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第五節(jié)廣義積分初步在定積分的定義中,有兩個(gè)限制:無(wú)界函數(shù)的積分——稱(chēng)為瑕積分.無(wú)限區(qū)間上的積分——稱(chēng)為無(wú)窮限積分;(1)積分區(qū)間有限;(2)被積函數(shù)有界.當(dāng)這兩個(gè)條件至少有一個(gè)不滿(mǎn)足時(shí),稱(chēng)(現(xiàn)一般稱(chēng)為反常積分).
1一、無(wú)窮限積分定義2類(lèi)似地,注意:上式只有右邊兩個(gè)廣義積分均收斂時(shí)才有意義.3例1討論下列無(wú)窮限積分的斂散性.解所以4例1討論下列無(wú)窮限積分的斂散性.解所以5例1討論下列無(wú)窮限積分的斂散性.解6例1討論下列無(wú)窮限積分的斂散性.解78例2其中羅必塔法則9解例3積分發(fā)散;
所以10例4解令原式11計(jì)算廣義積分例5解原式1213二、瑕積分定義如果極限
存在,則稱(chēng)瑕積分
14存在,則稱(chēng)瑕積分如果極限
15例6討論下列瑕積分的斂散性.解0為瑕點(diǎn),原式注16例6討論下列瑕積分的斂散性.17例6討論下列瑕積分的斂散性.18例6討論下列瑕積分的斂散性.19例6討論下列瑕積分的斂散性.解用換元法,
于是有20例7解積分發(fā)散;
所以21比較:解積分發(fā)散;
所以例722例8討論下列瑕積分的斂散性.解0為瑕點(diǎn),23例8討論下列瑕積分的斂散性.解是瑕點(diǎn),24發(fā)散.?思考題是瑕點(diǎn),25積分的瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)?思考題可能的瑕點(diǎn)是不是瑕點(diǎn),的瑕點(diǎn)是解26三、
函數(shù)定義變量t的函數(shù),稱(chēng)為Γ函數(shù).Γ函數(shù)的性質(zhì):證27證證28例9
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