2022-2023學年北京育新中學高一數(shù)學文下學期摸底試題含解析

2022-2023學年北京育新中學高一數(shù)學文下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.點M（2，-3，1）關(guān)于坐標原點對稱的點是（）A、（-2，3，-1）B、（-2，-3，-1）C、（2，-3，-1）D、（-2，3，1）參考答案：A略2.如果關(guān)于x的不等式(a－1)x2＋2(a－1)x－4＜0對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

（

）

(A)

(B)

(C)

(D)(－3,1)參考答案：C略3.若a＞b，則下列命題成立的是（）A．a(chǎn)c＞bc B． C． D．a(chǎn)c2≥bc2參考答案：D【考點】不等式的基本性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】通過給變量取特殊值，舉反例可得A、B、C都不正確，對于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．【解答】解：∵a＞b，故當c=0時，ac=bc=0，故A不成立．當b=0時，顯然B、C不成立．對于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．故選D．【點評】本題主要考查不等式與不等關(guān)系，不等式性質(zhì)的應用，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題．4.點A（2，5）到直線l：x﹣2y+3=0的距離為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】點到直線的距離公式．【專題】直線與圓．【分析】利用點到直線的距離公式直接求解．【解答】解：A（2，5）到直線l：x﹣2y+3=0的距離：d==．故選：C．【點評】本題考查點到直線的距離的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．5.已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，則集合B的子集的個數(shù)為（）A．4 B．7 C．8 D．16參考答案：C【考點】子集與真子集．【分析】先求出B={（1，1），（1，2），（2，1）}，由此能求出B的子集個數(shù)．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，平面內(nèi)以（x，y）為坐標的點集合B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}，∴B的子集個數(shù)為：23=8個．故選：C．6.設(shè)a=log2，b=（）3，c=3，則（）A．c＜b＜a B．a(chǎn)＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c參考答案：B【考點】對數(shù)值大小的比較．【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：a=log2＜0，b=（）3∈（0，1），c=3＞1．∴c＞b＞a．故選：B．7.已知，則為（

）A.3 B.4 C.5 D.6參考答案：A【分析】由已知將自變量轉(zhuǎn)化到，即可求解.【詳解】,。故選:A【點睛】本題考查分段函數(shù)，要注意理解函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)題.8.（5分）若直線mx+y﹣1=0與直線x﹣2y+3=0平行，則m的值為（） A． B． C． 2 D． ﹣2參考答案：B考點： 直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．專題： 直線與圓．分析： 由兩直線平行，斜率相等列出方程，解方程求得m值．解答： 解：∵直線mx+y﹣1=0與直線x﹣2y+3=0平行∴它們的斜率相等∴﹣m=∴m=﹣故選B．點評： 本題考查兩直線平行的性質(zhì)，斜率都存在的兩直線平行時，它們的斜率一定相等．9.如圖是某個四面體的三視圖，該四面體的體積為（）A．72 B．36 C．24 D．12參考答案：D【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】通過三視圖，判斷幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解幾何體的體積即可．【解答】解：由題意可知，幾何體是三棱錐，底面三角形的一邊長為6，底面三角形的高為：4，棱錐的一條側(cè)棱垂直底面的三角形的一個頂點，棱錐的高為：3．所以幾何體的體積：=12．故選D．10.函數(shù)y=1﹣2sin2（x﹣）是（）A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)參考答案：A【考點】H1：三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式化簡函數(shù)的解析式為y=﹣sin2x，從而得出結(jié)論．【解答】解：=cos（2x﹣）=cos（﹣2x）=﹣sin2x，故函數(shù)y是最小正周期為π的奇函數(shù)，故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，R是△ABC的外接圓半徑，有下列四個條件：（1）（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab（2）sinA=2cosBsinC（3）b=acosC，c=acosB（4）2R(sin2A－sin2C)=(a－b)sinB有兩個結(jié)論：甲：△ABC是等邊三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．請你選取給定的四個條件中的兩個為條件，兩個結(jié)論中的一個為結(jié)論，寫出一個你認為正確的命題

．參考答案：（1）（2）→甲或（2）（4）→乙或（3）（4）→乙【分析】若（1）（2）→甲，由（1）利用平方差及完全平方公式變形得到關(guān)于a，b及c的關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosC，把得到的關(guān)系式代入求出cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C為60°，再利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡（2）中的等式，得到sin（B﹣C）=0，由B和C為三角形的內(nèi)角，得到B﹣C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值得到B=C，從而得到三角形為等邊三角形；若（2）（4）→乙，利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡（2）中的等式，得到sin（B﹣C）=0，由B和C為三角形的內(nèi)角，得到B﹣C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值得到B=C，再利用正弦定理化簡（4）中的等式，得到a=b，利用勾股定理的逆定理得到∠A為直角，從而得到三角形為等腰直角三角形；若（3）（4）→乙，利用正弦定理化簡（4）中的等式，得到a=b，利用勾股定理的逆定理得到∠A為直角，再利用正弦定理化簡（3）中的兩等式，分別表示出sinA，兩者相等再利用二倍角的正弦函數(shù)公式，得到sin2B=sin2C，由B和C都為三角形的內(nèi)角，可得B=C，從而得到三角形為等腰直角三角形．三者選擇一個即可．【解答】解：由（1）（2）為條件，甲為結(jié)論，得到的命題為真命題，理由如下：證明：由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，變形得：a2+b2+2ab﹣c2=3ab，即a2+b2﹣c2=ab，則cosC==，又C為三角形的內(nèi)角，∴C=60°，又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，∵﹣π＜B﹣C＜π，∴B﹣C=0，即B=C，則A=B=C=60°，∴△ABC是等邊三角形；以（2）（4）作為條件，乙為結(jié)論，得到的命題為真命題，理由為：證明：化簡得：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，∵﹣π＜B﹣C＜π，∴B﹣C=0，即B=C，∴b=c，由正弦定理===2R得：sinA=，sinB=，sinC=，代入得：2R?（﹣）=（a﹣b）?，整理得：a2﹣b2=ab﹣b2，即a2=ab，∴a=b，∴a2=2b2，又b2+c2=2b2，∴a2=b2+c2，∴∠A=90°，則三角形為等腰直角三角形；以（3）（4）作為條件，乙為結(jié)論，得到的命題為真命題，理由為：證明：由正弦定理===2R得：sinA=，sinB=，sinC=，代入得：2R?（﹣）=（a﹣b）?，整理得：a2﹣b2=ab﹣b2，即a2=ab，∴a=b，∴a2=2b2，又b2+c2=2b2，∴a2=b2+c2，∴∠A=90°，又b=acosC，c=acosB，根據(jù)正弦定理得：sinB=sinAcosC，sinC=sinAcosB，∴=，即sinBcosB=sinCcosC，∴sin2B=sin2C，又B和C都為三角形的內(nèi)角，∴2B=2C，即B=C，則三角形為等腰直角三角形．故答案為：（1）（2）→甲或（2）（4）→乙或（3）（4）→乙【點評】此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，勾股定理，等邊三角形的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，屬于條件開放型題，是一類背景新、解題活、綜合性強、無現(xiàn)成模式的題型．解答此類題需要運用觀察、類比、猜測、歸納、推理等多種探索活動尋求解題策略．12.設(shè)函數(shù)(其中)，是的小數(shù)點后第位數(shù)字，則的值為

。參考答案：4略13.已知全集A={0，1，2}，則集合A的真子集共有個．參考答案：6【考點】子集與真子集．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合．【分析】若集合A中有n個元素，則集合A有2n﹣2個真子集．【解答】解：∵全集A={0，1，2}，∴集合A的真子集共有：23﹣2=6．故答案為：6．【點評】本題考查集合的真子集的個數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意真子集的性質(zhì)的合理運用．14.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P在面對角線AC上運動，給出下列四個命題：①D1P∥平面A1BC1；②D1P⊥BD；③平面PDB1⊥平面A1BC1；④三棱錐A1﹣BPC1的體積不變．則其中所有正確的命題的序號是．參考答案：①③④【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】①根據(jù)線面平行的判斷定理進行判斷D1P∥平面A1BC1；②D利用特殊值法即可判斷D1P⊥BD不成立；③根據(jù)面面垂直的判斷條件即可判斷平面PDB1⊥平面A1BC1；④將三棱錐的體積進行等價轉(zhuǎn)化，即可判斷三棱錐A1﹣BPC1的體積不變．【解答】解：①∵在正方體中，D1A∥BC1，D1C∥BA1，且D1A∩DC1=D1，∴平面D1AC∥平面A1BC1；∵P在面對角線AC上運動，∴D1P∥平面A1BC1；∴①正確．②當P位于AC的中點時，D1P⊥BD不成立，∴②錯誤；③∵A1C1⊥平面BDD1B1；∴A1C1⊥B1D，同理A1B⊥B1D，∴B1D⊥平面A1BC1，∴平面BDD1B⊥面ACD1，∴平面PDB1⊥平面A1BC1；∴③正確．④三棱錐A1﹣BPC1的體積等于三棱錐B﹣A1PC1的體積．△A1PC1的面積為定值，B到平面A1PC1的高為BP為定值，∴三棱錐A1﹣BPC1的體積不變，∴④正確．故答案為：①③④．15.函數(shù)的定義域為______________________參考答案：16.已知函數(shù)，有下列命題：①的圖像關(guān)于軸對稱；②當時，當時，是減函數(shù)；③的最小值是.其中正確的命題是________________.參考答案：略17.已知函數(shù)，，若且，則的最小值為

.參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分15分)對于定義域為D的函數(shù)，若同時滿足下列條件：①在D內(nèi)有單調(diào)性；②存在區(qū)間，使在區(qū)間上的值域也為，則稱為D上的“和諧”函數(shù)，為函數(shù)的“和諧”區(qū)間。（Ⅰ）求“和諧”函數(shù)符合條件的“和諧”區(qū)間；(Ⅱ)判斷函數(shù)是否為“和諧”函數(shù)？并說明理由。（Ⅲ）若函數(shù)是“和諧”函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍。參考答案：（Ⅰ）因為是單調(diào)遞增函數(shù),所以有,即或或.…………4分(Ⅱ)函數(shù)在上不單調(diào),不是“和諧”函數(shù)…………8分（Ⅲ）若是“和諧”函數(shù).設(shè),則,所以是單調(diào)遞增函數(shù).…………10分若它是“和諧”函數(shù),則必具備方程有兩個不相同的實數(shù)解,即方程有兩個不同的實數(shù)解且同時大于或等于和m.若令,則.…………15分另解:方程有兩個不相同的實數(shù)解,等價于兩函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點,如圖當直線過時,;直線與拋物線相切時,∴.…………15分19.已知的三個頂點及所在平面內(nèi)一點滿足,則的面積與的面積之比為（）A． B． C． D．參考答案：A20.已知兩直線和.（1）求與交點坐標；（2）求過與交點且與直線平行的直線方程。參考答案：（1）----------------------5分

（2）------------------------10分21.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，且，求的值.參考答案：(1)最小正周期是(2)【分析】（1）運用輔助角公式化簡得；（2）先計算的值為，構(gòu)造，求出的值.【詳解】（1）因為，所以，所以