北京東直門中學 高三數(shù)學理下學期摸底試題含解析

北京東直門中學高三數(shù)學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（2015?錦州二模）已知x、y滿足約束條件則z=x+2y的最大值為（） A． ﹣2 B． ﹣1 C． 1 D． 2參考答案：D考點： 簡單線性規(guī)劃．專題： 不等式的解法及應用．分析： 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，即可得到結(jié)論．解答： 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直線y=﹣x+z由圖象可知當直線y=﹣x+z經(jīng)過點A時，直線y=﹣x+z的截距最大，此時z最大，由，即，即A（0，1），此時z=0+2=2，故選：D．點評： 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．2.如果函數(shù)y=2cos（3x+φ）的圖象關(guān)于點成中心對稱，那么|φ|的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】余弦函數(shù)的對稱性．【分析】利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得|φ|的最小值．【解答】解：∵函數(shù)y=2cos（3x+φ）的圖象關(guān)于點成中心對稱，∴3?+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，k∈Z，故么|φ|的最小值為，故選：D．3.設曲線y=eax﹣ln（x+1）在點（0，1）處的切線方程為2x﹣y+1=0，則a=（） A．0 B． 1 C． 2 D． 3參考答案：考點： 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題： 計算題；導數(shù)的概念及應用．分析： 根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=0處的導數(shù)，從而求出切線的斜率，再根據(jù)曲線y=eax﹣ln（x+1）在點（0，1）處的切線方程為2x﹣y+1=0，建立等式關(guān)系，解之即可．解答： 解：∵y=eax﹣ln（x+1），∴y′=aeax﹣∴x=0時，切線的斜率為a﹣1∵曲線y=eax﹣ln（x+1）在點（0，1）處的切線方程為2x﹣y+1=0，∴a﹣1=2，即a=3．故選：D．點評： 本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查學生的計算能力，屬于基礎題．4.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，且，，那么一定有

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.已知等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AC，BC的中點分別是D，E，沿DE把該三角形折成直二面角，此時斜邊AC被折成折線ADC，則∠ADC等于

（

）

A．150° B．135° C．120° D．100°參考答案：C略6.如圖，在中，點是邊上靠近的三等分點，則（）A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.（08年寧夏、海南卷文）已知集合，，則（

）A.(－1，1)

B.(－2，1)

C.(－2，－1)

D.(1，2)參考答案：【解析】∴答案：C8.若函數(shù)y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則一定有()A．0<a<1，且b>0

B．a(chǎn)>1，且b>0

C．0<a<1，且b<0

D．a(chǎn)>1，且b<0參考答案：C9.2018°是第(

)象限角．

A．一

B．二

C．三

D．四參考答案：C10.若，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若實數(shù)x，y滿足條件，則z=3x﹣4y的最大值是．參考答案：﹣1【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，求出最大值．【解答】解：不等式組對應的平面區(qū)域如圖：由z=3x﹣4y得y=，平移直線y=，則由圖象可知當直線y=，當經(jīng)過點A時，直線的截距最小，此時z最大．由，解得，即A（1，1），此時最大值z=3×1﹣4×1=﹣1，故答案為：﹣112.由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為

參考答案：13.一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積

.參考答案：14.（文）已知長方體的三條棱長分別為，，，并且該長方體的八個頂點都在一個球的球面上，則此球的表面積為____________．參考答案：因為長方體的八個頂點都在一個球的球面上，則長方體的體對角線為球的直徑，，所以球半徑，所以球的表面積為。15.已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍是________．參考答案：【知識點】導數(shù)的應用；恒成立問題.B12【答案解析】

解析：因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立，而在區(qū)間上的最小值是2，所以.【思路點撥】由函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，可知在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立，而在區(qū)間上的最小值是2，所以.16.a，b，c分別是△ABC的三邊，a=4，b=5，c=6，則△ABC的面積是

．參考答案：【考點】余弦定理．【專題】解三角形．【分析】利用余弦定理可求cosA的值，結(jié)合A的范圍，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式可求sinA的值，結(jié)合三角形面積公式即可得解．【解答】解：∵，∵A∈（0，π），∴，∴△ABC的面積．故答案為：．【點評】本題主要考查了余弦定理、三角形的面積公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應用，屬于基本知識的考查．17.（3分）在棱長為2的正方體內(nèi)隨機取一點，取到的點到正方體中心的距離大于1的概率．參考答案：1﹣【考點】：幾何概型．【專題】：計算題．【分析】：本題利用幾何概型求解．只須求出滿足：OQ≥1幾何體的體積，再將求得的體積值與整個正方體的體積求比值即得．【解答】：解：取到的點到正方體中心的距離小于等于1構(gòu)成的幾何體的體積為：×13=，∴點到正方體中心的距離大于1的幾何體的體積為：v=V正方體﹣=8﹣取到的點到正方體中心的距離大于1的概率：P==1﹣．故答案為：1﹣．【點評】：本小題主要考查幾何概型、球的體積公式、正方體的體積公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查空間想象力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某校夏令營有3名男同學，A、B、C和3名女同學X，Y，Z，其年級情況如表：

一年級二年級三年級男同學ABC女同學XYZ現(xiàn)從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽（每人被選到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果；（Ⅱ）設M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”，求事件M發(fā)生的概率．參考答案：考點：古典概型及其概率計算公式；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．專題：概率與統(tǒng)計．分析：（Ⅰ）用表中字母一一列舉出所有可能的結(jié)果，共15個．（Ⅱ）用列舉法求出事件M包含的結(jié)果有6個，而所有的結(jié)果共15個，由此求得事件M發(fā)生的概率．解答： 解：（Ⅰ）用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X，Z）、（Y，Z），共計15個結(jié)果．（Ⅱ）設M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”，則事件M包含的結(jié)果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共計6個結(jié)果，故事件M發(fā)生的概率為=．點評：本題考主要查古典概型問題，可以列舉出試驗發(fā)生包含的事件和滿足條件的事件，列舉法，是解決古典概型問題的一種重要的解題方法，屬于基礎題．19.已知橢圓的焦距為4，點P（2，3）在橢圓上．（1）求橢圓C的方程；（2）過點P引圓的兩條切線PA，PB，切線PA，PB與橢圓C的另一個交點分別為A，B，試問直線AB的斜率是否為定值？若是，求出其定值，若不是，請說明理由．參考答案：（1）；（2）見解析【分析】（1）由題可得焦點坐標，利用橢圓的定義可得，由此得到橢圓的標準方程；（2）設出兩條切線的直線方程，由切線的性質(zhì)可得兩切線的斜率相加0，再設出，，分別聯(lián)立兩切線與橢圓的方程，利用韋達定理得到，與，的關(guān)系，代入進行化簡即可得到答案?！驹斀狻浚?）橢圓C的焦距為4，所以c＝2，左焦點F1（﹣2，0），右焦點F2（2，0），則PF1＝5，PF2＝3，所以2a＝PF1+PF2＝5+3＝8，即，則橢圓C的方程為．（2）設PA：，則，所以設PB：，則，所以所以，為方程的兩根，即．設，，聯(lián)立有，，．同理聯(lián)立，可得：，則．故直線AB的斜率是定值，?！军c睛】本題考查橢圓的定義，橢圓標準方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于中檔題。20.（本小題滿分12分）已知數(shù)列(I)若，求x的取值集合D；(Ⅱ)當函數(shù)的定義域為(I)中的集合D時，設函數(shù)，求函數(shù)的值域。參考答案：21.設T是矩陣所對應的變換，已知且（1）設b>0，當△POA的面積為，，求a,b的值；（2）對于（1）中的a,b值，再設T把直線變換成，求c的值.參考答案：22.數(shù)列{an}滿足a1=2，Sn=nan﹣n（n﹣1）（1）求數(shù)列{an}的通項公式an；（2）令bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】計算題；探究型；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）由已知求出Sn﹣1=（n﹣1）an﹣1﹣（n﹣1）（n﹣2），兩式相減得an=an﹣1+2，則數(shù)列{an}的通項公式an可求；（2）由an=2n，代入bn=，得到bn=，進一步可求出Tn．【解答】