形的最小圓是它的外接圓”。我們可以運(yùn)用逆向思維來(lái)構(gòu)建它的反例，如圖（1）：作一大一小兩個(gè)相交的圓，在大圓包含于小圓內(nèi)的那段圓弧上取三點(diǎn)相互連接構(gòu)成一個(gè)三角形，大圓即為該三角形的外接圓，顯然兩個(gè)圓都包含這個(gè)三角形，但這個(gè)三角形的外接圓顯然不是包含這個(gè)三角形的最小圓。圖（1）圖（1）類(lèi)比法類(lèi)比法構(gòu)建反例有兩種不同的形式：一種是根據(jù)已知的反例的特點(diǎn)與思維方式，在不同的地方用類(lèi)似的方法構(gòu)建反例。例如關(guān)于連續(xù)函數(shù)是否處處可導(dǎo)的問(wèn)題，1860年，魏爾斯特拉斯用級(jí)數(shù)的方法構(gòu)造出了一個(gè)處處連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)，后來(lái)該方法被廣泛使用，構(gòu)造出了更多處處連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)。另一種是將所給的命題與相似的已知命題作比較，根據(jù)兩者不同的地方構(gòu)建反例。如例題：判斷命題“互不相交的兩條直線(xiàn)平行”是否正確。我們知道平行線(xiàn)的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線(xiàn)叫做平行線(xiàn)。作比較可以發(fā)現(xiàn)例題所給命題少了一個(gè)前提條件“在同一平面內(nèi)”，于是我們就可以作不在同一平面中并且互不相交的兩條直線(xiàn)，使這兩條直線(xiàn)不平行，即為所給命題的反例。如圖（2）：圖（2）圖（2）ba數(shù)學(xué)反例的在教學(xué)中的作用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)階段中，反例都很常見(jiàn)，通過(guò)對(duì)反例的教學(xué)可以幫助學(xué)生對(duì)一些數(shù)學(xué)概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的歸納總結(jié)能力，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的能力，并且學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)反例的構(gòu)建還能鍛煉學(xué)生思維發(fā)散的能力，課堂教學(xué)中合理地使用反例教學(xué)，可以使學(xué)生更全面的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，更好的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。此外，學(xué)會(huì)舉反例有助于學(xué)生形成批判意識(shí)，這也是新課改提出的要求。綜上所述，顯然數(shù)學(xué)反例在教學(xué)中具有獨(dú)特且重要的作用，所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中既要重視解答數(shù)學(xué)命題的能力，也要加強(qiáng)反例的教學(xué)[3]。有利于學(xué)生思維縝密性的發(fā)展反例教學(xué)有利于學(xué)生思維縝密性的發(fā)展，關(guān)于這一觀點(diǎn)我們可以通過(guò)分析下述例子得出。例如命題：“對(duì)于正整數(shù)，的結(jié)果總是素?cái)?shù)”。我們對(duì)這個(gè)式子進(jìn)行分析，如果從第一個(gè)正整數(shù)開(kāi)始進(jìn)行代入驗(yàn)證的話(huà)，我們就會(huì)認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是正確的：從開(kāi)始進(jìn)行數(shù)值代入，一直代到，結(jié)果都是素?cái)?shù)。一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生不會(huì)進(jìn)行個(gè)數(shù)字的代入，他們往往代入幾個(gè)數(shù)值之后就會(huì)對(duì)結(jié)論進(jìn)行判定。這樣的解題方式很容易使學(xué)生得出一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論。構(gòu)建這個(gè)命題的反例可以從式子本身結(jié)構(gòu)的角度去考慮，仔細(xì)觀察這個(gè)命題，多數(shù)學(xué)生都能看出當(dāng)時(shí)，肯定不是素?cái)?shù)。但少有學(xué)生會(huì)想到時(shí)，，顯然也不是素?cái)?shù)。因此在構(gòu)建反例時(shí)，同樣也鍛煉了學(xué)生，是讓學(xué)生學(xué)習(xí)從多個(gè)層面去思考問(wèn)題的一個(gè)過(guò)程，注重合理的運(yùn)用反例教學(xué)，不但能讓學(xué)生快速發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的錯(cuò)誤，補(bǔ)全相關(guān)知識(shí)，而且有助于學(xué)生學(xué)習(xí)從多個(gè)層面去思考問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生思維的縝密性。有助于學(xué)生思維的發(fā)散在廣大數(shù)學(xué)教師多年的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，他們得出了這樣的一個(gè)結(jié)論：構(gòu)建反例的過(guò)程有助于鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維。對(duì)于該結(jié)論的證明，同樣可以通過(guò)分析反例進(jìn)行。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，矩形的學(xué)習(xí)是一個(gè)十分重要的內(nèi)容。矩形具有一些自身獨(dú)特的性質(zhì)，例如矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度是相等的，且兩條對(duì)角線(xiàn)互相平分。為了讓學(xué)生能熟練掌握這個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，教師可以使用反例教學(xué)的模式來(lái)進(jìn)行講授。我們可以進(jìn)行提問(wèn)：（一）是不是所有對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度相等的四邊形都是矩形？（二）是不是所有對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形形都是矩形？如果不是請(qǐng)舉例說(shuō)明。很顯然，觀點(diǎn)一和觀點(diǎn)二都是錯(cuò)誤的，而反例也很容易找出來(lái)，如等腰梯形以及菱形。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，這兩個(gè)反例是他們熟悉的，生活中經(jīng)常能看到的，學(xué)生就能很快的理解和接受。這時(shí)，教師可以再進(jìn)一步提問(wèn)：還有沒(méi)有其它的反例呢？讓學(xué)生去發(fā)散思維，獨(dú)立的進(jìn)行思考?？傊蠢虒W(xué)是數(shù)學(xué)課堂中的重要教學(xué)方式，合理的運(yùn)用反例教學(xué)能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶更深刻，并且能促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)散能力。為此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)的過(guò)程中要時(shí)刻謹(jǐn)記：要用反例教學(xué)的方法，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行思考，不斷地提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力及學(xué)習(xí)興趣。有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成和理解ababc圖（3）對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)學(xué)習(xí)一個(gè)新概念不是一時(shí)就能學(xué)會(huì)的，它是一個(gè)認(rèn)知逐漸深入的過(guò)程，需要花時(shí)間去理解消化其中的內(nèi)涵，有的比較軸象的數(shù)學(xué)概念學(xué)生很難理解，教師不能只是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的敘述一遍，而是要努力去尋找能讓學(xué)生理解的表達(dá)方法，如果從正面解釋學(xué)生不能理解的話(huà)，可以從反面來(lái)解釋說(shuō)明，此時(shí)舉幾個(gè)反例，根據(jù)概念的內(nèi)涵、概念的關(guān)鍵點(diǎn)作比較、解釋?zhuān)僮寣W(xué)生去理解學(xué)生就會(huì)更容易接受。有助于數(shù)學(xué)知識(shí)的歸納總結(jié)學(xué)習(xí)完一定課時(shí)或章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)后，經(jīng)常需要對(duì)學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)歸納，通常我們會(huì)使用歸類(lèi)法、列提綱法。對(duì)于同類(lèi)的數(shù)學(xué)知識(shí)，教師基本都會(huì)進(jìn)行總結(jié)歸納，教師要幫助學(xué)生找到概念的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，以此對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分類(lèi)，還要注意對(duì)概念的內(nèi)涵和外延進(jìn)行講解，要發(fā)展學(xué)生用“三段論”進(jìn)行推理判斷的能力?？偨Y(jié)時(shí)通過(guò)舉反例讓學(xué)生判斷來(lái)提高學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)知是非常常用的方法，例如判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形，除了教材里已有的判定定理之外，還有其它判定方法，如“兩組對(duì)角分別相等的平面四邊形是平行四邊形”，為了讓學(xué)生記住這個(gè)判定方法，教師可以拿相似的命題讓學(xué)生回答是否正確，比如像“一組對(duì)角相等，一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形嗎？”只要舉一個(gè)反例就能證明這個(gè)命題是錯(cuò)誤的，但是這個(gè)反例學(xué)生不一定能找出來(lái)，這時(shí)教師就要為學(xué)生引導(dǎo)、解答。如圖（4），四邊形ABCD為平行四邊形，我們利用同弧所對(duì)圓周角相等這一性質(zhì)，分別過(guò)點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)A，D，C作兩個(gè)相等的圓，然后將點(diǎn)B在圓上移動(dòng)到點(diǎn)E，使得AB=AE，此時(shí)得到四邊形AECD，它滿(mǎn)足對(duì)邊AE=CD,對(duì)角AEC=ADC，但很明顯它不是平行四邊形。AABCDE圖（4）這類(lèi)情形在數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常會(huì)有，只要教師把握好方法和時(shí)機(jī)，就能達(dá)到良好的教學(xué)效果。數(shù)學(xué)反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用方式反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用場(chǎng)景和方法多種多樣，本文將列舉幾種數(shù)學(xué)反例在課堂教學(xué)中常見(jiàn)的使用方法并加以說(shuō)明。教師提出問(wèn)題，讓學(xué)生尋找反例來(lái)解答數(shù)學(xué)中的概念多種多樣層出不窮，有的比較抽象的概念是學(xué)生很難理解的，學(xué)生經(jīng)常會(huì)混淆或忽略它們的某些本質(zhì)屬性，就算教師多次強(qiáng)調(diào)，學(xué)生依然還是會(huì)出錯(cuò)。教師在教授這類(lèi)概念的時(shí)候，可以舉一個(gè)反例，利用講解這個(gè)反例來(lái)加深學(xué)生對(duì)這個(gè)概念的理解。例如，在教證明三角形全等的方法時(shí)，我們常用的證明方法有邊邊邊（SSS）、邊角邊（SAS）、角邊角(ASA)、角角邊(AAS)以及直角邊斜邊(HL)這幾種，要使學(xué)生真正理解證明三角形全等的這幾種方法，除了認(rèn)真分析每一種證明方法外，還應(yīng)從與它們表面相似卻無(wú)法證明三角形全等的反面情形“邊邊角”來(lái)進(jìn)行區(qū)分判斷，從而使學(xué)生真正掌握如何證明三角形全等。BDAC圖（5）如教師可以在講解完三角形全等的幾種證明方法后，可以對(duì)學(xué)生們提出問(wèn)題：“現(xiàn)在我們知道了邊邊邊、邊角邊、角角邊、角邊角都能證明三角形全等，那我們想一想，邊邊角能不能證明三角形全等呢？”此時(shí)肯定有一部分學(xué)生會(huì)覺(jué)得不能證明三角形全等，教師就可以讓學(xué)生找反例來(lái)說(shuō)明。當(dāng)然學(xué)生不一定能找到恰當(dāng)?shù)姆蠢?，這時(shí)候教師就要幫助學(xué)生找出這個(gè)反例，以此來(lái)說(shuō)明“邊邊角”是不能證明三角形全等的，如圖（5），在鈍角ABC中，取斜邊AC上一點(diǎn)D，使BD=BA，就能得到在ABC和DBC中，對(duì)應(yīng)邊AB=DB，BC為公共邊，對(duì)應(yīng)角C為公共角，符合“邊邊角”，但顯然ABC和DBC不全等。BDAC圖（5）通過(guò)對(duì)這樣的一個(gè)反例的講解，從而讓學(xué)生對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)記憶更加深刻，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握。教師提出反例，讓學(xué)生判斷在復(fù)習(xí)某些概念時(shí)，教師可以舉幾個(gè)反例，讓學(xué)生根據(jù)之前所學(xué)過(guò)的知識(shí)判斷是否正確。當(dāng)教師結(jié)合反例再次分析講解這些知識(shí)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生就會(huì)對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)有更加深刻的記憶和理解。同時(shí)對(duì)于一些學(xué)生容易犯錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)，教師可以在講解時(shí)將過(guò)往學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)當(dāng)作反例，讓學(xué)生來(lái)判斷，找出應(yīng)該注意些什么，從而規(guī)范學(xué)生的解題方法，減少出現(xiàn)錯(cuò)誤的幾率。教材上的多數(shù)例題是正例，用來(lái)教學(xué)生正確的解題方法，這時(shí)加入適當(dāng)?shù)姆蠢龝?huì)有更好的教學(xué)效果。所以在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要注重正、反例的合理搭配教學(xué)，以此來(lái)讓學(xué)生更熟練地掌握所學(xué)知識(shí)，防止出錯(cuò)。如講授七年級(jí)上冊(cè)第二章的整式時(shí)，老師可以讓學(xué)生判斷下面的式子中哪些屬于整式：，，，，0.顯然以上式子中，，0屬于單項(xiàng)式，屬于多項(xiàng)式，這幾個(gè)式子均屬于整式，但屬于分式，不是整式。通過(guò)這樣的正、反例互相結(jié)合的提問(wèn)方式，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)中的重難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，減少學(xué)生解題錯(cuò)誤的情況發(fā)生的幾率。教師將學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)題當(dāng)做反例來(lái)分析講解在學(xué)生的作業(yè)中，經(jīng)常會(huì)有一些錯(cuò)誤的解題過(guò)程，相當(dāng)于學(xué)生無(wú)意中“構(gòu)建”的反例，教師可以從習(xí)題中看出學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握程度。教師應(yīng)慎重看待學(xué)生的作業(yè)情況，盡量把錯(cuò)誤的題著重講解，在講解時(shí)不能只是告訴學(xué)生正確的答案，雖然這樣更省事，但是學(xué)生不一定能真正理解其中的過(guò)程和方法，教師可以把錯(cuò)題當(dāng)做反例讓學(xué)生一起討論、分析、解答，通過(guò)教師有意識(shí)的引導(dǎo)，一起找到錯(cuò)誤的原因并找到正確的解題方法，這樣學(xué)生就能知道自己錯(cuò)在哪，為什么犯錯(cuò)，為其留下深刻的印象，這樣相比于簡(jiǎn)單的講授教學(xué)效果更好。教師如果能刻意的針對(duì)重難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)安排一些練習(xí)，學(xué)生在做這些練習(xí)時(shí)，總會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，教師再加以講解就能降低再犯錯(cuò)的幾率。如我在教育實(shí)習(xí)中教學(xué)七年級(jí)上冊(cè)整式的加減時(shí)，在批改作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)有不少學(xué)生在合并同類(lèi)項(xiàng)時(shí)將的結(jié)果寫(xiě)成，于是我在第二天的課堂上就將這個(gè)題目單獨(dú)拿出來(lái)對(duì)學(xué)生們進(jìn)行提問(wèn)，并向他們解釋就等于，可以直接省略掉不寫(xiě)，該題目的結(jié)果就是，于是這個(gè)題做錯(cuò)了的學(xué)生就都弄明白了，之后的作業(yè)中也沒(méi)有學(xué)生再犯同樣的錯(cuò)誤。總之，教師應(yīng)重視學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中冒出的這些錯(cuò)誤，將其合理利用成為有效的教學(xué)資源。反例教學(xué)的幾點(diǎn)要求在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要進(jìn)行反例教學(xué)，需要教師謹(jǐn)慎選擇合適的反例以及合理運(yùn)用反例教學(xué)的幾種方式，否則就達(dá)不到預(yù)期的教學(xué)效果。所以本文論述了反例教學(xué)當(dāng)中一些需要注意的要點(diǎn)。要選擇合適的反例進(jìn)行教學(xué)因?yàn)閷W(xué)生個(gè)體間是存在差異性的，每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法和認(rèn)知水平不一樣，使得有些學(xué)生對(duì)于教師舉出的反例很容易理解，講一遍就懂了；但是有的學(xué)生對(duì)于教師舉出的反例卻很難理解，甚至一些學(xué)生還會(huì)把反例和原本的概念弄混淆。所以，因材施教的教學(xué)方法是必要的。如在學(xué)習(xí)整式時(shí)，經(jīng)常有如之類(lèi)的分式作為錯(cuò)誤選項(xiàng)出現(xiàn)在題目中，此時(shí)的學(xué)生還沒(méi)有系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過(guò)分式的概念，教師就不應(yīng)過(guò)多的向?qū)W生講分式的概念，只需要和學(xué)生強(qiáng)調(diào)分母含有未知數(shù)的式子不屬于整式就行了，否則學(xué)生可能會(huì)將整式和分式的概念弄混淆，導(dǎo)致適得其反。要搭建科學(xué)的反例教學(xué)模式，不斷地創(chuàng)新和優(yōu)化教學(xué)過(guò)程數(shù)學(xué)教師在教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中，對(duì)于反例教學(xué)的模式也要操作得當(dāng)。首先要先引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)，然后用已有的知識(shí)點(diǎn)引出要教學(xué)的新知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)正例來(lái)進(jìn)行指導(dǎo)講解，當(dāng)學(xué)生對(duì)新知識(shí)點(diǎn)有一定的理解后，再進(jìn)行反例教學(xué)，提出反例讓學(xué)生判斷或者是提出問(wèn)題讓學(xué)生尋找反例來(lái)解決，通過(guò)正反例的合理搭配教學(xué)來(lái)使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有更加深刻的認(rèn)知理解，以達(dá)到更好的教學(xué)效果。如講授二元一次方程的概念時(shí)，教師可以先進(jìn)行復(fù)習(xí)引入，讓學(xué)生回憶之前學(xué)過(guò)的一元一次方程的概念和基本形式，然后讓學(xué)生回答“元”和“次”的含義，通過(guò)類(lèi)比的方法引出二元一次方程的概念：含有兩個(gè)未知數(shù)且所含未知數(shù)項(xiàng)次數(shù)都為1的整式方程叫做二元一次方程；一般形式為：，（為常數(shù)且，）。學(xué)生對(duì)二元一次方程的概念和形式有了基本的理解了之后教師就可以開(kāi)始進(jìn)行反例教學(xué)，可以向?qū)W生提問(wèn)如下列哪些方程屬于二元一次方程：，，，，，；可以看出前兩個(gè)方程屬于二元一次方程，均為一般形式的變式，第三個(gè)方程不符合概念中的包含兩個(gè)未知數(shù)，第四個(gè)方程不符合未知數(shù)次數(shù)為1，第四個(gè)方程不是整式方程，這三個(gè)方程均不屬于二元一次方程，是典型的反例。教師不僅自身要熟練、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反例教學(xué)，還要幫助學(xué)生構(gòu)建運(yùn)用反例解決問(wèn)題的思維。通過(guò)構(gòu)建恰當(dāng)?shù)那榫?，讓學(xué)生自主的思考尋找反例來(lái)解決問(wèn)題，更好地了解反例當(dāng)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)哲理和數(shù)學(xué)知識(shí)。進(jìn)行反例教學(xué)時(shí)要注意循序漸進(jìn)數(shù)學(xué)教師在運(yùn)用反例教學(xué)時(shí)當(dāng)中應(yīng)該由易到難、由淺到深，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知水平的發(fā)展程度，調(diào)整反例的難易程度，從而讓學(xué)生能夠更好的理解和接受，另外，教師還可以通過(guò)模塊的分解把一些學(xué)生不懂的問(wèn)題分層次解答，方便學(xué)生更好地掌