2023北京東城高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2023北京東城高一（下）期末

數(shù)學(xué)

2023.7

本試卷共4頁，滿分100分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答

無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共30分）

一、選擇題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.已知向量a力=（一1,2）.若。，則〃z=（）

1

A.2B.lC.-lD.——

2

2.若復(fù)數(shù)z滿足i.z=l—2i,則z=（）

A.-2+iB.-2-i

C.l+2iD.-l+2i

3.某中學(xué)為了解在校高中學(xué)生的身高情況，在高中三個(gè)年級(jí)各隨機(jī)抽取了10%的學(xué)生，并分別計(jì)算了三個(gè)

年級(jí)抽取學(xué)生的平均身高，數(shù)據(jù)如下表：

年級(jí)高一高二高三

抽樣人數(shù)363430

平均身高XyZ

則該校高中學(xué)生的平均身高可估計(jì)為（）

A.3.6x+3.4y+3.0z

C.0.36元+0.349+0.302D.￡±Z±￡

4.已知圓錐的軸截面是一個(gè)邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的體積為（）

兀B.萬C.萬D.2萬

3

5.設(shè)為實(shí)數(shù)，若￡±^=l+i,則（）

6-21

A.a=l,b=—1B.。=5,Z?=3

C.(2=l,b=2D.tz=1,/?=3

TT

6.將函數(shù)了=85%-sinx的圖象向左平移,個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式為（）

A.y=-V2sinxB.y=Vlcosx

C.y=-sine-cosxD.y=cosx+sinx

7.已知長方形墻ACEE把地面上民。兩點(diǎn)隔開，該墻與地面垂直，長10米，高3米.已測(cè)得AB=6米,

3C=8米.現(xiàn)欲通過計(jì)算，能唯一求得民。兩點(diǎn)之間的距離，需要進(jìn)一步測(cè)量的幾何量可以為（）

A.點(diǎn)。到AC的距離B.C。長度和長度

C.NACB和NADCD.CD長度和XACD

8.設(shè),石為非零向量，修|=出|,貝！夾角為鈍角”是“陌+/|<0|源"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.如圖，直三棱柱ABC—4與￡中，尸為棱44的中點(diǎn)，。為線段4。上的動(dòng)點(diǎn).

以下結(jié)論中正確的是（）

A.存在點(diǎn)。，使5Q〃AC

B.不存在點(diǎn)。，使3。，與￡

C.對(duì)任意點(diǎn)Q,都有

D.存在點(diǎn)。，使8?！ㄆ矫鍼CC1

10.如圖，質(zhì)點(diǎn)P在以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，半徑為1的圓上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，。的角速度大小為

2rad/s,起點(diǎn)凡為射線y=—x（x.0）與:一。的交點(diǎn).則當(dāng)噴才12時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)V關(guān)于/（單位:

s）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

第二部分(非選擇題共70分)

二、填空題共5小題，每小題4分，共20分.

11.已知tancr=；,tan/?=；,則tan(a+4)的值為.

12.在邊長為1的正方形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，則AD-CE=.

13.下表是某市6月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)統(tǒng)計(jì)表.由表判斷，從6月.日開始，連續(xù)三天的

空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.

日期1234567891011121314

空氣質(zhì)量指數(shù)6079905038263249486252383037

14.已知z為復(fù)數(shù)，且|z-2i|=l,寫出滿足上述條件的一個(gè)復(fù)數(shù)2=；忖的最大值為

15.金剛石也被稱作鉆石，是天然存在的最硬的物質(zhì)，可以用來切割玻璃，也用作鉆探機(jī)的鉆頭.金剛石經(jīng)

常呈現(xiàn)如圖所示的“正八面體”外形.正八面體由八個(gè)全等的等邊三角形圍成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.下面給出

四個(gè)結(jié)論：

①AE〃平面8斤；

②平面ABE，平面BCE；

③過點(diǎn)E存在唯一一條直線與正八面體的各個(gè)面所成角均相等；

④以正八面體每個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正方體的棱長是該正八面體棱長的

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共5小題，共50分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

16.（本小題10分）

25

在,ABC中，角4,8,。所對(duì)的邊為”,"（:.。=一乃,4=—。.

37

（1）求sinA；

（2）若c=7,求.ABC的面積.

17.（本小題10分）

某市舉辦“強(qiáng)國有我，愛我中華”科技知識(shí)競賽，賽后將參賽的2000名學(xué)生成績分成4組：①60”尤＜70,

公布了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）估計(jì)這2000名學(xué)生科技知識(shí)競賽成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）;

（2）某同學(xué)獲知自己的成績進(jìn)入本次競賽成績前20%,估計(jì)該同學(xué)的成績不低于多少分？

18.（本小題10分）

（1）若/（尤）為偶函數(shù)，求。的值;

（2）從下列三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)/（%）存在且唯一確定，并求/（%）在區(qū)間0,-上的

最大值與最小值.

條件①：/^=73+1；

條件②：-￡■為/（%）的一個(gè)零點(diǎn)；

6

條件③：/（X）圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為'.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

19.（本小題10分）

如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是菱形，側(cè)面八鉆是正三角形，M是PZ）上一動(dòng)點(diǎn)，N是中點(diǎn).

P,

M

（1）當(dāng)M是PZ）中點(diǎn)時(shí)，求證：PC〃平面BVN；

（2）若/ABC=60，求證：PC±AB；

PM

（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)M,使得PCLBM?若存在，求——的值；若不存在，請(qǐng)說明理

MD

由.

20.（本小題10分）

對(duì)于三維向量4=（%,/,ZJ（/,”,ZKeN,左=0,1,2,）,定義變換”：&+1=F（&）,其中，

4+1=X一％|，然+i=|%一zj,=區(qū)一”.記&）=—,同=xk+yk+zk.

⑴若4=（3,1,2）,求〈。2）及Ml|；

（2）證明：對(duì)于任意森，經(jīng)過若干次歹變換后，必存在KeN*，使（。/=0；

（3）已知.=（p,2,q）（q..p）』4（=2024,將《再經(jīng)過加次尸變換后，忸/1最小,求加的最小值.

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

l.D2.B3.C4.A5.B

6.C7.D8.A9.C10.B

二、填空題共5小題，每小題4分，共20分.

11.112.-113.314.i；315.①④

三,解答題（共5小題，每小題10分，共50分）

16.（本小題10分）

25

解：（1）因?yàn)镃=—7i,a=—c,

37

在,ABC中，由正弦定理得，s［nA=-sinC=-x—=^-

77214

(2)因?yàn)镃=7,Q=3C,所以々=5.

7

2

在.ABC中，C=一兀，a=5,c=1,

3

根據(jù)余弦定理c?=/+匕2一2abcosC得，49=25+/—2X56X

整理得，從+5匕—24=0.

解得》=3或》=—8（舍）.

615班

7H

于sABC=—absinC=一義5x3x

22~T~4

17.（本小題10分）

解：（1）因?yàn)闊o=65x0.05+75x0.3+85x0.4+95x0.25=83.5,

所以這2000名學(xué)生競賽成績的平均數(shù)可以估計(jì)為835

（2）因?yàn)椋?0,100］這組數(shù)據(jù)占總數(shù)的25%,該同學(xué)的成績進(jìn)人本次競賽成績前20%,

20%

所以100—10X~A=92.

25%

所以可以估計(jì)該同學(xué)的成績不低于92分.

18.（本小題10分）

解：⑴因?yàn)?（x）=asin2tox+2cos2eox（aeR,a）＞0）,

所以/（%）的定義域?yàn)镽.

因?yàn)?（%）為偶函數(shù)，

所以Vx￡R,/(-x)=/(x).

即VxeR,asin(-2隊(duì))+2cos2(一以)="sin2Gx+2cos2Gx.

即VxGR,asin2cox=0.

所以a=0.

(2)/(%)=asin2Gx+2cos2(^x

=6isin269x+cos2以+1

=y1a2+lsin(2cox+0)+1，其中tan°=工

a

選擇條件①③：

因?yàn)楹瘮?shù)/(尤)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為工，

2

rri、

所以一=石，即7=萬.所以上=萬，即。=1.

222d)

因?yàn)?1]]=必*+1,即Qsin,xw)+2COS?I=〃+1=+1,所以〃=

所以/(x)=2sin12x+V)+l.

因?yàn)殡?/p>

2

所以噫必尤乃.

所以色轟電x+工—.

666

當(dāng)2x+g=g,即％=工時(shí)，/(x)取得最大值3；

626

當(dāng)2x+工=?工，即》=工時(shí)，/(%)取得最小值0.

662

選擇條件②③：

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

T121

所以一=—,即7=萬.所以一=71,即。=1.

222。

因?yàn)?「為/(%)的一個(gè)零點(diǎn)，

6

即〃sin—2x一+2cos2---]=—QT—=0,所以a=

I6J[6J22

所以/(x)=2sin12x+?J+l.

因?yàn)閛M：一,

2

所以噫必C71.

所以工效lx+2—.

666

當(dāng)2%+工=2，即％=工時(shí)，/(x)取得最大值3；

626

當(dāng)2%+工=1工，即》=工時(shí)，〃尤)取得最小值0.

662

19.(本小題10分)

解：⑴因?yàn)辄c(diǎn)M是尸。中點(diǎn)，點(diǎn)N是C。中點(diǎn)，所以上W〃尸C.

因?yàn)镻C<Z平面BMN,MNu平面BMN,

所以PC〃平面的WN.

(2)如圖，取AB中點(diǎn)P，連接AC,PF,。7.

因?yàn)閭?cè)面MB是正三角形，所以。尸_LAB.

因?yàn)榈酌鍭5CD是菱形，且/ABC=60，所以ABC是等邊三角形.

所以CRLAB.

因?yàn)镻F±AB,CF±AB,PFcCF=F,PF,CFu平面PFC,

所以A3,平面PPC.

因?yàn)镻Cu平面尸尸C,所以PCLAB.

(3)如圖，取尸。中點(diǎn)E,連接BE,AE.

因?yàn)樗睦忮FP-A5CD的底面是菱形，側(cè)面B45是正三角形，

所以PB=AB=BC.

所以

又因?yàn)镻C_LAB,ABcBE=B,

所以PC，平面ABE.

過E作〃CD交于點(diǎn)M.

因?yàn)樯虾印–D〃AB,

所以點(diǎn)Me平面ABE.

所以PC，平面BEM.

因?yàn)槭癁?？。的中點(diǎn)，EM//CD,

所以=

20.（本小題10分）

解：⑴6=（2,1,1）,%=（1,0』），故他）=。』&|=2.

（2）設(shè)M=max{%,%,z力（左=0,1,2）,

假設(shè)對(duì)YkeN,4+戶0,則xk+1,yk+1,z1均不為0.

所以

即必>蛆〉M>.

因?yàn)椋ㄗ?1,2,）,

所以弧臉弧+龐.