2020年北京市高考數(shù)學(xué)試卷含解析

2020年北京市高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是，則（）．A. B. C. D.3.在的展開式中，的系數(shù)為（）．A. B.5 C. D.104.某三棱柱底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）．A. B. C. D.5.已知半徑為1圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（）．A.4 B.5 C.6 D.76.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）．A. B.C. D.7.設(shè)拋物線的頂點為，焦點為，準線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（）．A.經(jīng)過點 B.經(jīng)過點C.平行于直線 D.垂直于直線8.在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（）．A.有最大項，有最小項 B.有最大項，無最小項C.無最大項，有最小項 D.無最大項，無最小項9.已知，則“存在使得”是“”的（）．A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達式是（）．A. B.C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)定義域是____________．12.已知雙曲線，則C的右焦點的坐標為_________；C的焦點到其漸近線的距離是_________．13.已知正方形的邊長為2，點P滿足，則_________；_________．14.若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個取值為________．15.為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為，用的大小評價在這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下圖所示.

給出下列四個結(jié)論：①在這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；②在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；③在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；④甲企業(yè)在這三段時間中，在的污水治理能力最強．其中所有正確結(jié)論的序號是____________________．三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在正方體中，E為的中點．

（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．17.在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．18.某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設(shè)計了相應(yīng)的活動方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對活動方案是否支持，對學(xué)生進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對活動方案否支持相互獨立．（Ⅰ）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案的概率估計值記為，假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計值記為，試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）19.已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．20.已知橢圓過點，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．21.已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：①對于中任意兩項，在中都存在一項，使；②對于中任意項，在中都存在兩項．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.絕密★本科目考試啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)本試卷共5頁，150分，考試時長120分鐘．考試務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集定義直接得結(jié)果.【詳解】，故選：D.【點睛】本題考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義得，再根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則得結(jié)果.【詳解】由題意得，.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)幾何意義以及復(fù)數(shù)乘法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3.在的展開式中，的系數(shù)為（）．A. B.5 C. D.10【答案】C【解析】【分析】首先寫出展開式的通項公式，然后結(jié)合通項公式確定的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．4.某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）．

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后求解其表面積即可.【詳解】由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長為2的等邊三角形，側(cè)面為三個邊長為2的正方形，則其表面積為：.故選：D.【點睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．5.已知半徑為1的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（）．A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】【分析】求出圓心的軌跡方程后，根據(jù)圓心到原點的距離減去半徑1可得答案.【詳解】設(shè)圓心，則，化簡得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時取得等號，故選：A.【點睛】本題考查了圓的標準方程，屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)和的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.【詳解】因為，所以等價于，在同一直角坐標系中作出和的圖象如圖：兩函數(shù)圖象的交點坐標為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.【點睛】本題考查了圖象法解不等式，屬于基礎(chǔ)題.7.設(shè)拋物線的頂點為，焦點為，準線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（）．A.經(jīng)過點 B.經(jīng)過點C.平行于直線 D.垂直于直線【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意不妨作出焦點在軸上的開口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段的垂直平分線經(jīng)過點，即求解.【詳解】如圖所示：．因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點.故選：B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（）．A.有最大項，有最小項 B.有最大項，無最小項C.無最大項，有最小項 D.無最大項，無最小項【答案】B【解析】【分析】首先求得數(shù)列的通項公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個項數(shù)的符號和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項和最小項.【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項，由于，故數(shù)列中正項只有有限項：，.故數(shù)列中存在最大項，且最大項為.故選：B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列中項的符號問題，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，屬于中等題.9.已知，則“存在使得”是“”的（）．A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的定義，以及誘導(dǎo)公式分類討論即可判斷.【詳解】(1)當(dāng)存在使得時，若為偶數(shù)，則；若為奇數(shù)，則；(2)當(dāng)時，或，，即或，亦即存在使得．所以，“存在使得”是“”的充要條件.故選：C.【點睛】本題主要考查充分條件，必要條件的定義的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，涉及分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達式是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】計算出單位圓內(nèi)接正邊形和外切正邊形的周長，利用它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值可得出結(jié)果.【詳解】單位圓內(nèi)接正邊形的每條邊所對應(yīng)的圓周角為，每條邊長為，所以，單位圓的內(nèi)接正邊形的周長為，單位圓的外切正邊形的每條邊長為，其周長為，，則.故選：A.【點睛】本題考查圓周率的近似值的計算，根據(jù)題意計算出單位圓內(nèi)接正邊形和外切正邊形的周長是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.【詳解】由題意得，故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12.已知雙曲線，則C的右焦點的坐標為_________；C的焦點到其漸近線的距離是_________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程可得出雙曲線的右焦點坐標，并求得雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式可求得雙曲線的焦點到漸近線的距離.【詳解】在雙曲線中，，，則，則雙曲線的右焦點坐標為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以，雙曲線的焦點到其漸近線的距離為.故答案為：；.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線的標準方程求雙曲線的焦點坐標以及焦點到漸近線的距離，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.13.已知正方形的邊長為2，點P滿足，則_________；_________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，求得點的坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得以及的值.【詳解】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則點、、、，，則點，，，因此，，.故答案為：；.【點睛】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計算，建立平面直角坐標系，求出點的坐標是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個取值為________．【答案】（均可）【解析】【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式以及輔助角公式即可求得，可得，即可解出.【詳解】因為，所以，解得，故可取.故答案為：（均可）.【點睛】本題主要考查兩角和的正弦公式，輔助角公式的應(yīng)用，以及平方關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為，用的大小評價在這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下圖所示.

給出下列四個結(jié)論：①在這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；②在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；③在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；④甲企業(yè)在這三段時間中，在的污水治理能力最強．其中所有正確結(jié)論的序號是____________________．【答案】①②③【解析】【分析】根據(jù)定義逐一判斷，即可得到結(jié)果【詳解】表示區(qū)間端點連線斜率的負數(shù)，在這段時間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；①正確；甲企業(yè)在這三段時間中，甲企業(yè)在這段時間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即在的污水治理能力最強．④錯誤；在時刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；②正確；在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標排放量以下，所以都已達標；③正確；故答案為：①②③【點睛】本題考查斜率應(yīng)用、切線斜率應(yīng)用、函數(shù)圖象應(yīng)用，考查基本分析識別能力，屬中檔題.三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在正方體中，E為的中點．

（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可計算出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（Ⅰ）如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；（Ⅱ）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則..因此，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明，同時也考查了利用空間向量法計算直線與平面所成角的正弦值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.17.在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】選擇條件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,；選擇條件②（Ⅰ）6（Ⅱ）,.【解析】【分析】選擇條件①（Ⅰ）根據(jù)余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得,再根據(jù)正弦定理求,最后根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果；選擇條件②（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得，再根據(jù)正弦定理求結(jié)果，（Ⅱ）根據(jù)兩角和正弦公式求，再根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果.【詳解】選擇條件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：選擇條件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.18.某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設(shè)計了相應(yīng)的活動方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對活動方案是否支持，對學(xué)生進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對活動方案否支持相互獨立．（Ⅰ）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案的概率估計值記為，假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計值記為，試比較與的大小．（結(jié)論不要求證明）【答案】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）,（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率估計概率，即得結(jié)果；（Ⅱ）先分類，再根據(jù)獨立事件概率乘法公式以及分類計數(shù)加法公式求結(jié)果；（Ⅲ）先求，再根據(jù)頻率估計概率，即得大小.【詳解】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個男生支持方案一，（2）僅有一個男生支持方案一，一個女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;（Ⅲ）【點睛】本題考查利用頻率估計概率、獨立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.19.已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點的坐標，然后由點斜式可得結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標軸上的截距，進一步得到三角形的面積，最后利用導(dǎo)數(shù)可求得最值.【詳解】（Ⅰ）因為，所以，設(shè)切點為，則，即，所以切點為，由點斜式可得切線方程為：，即.（Ⅱ）顯然，因為在點處的切線方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設(shè)時，結(jié)果一樣，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時，取得極小值，也是最小值為.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題.20.已知橢圓過點，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】【分析】(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；(Ⅱ)首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA,NA的方程確定點P,Q的縱坐標，將線段長度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標比值的問題，進一步結(jié)合韋達定理可證得，從而可得兩線段長度的比值.【詳解】(1)設(shè)橢圓方程為：，由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)設(shè)，，直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立可得：，即：，則：.直線MA的方程為：，令可得：，同理可得：.很明顯，且：，注意到：，而：，故.從而.【點睛】解決直線與橢圓綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21.已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：①對于中任意兩項，在中都存在一項，使；②對于中任意項，在中都存在兩項．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)詳解解析；(Ⅲ)證明詳見解析.【解析】【分析】(Ⅰ)根據(jù)定義驗證，即可判斷；(Ⅱ)根據(jù)定義逐一驗證，即可判斷；(Ⅲ)解法一：首先，證明數(shù)列中的項數(shù)同號，然后證明，最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列即可.解法二：首先假設(shè)數(shù)列中的項數(shù)均為正數(shù)，然后證得成等比數(shù)列，之后證得成等比數(shù)列，同理即可證得數(shù)列為等比數(shù)列，從而命題得證.【詳解】(Ⅰ)不具有