基于樹鏈剖分的動(dòng)態(tài)規(guī)劃

1/1基于樹鏈剖分的動(dòng)態(tài)規(guī)劃第一部分樹鏈剖分的概念與應(yīng)用 2第二部分樹鏈剖分的實(shí)現(xiàn)與復(fù)雜度分析 4第三部分基于樹鏈剖分的動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想 6第四部分計(jì)算樹形結(jié)構(gòu)中路徑相關(guān)信息的技巧 9第五部分樹鏈剖分在最長公共子序列問題中的應(yīng)用 13第六部分樹鏈剖分在最長公共子串問題中的應(yīng)用 15第七部分樹鏈剖分在最長上升子序列問題中的應(yīng)用 18第八部分樹鏈剖分在樹上背包問題中的應(yīng)用 20

第一部分樹鏈剖分的概念與應(yīng)用關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)樹鏈剖分的基礎(chǔ)

1.樹鏈剖分的定義：一種將樹形結(jié)構(gòu)分解為不重疊路徑的方法，每個(gè)路徑稱為一條“重鏈”。

2.重鏈和輕鏈的概念：重鏈?zhǔn)侵附?jīng)過最多節(jié)點(diǎn)的路徑，而輕鏈則是與重鏈相連的較短路徑。

3.樹鏈剖分算法：利用深度優(yōu)先搜索（DFS）計(jì)算重鏈和輕鏈，并對其進(jìn)行連接，形成樹剖結(jié)構(gòu)。

樹鏈剖分在動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的應(yīng)用

1.路徑查詢：樹鏈剖分可以高效地查詢樹中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的路徑信息，如路徑長度、路徑上節(jié)點(diǎn)的權(quán)重和。

2.子樹查詢：樹鏈剖分可以高效地查詢樹中某個(gè)節(jié)點(diǎn)的子樹信息，如子樹大小、子樹中節(jié)點(diǎn)的權(quán)重和。

3.動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法加速：樹鏈剖分可以將動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法在樹形結(jié)構(gòu)上的時(shí)間復(fù)雜度優(yōu)化為O(logn)，其中n為樹的節(jié)點(diǎn)數(shù)。樹鏈剖分的概念

樹鏈剖分是一種樹形結(jié)構(gòu)分解技術(shù)，它將一棵樹分解為多個(gè)鏈，使得在這些鏈上進(jìn)行動(dòng)態(tài)規(guī)劃運(yùn)算更有效率。樹鏈剖分的目標(biāo)是將樹的每個(gè)結(jié)點(diǎn)分配到一個(gè)鏈上，使得每個(gè)鏈保持平衡，并且每個(gè)結(jié)點(diǎn)最多屬于一個(gè)鏈。

樹鏈剖分的實(shí)現(xiàn)

樹鏈剖分算法分兩步進(jìn)行：

1.重鏈剖分：通過計(jì)算樹的重心來剖分樹。重心是樹中與其他結(jié)點(diǎn)最遠(yuǎn)的結(jié)點(diǎn)。將重心及其與父結(jié)點(diǎn)之間的邊作為重鏈。遞歸地將剩余的樹剖分為重鏈，直到所有結(jié)點(diǎn)都被分配到重鏈上。

2.輕邊剖分：將重鏈之間未分配到重鏈的邊稱為輕邊。將每個(gè)輕邊與其端點(diǎn)中在重鏈上的結(jié)點(diǎn)相連接，形成輕子樹。

樹鏈剖分的應(yīng)用

樹鏈剖分在動(dòng)態(tài)規(guī)劃中有著廣泛的應(yīng)用，特別適用于在樹形結(jié)構(gòu)上解決區(qū)間查詢和修改問題。以下是樹鏈剖分的一些常見應(yīng)用：

1.區(qū)間查詢

在樹鏈剖分后，我們可以使用鏈上二分法或線段樹等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)對鏈上的區(qū)間進(jìn)行高效查詢。例如，我們可以查詢某一區(qū)間內(nèi)的結(jié)點(diǎn)的最大值或和。

2.區(qū)間修改

通過使用lazypropagation技術(shù)，我們可以對樹鏈剖分后的鏈進(jìn)行區(qū)間修改。例如，我們可以更新某一區(qū)間內(nèi)所有結(jié)點(diǎn)的權(quán)重或標(biāo)記。

3.最近公共祖先查詢

樹鏈剖分可以高效地計(jì)算兩結(jié)點(diǎn)的最近公共祖先(LCA)。通過將兩結(jié)點(diǎn)之間的路徑分解為重鏈和輕邊，我們可以快速找到LCA。

4.LCA問題動(dòng)態(tài)規(guī)劃

在樹鏈剖分后的樹上，我們可以使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決一些LCA問題。例如，我們可以計(jì)算樹中所有結(jié)點(diǎn)對之間的LCA。

5.樹形動(dòng)規(guī)

樹鏈剖分可以將其應(yīng)用于樹形動(dòng)規(guī)問題，例如最大團(tuán)問題、背包問題等。通過將樹剖分成鏈，我們可以使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃來高效地解決這些問題。

樹鏈剖分復(fù)雜度分析

樹鏈剖分的復(fù)雜度主要取決于樹的大小和剖分后的鏈的長度。

*預(yù)處理復(fù)雜度：O(nlogn)，其中n是樹的結(jié)點(diǎn)數(shù)。

*查詢復(fù)雜度：O(logn)，其中n是樹的結(jié)點(diǎn)數(shù)。

*修改復(fù)雜度：O(logn)，其中n是樹的結(jié)點(diǎn)數(shù)。

樹鏈剖分優(yōu)勢

*有效率的區(qū)間查詢和修改：樹鏈剖分可以高效地處理樹形結(jié)構(gòu)上的區(qū)間查詢和修改操作。

*LCA計(jì)算：樹鏈剖分提供了快速計(jì)算LCA的方法。

*廣泛的應(yīng)用：樹鏈剖分在動(dòng)態(tài)規(guī)劃、圖論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

樹鏈剖分局限性

*僅適用于樹形結(jié)構(gòu)：樹鏈剖分僅適用于樹形結(jié)構(gòu)，不能應(yīng)用于其他類型的圖。

*預(yù)處理消耗：樹鏈剖分的預(yù)處理需要O(nlogn)的時(shí)間，當(dāng)樹很大時(shí)可能比較昂貴。第二部分樹鏈剖分的實(shí)現(xiàn)與復(fù)雜度分析樹鏈剖分的實(shí)現(xiàn)與復(fù)雜度分析

簡介

樹鏈剖分是一種經(jīng)典的樹形結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)規(guī)劃技術(shù)，它將一棵樹劃分為若干條鏈，使得每個(gè)節(jié)點(diǎn)只屬于一條鏈。這種劃分使得動(dòng)態(tài)規(guī)劃操作可以在部分鏈上進(jìn)行，大大降低了時(shí)間復(fù)雜度。

實(shí)現(xiàn)

樹鏈剖分算法通常采用深度優(yōu)先搜索（DFS）進(jìn)行。主要步驟如下：

1.重鏈剖分：從樹根出發(fā)逐層進(jìn)行DFS，尋找每條鏈上權(quán)值最大的子樹，稱為重子樹。重子樹的父節(jié)點(diǎn)所在鏈稱為重鏈。

2.輕鏈剖分：對于非重子樹，遞歸地繼續(xù)DFS，將其劃分為輕鏈。輕鏈上的節(jié)點(diǎn)都屬于父節(jié)點(diǎn)所在重鏈。

3.鏈的編號：為每條重鏈分配一個(gè)編號，使其上的節(jié)點(diǎn)都具有相同的鏈號。

4.虛子樹剖分：對于重鏈上每個(gè)節(jié)點(diǎn)，記錄其子樹中不屬于重鏈的節(jié)點(diǎn)。這些節(jié)點(diǎn)稱為虛子樹。

復(fù)雜度分析

樹鏈剖分的復(fù)雜度主要取決于樹的結(jié)構(gòu)和動(dòng)態(tài)規(guī)劃操作的復(fù)雜度。

時(shí)間復(fù)雜度：

*剖分時(shí)間：O(NlogN)，其中N為樹的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

*查詢時(shí)間：O(logN)，對于每個(gè)查詢，需要遍歷O(logN)條鏈。

*修改時(shí)間：O(logN)，類似于查詢時(shí)間。

空間復(fù)雜度：

*O(N)，存儲(chǔ)樹的結(jié)構(gòu)和鏈信息。

優(yōu)化

為了進(jìn)一步降低復(fù)雜度，可以采用以下優(yōu)化策略：

*啟發(fā)式重鏈選擇：使用啟發(fā)式算法來選擇權(quán)值更大的子樹作為重子樹，從而減少鏈的總長度。

*鏈上的并查集：將鏈上的節(jié)點(diǎn)用并查集維護(hù)，可以優(yōu)化修改操作。

*在線剖分：在動(dòng)態(tài)修改的情況下，采用在線算法逐步剖分樹。

應(yīng)用

樹鏈剖分廣泛應(yīng)用于樹形結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題中，例如：

*樹上最長路徑

*樹上子樹異或和

*樹上距離問題

*樹形DP

*樹上維護(hù)序列

總結(jié)

樹鏈剖分是一種高效的動(dòng)態(tài)規(guī)劃技術(shù)，通過將樹劃分為若干條鏈，可以顯著降低時(shí)間復(fù)雜度。其實(shí)現(xiàn)基于深度優(yōu)先搜索，并通過選擇重子樹和輕鏈來劃分樹。樹鏈剖分具有廣泛的應(yīng)用，特別適用于樹形結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題。第三部分基于樹鏈剖分的動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)主題名稱：樹鏈剖分

1.將原樹劃分為若干條鏈，保證每條鏈上的所有節(jié)點(diǎn)都經(jīng)過同一條最長路徑。

2.將每條鏈上除端點(diǎn)外的節(jié)點(diǎn)保存到一個(gè)數(shù)組中，并維護(hù)數(shù)組中相鄰節(jié)點(diǎn)間的最短路徑。

3.對每條鏈應(yīng)用線段樹或樹狀數(shù)組等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)規(guī)劃。

主題名稱：動(dòng)態(tài)規(guī)劃

基于樹鏈剖分的動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想

引言

樹形結(jié)構(gòu)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中無處不在，例如文件系統(tǒng)、XML文檔和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?。解決樹形問題的一種常見技術(shù)是基于樹鏈剖分的動(dòng)態(tài)規(guī)劃，它是一種將樹分解為鏈和重鏈的過程，以優(yōu)化動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的時(shí)間復(fù)雜度。

概念

1.鏈和重鏈

*鏈：一條子樹中所有節(jié)點(diǎn)深度連續(xù)的路徑。

*重鏈：一條子樹中兒子結(jié)點(diǎn)數(shù)最多的鏈。

2.樹鏈剖分

樹鏈剖分是一種將樹分解為鏈和重鏈的過程，算法步驟如下：

*對樹進(jìn)行DFS，計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)的子樹大小和重兒子。

*從根節(jié)點(diǎn)開始，依次處理每個(gè)重鏈。

*在處理重鏈時(shí)，將重鏈上的所有節(jié)點(diǎn)添加到一條新的鏈中。

*重復(fù)步驟2和3，直到所有重鏈都被處理。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法優(yōu)化

基于樹鏈剖分的動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以將動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的時(shí)間復(fù)雜度從O(n2)優(yōu)化到O(nlogn)。通過以下兩種技術(shù)實(shí)現(xiàn)：

1.路徑壓縮

路徑壓縮技術(shù)將一個(gè)節(jié)點(diǎn)的祖先節(jié)點(diǎn)直接連接到根節(jié)點(diǎn)，從而減少了從一個(gè)節(jié)點(diǎn)到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)的查詢次數(shù)。

2.輕重鏈分解

輕重鏈分解技術(shù)將樹分解為輕鏈和重鏈，輕鏈上的操作復(fù)雜度為O(logn)，重鏈上的操作復(fù)雜度為O(n)。

算法步驟

基于樹鏈剖分的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法步驟如下：

*初始化：樹鏈剖分樹，計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)的深度、子樹大小、重兒子和輕重邊。

*預(yù)處理：在每個(gè)重鏈上運(yùn)行動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，計(jì)算重鏈上每個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)和轉(zhuǎn)移值。

*查詢：給定兩個(gè)節(jié)點(diǎn)v和u，通過路徑壓縮找到它們的最近公共祖先w。

*上升：從v和u沿重鏈向上遍歷，計(jì)算每條重鏈上的狀態(tài)和轉(zhuǎn)移值。

*跨越：如果w不是v和u的最近公共祖先，則計(jì)算w的重兒子鏈上子樹的貢獻(xiàn)。

*下降：從w沿輕鏈向下遍歷，計(jì)算每個(gè)輕鏈上狀態(tài)和轉(zhuǎn)移值。

*合并：合并v和u路徑上的狀態(tài)和轉(zhuǎn)移值，得到最終結(jié)果。

應(yīng)用場景

基于樹鏈剖分的動(dòng)態(tài)規(guī)劃廣泛應(yīng)用于各種樹形問題，包括：

*最長路徑

*最短路徑

*最大子樹

*點(diǎn)權(quán)和

*區(qū)間求和

優(yōu)點(diǎn)

基于樹鏈剖分的動(dòng)態(tài)規(guī)劃具有以下優(yōu)點(diǎn)：

*時(shí)間復(fù)雜度優(yōu)化：從O(n2)優(yōu)化到O(nlogn)。

*內(nèi)存占用優(yōu)化：僅需要存儲(chǔ)樹鏈剖分信息和重鏈上的動(dòng)態(tài)規(guī)劃狀態(tài)。

*算法效率高：路徑壓縮和輕重鏈分解技術(shù)顯著提高了算法效率。

局限性

基于樹鏈剖分的動(dòng)態(tài)規(guī)劃也存在一些局限性：

*僅適用于樹形結(jié)構(gòu)。

*樹形結(jié)構(gòu)發(fā)生改變時(shí)，需要重新計(jì)算樹鏈剖分信息。

*動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的復(fù)雜度可能會(huì)受到重鏈長度的影響。

總結(jié)

基于樹鏈剖分的動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種優(yōu)化樹形問題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，通過將樹分解為鏈和重鏈并采用路徑壓縮和輕重鏈分解技術(shù)，將時(shí)間復(fù)雜度從O(n2)優(yōu)化到O(nlogn)。該算法廣泛用于解決各種樹形問題，具有時(shí)間復(fù)雜度優(yōu)化、內(nèi)存占用優(yōu)化和算法效率高的優(yōu)點(diǎn)。第四部分計(jì)算樹形結(jié)構(gòu)中路徑相關(guān)信息的技巧計(jì)算樹形結(jié)構(gòu)中路徑相關(guān)信息的技巧

前言

樹形結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)和網(wǎng)絡(luò)分析等領(lǐng)域，對其中路徑相關(guān)信息的計(jì)算往往至關(guān)重要?；跇滏溒史值膭?dòng)態(tài)規(guī)劃是一種高效的算法，可解決此類問題。本文將深入探討利用樹鏈剖分計(jì)算樹形結(jié)構(gòu)中路徑相關(guān)信息的技巧。

樹鏈剖分

樹鏈剖分將樹劃分為一系列鏈，稱為重鏈，并記錄重鏈的祖先節(jié)點(diǎn)和子樹大小。重鏈的定義如下：

-重子節(jié)點(diǎn)：每個(gè)非根節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)中，子樹大小最大的子節(jié)點(diǎn)稱為重子節(jié)點(diǎn)。

-重邊：連接節(jié)點(diǎn)與其重子節(jié)點(diǎn)的邊稱為重邊。

-重鏈：從根節(jié)點(diǎn)出發(fā)，依次連接重邊形成的路徑稱為重鏈。

節(jié)點(diǎn)與鏈的編號

樹鏈剖分對節(jié)點(diǎn)和鏈進(jìn)行編號：

-節(jié)點(diǎn)編號：根節(jié)點(diǎn)編號為1，其他節(jié)點(diǎn)編號滿足子節(jié)點(diǎn)編號大于父節(jié)點(diǎn)編號。

-鏈編號：每個(gè)重鏈分配一個(gè)唯一的編號。

存儲(chǔ)重鏈信息

為了快速查詢路徑相關(guān)信息，樹鏈剖分使用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來存儲(chǔ)以下信息：

-Parent[i]：記錄節(jié)點(diǎn)`i`的父節(jié)點(diǎn)。

-Size[i]：記錄節(jié)點(diǎn)`i`的子樹大小。

-Chain[i]：記錄節(jié)點(diǎn)`i`所在的重鏈編號。

-Top[i]：記錄節(jié)點(diǎn)`i`所在重鏈的頂端節(jié)點(diǎn)。

-Depth[i]：記錄節(jié)點(diǎn)`i`的深度。

查詢路徑信息

通過樹鏈剖分，我們可以快速查詢以下路徑相關(guān)信息：

#1.路徑上所有節(jié)點(diǎn)的信息

給定路徑上的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)`u`和`v`：

-時(shí)間復(fù)雜度：O(logn)

-算法：

1.找出`u`和`v`所在的重鏈。

2.如果重鏈相同，直接輸出。

3.如果不同，先輸出`u`到重鏈頂端的路徑，再輸出`v`到重鏈頂端的路徑，最后輸出重鏈頂端節(jié)點(diǎn)。

#2.路徑和

給定路徑上的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)`u`和`v`：

-時(shí)間復(fù)雜度：O(logn)

-算法：

1.找出`u`和`v`所在的重鏈。

2.如果重鏈相同，直接輸出從`u`到`v`的路徑和。

3.如果不同，將`u`所在的重鏈和`v`所在的重鏈的頂端節(jié)點(diǎn)加入路徑中，再計(jì)算路徑和。

#3.路徑信息更新

給定路徑上的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)`u`和`v`：

-時(shí)間復(fù)雜度：O(logn)

-算法：

1.找出`u`和`v`所在的重鏈。

2.如果重鏈相同，直接對路徑信息進(jìn)行更新。

3.如果不同，先將`u`所在的重鏈和`v`所在的重鏈的頂端節(jié)點(diǎn)加入路徑中，再對路徑信息進(jìn)行更新。

#4.路徑最大值/最小值

給定路徑上的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)`u`和`v`：

-時(shí)間復(fù)雜度：O(logn)

-算法：

1.找出`u`和`v`所在的重鏈。

2.如果重鏈相同，直接在路徑上查找最大/最小值。

3.如果不同，將`u`所在的重鏈和`v`所在的重鏈的頂端節(jié)點(diǎn)加入路徑中，再在路徑上查找最大/最小值。

應(yīng)用

樹鏈剖分算法廣泛應(yīng)用于計(jì)算樹形結(jié)構(gòu)中路徑相關(guān)信息，包括：

-路徑和

-路徑最大/最小值

-路徑上的節(jié)點(diǎn)總數(shù)

-路徑上的邊總數(shù)

-路徑上的特定子樹大小

-路徑上的特定子樹和第五部分樹鏈剖分在最長公共子序列問題中的應(yīng)用樹鏈剖分在最長公共子序列問題中的應(yīng)用

最長公共子序列（LCS）問題是指在給定的兩個(gè)序列中找到最長的子序列，該子序列既出現(xiàn)在第一個(gè)序列中，又出現(xiàn)在第二個(gè)序列中。LCS問題在生物信息學(xué)、文本編輯和數(shù)據(jù)壓縮等應(yīng)用中有著廣泛的用途。

樹鏈剖分

樹鏈剖分是一種算法技術(shù)，它將一個(gè)樹分解為多個(gè)鏈條，這些鏈條在查詢和更新操作中可以快速訪問。它通過以下步驟進(jìn)行：

1.重鏈分解：將樹中的邊賦予權(quán)重，權(quán)重為子樹的大小。然后，從每個(gè)結(jié)點(diǎn)出發(fā)，沿子樹權(quán)重最大的路徑進(jìn)行深度優(yōu)先搜索（DFS）。這將樹分解為一組鏈。

2.輕鏈重構(gòu)：對于每個(gè)重鏈中的結(jié)點(diǎn)，將其連接到它在重鏈中父親結(jié)點(diǎn)的子樹中權(quán)重最大的子結(jié)點(diǎn)。這將創(chuàng)建一組輕鏈，它們連接重鏈。

LCS樹鏈剖分

利用樹鏈剖分可以高效地解決LCS問題：

1.預(yù)處理：將給定的兩個(gè)序列表示為一棵樹。每個(gè)序列中的字符作為一個(gè)結(jié)點(diǎn)，具有權(quán)重1。

2.樹鏈剖分：對這棵樹執(zhí)行樹鏈剖分，將樹分解為重鏈和輕鏈。

3.動(dòng)態(tài)規(guī)劃：在重鏈上使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃來計(jì)算LCS。對于每條重鏈，將其分解為路徑，路徑上的每個(gè)結(jié)點(diǎn)都存儲(chǔ)其子樹的LCS信息。

4.輕鏈合并：對于每條輕鏈，將其連接到其父親結(jié)點(diǎn)在重鏈中的子結(jié)點(diǎn)。然后，根據(jù)父親結(jié)點(diǎn)的LCS信息和輕鏈上的LCS信息合并LCS。

算法步驟：

1.對表示序列的樹執(zhí)行樹鏈剖分。

2.對于每個(gè)重鏈：

-從頂部結(jié)點(diǎn)向下進(jìn)行DFS，計(jì)算子樹的LCS信息。

-從底部結(jié)點(diǎn)向上進(jìn)行DFS，合并LCS信息。

3.對于每個(gè)輕鏈：

-將輕鏈連接到其父親結(jié)點(diǎn)在重鏈中的子結(jié)點(diǎn)。

-根據(jù)父親結(jié)點(diǎn)的LCS信息和輕鏈上的LCS信息合并LCS。

4.在樹的根結(jié)點(diǎn)處，找到LCS的長度和內(nèi)容。

復(fù)雜度分析：

樹鏈剖分LCS算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(Nlog^2N)，其中N是兩個(gè)序列中字符的總數(shù)。

優(yōu)點(diǎn)：

*對于稀疏樹（即邊數(shù)遠(yuǎn)少于結(jié)點(diǎn)數(shù)量的樹），該算法非常高效。

*該算法可以處理具有動(dòng)態(tài)變化的序列的LCS問題。

局限性：

*對于稠密樹，該算法可能不太高效。

*該算法不能直接處理有重復(fù)字符的序列。

應(yīng)用：

樹鏈剖分LCS算法已廣泛應(yīng)用于生物信息學(xué)、文本編輯和數(shù)據(jù)壓縮等領(lǐng)域：

*生物信息學(xué)：比較蛋白質(zhì)或DNA序列以查找相似性和突變。

*文本編輯：識別文本塊之間的差異。

*數(shù)據(jù)壓縮：通過查找重復(fù)的子字符串來壓縮數(shù)據(jù)。第六部分樹鏈剖分在最長公共子串問題中的應(yīng)用基于樹鏈剖分的動(dòng)態(tài)規(guī)劃在最長公共子串問題中的應(yīng)用

引言

最長公共子串（LCS）問題是計(jì)算給定兩個(gè)字符串的最長公共子串的長度。這個(gè)問題在許多應(yīng)用中都有重要意義，例如字符串比較、文本挖掘和生物信息學(xué)。

樹鏈剖分

樹鏈剖分是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它將樹形結(jié)構(gòu)分解為一系列鏈，方便快速查詢樹上的信息。每個(gè)鏈稱為重鏈，它從根節(jié)點(diǎn)延伸到葉節(jié)點(diǎn)，包含樹中最大的子樹。通過連接重鏈的端點(diǎn)，我們可以形成一條從根節(jié)點(diǎn)到葉節(jié)點(diǎn)的路徑，稱為輕邊。

LCS問題中的樹鏈剖分

在樹上解決LCS問題時(shí)，我們可以利用樹鏈剖分來優(yōu)化動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法。通過將每個(gè)子樹視為一條鏈，我們可以將問題分解為多個(gè)較小的子問題。

算法

我們首先使用樹鏈剖分將樹分解為重鏈和輕邊。然后，我們使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法為每條重鏈計(jì)算LCS結(jié)果。對于每條重鏈，我們定義一個(gè)二維數(shù)組`dp[i][j]`，其中`i`和`j`表示重鏈上兩個(gè)節(jié)點(diǎn)。`dp[i][j]`中的值存儲(chǔ)子樹`i`到子樹`j`的最長公共子串長度。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃遞推方程

對于每條重鏈，我們可以使用以下遞推方程計(jì)算`dp[i][j]`：

```

dp[i][j]=max(

dp[i][p[j]],//查詢重鏈上i到p[j]的LCS

dp[q[i]][j],//查詢重鏈上q[i]到j(luò)的LCS

dl(i,j)//查詢輕邊上i到j(luò)的LCS

)

```

其中，`dl(i,j)`是輕邊`(i,j)`上的LCS長度，`p[j]`是`j`在重鏈上的父節(jié)點(diǎn)，`q[i]`是`i`在重鏈上的子節(jié)點(diǎn)。

查詢LCS

一旦我們計(jì)算了每條重鏈上的LCS結(jié)果，我們就可以使用樹鏈剖分快速查詢樹上兩點(diǎn)之間的LCS長度。對于給定的兩點(diǎn)`u`和`v`，我們可以找到包含它們的重鏈`chain_u`和`chain_v`。然后，我們可以使用以下公式計(jì)算`u`和`v`之間的LCS長度：

```

dp[lca(chain_u,chain_v)][lca(chain_u,chain_v)]

```

其中，`lca`函數(shù)返回兩條重鏈的最近公共祖先。

時(shí)間復(fù)雜度

該算法的時(shí)間復(fù)雜度為`O(nlogn)`，其中`n`是樹中的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

空間復(fù)雜度

該算法的空間復(fù)雜度為`O(nlogn)`，其中`n`是樹中的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

示例

考慮下圖中的樹：

```

1

/\

23

/\/\

4567

```

如果我們希望找到節(jié)點(diǎn)4和6之間的LCS長度，我們可以：

1.找到包含節(jié)點(diǎn)4和6的重鏈：`chain_4=(1,2,4)`和`chain_6=(1,3,6)`。

2.計(jì)算重鏈上LCS結(jié)果：`dp[(1,2,4)]=1`、`dp[(1,3,6)]=2`。

3.查詢`dp[(1,3,6)]`，得到LCS長度為2。

結(jié)論

基于樹鏈剖分的動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以有效解決樹上的最長公共子串問題。該算法具有`O(nlogn)`的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度，使其適用于處理大規(guī)模樹結(jié)構(gòu)上的LCS問題。第七部分樹鏈剖分在最長上升子序列問題中的應(yīng)用關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【樹鏈剖分基本原理】：

1.樹鏈剖分是一種在樹型結(jié)構(gòu)上進(jìn)行預(yù)處理的技術(shù)，將樹上的點(diǎn)拆分成多條鏈并用重鏈和輕鏈連接。

2.重鏈?zhǔn)亲訕浯笮∽畲蟮哪菞l鏈，輕鏈?zhǔn)瞧渌訕湫纬傻逆湣?/p>

3.通過樹鏈剖分，可以將樹上的路徑查詢問題轉(zhuǎn)化為鏈上查詢問題，提高效率。

【樹鏈剖分的DP應(yīng)用】：

樹鏈剖分在最長上升子序列問題中的應(yīng)用

引言

樹鏈剖分是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，可用于對樹形結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行高效查詢和修改。當(dāng)應(yīng)用于最長上升子序列（LIS）問題時(shí)，樹鏈剖分可以顯著提高動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法的效率。

什么是LIS問題？

樹鏈剖分算法

樹鏈剖分算法將樹分解為鏈的集合，稱為重鏈。每個(gè)重鏈都由一組相鄰的節(jié)點(diǎn)組成，這些節(jié)點(diǎn)具有相同的父節(jié)點(diǎn)。重鏈的長度定義為鏈中節(jié)點(diǎn)數(shù)的最大值。

樹鏈剖分算法從樹的根節(jié)點(diǎn)開始，通過以下步驟構(gòu)建重鏈：

1.找到根節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)中權(quán)重最大的子節(jié)點(diǎn)（即子樹中節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的子節(jié)點(diǎn)）。

2.從根節(jié)點(diǎn)到該子節(jié)點(diǎn)的路徑形成重鏈。

3.以該子節(jié)點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)，對剩下的子樹重復(fù)步驟1和2。

LIS問題中的樹鏈剖分

利用樹鏈剖分，可以將LIS問題分解為一系列更小的子問題，每個(gè)子問題對應(yīng)于樹的一條重鏈。

子問題1：在重鏈上求最長上升子序列

這一步是LIS問題的核心。對于重鏈上的每個(gè)節(jié)點(diǎn)，計(jì)算以該節(jié)點(diǎn)結(jié)尾的最長嚴(yán)格遞增序列的長度`lis[node]`:

```

lis[node]=max_val+1

其中max_val=在node的子樹中，且在重鏈上位于node之前的節(jié)點(diǎn)的lis值

```

子問題2：在重鏈之間求最長上升子序列

這一步考慮重鏈之間的節(jié)點(diǎn)。對于重鏈之間的每個(gè)節(jié)點(diǎn)，計(jì)算以該節(jié)點(diǎn)結(jié)尾的最長不嚴(yán)格遞增序列的長度`lns[node]`:

```

lns[node]=max(lis[node],lns[node.parent])

```

總LIS長度

樹的根節(jié)點(diǎn)的`lns`值就是整個(gè)樹的最長上升子序列的長度。

復(fù)雜度分析

樹鏈剖分在最長上升子序列問題中的應(yīng)用具有以下復(fù)雜度：

*預(yù)處理（樹鏈剖分）：O(NlogN)

*查詢（求LIS長度）：O(logN)

應(yīng)用場景

樹鏈剖分在LIS問題中的應(yīng)用特別適用于具有層次結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)，例如文件系統(tǒng)或社交網(wǎng)絡(luò)。它在這些情況下可以顯著提高動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法的效率。

結(jié)論

樹鏈剖分是一種強(qiáng)大的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，可用于高效解決LIS問題。它將問題分解為一系列更小的子問題，并允許通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃在重鏈上快速計(jì)算出答案。對于具有層次結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)，樹鏈剖分是一種非常有效的解決LIS問題的工具。第八部分樹鏈剖分在樹上背包問題中的應(yīng)用關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【樹鏈剖分在樹上背包問題中的應(yīng)用】

主題名稱：樹鏈剖分簡介

1.樹鏈剖分是一種樹形結(jié)構(gòu)上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，將樹形結(jié)構(gòu)分解成一條條鏈。

2.分解方法：對樹進(jìn)行dfs，找到每條鏈上的重兒子，然后將重兒子作為子樹的根，遞歸執(zhí)行這一過程。

3.樹鏈剖分可以有效地回答樹形結(jié)構(gòu)上的鏈查詢問題，時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn)。

主題名稱：動(dòng)態(tài)規(guī)劃狀態(tài)定義

基于樹鏈剖分的動(dòng)態(tài)規(guī)劃：樹上背包問題中的應(yīng)用

引言

樹鏈剖分是一種經(jīng)典的樹形結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，可將樹分解為一系列鏈或路徑，稱為重鏈。它在解決樹上背包問題中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，該問題涉及在樹中為每個(gè)節(jié)點(diǎn)分配一個(gè)權(quán)重，以最大化從根節(jié)點(diǎn)到樹中所有節(jié)點(diǎn)的權(quán)重總和。

樹鏈剖分

樹鏈剖分將樹分解為重鏈和輕鏈。重鏈?zhǔn)亲訕渲羞厰?shù)最多的鏈，而輕鏈?zhǔn)亲訕渲羞厰?shù)較少的鏈。通過以下過程構(gòu)造樹鏈剖分：

1.初始化：將根節(jié)點(diǎn)指定為一個(gè)重鏈，并將其子節(jié)點(diǎn)連接到該重鏈。

2.遍歷子樹：依次遍歷根節(jié)點(diǎn)的每個(gè)子樹。

3.選擇重兒子：為每個(gè)子樹選擇具有最大子樹大小的兒子，并將其連接到當(dāng)前重鏈中。

4.遞歸：對每個(gè)重兒子遞歸執(zhí)行步驟2和3。

樹上背包問題

樹上背包問題可以描述為：給定一棵樹，其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有一個(gè)權(quán)重，選擇樹中的一個(gè)子集，使得這些節(jié)點(diǎn)的總權(quán)重最大化，但子集中的節(jié)點(diǎn)不能在同一重鏈上。

基于樹鏈剖分的動(dòng)態(tài)規(guī)劃

利用樹鏈剖分，樹上背包問題可以使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃狀態(tài)

```

dp[i][j]=最大權(quán)重和，其中i為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，j為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)在重鏈上的位置

```

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

考慮兩個(gè)子問題：

1.選擇節(jié)點(diǎn)：選擇當(dāng)前節(jié)點(diǎn)并將其權(quán)重添加到背包中：

```

dp[i][j]=dp[i][j]+weight[i]

```

2.不選擇節(jié)點(diǎn)：不選擇當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，并從其父節(jié)點(diǎn)的重鏈上繼承最大權(quán)重和：

```

dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[parent[i]][j-1])

```

其中，`weight[i]`是節(jié)點(diǎn)`i`的權(quán)重，`parent[i]`是節(jié)點(diǎn)`i`的父節(jié)點(diǎn)。

計(jì)算順序

為了有效地計(jì)算動(dòng)態(tài)規(guī)劃狀態(tài)，按照以下順序遍歷樹：

1.從根節(jié)點(diǎn)開始，遍歷每條重鏈。

2.對于每個(gè)重鏈，從鏈底向上遍歷節(jié)點(diǎn)。

3.對于每個(gè)節(jié)點(diǎn)，使用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程計(jì)算`dp[i][j]`。

復(fù)雜度分析

樹鏈剖分の復(fù)雜度為O(NlogN)，其中N是樹中節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的復(fù)雜度為O(NlogN)，因?yàn)槊總€(gè)節(jié)點(diǎn)最多在每條重鏈上出現(xiàn)一次。因此，總的復(fù)雜度為O(NlogN)。

示例

考慮一棵具有以下權(quán)重的樹：

```

10

/\

215

/\|

134

```

使用樹鏈剖分，可以將樹分解為兩條重鏈，如下圖所示：

```

10

/\

215

/\|

134

/-^-^-^-

/\

14

```

按照上述順序計(jì)算動(dòng)態(tài)規(guī)劃狀態(tài)，可以得到以下結(jié)果：

```

dp[1][1]=10

dp[2][1]=11

dp[2][2]=14

dp[3][1]=15

dp[4][1]=19

dp[4][2]=23

```

因此，樹上背包問題的最大權(quán)重和為`dp[4][2]=23`，它對應(yīng)于選擇節(jié)點(diǎn)1、2、3和4。

結(jié)論

樹鏈剖分在樹上背包問題中提供了有效且高效的動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決方案。通過將樹分解為重鏈，它允許以O(shè)(NlogN)的復(fù)雜度解決問題。樹鏈剖分廣泛應(yīng)用于其他樹形結(jié)構(gòu)問題，例如最長路徑和歐拉回路。關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【樹鏈剖分的基礎(chǔ)】

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.樹鏈剖分是一種將樹形結(jié)構(gòu)劃分為鏈條的算法，以便于在樹形結(jié)構(gòu)上進(jìn)行動(dòng)態(tài)規(guī)劃。

2.剖分后的鏈條稱為重鏈，而連接重鏈的鏈條稱為輕鏈。

3.重鏈?zhǔn)菢渲凶畲蟮倪厵?quán)和子樹，而輕鏈?zhǔn)菢渲写未蟮倪厵?quán)和子樹。

【樹鏈剖分的實(shí)現(xiàn)】

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.樹鏈剖分可以通過深度優(yōu)先搜索（DFS）算法實(shí)現(xiàn)。

2.DFS算法首先找出重鏈，然后遞歸地將子樹劃分為鏈條。

3.剖分后的樹形結(jié)構(gòu)可以用一種稱為樹鏈剖分樹（簡稱SPT）的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表示。

【樹鏈剖分的復(fù)雜度分析】

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.樹鏈剖分的預(yù)處理復(fù)雜度為O(nlogn)，其中n為樹中節(jié)點(diǎn)數(shù)。

2.查詢復(fù)雜度為O(logn)，其中n為樹中節(jié)點(diǎn)數(shù)。

3.因此，樹鏈剖分是一種高效的算法，可以在樹形結(jié)構(gòu)上進(jìn)行動(dòng)態(tài)規(guī)劃。

【樹鏈剖分的應(yīng)用】

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.樹鏈剖分可以用于解決許多樹形結(jié)構(gòu)上的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題。

2.典型的應(yīng)用包括最長路徑問題、最短路徑問題和最大子樹和問題。

3.樹鏈剖分可以顯著降低這些問題的復(fù)雜度，使其可以在較大的樹形結(jié)構(gòu)上有效解決。

【樹鏈剖分的擴(kuò)展】

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.樹鏈剖分可以擴(kuò)展用于解決帶權(quán)樹形結(jié)構(gòu)上的問題。

2.通過引入權(quán)重和修改算法，樹鏈剖分可以用于解決諸如最小生成樹和最大權(quán)獨(dú)立集等問題。

3.擴(kuò)展后的樹鏈剖分算法可以高效地解決具有附加約束條件的樹形結(jié)構(gòu)上的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題。

【樹鏈剖分的趨勢和前沿】

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.樹鏈剖分算法的并行化是當(dāng)前研究的一個(gè)熱點(diǎn)。

2.研究人員正在探索使用多線程和并行數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來提高樹鏈剖分的性能。

3.樹鏈剖分算法的進(jìn)一步擴(kuò)展和優(yōu)化也備受關(guān)注，以解決更復(fù)雜和具有挑戰(zhàn)性的樹形結(jié)構(gòu)上的問題。關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)主題名稱：樹上差分

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.將路徑信息分解為子樹信息和子樹間的差分信息，從而轉(zhuǎn)化為對子樹和差分信息的動(dòng)態(tài)規(guī)劃。

2.通過子樹信息的遞推和差分信息的更新，高效計(jì)算兩點(diǎn)之間的路徑信息。

3.適用于計(jì)算路徑和、路徑長度、路徑最大值等路徑相關(guān)信息。

主題名稱：樹上啟發(fā)式合并

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.采用啟發(fā)式策略對樹形結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)處理，合并相鄰的子樹形成更大的子樹。

2.通過合并子樹，減少子樹的個(gè)數(shù)，降低動(dòng)態(tài)規(guī)劃的時(shí)間復(fù)雜度。

3.適用于子樹信息之間具有關(guān)聯(lián)關(guān)系的場景，如計(jì)算子樹中節(jié)點(diǎn)的祖先數(shù)、子樹中節(jié)點(diǎn)的子樹大小等。

主題名稱：輕重鏈剖分

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.將樹形結(jié)構(gòu)剖分為重鏈和輕鏈，重鏈表示子樹中最長的路徑，輕鏈表示子樹中較短的路徑。

2.通過輕重鏈剖分，將動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題分解為重鏈上的動(dòng)態(tài)規(guī)劃和輕鏈上的區(qū)間查詢。

3.適用于計(jì)算跨越多個(gè)重鏈的路徑信息，如計(jì)算樹形結(jié)構(gòu)中兩點(diǎn)之間的距離、兩點(diǎn)之間的路徑中經(jīng)過的節(jié)點(diǎn)數(shù)等。

主題名稱：動(dòng)態(tài)樹

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.將動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題與樹形結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)更新相結(jié)合，實(shí)時(shí)維護(hù)樹形結(jié)構(gòu)上的路徑信息。

2.通過維護(hù)樹形結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)修改，實(shí)現(xiàn)路徑信息的快速更新，避免重新進(jìn)行全局的動(dòng)態(tài)規(guī)劃。

3.適用于處理樹形結(jié)構(gòu)頻繁修改的場景，如計(jì)算樹形結(jié)構(gòu)中動(dòng)態(tài)添加或刪除邊后兩點(diǎn)之間的距離、路徑等。

主題名稱：圓方樹

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.將樹形結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為圓方樹結(jié)構(gòu)，其中圓點(diǎn)表示子樹，方點(diǎn)表示連接子樹的邊。

2.通過在圓方樹上進(jìn)行動(dòng)態(tài)規(guī)劃，解決原樹形結(jié)構(gòu)上的路徑查詢問題。

3.適用于處理樹形結(jié)構(gòu)中頻繁查詢子樹間路徑信息的場景，如計(jì)算兩子樹的