2021屆高考數(shù)學(xué)新人教版一輪復(fù)習(xí)學(xué)案講義：第2章 第9講　函數(shù)模型及其應(yīng)用 （含解析）

第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用

［考綱解讀］1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及基函數(shù)的增長特征，掌握求解函數(shù)應(yīng)用題的步驟.（重

點）

2.了解函數(shù)模型及擬合函數(shù)模型；在同一坐標(biāo)系中能對不同函數(shù)的圖象進行比較.

3.建立函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、慰函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的），要正

確地確定實際背景下的定義域，將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題.（難點）

［考向預(yù)測］從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個冷考點.預(yù)測2021年高考將主要考查

現(xiàn)實生活中的生產(chǎn)經(jīng)營、工程建設(shè)、企業(yè)的贏利與虧損等熱點問題中的增長或減少問題，以一次

函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)型函數(shù)及對勾函數(shù)模型為主，考查考生建模能力和分析解決問題的

能九

基礎(chǔ)知識過關(guān)

1.七類常見函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型fix)=ax+b{a,b為常數(shù)，aWO)

反比例函k

。為常數(shù)且左wo）

數(shù)模型

J(x)=ax1+bx+c

二次函數(shù)模型

(a,b,c為常數(shù),”W0)

j{x}=bax+c

指數(shù)函數(shù)模型

(a,b,c為常數(shù),bWO,a>0且4Wl)

fix)=b\ogax+c

對數(shù)函數(shù)模型

(a,b,c為常數(shù)，bWO,a>0且

暴函數(shù)模型火犬）=辦"十伙a,b為常數(shù)，aWO）

“對勾”函數(shù)模型/(x)=x+?a>0)

2.指數(shù)、對數(shù)、幕函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)

y=a'(a>l)y=logax(a>l)>=爐(〃>0)

性質(zhì)

在(0,+°°)

單調(diào)8遞增單調(diào)02遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨"值變化而各有不

圖象的變化

為與03y軸平行為與國X軸平行同

值的比較存在一個xo,當(dāng)x>xo時,有l(wèi)ogd<yy6rt

3.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟

⑴審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型.

⑵建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)

學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.

(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題.

以上過程用框圖表示如下：

口診斷自測

1.概念辨析

⑴在(0,+8)上，隨著x的增大，y=a'(a>l)的增長速度會超過并遠遠大于y

=K(a>0)的增長速度.()

(2)指數(shù)函數(shù)模型，一般用于解決變化較快，短時間內(nèi)變化量較大的實際問

題.()

(3)對數(shù)函數(shù)增長模型比較適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律.()

答案(1)J(2)V(3)V

2.小題熱身

(1)(2019?湖北八校聯(lián)考)有一組試驗數(shù)據(jù)如表所示：

X2.0134.015.16.12

y38.011523.836.04

則最能體現(xiàn)這組數(shù)才居關(guān)系的函數(shù)彳慎型是（）

A.y=2v+l—1B.y=x^~l

C.y=21og2XD.y=/

答案B

解析根據(jù)表中數(shù)》居可知，能體.見這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是y=f—1.

（2）物價上漲是當(dāng)前的主要話題，特別是菜價，某部門為盡快穩(wěn)定菜價，提出

四種綠色運輸方案.據(jù)預(yù)測，這四種方案均能在規(guī)定的時間T內(nèi)完成預(yù)測的運輸

任務(wù)Qo,各種方案的運輸總量Q與時間/的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，

運輸效率（單位時間的運輸量）逐步提高的是（）

答案B

解析B中，。的值隨/的變化越來越快.故選B.

（3）某市出租汽車的車費計算方式如下：路程在3km以內(nèi)（含3km）為8.00元；

達到3km后,每增加1km加收1.40元;達到8km后，每增加1km加收2.后元.增

加不足1km按四舍五入計算.某乘客乘坐該種出租車交了44.4元車費，則此乘客

乘該出租車行駛的路程可以是（）

A.22kmB.24km

C.26kmD.28km

答案A

解析設(shè)乘客坐車行駛了尤km,根據(jù)題意，得

8+（8-3）X1.4+（x-8）X2.1=44.4.

8+7+2.U-16.8=44.4.

2.lx—46.29x=22.

所以，此乘客乘該出租車行駛的路程是22km.

（4）有一批材料可以建成200m長的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍

成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形（如圖所示），則圍成

的矩形場地的最大面積為n?.（圍墻厚度不計）

答案2500

解析設(shè)圍成的矩形的長為xm,則寬為「200一—xm,則S=?2010一—x=：I（一/

+200A-）=-1（x-100）2+2500.當(dāng)x=100時，Smax=2500m2.

-----------經(jīng)典題型沖關(guān)------------

題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過程

I【舉例說明】

I.高為“，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個小洞，

滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為力時水的體積為。，則函數(shù)。=大力）的大致圖象

是（）

ABCD

答案B

解析當(dāng)〃=”時，體積為匕故排除A,C；由"fO過程中，減少相同高

度的水，水的體積從開始減少的越來越快到越來越慢，故選B.

2.如圖，矩形A8CO的周長為8,設(shè)AB=x（l〈xW3）,線段MN的兩端點在

矩形的邊上滑動，且MN=1,當(dāng)N沿A-OfC-BfA在矩形的邊上滑動一周時，

線段MN的中點P所形成的軌跡為G,記G圍成的區(qū)域的面積為》則函數(shù)y=/（x）

的圖象大致為（）

答案D

解析由題意可知點尸的軌跡為圖中虛線所示，其中四個角均是半徑為3的扇

形.

因為矩形ABC。的周長為8,

AB=x,

,8—2x

則AD=—^—=4-x,

TT

所以>=道4一元)一^

jr

=一(x—2月+4—3IWxW3),

顯然該函數(shù)的圖象是二次函數(shù)圖象的一部分，

JT

且當(dāng)x=2時，y=4~^E(3,4),故選D.

【據(jù)例說法】

判斷函數(shù)圖象與實際問題中兩變量

變化過程相吻合的兩種方法

(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)

合模型選圖象.如舉例說明2.

(2)驗證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變

化特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選

擇出符合實際情況的答案.如舉例說明1.

【鞏固遷移】

1.(2019?安陽模擬)如圖是張大爺晨練時所走的離家距離(y)與行走時間(x)之間

的函數(shù)關(guān)系圖，若用黑點表示張大爺家的位置，則張大爺散步行走的路線可能是

()

答案C

解析根據(jù)圖象可知在第一段時間張大爺離家距離隨時間的增加而增加，在

第二段時間內(nèi)，張大爺離家的距離不變，第三段時間內(nèi)，張大爺離家的距離隨時

間的增加而減少，最后回到始點位置，對比各選項，只有C正確.

2.一水池有兩個進水口，一個出水口，每個水口的進、出水速度如圖甲、乙

所示.某天。點到6點，該水池的蓄水量如圖丙所示.

給出以下3個論斷：①0點到3點只進水不出水；②3點到4點不進水只出水;

③4點到6點不進水不出水，則一定正確的是()

A.①B,①②

C.①③D.①②③

答案A

解析由甲、乙兩圖知，進水速度是出水速度的看所以0點到3點不出水，

3點到4點也可能一個進水口進水，一個出水口出水，但總蓄水量降低，4點到6

點也可能兩個進水口進水，一個出水口出水，一定正確的是①.

題型二已知函數(shù)模型的實際問題

|【舉例說明】

某校學(xué)生研究學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，學(xué)生上課的注意力指標(biāo)隨著聽課時間的變化而

變化，老師講課開始時，學(xué)生的興趣激增；接下來學(xué)生的興趣將保持較理想的狀

態(tài)一段時間，隨后學(xué)生的注意力開始分散.設(shè)/)表示學(xué)生注意力指標(biāo).

該小組發(fā)現(xiàn)./W隨時間f(分鐘)的變化規(guī)律(X。越大，表明學(xué)生的注意力越集中)

如下：

100^-60(0^/^10),

刖="340(10<W20),m>0旦&W1).

、一15/+640(20<W40)

若上課后第5分鐘時的注意力指標(biāo)為140,回答下列問題：

(1)求a的值；

(2)上課后第5分鐘和下課前第5分鐘比較，哪個時間注意力更集中？并請說

明理由；

(3)在一節(jié)課中，學(xué)生的注意力指標(biāo)至少達到140的時間能保持多長？

解(1)由題意得,當(dāng)f=5時，刖=140,

即60=140,解得a=4.

(2)因為人5)=140,435)=—15X35+640=115,

所以人5)435),

故上課后第5分鐘時比下課前第5分鐘時注意力更集中.

(3)①當(dāng)0<W10時,由⑴知，財=100.4木一602140,解得5WW10；

②當(dāng)10<運20時,-f)=340>140恒成立;

③當(dāng)20<rW40時，.穴。=-15/+6402140,

解得

綜上所述，

故學(xué)生的注意力指標(biāo)至少達到140的時間能保持專一5=竽分鐘.

I【據(jù)例說法】

求解所給函數(shù)模型解決實際問題的方法

⑴認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

⑵根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

(3)利用該模型求解實際問題.

【鞏固遷移】

1.某市家庭煤氣的使用量x(n?)和煤氣費7(x)(元)滿足關(guān)系人x)=

C,0<xWA,

，已知某家庭2019年前三個月的煤氣費如下表：

C+B(x—A),x>A.

月份用氣量煤氣費

一月份4m34元

二月份25m314元

三月份35m319元

若四月份該家庭使用了20m3的煤氣，則其煤氣費為()

A.11.5元B.11元

C.10.5元D.10元

答案A

解析根據(jù)題意可知44)=。=4,/(25)=C+5(25-4)=14,式35)=C+B(35

4,0<rW5,

—A)=19,解得A=5,8=4，C=4,所以/U)=?,1所以火20)

2|4+](x—5),x>5,

=4+^X(20-5)=11.5,故選A.

2.某食品的保鮮時間》(單位：小時)與儲藏溫度M單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y

=e"+"(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，匕。為常數(shù)).若該食品在0℃的保鮮時間

是192小時，在22°C的保鮮時間是48小時，則該食品在33°C的保鮮時間是

________小時.

答案24

6*=192,

e』192,

即＜1所以該食品在33c的保鮮時

解析由題意得1UU=一

,22&+%=48,e2'

間是y=e33Ap=（e""）3.e'=（，3x192=24（小時）.

題型三構(gòu)建函數(shù)模型的實際問題多角探究

【舉例說明】

Q角度1構(gòu)造一次函數(shù)、二次函數(shù)模型

BNC

1.(2020.商丘二中檢測)如圖，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕,

其中AE=4米，8=6米.為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一

個矩形BNPM,使點尸在邊OE上.

(1)設(shè)MP=x米，PN=y米,將y表示成x的函數(shù)，并求該函數(shù)的解析式及定

義域；

(2)求矩形8NPM面積的最大值.

解(1)如圖，作于點。，所以PQ=8—y,EQ=x-4,

,EQEF

在△A￡￡)/中，語=麗，

x—44-1

所以二所以y=l1x+10,定義域為｛x|4WxW8｝.

(2)設(shè)矩形BNPM的面積為S,則S(x)=xy=x[l0-^)=-1(x-10)2+50,所以

S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且其圖象開口向下，對稱軸為直線尤=10,所以當(dāng)x￡[4,8]

時，S(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=8時，矩形BNPM的面積取得最大值，最大值為48

平方米.

9角度2構(gòu)造指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型

2.某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年

投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,

則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()

(參考數(shù)據(jù)：1g1.12心0.05,1g1.320.11,1g2^0.30)

A.2018年B.2019年

C.2020年D.2021年

答案B

解析根據(jù)題意，知每年投入的研發(fā)資金增長的百分率相同，所以從2015年

起，每年投入的研發(fā)資金組成一個等比數(shù)列｛斯｝,其中首項m=130,公比4=1+

12%=1.12,所以a“=130><L12"T.由130X1.12,,-1>200,兩邊同時取對數(shù)，得〃

Ig2-lg1.3_lg2-lg1.30.30-0.11用

-1>一j|2-，又']]2~-Q7)5=3.8,則Mt”>4.8,即公開始超過200,

所以2019年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B.

3.已知一容器中有A,B兩種菌，且在任何時刻A,8兩種菌的個數(shù)乘積均

為定值107為了簡單起見，科學(xué)家用PA=lg〃A來記錄A菌個數(shù)的資料，其中〃A

為A菌的個數(shù)，現(xiàn)有以下幾種說法：

①PA2；

②若今天的PA值比昨天的PA值增加1,則今天的A菌個數(shù)比昨天的A菌個數(shù)

多10；

③假設(shè)科學(xué)家將3菌的個數(shù)控制為5萬，則此時5<辦<5.5(注：愴2心0.3).

則正確的說法為.(寫出所有正確說法的序號)

答案③

解析當(dāng)〃A=1時，PA=0,故①錯誤；若尸八=1,則陽=10,若PA=2,則

If)10

^=100,故②錯誤；設(shè)B菌的個數(shù)為“B=5X1()4,...如=左而=2*1()5,,PA

=lg/u=lg2+5.又lg2^0.3,：.PA^5.3,則5<辦<5.5,即③正確.

。角度3構(gòu)造分段函數(shù)模型

4.某景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這

些自行車的費用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，

則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3

輛.為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金M元)只取整數(shù)，并且要求租自行車一日

的總收入必須高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日

中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分).

(1)求函數(shù)y=/(x)的解析式；

(2)試問當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？

解(1)當(dāng)xW6時，y=50x-115,

令50L115>0,解得X>2.3,

為整數(shù)，xez.

當(dāng)x>6時，y=[50—3(x—6)]x—115=—3/+68x—115.

令一3/+68x—115>0,有3/—68x+115<0,結(jié)合x為整數(shù)得6VxW20,xW

Z.

[50x—115(34W6,xGZ),

)一1—3f+68x—115(64W20,%GZ).

(2)對于y=50x-U5(3WxW6,xEZ),

顯然當(dāng)x—6時，ymax=185；

對于y=-3/+68%一115

=—3(L^)2+^11(6<XW20,XGZ),

當(dāng)X=ll時，y,nax=270.

；270〉185,.?.當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時，才能使一日的凈收入最

多.

9角度4構(gòu)造y=x+f(a>0)型函數(shù)

5.某企業(yè)每年需要向自來水廠繳納水費約4萬元，為了緩解供水壓力，決定

安裝一個可使用4年的自動污水凈化設(shè)備，安裝這種凈水設(shè)備的成本費(單位：萬

元)與管線、主體裝置的占地面積(單位：平方米)成正比，比例系數(shù)約為02為了保

證正常用水，安裝后采用凈水裝置凈水和自來水廠供水互補的用水模式.假設(shè)在

此模式下，安裝后該企業(yè)每年向自來水廠繳納的水費C(單位：萬元)與安裝的這種

凈水設(shè)備的占地面積式單位：平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是。(外=布備布(x20,Z

JU人I乙JU

為常數(shù)).記y為該企業(yè)安裝這種凈水設(shè)備的費用與該企業(yè)4年共將消耗的水費之

和.

(1)試解釋C(0)的實際意義，并建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并化簡；

(2)當(dāng)x為多少平方米時，y取得最小值，最小值是多少萬元？

解(l)C(O)表示不安裝設(shè)備時每年繳納的水費為4萬元，

；以0)=告=4,.?.々=1000,

y=0.2x+s吧?.八X4=0.2尤+叱(x三0).

,50x十250X十5

QQ/80QQ

(2)y=0.2(x+5)+^-1^2A/0.2(x+5)X--1=7,當(dāng)0.2。+5)=不,

即尤=15時，ymin=7,故當(dāng)x為15平方米時，y取得最小值7萬元.

【據(jù)例說法】

1.解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟

第一步：（審題）弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；

第二步：（建模）將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;

第三步：（解模）求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；

第四步：（還原）將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實際問題的意義；

第五步：（反思）對于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必須驗證這個數(shù)學(xué)結(jié)果對實際

問題的合理性.

2.建模的基本原則

（1）在實際問題中，若兩個變量之間的關(guān)系是直線上升或直線下降或圖象為直

線（或其一部分），一般構(gòu)建一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解.

（2）實際問題中的如面積問題、利潤問題、產(chǎn)量問題或其圖象為拋物線（或拋物

線的一部分）等一般選用二次函數(shù)模型，根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式.結(jié)合

二次函數(shù)的圖象、最值求法、單調(diào)性、零點等知識將實際問題解決.

（3）實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同

的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車計價與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解.

【鞏固遷移】

1.國家對某行業(yè)征稅的規(guī)定如下:年收入在280萬元及以下部分的稅率為p%,

超過280萬元的部分按（p+2）%征稅.有一公司的實際繳稅比例為（p+0.25）%,則

該公司的年收入是（）

A.560萬元B.420萬元

C.350萬元D.320萬元

答案D

解析設(shè)該公司的年收入為x萬元，納稅額為y萬元，則由題意得y=

x-p°/o,xW280,280-p%+(x-280>S+2)%

依題有；=(p+

280-p%+(x-280)-(p+2)%,x>280,

0.25）%,解得尤=320.故選D.

3

2.（2019?福建三明聯(lián)考）用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的;，要使存留的

污垢不超過1%,則至少要洗的次數(shù)是（參考數(shù)據(jù)：1g2ko.3010）（)

A.3B.4

C.5D.6

答案B

解析設(shè)至少要洗x次，則襦，...x2卷-3.322,因此至少需要洗

4次，故選B.

y米八

b米

X米

3.某人準(zhǔn)備購置一塊占地1800平方米的矩形地塊，中間建三個矩形溫室大

棚，大棚周圍均是寬為1米的小路(如圖陰影部分所示)，大棚占地面積為S平方米,

其中a"=1：2,若要使S最大，則y=.

答案45

解析由題可得，孫=1800,h=2a,則y=〃+〃+3=3a+3,

.?.S=(x—2)a+(x—3)。

y—3

=(3x—8)a=(3L8)=^-

8

=1808—3x—

QiQnn

解法一：S=1808—3x一支上乜

JX

<,4800、

=1808—口+―^—J(x>0),

3T

W1808—2

=1808-240=1568.

當(dāng)且僅當(dāng)3x=半，即x=40時取等號，S取得最大值.

A.

1800

=

此時yx=45.

所以當(dāng)x=40,y=45時，S取得最大值.

解法二：設(shè)S=fix)=1808—(3x+^^](x>0),

、4800。3(40-x)(40+x)

f(x)=~?-―3=p，

令/(x)=0得x=40,

當(dāng)0<x<40時，f(x)>0,

當(dāng)x>40時，f(x)<0.

所以當(dāng)x=40時，S取得最大值.此時y=45,

所以當(dāng)x=40,y=45時，S取得最大值.

課時作業(yè)

A組基礎(chǔ)關(guān)

1.某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第

三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y

與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是()

A.y=100xB.丫=50?—50%+100

C.y=50X2xD.1001og2x+100

答案C

解析對于A中的函數(shù)，當(dāng)x=3或4時，誤差較大.對于B中的函數(shù)，當(dāng)x

=4時誤差較大.對于C中的函數(shù)，當(dāng)元=1,2,3時，誤差為0,x=4時，誤差為

10,誤差很小.對于D中的函數(shù)，當(dāng)尤=4時，據(jù)函數(shù)式得到的結(jié)果為300,與實

際值790相差很遠.綜上，只有C中的函數(shù)誤差最小.

2.據(jù)統(tǒng)計，每年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數(shù)量〉(只)與時間尤(年)近

似地滿足關(guān)系y=alog3(x+2),觀察發(fā)現(xiàn)2014年(作為第1年)到該濕地公園越冬的

白鶴數(shù)量為3000只，估計到2020年到該濕地公園越冬的白鶴的數(shù)量為()

A.4000只B.5000只

C.6000只D.7000H

答案c

解析當(dāng)尤=1時，由3000=Hog3（l+2）,得a=3000,所以到2020年冬，即

第7年，y=3000Xlog3（7+2）=6000,故選C.

3.如圖所示的四個容器高度都相同，將水從容器頂部一個孔中以相同的速度

注入其中，注滿為止.用容器下面所對的圖象表示該容器中水面的高度力和時間f

之間的關(guān)系，其中正確的有（）

①②③④

C.3個D.4個

答案C

解析將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度力

和時間，之間的關(guān)系可以從高度隨時間的增長速度上反映出來，①中的增長應(yīng)該是

勻速的，故下面的圖象不正確；②中的增長速度是越來越慢的，正確；③中的增

長速度是先慢后快，正確；④中的增長速度是先快后慢，也正確，故②③④正確.選

C.

4.汽車的“燃油效率”，是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程.如圖描述了

甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（）

A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米

B.以相同速度行駛相同的路程，三輛汽車中，甲車消耗汽油量最多

C.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油

D.某城市機動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該城市用丙車比用

乙車更省油

答案D

解析根據(jù)圖象知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故A錯誤;

以相同速度行駛時，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車

消耗汽油最少，故B錯誤；甲車以80千米/小時的速度行駛時燃油效率為10千米

/升，行駛1小時，里程為80千米，消耗8升汽油，故C錯誤；最高限速80千米

/小時，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省

油，故D正確.

5.（2020.瀘州診斷）某位股民買入某支股票，在接下來的交易時間內(nèi)，他的這

支股票先經(jīng)歷了3次漲停（每次上漲10%）又經(jīng)歷了3次跌停（每次下降10%）,則該

股民這支股票的盈虧情況（不考慮其他費用）為（）

A.略有盈利B.無法判斷盈虧情況

C.沒有盈利也沒有虧損D.略有虧損

答案D

解析由題意可得（1+10%）3（1—10%）3=0.993七0.97<1.因此該股民這只股票

的盈虧情況為略有虧損.

6.(2019.南充模擬)某地區(qū)的綠化面積每年平均比上一年增長18%,經(jīng)過x年

后，綠化面積與原綠化面積之比為y,則y=?r)的圖象大致為()

解析設(shè)某地區(qū)起始年的綠化面積為。，因為該地區(qū)的綠化面積每年平均比上

一年增長18%,所以經(jīng)過x年后，綠化面積g(x)=a(l+18%)”,因為綠化面積與原

綠化面積的比值為),則〉=/(力=等=(1+18%尸=1.18，，因為y=L18，為底數(shù)大

于1的指數(shù)函數(shù)，故可排除A,C,當(dāng)x=0時，y=l,可排除B,故選D.

7.某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=3000+20x—

0.19(04<240,xGN*),若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，所有生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能

賣完，則生產(chǎn)者不虧本時(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是()

A.100臺B.120臺

C.150臺D.180臺

答案C

解析設(shè)利潤為7U)萬元，貝I_/U)=25x—(3000+20x—0.n2)=0.1/+5%—

300020,得x?150,所以生產(chǎn)者不虧本時的最低產(chǎn)量為150臺.故選C.

8.某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p,第二年的增長率

為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為.

答案，(l+p)(l+g)—1

解析設(shè)年平均增長率為x,則(l+x)2=(l+p)(l+g),.,.x=g(l+p)(l+q)一

1.

9.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影

部分)，則其邊長x為m.

X40m

答案20

解析設(shè)矩形花園的寬為ym,則言=與？，即y=40—x,矩形花園的面積

5=尤（40—尤）=—f+40x=—（無一20）2+400,當(dāng)x=20m時，面積最大.

10.某地區(qū)居民生活用電分高峰和低谷兩個時間段進行計價，該地區(qū)電網(wǎng)銷

售電價表如下：

高峰時間段用電價格表低谷時間段用電價格表

高峰月用電量高峰電價低谷月用電量低谷電價

（單位：千瓦時）（單位：元/千瓦時）（單位：千瓦時）（單位：元/千瓦時）

50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288

超過50至200的部分0.598超過50至200的部分0.318

超過200的部分0.668超過200的部分0.388

若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100

千瓦時，則按這種計費方式該家庭本月應(yīng)付的電費為元.（用數(shù)字作答）

答案148.4

解析據(jù)題意有0.568X50+0.598X150+0.288X50+0.318X50=148.4（元）.

（③?組能力關(guān)

1.國家規(guī)定個人稿費納稅辦法為：不超過800元的不納稅；超過800元而不

超過4000元的按超過部分的14%納稅；超過4000元的按全稿酬的11%納稅.若

某人共納稅420元，則這個人的稿費為（）

A.3000元B.3800元

C.3818元D.5600元

答案B

解析由題意可建立納稅額y關(guān)于稿費x的函數(shù)解析式為y=

ro,xW8oo,

《O.14（X—800）,800令W4000,顯然稿費應(yīng)為800<x^4000,貝U0.14。-800）=

[0.1lx,x>4000,

420,解得x=3800.

2.在標(biāo)準(zhǔn)溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度（單位mol/L,

記作[H+]）和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度（單位mol/L,記作[OH]）的乘積等于常

數(shù)10~”.已知pH值的定義為pH=-lg[H+],健康人體血液的pH值保持在7.35?

7.45之間，那么健康人體血液中的爆、可以為（參考數(shù)據(jù)：1g2=0.30,1g3=

[OHJ

z

0.448)\(

11

AB-

2-3

11

cD

6-

10

答案c

rrj+]

解析V[H+]-[OH-]=IO-14,.,.77^7=7=[H+]2xio14,V7.35<-lg[H+]<7.45,

[UHJ

?.10-7-45<[H+]<10-7-35,A10°'9<]^^=1014.[H+]2<10O-71O-O-9=-^9>-^,1g（IO07）

=0.7>lg3>lg2,；.10°-7>3>2,10°-7<|<1,

?_L[H]加…八

故選C

3.物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè)物體的初始溫度

是7b,經(jīng)過一定時間/（單位：min）后的溫度是T,則7一〃=（n一7；）（，方其中〃

稱為環(huán)境溫度，力稱為半衰期，現(xiàn)有一杯用85℃熱水沖的速溶咖啡，放在21c的

房間中，如果咖啡降到37℃需要16min,那么這杯咖啡要從37°C降到29℃,還

需要min.

答案8

解析由題意知〃=21°C.令To=85℃,T=37℃,得37—21=(85—21)(j

華，，力=8.令7b=37℃,T=29℃,貝U29—21=(37—21)(提，.1=8.

4.候鳥每年都要隨季節(jié)的變化進行大規(guī)模的遷徙，研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn),

該種鳥類的飛行速度。(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為：。=.十句og3告(其

中a,6是實數(shù)).據(jù)統(tǒng)計，該種鳥類在靜止的時候其耗氧量為30個單位，而其