專題26 幾何探究以三角形為背景（動點、平移、旋轉(zhuǎn)、折疊）（原卷版）

專題26幾何探究以三角形為背景（動點、平移、旋轉(zhuǎn)、折疊）1．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動點，過點D作的垂線交直線于點F．【初步感知】(1)如圖1，當時，興趣小組探究得出結(jié)論：，請寫出證明過程．【深入探究】(2)①如圖2，當，且點F在線段上時，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）【拓展運用】(3)如圖3，連接，設的中點為M．若，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．2．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）【模型建立】（1）如圖1，和都是等邊三角形，點關(guān)于的對稱點在邊上．①求證：；②用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型應用】（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點關(guān)于的對稱點在邊上．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型遷移】（3）在（2）的條件下，若，，求的值．

3．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊中，于點，為線段上一動點（不與，重合），連接，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接交于點，連接，，與所在直線交于點，求證：；(3)如圖3，連接交于點，連接，，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，．若，直接寫出的最小值．4．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，點分別為邊的中點，連接．初步嘗試：（1）與的數(shù)量關(guān)系是_________，與的位置關(guān)系是_________．特例研討：（2）如圖2，若，先將繞點順時針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，當點在同一直線上時，與相交于點，連接．（1）求的度數(shù)；（2）求的長．深入探究：（3）若，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，．當旋轉(zhuǎn)角滿足，點在同一直線上時，利用所提供的備用圖探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．5．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點為的中點，點在直線上（不與點重合），連接，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，過點作直線，過點作，垂足為點，直線交直線于點．(1)如圖，當點與點重合時，請直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當點在線段上時，求證：；(3)連接，的面積記為，的面積記為，當時，請直接寫出的值．6．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）在學習完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學生開展了一次數(shù)學探究活動【問題情境】劉老師先引導學生回顧了華東師大版教材七年級下冊第頁“探索”部分內(nèi)容：如圖，將一個三角形紙板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到達的位置，那么可以得到：，，；，，（

）

劉老師進一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵；故數(shù)學就是一門哲學．【問題解決】（1）上述問題情境中“（

）”處應填理由：____________________；（2）如圖，小王將一個半徑為，圓心角為的扇形紙板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到達扇形紙板的位置．

①請在圖中作出點；②如果，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點經(jīng)過的路徑長為__________；【問題拓展】小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置，另一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止，此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖所示，請你幫助小李解決這個問題．

7．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）【問題情境】在綜合實踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學用相同的兩塊含的三角板開展數(shù)學探究活動，兩塊三角板分別記作和，設．【操作探究】如圖1，先將和的邊、重合，再將繞著點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)過程中保持不動，連接．

(1)當時，________；當時，________；(2)當時，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；(3)如圖2，取的中點F，將繞著點A旋轉(zhuǎn)一周，點F的運動路徑長為________．8．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖①，和是等邊三角形，連接，點F，G，H分別是和的中點，連接．易證：．若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進行證明．

9．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐數(shù)學模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學應用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點．請猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說明理由；(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點，，在一條直線上，過點作，垂足為點．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；(4)實踐應用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點滿足，，則______．10.(2022·黑龍江省鶴崗市)△ABC和△ADE都是等邊三角形．

(1)將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，連接BD，CE并延長相交于點P(點P與點A重合)，有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立(不需證明)；

(2)將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；

(3)將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明．

11.(2022·重慶市A卷)如圖，在銳角△ABC中，∠A=60°，點D，E分別是邊AB，AC上一動點，連接BE交直線CD于點F．

(1)如圖1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度數(shù)；

(2)如圖2，若AB=AC，且BD=AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CM，連接MF，點N是MF的中點，連接CN.在點D，E運動過程中，猜想線段BF，CF，CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)若AB=AC，且BD=AE，將△ABC沿直線AB翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△ABP，點H是AP的中點，點K是線段PF上一點，將△PHK沿直線HK翻折至△PHK所在平面內(nèi)得到△QHK，連接PQ.在點D，E運動過程中，當線段PF取得最小值，且QK⊥PF時，請直接寫出PQBC的值．

12.（2021·江蘇連云港市·中考真題）在數(shù)學興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學探究活動．（1）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一點，且，小亮以為邊作等邊三角形，如圖1，求的長；（2）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖2，在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經(jīng)過的路徑長；（3）是邊長為3的等邊三角形，M是高上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖3，在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長；（4）正方形的邊長為3，E是邊上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形，其中點F、G都在直線上，如圖4，當點E到達點B時，點F、G、H與點B重合．則點H所經(jīng)過的路徑長為______，點G所經(jīng)過的路徑長為______．13.（2021·四川樂山市·中考真題）在等腰中，，點是邊上一點（不與點、重合），連結(jié)．（1）如圖1，若，點關(guān)于直線的對稱點為點，結(jié)，，則________；（2）若，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．①在圖2中補全圖形；②探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若，且，試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．14.（2021·安徽中考真題）如圖1，在四邊形ABCD中，，點E在邊BC上，且，，作交線段AE于點F，連接BF．（1）求證：；（2）如圖2，若，，，求BE的長；（3）如圖3，若BF的延長線經(jīng)過AD的中點M，求的值．

15.（2021·浙江寧波市·中考真題）（證明體驗）（1）如圖1，為的角平分線，，點E在上，．求證：平分．

（思考探究）（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點，連結(jié)交于點G．若，，，求的長．（拓展延伸）（3）如圖3，在四邊形中，對角線平分，點E在上，．若，求的長．16.（2021·浙江中考真題）已知在中，是的中點，是延長線上的一點，連結(jié)．（1）如圖1，若，求的長．（2）過點作，交延長線于點，如圖2所示．若，求證：．（3）如圖3，若，是否存在實數(shù)，當時，？若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．17.（2021·重慶中考真題）在等邊中，，，垂足為D，點E為AB邊上一點，點F為直線BD上一點，連接EF．圖1圖2圖3（1）將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，連接FG．①如圖1，當點E與點B重合，且GF的延長線過點C時，連接DG，求線段DG的長；②如圖2，點E不與點A，B重合，GF的延長線交BC邊于點H，連接EH，求證：；（2）如圖3，當點E為AB中點時，點M為BE中點，點N在邊AC上，且，點F從BD中點Q沿射線QD運動，將線段EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EP，連接FP，當最小時，直接寫出的面積．18.（2021·江蘇連云港市·中考真題）在數(shù)學興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學探究活動．（1）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一點，且，小亮以為邊作等邊三角形，如圖1，求的長；（2）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖2，在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經(jīng)過的路徑長；（3）是邊長為3的等邊三角形，M是高上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖3，在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長；（4）正方形的邊長為3，E是邊上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形，其中點F、G都在直線上，如圖4，當點E到達點B時，點F、G、H與點B重合．則點H所經(jīng)過的路徑長為______，點G所經(jīng)過的路徑長為______．19.（2021·四川成都市·中考真題）在中，，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點A，C的對應點分別為點，．（1）如圖1，當點落在的延長線上時，求的長；（2）如圖2，當點落在的延長線上時，連接，交于點M，求的長；（3）如圖3，連接，直線交于點D，點E為的中點，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．20.（2021·廣西貴港市·中考真題）已知在ABC中，O為BC邊的中點，連接AO，將AOC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到EOF，連接AE，CF．（1）如圖1，當∠BAC＝90°且AB＝AC時，則AE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當∠BAC＝90°且AB≠AC時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，延長AO到點D，使OD＝OA，連接DE，當AO＝CF＝5，BC＝6時，求DE的長．21．（2021·內(nèi)蒙古通遼市·中考真題）已知和都是等腰直角三角形，．（1）如圖1，連接，，求證：；（2）將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)．①如圖2，當點M恰好在邊上時，求證：；②當點A，M，N在同一條直線上時，若，，請直接寫出線段的長．

22.（2021·湖南中考真題）如圖1，在等腰直角三角形中，．點，分別為，的中點，為線段上一動點（不與點，重合），將線段繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，．

（1）證明：；（2）如圖2，連接，，交于點．①證明：在點的運動過程中，總有；②若，當?shù)拈L度為多少時，為等腰三角形？23.（2021·湖南岳陽市·中考真題）如圖，在中，，，點為的中點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，且交線段于點，的平分線交于點．

（1）如圖1，若，則線段與的數(shù)量關(guān)系是__