2018-2019學年山東省濟南市高三（上）期末數(shù)學試卷（理科）

2018-2019學年山東省濟南市高三（上）期末數(shù)學試卷（理科）

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合4={尤仔Nl},B={-1,0,1},則（）

A.{1}B.{-1,1}C.{-1,0,1}D.{x|xNl}

2.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足z+z”=2（其中i為虛數(shù)單位），則］=（）

A.1+zB.1-iC.-1+zD.-1-z

3.（5分）已知命題p：關(guān)于機的不等式log27"<l的解集為{5|機<2}；命題0函數(shù)/（x）

=/+/-1有極值.下列命題為真命題的是（）

A.p/\qB.p/\Lq）C.C-'/?）/\qD.Lp）ALq）

4.（5分）如圖，在△ABC中，ZC=90°,BC=2,AC=3,三角形內(nèi)的空白部分由三個

半徑均為1的扇形構(gòu)成，向AABC內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在陰影部分的概率為（）

\B

A

-TB.Tc.—D.i_2L

44

5.（5分）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（）

I—/\

主視圖左視圖

G

俯視圖

A.5B.牛C.6D.8

6.（5分）若將函數(shù)f（x）=cos（2x+^）的圖象向左平移著個單位長度，得到函數(shù)g（x）

的圖象，則下列說法正確的是（）

A.g（x）的最小正周期為4n

B.g（無）在區(qū)間［0,上單調(diào)遞減

C.g（無）圖象的一條對稱軸為X—

12

D.g（x）圖象的一個對稱中心為（二詈，Q）

2

7.（5分）函數(shù)y=2--in|x|的圖象大致為（）

8

8.（5分）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯在他的著作《圓錐曲線論》中記載了用平面切割圓錐

得到圓錐曲線的方法.如圖，將兩個完全相同的圓錐對頂放置（兩圓錐的軸重合），已知

兩個圓錐的底面半徑為1,母線長均為2,記過圓錐軸的平面ABC。為平面a（a與兩個

圓錐面的交線為AC,BD）,用平行于a的平面截圓錐，該平面與兩個圓錐側(cè)面的截線即

為雙曲線r的一部分，且雙曲線r的兩條漸近線分別平行于AC,BD,則雙曲線r的離

A.2V1B.72C.V3

D.2

3

9（5分）已知|a1=Ib1=2,且；c=^"（軟+bAI三二I二&,則信I的取值范

圍是（）

A.[0,2721B.[0,2]C.[0,V21D.[0,1]

10.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a,b,c依次為

（sina）s5\（$壯<1尸。5\其巾。6（左，子），則輸出

的尤為（）

A.(cosa)C0SaB.(sina).aC.(sina)C0SaD.(cosa)sina

11.（5分）過拋物線（p>0）的焦點廠作直線/,交拋物線于點N,交拋物線

的準線于點P,若而=2百5，則直線/的斜率為（）

A.±V2B.±2C.±272D.±4

，/+10

12.(5分)已知函數(shù)f(x)=,'，若對任意xE[-1,1],不等式/[(1-2a)x

-x

,e,x>0

-4a+2]2|/(7)]。恒成立，其中。>0,則a的取值范圍是()

A.(0,B.虎，400）C.[申，400）

O

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13.（5分）（X2」）6展開式中常數(shù)項為.

x

'x》0

14.（5分）若實數(shù)x,y滿足約束條件，3x+4y<3，則z=4x+3y的最大值為.

.y>0

15.（5分）我國《物權(quán)法》規(guī)定：建造建筑物，不得妨礙相鄰建筑物的通風和采光.已知

某小區(qū)的住宅樓的底部均在同一水面上，且樓高均為45米，依據(jù)規(guī)定，該小區(qū)內(nèi)住宅樓

樓間距應(yīng)不小于52米.若該小區(qū)內(nèi)某居民在距離樓底27米高處的某陽臺觀測點，測得

該小區(qū)內(nèi)正對面住宅樓樓頂?shù)难鼋桥c樓底的俯角之和為45°,則該小區(qū)的住宅樓樓間距

實際為米.

16.（5分）已知球。的半徑為3,該球的內(nèi)接正三棱錐的體積最大值為口，內(nèi)接正四棱錐

的體積最大值為以，則±1的值為

v2

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）第

17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：60分

17.（12分）已知數(shù)列｛即｝是遞增的等差數(shù)列，滿足〃2+43+44=15,〃2是和45的等比中

項.

（1）求數(shù)列｛坳｝的通項公式；

（2）設(shè)b=~--，求數(shù)列｛為｝的前〃項和S,.

nanan+l

18.（12分）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面42c。為正方形，E4_L平面4BCDE為

的中點，AC交BE于點、F,G為△PC。的重心.

（1）求證：尸G〃平面PAD；

（2）若點"在線段尸。上，且PH=2HD,求二面角X-FG-C的余弦值.

19.（12分）某企業(yè)生產(chǎn)了一種新產(chǎn)品，在推廣期邀請了100位客戶試用該產(chǎn)品，每人一臺.試

用一個月之后進行回訪，由客戶先對產(chǎn)品性能作出“滿意”或“不滿意”的評價，再讓

客戶決定是否購買該試用產(chǎn)品（不購買則可以免費退貨，購買則僅需付成本價）.經(jīng)統(tǒng)計,

決定退貨的客戶人數(shù)是總?cè)藬?shù)的一半，“對性能滿意”的客戶比“對性能不滿意”的客戶

多10人，“對性能不滿意”的客戶中恰有2選擇了退貨.

3

（1）請完成下面的2義2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為“客戶購買產(chǎn)品與對產(chǎn)

品性能滿意之間有關(guān)”.

對性能滿意對性能不滿意

購買產(chǎn)品

不購買產(chǎn)品

合計

（2）企業(yè)為了改進產(chǎn)品性能，現(xiàn)從“對性能不滿意”的客戶中按是否購買產(chǎn)品進行分層

抽樣，隨機抽取6位客戶進行座談.座談后安排了抽獎環(huán)節(jié)，共有6張獎券，其中一張

印有900元字樣，兩張印有600元字樣，三張印有300元字樣，抽到獎券可獲得相應(yīng)獎

金.6位客戶每人隨機抽取一張獎券（不放回），設(shè)6位客戶中購買產(chǎn)品的客戶人均所得獎

金為X元，求X的分布列和數(shù)學期望.

附：K2=7-----、,----其中〃=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（爛之公）0.1500.1000.0500.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

22

20.（12分）已知橢圓E：（a>6>0）過點兒（1,3）,左焦點為尸（-1,0）.

a2b22

（1）求橢圓E的方程；

（2）直線（20）與橢圓E相交于8,C兩點，線段8C的中點為N,點A在

橢圓E上，滿足質(zhì)=2而（。為坐標原點）.判斷△ABC的面積是否為定值，若是，求出

該定值；若不是，請說明理由.

21.（12分）已知函數(shù)f（x）（a+1）e、+ax，

（1）討論無）的單調(diào)性；

（2）若/（x）有兩個零點，求。的取值范圍.

（二）選考題：共10分.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題記分.

22.（10分）在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極

坐標系，曲線C的極坐標方程為pcos2e=sin。，直線/的參數(shù)方程為，（/為參

數(shù))，其中。>0,直線/與曲線C相交于M,N兩點.

(1)求曲線C的直角坐標方程；

(2)若點尸(0,a)滿足J^=4，求。的值.

|PM||PN|

23.已知函數(shù)f(x)—|3x+3|+|x-a\,

(1)當〃=2時，求不等式/(x)>4的解集；

(2)若/(x)>3x+4對任意的xW(-L+°°)恒成立，求〃的取值范圍.

2018-2019學年山東省濟南市高三（上）期末數(shù)學試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合4={#?21},B={-1,0,1},則AAB=（）

A.{1}B.{-1,1}C.{-1,0,1}D.

【分析】求出集合A,B,由此能求出ACB.

【解答】解：：集合A={x|/21}={x|x2l或尤W-1},0,1},

.\AnB={-1,1}.

故選：B.

【點評】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解

能力，是基礎(chǔ)題.

2.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足z+z”=2（其中，,為虛數(shù)單位），則^=（）

A.1+;B.\-iC.-1+zD.-1-z

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，先計算z,然后根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的定義進行求解即可.

【解答】解：由z+z」=2得z=’一=—"工-i——=2Ll-jj=1-i,

1+i（l+i）（l-i）2

則z=l+i，

故選：A.

【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則進行化簡是解決本題的關(guān)

鍵.

3.（5分）已知命題p：關(guān)于機的不等式log2機＜1的解集為{m|機＜2}；命題q：函數(shù)/（x）

=/+/-1有極值.下列命題為真命題的是（）

A.p/\qB.p/\Lq）C.C-'/?）/\qD.Lp）ALq）

【分析】判斷命題p,q命題的真假，結(jié)合復(fù)合命題真假關(guān)系進行判斷即可.

【解答】解：由log2〃z＜l得0＜機＜2,即命題p是假命題，

函數(shù)/（x）的導數(shù)為（x）=37+2r,則判別式△=4＞0,則/（x）=3?+2x有兩

個不同的實根，則/（%）存在極值，故命題q是真命題

則Lp）八q為真命題，

其余為假命題，

故選：C.

【點評】本題主要考查復(fù)合命題真假關(guān)系的判斷，判斷命題D4的真假是解決本題的關(guān)

鍵.

4.（5分）如圖，在△ABC中，NC=90°,BC=2,AC=3,三角形內(nèi)的空白部分由三個

半徑均為1的扇形構(gòu)成，向△ABC內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在陰影部分的概率為（）

【分析】根據(jù)幾何概型的幾何意義，該點落在陰影部分的概率，等于陰影部分面積三角

形的面積比，由此可以計算.

【解答】解：由題意，題目符合幾何概型，

△ABC中，ZC=90°,BC=2,AC=3,面積為工><2X3=3,

2

陰影部分的面積為：三角形面積-工圓面積=3-2_,

22

兀

所以點落在陰影部分的概率為二^=1-

36

故選:B.

【點評】本題考查了幾何概型的概率求法；關(guān)鍵明確概率模型，然后求出滿足條件的事

件的集合，由概率公式解答.

5.（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

俯視圖

A.5C.6D.8

B居

【分析】根據(jù)三視圖知該幾何體是底面為左視圖的直五棱柱，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求出該幾何

體的體積.

【解答】解：根據(jù)三視圖知，該幾何體是底面為左視圖的直五棱柱，

且五棱柱的高為2,底面積為S=2X1+LX2X1=3,

2

所以該幾何體的體積為V=3X2=6.

故選：C.

【點評】本題考查了利用三視圖求幾何體的體積應(yīng)用問題，有三視圖得出幾何體的結(jié)構(gòu)

特征是解題的關(guān)鍵.

6.（5分）若將函數(shù)￡6）=.5（2乂哈）的圖象向左平移看個單位長度，得到函數(shù)g（X）

的圖象，則下列說法正確的是（）

A.g（x）的最小正周期為4TT

B.g（x）在區(qū)間［0,5］上單調(diào)遞減

C.g（龍）圖象的一條對稱軸為x?

12

D.g（x）圖象的一個對稱中心為■需，Q）

【分析】利用函數(shù)y=Asin（3x+<p）的圖象變換規(guī)律求得g（無）的解析式，再利用三角

函數(shù)的周期性、單調(diào)性、圖象的對稱性，得出結(jié)論.

【解答】解：將函數(shù)f（x）=cos（2x*|-）的圖象向左平移專個單位長度，得到函數(shù)g（x）

=cos（2X+-2L.+_ZL）=COS（2尤+工_）的圖象，

1243

故它的最小正周期為”=n,故排除A；

2

在區(qū)間［0,—1±，2x+-e［2L,里L］,故g（X）=cos（2x+-l）沒有單調(diào)性，故

2J3333

排除脫

當》=工時，g（%）=0,故排除c；

12

當尤=了"時,g（無）=0,故￡）正確，

12

故選：D.

【點評】本題主要考查函數(shù)y=Asin（3x+（p）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的周期性、單

調(diào)性、圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，結(jié)合特殊值的符號是否一致，利用排除法進行求

解即可.

【解答】解:函數(shù)的定義域為{RxWO},

/\22

則/（-%）=1x1_-in\-X\=2L--ln\x\=f（x）,則函數(shù)/（%）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y

88

軸對稱，排除

當Xf+8時，yf+8,排除A,

V/（2）=魚-伍2=!-伍2<0,

82

函數(shù)在x>0時，存在負值，排除C,

故選：D.

【點評】本題主要考查函數(shù)的識別和判斷，利用函數(shù)奇偶性和圖象對稱性的關(guān)系，利用

特殊值法以及排除法是解決本題的關(guān)鍵.

8.（5分）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯在他的著作《圓錐曲線論》中記載了用平面切割圓錐

得到圓錐曲線的方法.如圖，將兩個完全相同的圓錐對頂放置（兩圓錐的軸重合），已知

兩個圓錐的底面半徑為1,母線長均為2,記過圓錐軸的平面A8C。為平面a（a與兩個

圓錐面的交線為AC,BD）,用平行于a的平面截圓錐，該平面與兩個圓錐側(cè)面的截線即

為雙曲線「的一部分，且雙曲線「的兩條漸近線分別平行于AC,BD,則雙曲線r的離

A.B.V2C.V3D.2

3

【分析】求得圓錐的高，可得矩形A8CD的對角線長，即有AC,8。的夾角，可得兩條

漸近線的夾角，由漸近線方程和離心率公式，計算可得所求值.

【解答】解：兩個圓錐的底面半徑為廠=1,母線長均為/=2,

可得圓錐的身為〃=4]22=

四邊形ABC。為矩形，對角線AC,的長為。4+12=4,

可得直線AC,2。的夾角為60°,

由雙曲線「的兩條漸近線分別平行于AC,BD,

由雙曲線的漸近線方程為y=土三，

即有t=返,

【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想和運

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.（5分）已知|a|=|b|=2,且二短0,c-1（a+b）-|d-c|=^則RI的取值范

圍是（）

A.[0,2&]B.[0,2]C.[0,&]D.[0,1]

【分析】由題意，由于兩向量垂直，所以可以將兩向量放到坐標系內(nèi)，如圖可令

；=(2,o),b=(0,2)，從而轉(zhuǎn)化為坐標情況下向量問題的研究，問題易解

【解答】解：由題意，G|=￡|=2,且之吊=0，

所以可將兩向量放到坐標系內(nèi)，如圖可令7=(2,o),t=(0,2)，

c(a+b)=(1，1)，

令岸(X,y)，因為|d-c1=72,所以向量7的終點在以(L1)為圓心，以正為半徑

的圓上，

又圓到原點的距離是證,所以|五|的取值范圍是[0，2J5],

故選：A.

求

【點評】本題考查向量的模的求法，以及向量的模的幾何意義，向量的坐標表示，根據(jù)

題意，靈活選用基向量法與坐標法可以大大降低解題的難度

10.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a,b,c依次為

(sinQ)Sma，(sina)cosa,Rosa尸皿。，其中aC4，；)，則輸出

的尤為()

(gg

i_

輸入a也c

x=a

A.(cosa)C0SaB.(sina)sinaC.(sina)C0SaD.(cosa)sina

【分析】由程序框圖的功能是輸出三個函數(shù)值中最大值，用特殊值a=2L代入驗證即可

3

得出結(jié)論.

【解答】解：由程序框圖的功能是輸出

sma

(sina),(sina)cosa,(cosa尸皿。，其中a￡(牛，；)的最大

值，

V3廠近廠L

用特殊值a=；，代入驗證得出6)2<(苧)2<(苧)2,

即(cosa)sin?<(sina)sin?<(sina)cos?,

則輸出的x為(sina)cos%

故選：C.

【點評】本題考查了利用程序框圖比較函數(shù)值大小的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

11.(5分)過拋物線y=2"(p>0)的焦點p作直線/,交拋物線于點M,N,交拋物線

的準線于點P,若而=2而，則直線/的斜率為()

A.±V2B.±2C.±272D.±4

【分析】由于直線/過尸號0),故設(shè)方程尸左(x-學聯(lián)立方程組，由韋達定理可

n2—?—

得X1+X2=P(1+W)①，X1X2=2-②，再根據(jù)PM=2PN，則可得N為PM中點，

k24

根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得判+史=2(9+艮)，即XI-2X2=￡,③，由①②③解得即可

222

【解答】解：：拋物線"2px(p＞0)的焦點F(^,0),準線方程：x=-史，設(shè)M

22

(xi,yi),N(X2,J2)

由于直線/過0),故設(shè)方程y=)t(x-R),

22

2

y=2opx22

由＜?，消y可得后x-p(Q+2)-p=o

y=k(x-1)4

902

/.X1+X2—P(1+--),X1X2=^--

k2*44

VPM=2PN，

：.N為PM中點,

.'.Xl+￡-=2(X2+R),

22

??X1-212=-^~,

2

2

Axl-—=2

2xi2

解得x=p,

.?.X2=￡,

4

.\p+P-=p(1+-?—),

4k2

即必=8,

即左=±2&,

故選：C.

【點評】本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理

地進行等價轉(zhuǎn)化，屬于中檔題

x+1,x40,若對任意xR-1,

12.(5分)已知函數(shù)f(x)=1],不等式力(1-2a)x

x>0

-4。+2]2[/(f)]。恒成立，其中。＞0,則a的取值范圍是()

A.(0,B.或，+oo)C.島Q)

O。?生fl

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為小+(2〃-1)x+4a-220在在［-1,1］上恒成

立，令g(x)=ax1+(2a-1)x+4a-2,xE［-1,1］,(a>0),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求

出〃的范圍即可.

'/+1

【解答】解：函數(shù)f(x)=|，

一-x,X>0

當x>0時，f(x)=e%遞減，

xVO時，f(x)=W+1遞減.

x=O時，f(0)=1,

由函數(shù)的單調(diào)性可得/G)在R上遞減，

則有不等式力(1-2〃)％-4〃+2］2|/(/)］。，

即為咒(1~2a)x-4〃+2］》/(ax2,)，

則有(1_2a)x-4a+ZWax2,

即為〃/+(2〃-1)x+4〃-220在1,1］上恒成立，

令g(x)=總+(2〃-1)x+4。-2,xE［-1,1］,(〃>0),

對稱軸x=1-2a.>-1,

2a

①卜2awi即工時，

2a4

g(x)在［-1,上至)遞減，在(上&_,1］遞增，

2a2a

故g(%)min=g(1-2))=4〃-2-(1-2'J20,

2a4a

解得：a^l,

2

@1-2a>1即0<“〈工時，

2a4

g(無)在［-1,1］遞減，

故g(尤)min=g(1)=7a-320,

解得：心旦(舍)

7

綜上：a^—,

2

故選：B.

【點評】本題考查不等式的恒成立問題，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，考查運算能力,

屬于中檔題和易錯題.

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13.（5分）（丫2工）6展開式中常數(shù)項為15.

X

【分析】寫出二項展開式的通項，由X的指數(shù)為0求得一值，則答案可求.

【解答】解：由T1+廣篇?62）6）?（1）]=（一1）JC於x12^-

取12-3r=0,得r=4.

但21）6展開式中常數(shù)項為以=]5

x6

故答案為：15.

【點評】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記二項展開式的通項，是基礎(chǔ)題.

x>0

14.（5分）若實數(shù)x,y滿足約束條件，3x+4y<3，則z=4x+3y的最大值為4.

,y>0

【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義進行求解即可.

【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

由z=4x+3y的得y=--x+—,

-33

平移直線y=-&+三，由圖象知當直線y=-&+三經(jīng)過點A（1,0）時，直線的截距

3333

最大，此時Z最大，

最大值為Z=4X1+O=4,

故答案為：4.

【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標函數(shù)的幾何意義以及數(shù)形結(jié)合是解決

本題的關(guān)鍵.

15.（5分）我國《物權(quán)法》規(guī)定：建造建筑物，不得妨礙相鄰建筑物的通風和采光.已知

某小區(qū)的住宅樓的底部均在同一水面上，且樓高均為45米，依據(jù)規(guī)定，該小區(qū)內(nèi)住宅樓

樓間距應(yīng)不小于52米.若該小區(qū)內(nèi)某居民在距離樓底27米高處的某陽臺觀測點，測得

該小區(qū)內(nèi)正對面住宅樓樓頂?shù)难鼋桥c樓底的俯角之和為45°,則該小區(qū)的住宅樓樓間距

實際為54米.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用直角三角形的邊角關(guān)系列出方程求該小區(qū)內(nèi)

住宅樓樓間距為多少米.

【解答】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示；

則8C=27,48=45-27=18,

設(shè)PC=a,/4/^=式「則/8/^=45°-a,

則tana=A^,tan（45°-a）

aa

增

tan（45。-a）=tan45°-tanCLJtand=_^=^18_；

l+tan45°tan0.1+tand]J8a+18

a

?

??-a---1--8--=27

a+18a

解得。=54或a=-9（不合題意，舍去），

該小區(qū)內(nèi)住宅樓樓間距實際為54米.

故答案為：54.

【點評】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了兩角差的正切公式應(yīng)用

問題，是中檔題.

16.（5分）已知球。的半徑為3,該球的內(nèi)接正三棱錐的體積最大值為0,內(nèi)接正四棱錐

的體積最大值為w，則工L的值為心叵.

V2_

【分析】分別求出求內(nèi)接正三棱錐與正四棱錐的體積的最大值，作比得答案.

【解答】解：如圖，

P-ABC是球。的內(nèi)接正三棱錐，設(shè)它的高為尸。1=/7,

PO=AO=BO=CO=3,則。1為正三角形ABC的中心，

球心。在尸。1上，

...AOi=Xw?sin60°=^^AB,即AB=V540I，

33

在RtAAOOi中’A01=，AO2-00[2=也_(h-3)2=46h-h??

,48=</§4°1=避.y6卜廠1產(chǎn)

S△軸c=~^B2，sin60。=2^1.(6〃-/?2),

VS△ABC,h—(6〃-h2~)h—(12-2〃)h?hW2iLzLX

P-ABC3488

「(12-2h)+h+h

L3

當且僅當12-2/z=/z,即//=4時等號成立.

，半徑為3的球的內(nèi)接正三棱錐P-A8C體積的最大值為873；

設(shè)正四棱錐S-ABCD的底面邊長等于a,

底面到球心O的距離等于x,

則/+（亞2=9,

2

而正四棱錐的高為h=3>+x,

故正四棱錐體積為：

V（尤）—1-crh——（18-27）（3+無）=—（9-7）（3+尤）

333

=工（6-2x）（3+尤）（3+x）

3

wLx（6-2x+3+x+3+x）3=64

、百3T）

當且僅當X=1時，等號成立，即正四棱錐體積取得最大值.

.V18V33V3

"v7'M_8'

故答案為：也.

8

【點評】本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題

思想方法，是中檔題.

三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)第

17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：60分

17.(12分)已知數(shù)列｛。〃｝是遞增的等差數(shù)列，滿足。2+。3+。4=15,02是和i75的等比中

項.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)設(shè)b=~~--,求數(shù)列｛加｝的前〃項和

nanan+l

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛劭｝的公差為d>0,由42+43+44=15,42是和〃5的等比中

項.可得15=3硝=3(m+2d),即(a]+d)2=m(m+4d),聯(lián)立解得〃i,

d.即可得出.

(2)b=~~--——3——^=-(-.....—))利用裂項求和方法即可得

、

nanan+1(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l'

出.

【解答】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d>0,,.,。2+〃3+。4=15,〃2是〃1和45的等比

中項.

，15=3.3=3(m+2d),a>“i"，即(a?+d)^=al(ai+4d),

聯(lián)立解得：fli=l,<7=2.

'.an—1+2(n-1)—2n-1.

(2)b=-----------=----------------------=—(-----1—),

11

anan+1(2n-l)(2n+l)2、2n-l2n+l'

.,.數(shù)列｛加｝的前n項和品=工(1」」」+…+_)=工(1)=

23352n-l2n+l22n+l

n

2n+l-

【點評】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、裂項求和方法，考查了推理能力

與計算能力，屬于中檔題.

18.(12分)如圖，在四棱錐P-A8CD中，底面ABC。為正方形，ABCD,E為

的中點，AC交BE于點F,G為△2(?￡)的重心.

(1)求證：FG〃平面PAD-,

(2)若P4=A。，點H在線段上，且PH=2HD,求二面角X-FG-C的余弦值.

【分析】(1)延長CG交尸。于連接AM,可得AM〃尸G.即可證明FG〃平面出。；

(2)以A為原點，AB,AD,AP所在直線分別為尤，》z軸建立空間直角坐標系，設(shè)出

=DA=3.貝！］F(1,1,0),H(0,2,1),G(1,2,1),C(3,3,0)求得面HGF

的法向量為去(x,y,z)，面FGC的法向量為n=(a,b,c)由

cos<',「巫.即可得二面角H-PG-C的余弦值為-YL

V2><V333

【解答】解：(1)延長CG交尸。于連接AM,

:G為△PCD的重心.史上.

GM1

為AD的中點，AC交3E于點凡崖上.

AFAE1

.,.AM//FG.

又AAfc平面PAD,FGC平面PAD,

〃平面PAD-,

(2)以A為原點，AB,AD,AP所在直線分別為無，y,z軸建立空間直角坐標系.

設(shè)限=ZM=3.則尸(1,1,0),H(0,2,1),G(1,2,1),C(3,3,0)

HG=(1,0,0)，市=(1,-1,-1>

設(shè)面HG尸的法向量為i=(x,y,z)，

mpHG=x=0

由,^m=(O,1,-I),

m*HF=x-y-z=0

CF=(-2,-2,0)-CG=(-2,-1,1)，

設(shè)面FGC的法向量為W=Q,b,c)

山(n?CF=-2a-2b=0.、

由-----=n=(l,-1,D-

Ln?CG=-2a-b+c=0

二面角X-PG-C的余弦值為-返.

【點評】本題考查的知識點是二面角的平面角求法,直線與平面平行的判定，屬于中檔

題.

19.(12分)某企業(yè)生產(chǎn)了一種新產(chǎn)品，在推廣期邀請了100位客戶試用該產(chǎn)品，每人一臺.試

用一個月之后進行回訪，由客戶先對產(chǎn)品性能作出“滿意”或“不滿意”的評價，再讓

客戶決定是否購買該試用產(chǎn)品(不購買則可以免費退貨，購買則僅需付成本價).經(jīng)統(tǒng)計,

決定退貨的客戶人數(shù)是總?cè)藬?shù)的一半，“對性能滿意”的客戶比“對性能不滿意”的客戶

多10人，“對性能不滿意”的客戶中恰有2選擇了退貨.

3

(1)請完成下面的2X2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為“客戶購買產(chǎn)品與對產(chǎn)

品性能滿意之間有關(guān)”.

對性能滿意對性能不滿意合計

購買產(chǎn)品

不購買產(chǎn)品

合計

(2)企業(yè)為了改進產(chǎn)品性能，現(xiàn)從“對性能不滿意”的客戶中按是否購買產(chǎn)品進行分層

抽樣，隨機抽取6位客戶進行座談.座談后安排了抽獎環(huán)節(jié)，共有6張獎券，其中一張

印有900元字樣，兩張印有600元字樣，三張印有300元字樣，抽到獎券可獲得相應(yīng)獎

金.6位客戶每人隨機抽取一張獎券(不放回)，設(shè)6位客戶中購買產(chǎn)品的客戶人均所得獎

金為X元，求X的分布列和數(shù)學期望.

附：K2=7----------------------------------,其中〃=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)_______________________________________________

P(蜉2公)0.1500.1000.0500.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

【分析】(1)設(shè)“對性能滿意”的客戶為無人，列方程求出x的值，由此填寫列聯(lián)表，

計算產(chǎn)，對照臨界值得出結(jié)論；

(2)根據(jù)分層抽樣法抽取6位客戶，購買產(chǎn)品抽取2人，知X的可能取值為300,450,

600,750,

計算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，求出數(shù)學期望值.

【解答】解：(1)根據(jù)題意知，設(shè)“對性能滿意”的客戶為x人，則“對性能不滿意”

的客戶為(X-10)人，

貝Ux+(%-10)=100,解得尤=55,

則“對性能不滿意”的客戶有45人，其中恰有2義45=30人選擇了退貨；

3

由此填寫2X2列聯(lián)表如下；

對性能滿意對性能不滿意合計

購買產(chǎn)品351550

不購買產(chǎn)品

計算產(chǎn)=100X（35X30-20X15產(chǎn)

50X50X55X4511

所以有99%的把握認為“客戶購買產(chǎn)品與對產(chǎn)品性能滿意之間有關(guān)”；

（2）根據(jù)題意知，按分層抽樣法抽取6位客戶，購買產(chǎn)品抽取2人，不購買產(chǎn)品抽取4

人，

則購買產(chǎn)品的2名客戶人均所得獎金X的可能取值為300,450,600,750,

計算尸(X=300)=>>=■1,

A5

P(X=450)

P(X=750)=2

則X的分布列為:

1242

551515

數(shù)學期望為E（X）=300XJL+450XX+600X-1.+750X_2_=500,

551515

所以購買產(chǎn)品的客戶人均所得獎金的數(shù)學期望值為500元.

【點評】本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望計算問題，也考查了獨立性檢

驗的應(yīng)用問題，是中檔題.

22

20.（12分）已知橢圓E：2y鼻=1（。>6>0）過點兒（1,旦），左焦點為F（-1,0）.

a2b22

（1）求橢圓E的方程；

（2）直線（M0）與橢圓E相交于2,C兩點，線段2C的中點為N,點A在

橢圓E上，滿足菽i=2而（。為坐標原點）.判斷△ABC的面積是否為定值，若是，求出

該定值；若不是，請說明理由.

【分析】（1）先利用橢圓定義求出。的值，由c的值計算出6的值，從而得出橢圓E的

標準方程；

（2）設(shè)點點B（尤1,yi）、C（無2,”），將直線8C的方程與橢圓E的方程聯(lián)立，列出韋

達定理，求出點N的坐標，并由標=2而求出點A的坐標，然后將點A的坐標代入橢圓

E的方程，得出相與左之間所滿足的關(guān)系式，并求出18cl以及點。到直線BC的距離，再

=

由SAABC3SAOBC多?|BC|證明題中結(jié)論?

【解答】解：（1）由橢圓的定義可得2a=J（1+1）2+（W_））2+（3）2=1

所以，a=2,由于c=l,則b=Va2-c2=V^

22

因此，橢圓￡的方程為幺J_=i；

43

（2）設(shè)點8（xi,yi）、C（%2,”），

，=kx+m

將直線丁=丘+機（20）的方程與橢圓E的方程聯(lián)立|/2,

Aj

消去y得（4武+3）_?+8加優(yōu)+4祖2-12=0,由韋達定理得，9

4m-12

*建2=-4--k92-+-3-

則Xl+X2=.4km”丫1+丫2,xl+x23m

o—k?n+m=2'

24k2+3224k43

則點N的坐標為（一生亞_,_粵_）.

4k2+34k2+3

?/AO=2而，可得點A的坐標為（'即,一粵」）.

4k2+34k2+3

由于點A在橢圓E上，將點A的坐標代入橢圓E的方程得

（8km）2（6m）2

4k2+34k2+3_/i/的徂

|AB|=V1+k2?Ix1-x2I=71+k2可升1+乂2)2-4乂d2

啦7(l+k2)(4k2+3-m，I1+k2

4k2+34k2+3

原點0到直線y=kx+m的距離為d-屈口一q14T」

Vl+k2Vl+k211+k22

.."1

AO=2ON'所以'SAABC=3SAOBC=3x|xdX|BC|=

3X5><4~」4k2+