2020-2021學(xué)年江蘇省某中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2020-2021學(xué)年江蘇省泰州中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.若復(fù)數(shù)z滿足z（2-/）=11+7,M為虛數(shù)單位），財(cái)^為（）

A.3+5;B.3-5iC.-3+5zD.-3-5z

2.已知向量；、E滿足|=|E1=1，則|2彳+己1=（）

A.3B.MC.7D.-fj

3.三階魔方可以看作是將一個(gè)各面上均涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線把正

方體切開(kāi)所得，現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為中心方塊，2面有色的小正方體

稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，若從這些小正方體中任取一個(gè)，恰好

抽到邊緣方塊的概率為（）

28「4

AA.—BD.——C.—D.—

92792

4

4.在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,3,5,7出現(xiàn)的頻率分別為pi,P2,P3,P4,且Ep=l,若這

i=l

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為6,則〃4=（）

A.0.5B.0.4C.0.2D.0.1

5.已知空間三個(gè)平面a,p,y,下列判斷正確的是（）

A.若aJ_0,a±y,貝!J0〃丫B.若。_10,a_Ly,則0J_Y

C.若a〃B，a〃丫，貝I0_LYD.若?！?,a〃丫，貝UB〃丫

6.已知點(diǎn)A（3租，-m）是角a的終邊上的一點(diǎn)，則星久2a土也一'工一的值為（）

l+cos2a

.7?5小5「7

A.——-B.——-C.—■D.—

181822

7.粽，即粽粒，俗稱粽子，主要材料是糯米、餡料，用籍葉（或碧葉、贛古子葉等）包裹

而成，形狀多樣，主要有尖角狀、四角狀等.粽子由來(lái)久遠(yuǎn)，最初是用來(lái)祭祀祖先神靈

的貢品.南北叫法不同，北方產(chǎn)黍，用黍米做粽，角狀，古時(shí)候在北方稱“角黍”.由

于各地飲食習(xí)慣的不同，粽子形成了南北風(fēng)味，從口味上分，粽子有成粽和甜粽兩大類

某地流行的四角狀的粽子，其形狀可以看成是一個(gè)正四面體，現(xiàn)需要在粽子內(nèi)部放入一

個(gè)肉丸，肉丸的形狀近似地看成球，當(dāng)這個(gè)肉丸的體積最大時(shí)，其半徑與該正四面體的

高的比值為（）

8.在矩形ABCD中,A8=3,8C=2,設(shè)矩形所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足|CP|=1，記11=屈-AP,

I2=AC'AP,I3=AD'AP,則（）

A.存在點(diǎn)尸，使得/1=/2B.存在點(diǎn)P,使得/1=/3

C.對(duì)任意點(diǎn)P,都有/1</2D.對(duì)任意點(diǎn)P,都有/1</3

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.請(qǐng)將答案填涂到答

題卡相應(yīng)區(qū)域。

9.下列命題為真命題的是（）

A.若Zl,Z2互為共輾復(fù)數(shù)，則Z1Z2為實(shí)數(shù)

B.若i為虛數(shù)單位，〃為正整數(shù)，則泮+3=，

C.復(fù)數(shù):、的共軟復(fù)數(shù)為-2-i

D.復(fù)數(shù)為-2-i的虛部為-1

10.在直角梯形中，C￡）〃AB,AB±BC,CD=1,AB=BC=2,E為線段8C的中點(diǎn)，

貝lj（）

A.AC=AD+yABB.DEABAD

CAB-CD=2D.AE-AC=6

11.下列命題中是真命題的有（）

A.在△ABC中，若A>8,則sinA>sinB

B.在△ABC中，若sin2A=sin28,則△ABC是等腰三角形

C.在△A8C中，若acosB-6cosA=c,則△ABC是直角三角形

5432.62

D.在△A8C中，若COSA=7^，sinB=~，則cost?的值為砥"或

1356565

12.如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，點(diǎn)3是圓O上異于A,。的動(dòng)點(diǎn)，SO=OC=2,

則下列結(jié)論正確的是（）

s

A.圓錐SO的側(cè)面積為472兀

B.三棱錐S-ABC體積的最大值為春

O

兀TT

C.N&4B的取值范圍是（丁，—）

D.若AB=BC,E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則SE+CE的最小值為2（正+1）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上，

13.某地有1000人參加自學(xué)考試，為了了解他們的成績(jī)，從中抽取一個(gè)樣本，若每個(gè)考生

被抽到的概率都是0.04,則這個(gè)樣本的容量是.

14.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-，|=1（，是虛數(shù)單位），則|z+i|的取值范圍是.

15.若cos（30°-a）-sina。，則sin（30°-2a）=.

16.2008年北京奧運(yùn)會(huì)游泳中心（水立方）的設(shè)計(jì)靈感來(lái)于威爾?弗蘭泡沫，威爾弗蘭泡沫

是對(duì)開(kāi)爾文胞體的改進(jìn)，開(kāi)爾文體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成（其中每

一個(gè)頂點(diǎn)處有一個(gè)正方形和兩個(gè)正六邊形），已知該多面體共有24個(gè)頂點(diǎn)，且棱長(zhǎng)為1,

則該多面體表面積是.

開(kāi)爾文軀體

四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

17.已知復(fù)數(shù)zi=a+3i,Z2=2-ai（aeR,i是虛數(shù)單位）.

（1）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若虛數(shù)zi是實(shí)系數(shù)一元二次方程N(yùn)-6x+m=0的根，求實(shí)數(shù)m的值.

18.某校為加強(qiáng)黨史教育，進(jìn)行了一次黨史知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取的100名學(xué)生的筆試成績(jī)均

在75分以上(滿分100分)，分成[75,80),[80,85)[85,90),[90,95),[95,

100]共五組后，得到的頻率分布表如下所示：

組號(hào)分組頻數(shù)頻率

第1組[75,80)?

第2組[80,85)0.300

第3組[85,90)30②

第4組[90,95)200.200

第5組[95,100]100.100

合計(jì)1001.00

(1)請(qǐng)先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖(用陰影表

示)；

(2)為能更好了解學(xué)生的知識(shí)掌握情況，學(xué)校決定在筆試成績(jī)高的第3、4、5組中用分

層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面答，最終從6位學(xué)生中隨機(jī)抽取2位參加市安全知識(shí)

答題決賽，求抽到的2位學(xué)生不同組的概率.

19.已知三棱柱ABC-AiBiCi中，底面AiBiCi是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱CC底面

AiBiCi,E為B1G的中點(diǎn).

(1)若G為421的中點(diǎn)，求證：CiGXABi；

(2)證明：ACi〃平面4E8.

C,

20.某地實(shí)行垃圾分類后，政府決定為A,B,C三個(gè)小區(qū)建造一座垃圾處理站集中處

理三個(gè)小區(qū)的濕垃圾.已知A在2的正西方向，C在8的北偏東30°方向，M在B的北

偏西30°方向，且在C的北偏西60°方向，小區(qū)A與8相距2歷"，8與C相距3初7.

(1)求垃圾處理站M與小區(qū)C之間的距離；(結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位)

(2)假設(shè)有大、小兩種運(yùn)輸車，車在往返各小區(qū)、處理站之間都是直線行駛，一輛大車

的行車費(fèi)用為每公里。元，一輛小車的行車費(fèi)用為每公里布元(0<A<l).現(xiàn)有兩種

運(yùn)輸濕垃圾的方案：

方案1：只用一輛大車運(yùn)輸，從M出發(fā),依次經(jīng)A,B,C再由C返回到M；

方案2：先用兩輛小車分別從A、C運(yùn)送到然后并各自返回到A、C,一輛大車從M

直接到2再返回到試比較哪種方案更合算？請(qǐng)說(shuō)明理由.(結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩

位，依-1.732,小心2.646)

21.△ABC的內(nèi)角A,B,C,的對(duì)邊分別為a,b,c,已知26+c=2acosC且

(I)求角A的大??；

(II)若△ABC的周長(zhǎng)為泥色而，求△ABC的面積；

(Ill)^b=V3，求cos(28-A)的值.

22.如圖所示，四棱錐尸-ABC。的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，ZBCD=60°,E是

CD的中點(diǎn)，PAL底面ABC。，PA=2.

(1)證明：平面PBE_L平面PA&

(2)求點(diǎn)。到平面尸BE的距離；

(3)求平面尸4。和平面P8E所成銳二面角的余弦值.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將答案填涂到答題卡相應(yīng)區(qū)域.

1.若復(fù)數(shù)z滿足z（2-D=ll+7z（力為虛數(shù)單位），財(cái)^為（）

A.3+5;B.3-5/C.-3+5，D.-3-5/

解：由z(2-0=11+7〃

」」

所以l+7i_(ll+7i)(2+i)5+25iy..

=(2-i)(2+i)=~5~351-

所以W=3-5i-

故選：B.

2.已知向量Z、E滿足|a|=|b|=1>|a+b|=V3>則|2a+b|=()

A.3B.?C.7D.77

解：,?,|=1=1,Ia+b|=V31

?—?—?9—?2—*2—?—*--*?""*7*_1

,?(a+b)=a+b+2a?b=l+l+2a?b=3，

|2a+b|=V(2*a+b)2=Via+b+4a*b=^4+l+4X-^-=V7-

故選：D.

3.三階魔方可以看作是將一個(gè)各面上均涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線把正

方體切開(kāi)所得，現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為中心方塊，2面有色的小正方體

稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，若從這些小正方體中任取一個(gè)，恰好

抽到邊緣方塊的概率為（）

「

AA.—2BD.—8—C.—4D.—

92792

解：一共有27個(gè)小方塊，其中邊緣方塊有12個(gè)，

...從這些小正方體中任取一個(gè)，恰好抽到邊緣方塊的概率為：P~=^.

故選：c.

4

4.在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,3,5,7出現(xiàn)的頻率分別為pi,pz,P3,P4,且匯pi=l,若這

i=l

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為6,則P4=（）

A.0.5B.0.4C.0.2D.0.1

解：：樣本數(shù)據(jù)中只有1,3,5,7,沒(méi)有6,

樣本數(shù)據(jù)一共有偶數(shù)個(gè)數(shù)，且從小到大排序后中間兩個(gè)數(shù)為5,7,

樣本數(shù)據(jù)中有一半是7,.?74=0.5,

故選：A.

5.已知空間三個(gè)平面a,p,Y，下列判斷正確的是（）

A.若a±p,a_Ly,貝!J0〃丫B.若a_L0,a±Y>貝U0，丫

C.若a〃0,a〃丫,則0_1_丫D.若a〃0,a//y,則0〃丫

解：空間三個(gè)平面a,p,丫,

對(duì)于A,若a_L0,a±y,則0與Y相交或平行，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于2,若a_L0,a_Ly,則0與丫相交或平行，故2錯(cuò)誤;

對(duì)于C,若a〃0,a〃y,則B〃Y，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于。，若￡1〃0,a〃丫,則由面面平行的判定定理得B〃Y，故。正確.

故選：D.

2

6.已知點(diǎn)4（3%,-加）是角a的終邊上的一點(diǎn)，則地口2（工上班口一的值為（）

1+cos2a

解：?.?點(diǎn)A（3加，-加）是角a的終邊上的一點(diǎn),

■,-m1

..tana=——

3m3

?sin2a+sin2a_2sinCtcos+sina_2tana+tan2a_2X(--)

1+cos2a2cos2a2-------

5

18

故選：B.

7.粽，即粽粒，俗稱粽子，主要材料是糯米、餡料，用籍葉（或碧葉、筋古子葉等）包裹

而成，形狀多樣，主要有尖角狀、四角狀等.粽子由來(lái)久遠(yuǎn)，最初是用來(lái)祭祀祖先神靈

的貢品.南北叫法不同，北方產(chǎn)黍，用黍米做粽，角狀，古時(shí)候在北方稱“角黍”.由

于各地飲食習(xí)慣的不同，粽子形成了南北風(fēng)味，從口味上分，粽子有成粽和甜粽兩大類

某地流行的四角狀的粽子，其形狀可以看成是一個(gè)正四面體，現(xiàn)需要在粽子內(nèi)部放入一

個(gè)肉丸，肉丸的形狀近似地看成球，當(dāng)這個(gè)肉丸的體積最大時(shí)，其半徑與該正四面體的

高的比值為（）

A-2B-3C-4D-I

解：當(dāng)肉丸的體積最大時(shí)，肉丸所成的球是該正四面體的內(nèi)切球，

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為。，高為心內(nèi)切球的半徑為廠，

如圖，空a，CO'=-1cD=^a-則仁李a，

乙o0o

2

正四面體的表面積S=4XyXaXaX^y-=73a,

由等體積法得Vp_AR「ArS,

2

BpJXlXaXaX^x^lxV3aXr,解得廠=\^a.

3N/SSLZ

娓a

.r121

~3~

“，，，■■，..

8.在矩形ABC。中,AB=3,8C=2,設(shè)矩形所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足|CP|」,記I[=AB?AP,

I2=AC-AP,I3=AD-AP,則（）

A.存在點(diǎn)P,使得/l=/2B.存在點(diǎn)尸，使得/l=/3

C.對(duì)任意點(diǎn)P,都有/l</2D.對(duì)任意點(diǎn)P,都有/l</3

解：以c為原點(diǎn)，可建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系:

則尸點(diǎn)軌跡是以。為圓心，1為半徑的圓；B(0,2),。(3,0),A(3,2),

設(shè)尸(X,y),則12+y2=l,

.■■■<.......

I1-I2=ABAP-ACAP=(AB-AC)-AP=CBAP,

又CB=(0,2),AP=(x-3,y-2),AI1-12=CB-AP=2y-4,

■：ye[-1,1],：.2y-4e[-6,-2],A/i-Z2<0,BPh<h,

Ij-^^AP-ADAP=(AB-AD)AP=DBAP,

又碌(-3,2),AP=(x-3,y-2),

11-1g=DB-AP=_3x+9+2y-4=_3x+2y+E,

不妨設(shè)x=cos。，y=sin0,

貝i]1-I=-3COS8+2sin8+5=/13sin(8-Q)+5,其中tanQ,

133

Vsin(0-cp)G[-L1],8-。)+5€[55+無(wú)§],

BPh-h>0,即h>h>

綜上所述，對(duì)于任意點(diǎn)P,都有/l>/3,

故選：c.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.請(qǐng)將答案填涂到答

題卡相應(yīng)區(qū)域。

9.下列命題為真命題的是()

A.若Zl,Z2互為共軌復(fù)數(shù)，貝IZ1Z2為實(shí)數(shù)

B.若z?為虛數(shù)單位，〃為正整數(shù)，則產(chǎn)"+3=?

5

C.復(fù)數(shù):、的共軌復(fù)數(shù)為-2-i

i-z

D.復(fù)數(shù)為-2-i的虛部為-1

解：若zi,Z2互為共朝復(fù)數(shù)，設(shè)zi=a+bi,z2—a-bi,則ziZ2=a2+/?2是實(shí)數(shù)，所以A正

確；

若i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，則泮+3=9=-i,所以。不正確；

復(fù)數(shù)三=,-2-f,所以復(fù)數(shù)三的共輾復(fù)數(shù)為-2+i,所以C不正確;

復(fù)數(shù)為-2-i的虛部為-1,滿足復(fù)數(shù)的定義，所以。正確；

故選：AD.

10.在直角梯形ABC。中，CD〃A3,AB±BC,CD=1,AB=BC=2,E為線段BC的中點(diǎn),

則（）

??1?i?Q?1.

A.AC=AD專ABB.DEABAD

C.AB-CD=2D,AE-AC=6

解：如圖：作。。_LAB交AB于點(diǎn)。，可知而=前，由題意前=￡標(biāo).

標(biāo)?而=2X1Xcosir=-2,：?C錯(cuò);

11。11*?*.?o?**■*1?1?.

AE*AC=（AB+BE）*（AB+BC）=AB+AB*BC+BE*AB+BE*BC=2+O+O+2X1x1=6,

；.￡）對(duì).

故選：ABD.

11.下列命題中是真命題的有（）

A.在△ABC中，若A>2,則sinA>sinB

B.在△ABC中，若sin2A=sin28,則△ABC是等腰三角形

C.在△ABC中，若acosB-bcosA=c,則△ABC是直角三角形

D.在△ABC中，若cosA=W>sinB=-1->則cosC的值為里或笑^

1356565

解：對(duì)于A：在△ABC中，若所以。>/?,利用正弦定理：則sinA>sin3,故A正

確；

對(duì)于B：在△ABC中，若sin2A=sin2B,整理得2A=28或2A=n-2B,故A=B,A+B

冗

則△ABC是等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：在△ABC中，若acosB-bcosA=c,整理得：sinAcosB-sin/?cosA=sinC,所以A

-B=C,由于A+8+C=TT,解得A=子，則△ABC是直角三角形，故C正確；

51943

對(duì)于。：在△ABC中，若ccisA=不，則sinA=；7，由于sinB=w，所以cosB二±三，

Iolobb

,「2

根據(jù)A的范圍cosB、"，

5

、/3

故當(dāng)cosB==時(shí)，cosC=-cos（A+B）=-=-cosAcosB+sinAsinB=

故選：AC.

12.如圖，AC為圓錐SO底面圓0的直徑，點(diǎn)8是圓。上異于A,。的動(dòng)點(diǎn)，SO=OC=2,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.圓錐S。的側(cè)面積為哂兀

B.三棱錐S-ABC體積的最大值為日

O

TTTT

C.NSAB的取值范圍是（丁，—）

D.若A2=BC,E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，貝USE+CE的最小值為2（我+1）

解：對(duì)于4圓錐的底面半徑與高均為2,則母線長(zhǎng)/=2&,

圓錐的側(cè)面積5=兀彘=4、歷兀，故A正確；

對(duì)于8,當(dāng)點(diǎn)B為弧AC的中點(diǎn)時(shí)，底面三角形A8C面積最大為，■XdX2=4，

1O

此時(shí)三棱錐S-ABC體積的最大值為仔又4乂2吟，故8正確；

OO

JTJT

對(duì)于C,當(dāng)8與C趨于重合時(shí)，/SAB趨于丁，當(dāng)8與A趨于重合時(shí)，/SA8趨于二

42

?.*AB的取值范圍是（丁，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于￡）,若A8=BC,以AB為軸把平面SA8旋轉(zhuǎn)至與平面ABC重合，連接SC,交

于E,

則/ABC=150°,在△SBC中，SB=BC=272>

由余弦定理可得：5C=^8+8-2x2V2x2V2x（岑"）=2（立+1）,

即SE+CE的最小值為2（愿+1）,故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上，

13.某地有1000人參加自學(xué)考試，為了了解他們的成績(jī)，從中抽取一個(gè)樣本，若每個(gè)考生

被抽到的概率都是004,則這個(gè)樣本的容量是40.

解：根據(jù)題意得：這個(gè)樣本的容量是1000X0.04=40.

故答案為：40.

14.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-4=1。是虛數(shù)單位），則|z+i|的取值范圍是[1,3].

解：設(shè)Z=〃+。。由|z-4=1得〃2+（0-1）2=],_（/?-1）2=-Z?2+2Z?,

2222=

???|z+i|=7a+（b+l）=V-b+2b+b+2b+lV4b+l，

由°2=1-（6-1）2=-62+2620得0W6W2,A|z+z|=V4b+1G[O,3],

故答案為：[0,3].

17

15.若cos（300-a）-sina若，貝ijsin（30。-2a）

oy

解：?「CQS（30°-a）-sina。，

■??空"cosa-Jsina烏，即cos（30。+a）],

Asin（30°-2a）=cos[90°-(30°-2a)]=cos(60°+2a)=2cos2(30°+a)-1

17

=2><丁A可

故答案為：-y-.

y

16.2008年北京奧運(yùn)會(huì)游泳中心（水立方）的設(shè)計(jì)靈感來(lái)于威爾?弗蘭泡沫，威爾弗蘭泡沫

是對(duì)開(kāi)爾文胞體的改進(jìn)，開(kāi)爾文體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成（其中每

一個(gè)頂點(diǎn)處有一個(gè)正方形和兩個(gè)正六邊形），已知該多面體共有24個(gè)頂點(diǎn)，且棱長(zhǎng)為1,

則該多面體表面積是12赤+6.

開(kāi)爾文胞作

解:棱長(zhǎng)為1的正方形的面積為IX1=1,正六邊形的面積為6XtXIXIX—=^~,

222

又正方形有4個(gè)頂點(diǎn)，正六邊形有6個(gè)頂點(diǎn)，該多面體共有24個(gè)頂點(diǎn)，所以最多有6個(gè)

正方形，最少有4個(gè)正六邊形，1個(gè)正六邊形與3個(gè)正方形相連，所以該多面體有6個(gè)正

方形，正六邊形有6義4+3=8個(gè)，所以該多面體的表面積為8義-^^-+6=12V3+6-

故答案為：12j^+6.

四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

17.已知復(fù)數(shù)zi=a+3i,Z2=2-山QeR,i是虛數(shù)單位）.

（1）若ZiF在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若虛數(shù)zi是實(shí)系數(shù)一元二次方程尤2-6.什機(jī)=0的根，求實(shí)數(shù)m的值.

解：（1）Vzi=a+3i,Z2=2-ai,z[-z2=a-2+（W-a）i,

：zi-用在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，

Ja-2>0

解得2<a<3,即實(shí)數(shù)。的取值范圍是（2,3）；

(3-a>0,

（2）由虛數(shù)zi是實(shí)系數(shù)一元二次方程N(yùn)-6x+m=0的根，

得z]2-6z]+m=0,即（o+3z）2-6（a+3i）+m—0,

整理得a2-6a+m-9+(6a-18)i—0,

2

{a-6a+m-9=0a=3

,解得，

l6a-18=0m-18

18.某校為加強(qiáng)黨史教育，進(jìn)行了一次黨史知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取的100名學(xué)生的筆試成績(jī)均

在75分以上（滿分100分）,分成[75,80）,[80,85）[85,90）,[90,95）,[95,

100]共五組后，得到的頻率分布表如下所示：

組號(hào)分組頻數(shù)頻率

第1組[75,80)①

第2組[80,85)0.300

第3組[85,90)30②

第4組[90,95)200.200

第5組[95,100]100.100

合計(jì)1001.00

（1）請(qǐng)先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖（用陰影表

示）；

（2）為能更好了解學(xué)生的知識(shí)掌握情況，學(xué)校決定在筆試成績(jī)高的第3、4、5組中用分

層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面答，最終從6位學(xué)生中隨機(jī)抽取2位參加市安全知識(shí)

答題決賽，求抽到的2位學(xué)生不同組的概率.

]頻率

組距

0.08??

607—

0.06一

0.05--

0.04--

0.03…

0.02-

0.01--

7580859095100成績(jī)

解：（1）第2組的頻數(shù)為100X0.300=30,

所以①處應(yīng)填的數(shù)為100-30-30-20-10=10,

②處應(yīng)填的數(shù)為304-100=0.300,

頻率分布直方圖如圖所示,

(2)因?yàn)榈?、4、5組共有60名選手，所以利用分層抽樣在60名選手中抽取6名選手

進(jìn)入第二輪面試，每組抽取的人數(shù)分別為：

第3組：裳義6=3人，第4組：某X6=2人，第5組：黑X6=1人，

606060

所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人進(jìn)入第二輪面答，

設(shè)第3組的3位學(xué)生為4,A2,A3,第4組的2位學(xué)生為BI,第5組的1位學(xué)生為

G,則從這6位學(xué)生中抽取2位學(xué)生有：

(Ai,人2),(Ai,A3),(Ai,B\),(Ai,&),(Ai,Ci),

(A2,A3),(A2,Bi),(A2,B2),(A2,Ci),

(A3,Bi),(A3,&),(A3,Ci),

(Bi,B2)，(Bi,Ci),

(&,Ci),共15種情況.

抽到的2位學(xué)生不同組的有：(Ai,Bi),(Ai,&),(Ai,Ci),(A2,BI),(A2,

B2),(A2,Ci),(A3，Bi),(A3,&),(A3,G),(Bi,Ci),(82,Ci),

共11種情況.

所以抽到的2位學(xué)生不同組的概率為圣.

1D

19.已知三棱柱ABC-AiBiCi中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱CG_L底面

AiBiCi,E為的中點(diǎn).

(1)若G為481的中點(diǎn)，求證：CiGXABi；

(2)證明：AG〃平面AiEB.

【解答】證明：(1)?..側(cè)棱CGJ_底面4B1C1,GGu底面AiBiCi,

：.CCi±CiG,

:三棱柱ABC-AiBiG中，CCi/ZBBi,

：.BBi±CiG..

：G為正三角形AiSCi的邊43的中點(diǎn)，

ACiGXAiBi.

又881U平面A1B1U平面A41B1B,BB\AAiBi=Bi,

GG_L平面AAiBiB.

：42匚平面44出18,

：.CiG±ABi.

(2)記ABiCA由=0,連E0.

;三棱柱ABC-A出Ci中，A41BB是平行四邊形，ABiHAiB^O,

，。為A8的中點(diǎn)，

又?.,△SAG中，E為81cl的中點(diǎn)，則￡O〃ACi.

：EOu平面AiEB,ACi(p平面AiEB,

；.ACi〃平面AiEB.

20.某地實(shí)行垃圾分類后，政府決定為A,B,C三個(gè)小區(qū)建造一座垃圾處理站V,集中處

理三個(gè)小區(qū)的濕垃圾.已知A在8的正西方向，C在B的北偏東30°方向，M在8的北

偏西30°方向，且在C的北偏西60°方向，小區(qū)A與8相距2/機(jī)，8與C相距

（1）求垃圾處理站M與小區(qū)C之間的距離；（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）

（2）假設(shè)有大、小兩種運(yùn)輸車，車在往返各小區(qū)、處理站之間都是直線行駛，一輛大車

的行車費(fèi)用為每公里。元，一輛小車的行車費(fèi)用為每公里布元（0<A<l）.現(xiàn)有兩種

運(yùn)輸濕垃圾的方案：

方案1：只用一輛大車運(yùn)輸，從M出發(fā),依次經(jīng)A,B,C再由C返回到M；

方案2：先用兩輛小車分別從A、C運(yùn)送到8,然后并各自返回到A、C,一輛大車從M

直接到2再返回到試比較哪種方案更合算？請(qǐng)說(shuō)明理由.（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩

位，返器1.732,由-2.646）

解：(1)在中，ZMBC=60°,90°,BC=3,

MC=V3BC=3V3^5.196=5.2C.

所以垃圾處理站M與小區(qū)C間的距離為5.20公里.

(2)在中，ZMBC=6Q°,ZMCB=90°,BC=3,照=3日，

所以M2=6.

又在△MBA中，ZMBA=60°,AB=2,

：.M^^AB-+MB2-2AB-MB-cos60°=28,

；.MA=2正=5.292,

方案一費(fèi)用：yx=a(\MA\+\AB\+\BC\+\CM\)=a(5.292+2+3+5.196)=15.488。,

方案二費(fèi)用：y2=2a\MB\+2Xa(|AB|+|BC|)=(10A+12)a,

當(dāng)yi＞”時(shí)，方案二合算，止匕時(shí)0〈入W0.34,

當(dāng)yiW”時(shí)，方案一合算，此時(shí)0.35W入＜1,

綜上，當(dāng)0〈入W0.34時(shí)，方案二合算；當(dāng)0.35W入＜1時(shí)，方案一合算.

21.ZkABC的內(nèi)角A,B,C,的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2b+c=2acosC且a=&.

(I)求角A的大小；

(II)若AABC的周長(zhǎng)為戈班，求的面積；

(III)^b=V3-求cos(28-A)的值.

222

解：(I)因?yàn)?Z?+C=2QCOSG所以2Z?+C=2〃?^—-------,

2ab

整理可得：b2+c2-d2=-be,

由余弦定理可得：b2+c2-a2=2Z?ccosA,

所以cosA=-],AE(0,ii),

9

所以可得4=0；

(ID由三角形的周長(zhǎng)為正+巡，a=屈,

所以b+c=，^,

由(I)可得d2=b2^-c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2/?ccosA,而cosA=-

所以可得5=6-2bc+bc,可得bc=\,

所以S^ABC=-^bcsinA=-^-X

所以AABC的面積為4；

4

ba2

(III)由正弦定理可得:，b=M，。=巡，A=f,

sinBsinAo

所以sinB=—*sinA=-r^9-i—=-T-f^,

aV522V5

A/T7

b<a,所以5為銳角，所以cosB=廠,