2015年山東省德州市中考數(shù)學試卷（含解析版）

2015年山東省德州市中考數(shù)學試卷

一、選擇題

1.（3分）（2015?德州）|-』的值是（）

2

A._1B.2C.-2D.2

~22

2.（3分）（2015?德州）某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體是（）

A.圓錐B.圓柱C.長方體D.四棱柱

3.（3分）（2015?德州）2014年德州市農(nóng)村中小學校含標準化工程開工學校項目356個，開

工面積56.2萬平方米，開式面積量創(chuàng)歷年最高，56.2萬平方米用科學記數(shù)法表示正確的是

（）

A.5.62x104m2B.56.2x104m2C.5.62x105m2D.0.562x104m2

4.（3分）（2015?德州）下列運算正確的是（）

A.\/8-B.b2*b3=b6C.4a-9a=-5D.（ab2）2=a2b4

5.（3分）（2015?德州）一組數(shù)1,1,2,x,5,y...滿足“從第三個數(shù)起，每個數(shù)都等于它

前面的兩個數(shù)之和"，那么這組數(shù)中y表示的數(shù)為（）

A.8B.9C.13D.15

6.（3分）（2015?德州）如圖，在△ABC中，ZCAB=65°,將△ABC在平面內繞點A旋轉

7.（3分）（2015?德州）若一元二次方程x2+2x+a=0的有實數(shù)解，則a的取值范圍是（）

A.a<lB.a<4C.a<lD.a>l

8.（3分）（2015?德州）下列命題中，真命題的個數(shù)是（）

①若-1<XV-3,貝1卜2〈工<-1；②若-14x42,則1會2“

2x

③凸多邊形的外角和為360。；④三角形中,若NA+NB=90。，則sinA=cosB.

A.4B.3C.2D.1

9.（3分）（2015?德州）如圖，要制作一個圓錐形的煙囪帽，使底面圓的半徑與母線長的比

是4：5,那么所需扇形鐵皮的圓心角應為（）

10.（3分）（2015?德州）經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能左轉或者右轉，如果

這三種可能性大小相同，則經(jīng)過這個十字路口的兩輛汽車一輛左轉，一輛右轉的概率是

（）

A.4B.4C.2D.1

7999

11.（3分）（2015?德州）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE,DF分另4是△ABD和△ACD

的高，得到下列四個結論：①OA=OD；②AD_LEF；③當NA=90。時，四邊形AEDF是正

方形；④AE+DF=AF+DE.其中正確的是（）

A.②③B.②④C.①③④D.②③④

12.（3分）（2015?德州）如圖，平面直角坐標系中，A點坐標為（2,2）,點P（m,n）在

直線y=-x+2上運動，設AAPO的面積為S,則下面能夠反映S與m的函數(shù)關系的圖象是

ARCD

二、填空題（每小題4分）

13.（4分）（2015?德州）計算22+（、后）。=.

14.（4分）（2015?德州）方程」--2=1的解是____________.

X-1X

15.（4分）（2015?德州）在射擊比賽中，某運動員的6次射擊成績（單位：環(huán)）為：7,8,

10,8,9,6,計算這組數(shù)據(jù)的方差為.

16.（4分）（2015?德州）如圖，某建筑物BC上有一旗桿AB,從與BC相距38m的D處

觀測旗桿頂部A的仰角為50。，觀測旗桿底部B的仰角為45。，則旗桿的高度均為

m.（結果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin50°=0.77,cos50°=0.64,tan50°=1.19）

A

17.（4分）（2015?德州）如圖1,四邊形ABCD中，ABHCD,AD=DC=CB=a,ZA=60°.取

AB的中點Ai,連接AiC,再分別取AiC,BC的中點Di,CI,連接DICI,得到四邊形

AiBCiDi.如圖2,同樣方法操作得到四邊形A2BC2D2,如圖3.......如此進行下去，則四

三、解答題:

222

18.（6分）（2015?德州）先化簡，再求值：a-b+辿二旦），其中a=2+?,b=2

aa

19.（8分）（2015?德州）2014年1月，國家發(fā)改委出臺指導意見，要求2015年底前，所有

城市原則上全面實行居民階梯水價制度，小明為了解市政府調整水價方案的社會反響，隨機

訪問了自己居住小區(qū)的部分居民，就"每月每戶的用水量”和"調價對用水行為改變”兩個問題

■視調價張幅采取相

應的用水方式改變

■不管調價張幅如何都

要改變用水方式

■對調價漲幅抱無所渭，不

會考慮用水方式改變

圖1圖2

小明發(fā)現(xiàn)每月每戶的用水量在5m3-35n?之間，有8戶居民對用水價格調價漲幅抱無所謂,

不會考慮用水方式的改變，根據(jù)小明控制的圖表和發(fā)現(xiàn)的信息，完成下列問題:

（1）n=，小明調查了戶居民，并補全圖1；

（2）每月每戶用水量的中位數(shù)和眾數(shù)分別落在什么范圍？

（3）如果小明所在小區(qū)有1800戶居民，請你估計"視調價漲幅采取相應的用水方式改變"

的居民戶數(shù)有多少.

20.（8分）（2015?德州）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線OB,AC相交

于點D,且BEIIAC,AEIIOB,

Q）求證：四邊形AEBD是菱形；

（2）如果OA=3,OC=2,求出經(jīng)過點E的反比例函數(shù)解析式.

21.（10分）（2015?德州）如圖，。。的半徑為1,A,P,B,C是。O上的四個點,

ZAPC=ZCPB=60°.

（1）判斷△ABC的形狀：；

（2）試探究線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；

（3）當點P位于源的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積.

BCBC

備用圖

22.（10分）（2015?德州）某商店以40元/千克的單價新進一批茶葉,經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，在一段

時間內，銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關系如圖所示.

（1）根據(jù)圖象求y與x的函數(shù)關系式；

（2）商店想在銷售成本不超過3000元的情況下，使銷售利潤達到2400元，銷售單價應定

為多少？

23.（10分）（2015?德州）（1）問題

如圖1,在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，NDPC=ZA=NB=90°,求證：AD?BC=AP?BP.

（2）探究

如圖2,在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當NDPC=NA=NB=e時，上述結論是否

依然成立？說明理由.

（3）應用

請利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗解決問題：

如圖3,在AABD中，AB=6,AD=BD=5,點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出了，

沿邊AB向點B運動，且滿足NDPC=NA,設點P的運動時間為t（秒），當以D為圓心，

以DC為半徑的圓與AB相切時，求t的值.

圖1圖2圖3

24.(12分)(2015?德州)已知拋物線y=-mx2+4x+2m與x軸交于點A(a,0),B(p,0),

且看曲-2，

(1)求拋物線的解析式.

(2)拋物線的對稱軸為1,與y軸的交點為C,頂點為D,點C關于1的對稱點為E,是否

存在x軸上的點M,y軸上的點N,使四邊形DNME的周長最??？若存在，請畫出圖形(保

留作圖痕跡)，并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由.

(3)若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊

2015年山東省德州市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題

1.（3分）（2015?德州）|的值是（）

2

A?1B?1C.-2D.2

2

考點：絕對值.

分析：絕對值的性質：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的

絕對值是0.

解答：解：根據(jù)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，得

22

故選B.

點評：本題考查了絕對值的性質.

2.（3分）（2015?德州）某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體是（）

A.圓錐B.圓柱C.長方體D.四棱柱

考點：簡單幾何體的三視圖.

分析：根據(jù)三視圖的主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的

圖形進行分析可知幾何體的名稱.

解答：解：丫主視圖和左視圖都是長方形，

此幾何體為柱體，

〔,俯視圖是一個圓，

，此幾何體為圓柱，

故選：B.

點評：此題考查了由三視圖判斷幾何體，用到的知識點為：由主視圖和左視圖可得幾何體是

柱體，椎體還是球體，由俯視圖可確定幾何體的具體形狀.

3.（3分）（2015?德州）2014年德州市農(nóng)村中小學校含標準化工程開工學校項目356個，開

工面積56.2萬平方米，開式面積量創(chuàng)歷年最高，56.2萬平方米用科學記數(shù)法表示正確的是

（）

A.5.62x104m2B.56.2x104m2C.5.62x105m2D.0.562x104m2

考點：科學記數(shù)法一表示較大的數(shù).

分析：科學記數(shù)法的表示形式為axlO11的形式，其中l(wèi)<|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時，

要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當

原數(shù)絕對值>1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值VI時，n是負數(shù).

解答:解:56,275=562000=5.62x105,

故選C,

點評：此題考查了科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為axW的形式，其中i<|a|

<10,n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

4.（3分）（2015?德州）下列運算正確的是（）

h?瓜-心臟B.b2?b3=b6C.4a-9a=-5D.（ab2）2=a2b4

考點：幕的乘方與積的乘方；合并同類項；同底數(shù)基的乘法；二次根式的加減法.

分析：A：根據(jù)二次根式的加減法的運算方法判斷即可；

B：根據(jù)同底數(shù)累的乘法法則判斷即可；

C：根據(jù)合并同類項的方法判斷即可；

D：積的乘方法則:（ab）n=anbn（n是正整數(shù)），據(jù)此判斷即可.

解答：解:a-近一正手遂,

選項A錯誤；

b2*b3=b5,

選項B錯誤；

4a-9a=-5a,

選項C錯誤；

-.1（ab2）2=a2b4,

選項D正確.

故選：D.

點評：（1）此題主要考查了同底數(shù)基的乘法法則：同底數(shù)基相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，

要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①底數(shù)必須相同；②按照運算性質，只有

相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)相加.

（2）此題還考查了累的乘方和積的乘方，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：

①（am）n=amn（m,n是正整數(shù)）；②（ab）n-anbn（n是正整數(shù)）.

（3）此題還考查了合并同類項問題，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確合并同

類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

（4）此題還考查了二次根式的加減法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確二次

根式的加減法的步驟：①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號.②把不是最簡二

次根式的二次根式進行化簡.③合并被開方數(shù)相同的二次根式.

5.（3分）（2015?德州）一組數(shù)1,1,2,X,5,y...滿足“從第三個數(shù)起，每個數(shù)都等于它

前面的兩個數(shù)之和"，那么這組數(shù)中y表示的數(shù)為（）

A.8B.9C.13D.15

考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

分析：根據(jù)每個數(shù)都等于它前面的兩個數(shù)之和，可得x=l+2=3,y=x+5=3+5=8,據(jù)此解答即

可.

解答：解：...每個數(shù)都等于它前面的兩個數(shù)之和，

x=1+2=3,

y=x+5=3+5=8,

即這組數(shù)中y表示的數(shù)為8.

故選：A.

點評：此題主要考查了探尋數(shù)列規(guī)律問題，注意觀察總結規(guī)律，并能正確的應用規(guī)律，解答

此題的關鍵是求出x的值是多少.

6.（3分）（2015?德州）如圖，在△ABC中，NCAB=65。，將△ABC在平面內繞點A旋轉

則旋轉角的度數(shù)為（)

C.50°D.65°

考點：旋轉的性質.

分析：根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得NACC=NCAB,根據(jù)旋轉的性質可得AC=AC,

然后利用等腰三角形兩底角相等求NCAC,再根據(jù)NCAC\ZBAB，都是旋轉角解答.

解答：解：???CCFAB,

ZACC'=NCAB=65°,

AABC繞點A旋轉得到^ABV,

AC=AC',

ZCAC'=180--2ZACO180°-2x65°=50°,

ZCAC'=NBAB，=50°.

故選C.

點評：本題考查了旋轉的性質，等腰三角形兩底角相等的性質，熟記性質并準確識圖是解題

的關鍵.

7.（3分）（2015?德州）若一元二次方程x2+2x+a=0的有實數(shù)解，則a的取值范圍是（）

A.a<lB.a<4C.a<lD.a>l

考點：根的判別式.

分析：若一元二次方程x2+2x+a=0的有實數(shù)解，則根的判別式ANO,據(jù)此可以列出關于a的

不等式，通過解不等式即可求得a的值.

解答：解：因為關于x的一元二次方程有實根，

所以△=b2-4ac=4-4a>0,

解之得avl.

故選C.

點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（axO,a,b,c為常數(shù)）根的判別式.當仆>0,

方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=（）,方程有兩個相等的實數(shù)根；當△<（）,方程沒

有實數(shù)根.

8.（3分）（2015?德州）下列命題中，真命題的個數(shù)是（）

①若-l<x<-1,則-2<工<-1；

2x

②若-14x42,則Mx?"

③凸多邊形的外角和為360。；

④三角形中，若NA+NB=90°,則sinA=cosB.

A.4B.3C.2D.1

考點：命題與定理.

分析：根據(jù)分式成立的條件對①進行判斷；根據(jù)乘方的意義對②進行判斷；根據(jù)多邊形外

角和定理對③進行判斷；根據(jù)互余公式對④進行判斷.

解答：解：若-2<A<-1，所以①正確；

2x

若-14X42,則0女2“，所以②錯誤;

凸多邊形的外角和為360。，所以③正確；

三角形中，若NA+NB=90°,則sinA=cosB,所以④正確.

故選B.

點評：本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設和結

論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成

"如果...那么...”形式.有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理.

9.（3分）（2015?德州）如圖，要制作一個圓錐形的煙囪帽，使底面圓的半徑與母線長的比

是4：5,那么所需扇形鐵皮的圓心角應為（）

A.288°B.144°C.216°D.120°

考點：圓錐的計算.

分析：根據(jù)底面圓的半徑與母線長的比設出二者，然后利用底面圓的周長等于弧長列式計算

即可.

解答：解：?.?底面圓的半徑與母線長的比是4：5,

設底面圓的半徑為4x,

則母線長是5x,

設圓心角為n°,

貝ij2nx4x=n冗'5x,,

180

解得：n=288,

故選A.

點評：本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周

長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.

10.（3分）（2015?德州）經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能左轉或者右轉，如果

這三種可能性大小相同，則經(jīng)過這個十字路口的兩輛汽車一輛左轉，一輛右轉的概率是

A.4B.4C.2D-1

7999

考點：列表法與樹狀圖法.

分析：此題可以采用列表法或樹狀圖求解.可以得到一共有9種情況，兩輛汽車一輛左轉,

一輛右轉的有2種情況，根據(jù)概率公式求解即可.

解答：解：（1）畫"樹形圖”列舉這兩輛汽車行駛方向所有可能的結果如圖所示：

左直右左盲右左直右

這兩輛汽車行駛方向共有9種可能的結果；

（2）由（1）中"樹形圖"知，兩輛汽車一輛左轉，一輛右轉的結果有2種，且所有結

果的可能性相等，

.-.P（兩輛汽車一輛左轉，一輛右轉）=2

故選c.

點評：此題考查了樹狀圖法求概率.解題的關鍵是根據(jù)題意畫出樹狀圖，再由概率=所求情

況數(shù)與總情況數(shù)之比求解.

11.（3分）（2015?德州）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE,DF分別是△ABD和△ACD

的高，得到下列四個結論：

①OA=OD；

@AD±EF；

③當NA=90。時，四邊形AEDF是正方形；

（f）AE+DF=AF+DE.

其中正確的是（）

BDC

A.②③B.②④C.①③④D.②③④

考點：角平分線的性質；全等三角形的判定與性質；正方形的判定.

分析：①如果OA=OD,則四邊形AEDF是矩形，NA=90。，不符合題意，所以①不正確.

②首先根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△AED合△AFD,AE=AF,DE=DF；然

后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△AEO2AAFO,即可判斷出ADLEF.

③首先判斷出當NA=90。時，四邊形AEDF的四個角都是直角，四邊形AEDF是矩形,

然后根據(jù)DE=DF,判斷出四邊形AEDF是正方形即可.

④根據(jù)△AED合△AFD,判斷出AE=AF,DE=DF,即可判斷出AE+DF=AF+DE成

立，據(jù)此解答即可.

解答：解：如果OA=OD,則四邊形AEDF是矩形，NA=90。，不符合題意，

①不正確；

???人口是4ABC的角平分線，

ZEADZFAD,

在△AED和△AFD中，

'NEAD=/FAD

■ZAED=ZAFD=90°

AD=AD

:&AED合△AFD(AAS),

/.AE=AF,DE=DF,

AE+DF=AF+DE,

④正確；

在4AEO和4AFO中，

'AE=AF

-NEAO=NFAO，

A0=A0

△AEO合△AFO(SAS),

EO=FO,

又：AE=AF,

AO是EF的中垂線，

AD±EF,

②正確；

???當NA=90。時，四邊形AEDF的四個角都是直角，

四邊形AEDF是矩形，

又「DE=DF,

四邊形AEDF是正方形，

③正確.

綜上，可得

正確的是：②③④.

故選：D.

點評：(1)此題主要考查了三角形的角平分線的性質和應用，以及直角三角形的性質和應

用，要熟練掌握.

(2)此題還考查了全等三角形的判定和應用，要熟練掌握.

(3)此題還考查了矩形、正方形的性質和應用，要熟練掌握.

12.(3分)(2015?德州)如圖，平面直角坐標系中，A點坐標為(2,2),點P(m,n)在

直線y=-x+2上運動，設AAPO的面積為S,則下面能夠反映S與m的函數(shù)關系的圖象是

()

考點：動點問題的函數(shù)圖象.

分析：根據(jù)題意得出臨界點P點橫坐標為1時，△APO的面積為0,進而結合底邊長不變得

出即可.

解答：解：1.點P（m,n）在直線y=-x+2上運動，

當m=l時，n=l,即P點在直線AO上，此時S=0,

當0cm41時，SAAPO不斷減小，當m>l時，SAAPO不斷增大，且底邊AO不變,

故S與m是一次函數(shù)關系.

點評：此題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)題意得出臨界點是解題關鍵.

二、填空題（每小題4分）

13.（4分）（2015?德州）計算29+（?）°=_5_,

考點：實數(shù)的運算；零指數(shù)累；負整數(shù)指數(shù)累.

分析：首先根據(jù)負整數(shù)指數(shù)基的運算方法，求出2」的值是多少；然后根據(jù)a0=l（axO）,求

出（JW）0的值是多少：最后再求和，求出算式2-2+（遂）°的值是多少即可.

解答:解：22+（V3）°

J+1

4

=5

4

故答案為：司

4

點評：（1）此題主要考查了負整數(shù)指數(shù)塞的運算，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確:

（1）a￥=」-（aM,p為正整數(shù)）；（2）計算負整數(shù)指數(shù)幕時，一定要根據(jù)負整數(shù)指

ap

數(shù)基的意義計算；（3）當?shù)讛?shù)是分數(shù)時，只要把分子、分母顛倒，負指數(shù)就可變?yōu)檎?/p>

指數(shù).

（2）此題還考查了零指數(shù)累的運算，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：（1）

a°=l（aM）；（2）0%l.

14.（4分）（2015?德州）方程一工-2=1的解是x=2.

x-1x

考點：解分式方程.

專題：計算題.

分析：分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分

式方程的解.

解答：解：去分母得:x2-2x+2=x2-X,

解得：x=2,

經(jīng)檢驗x=2是分式方程的解，

故答案為：x=2

點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是"轉化思想"，把分式方程轉化為整

式方程求解.解分式方程一定注意要驗根.

15.（4分）（2015?德州）在射擊比賽中，某運動員的6次射擊成績（單位：環(huán)）為：7,8,

10,8,9,6,計算這組數(shù)據(jù)的方差為至.

一3一

考點：方差.

專題：計算題.

分析：先計算出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后根據(jù)方差公式求解.

解答：解：平均數(shù)=工（7+8+10+8+9+6）=8,

6

所以方差S2=l[（7-8）2+（8-8）2+（10-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（6-8）2]=1.

故答案為百

3

點評：本題考查方差：一般地設n個數(shù)據(jù)，XI,X2,...Xn的平均數(shù)為彳，則方差s2=N（XI-

n

彳）2+（X2-W）2+...+（Xn-x）2],它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動

性越大，反之也成立.

16.（4分）（2015?德州）如圖，某建筑物BC上有一旗桿AB,從與BC相距38m的D處

觀測旗桿頂部A的仰角為50。，觀測旗桿底部B的仰角為45。，則旗桿的高度均為7.2

m.（結果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin50%0.77,cos50°=0.64,tan50°=1.19）

A

D

考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

分析：根據(jù)題意分別在兩個直角三角形中求得AF和BF的長后求差即可得到旗桿的高度.

解答：解：根據(jù)題意得：EF±AC,CDIIFE,

四邊形CDEF是矩形，

已知底部B的仰角為45。即NBEF=45。，

ZEBF=45".

CD=EF=FB=38,

在RtAAEF中，

AF=EF?tan50°=38x1.19=45.22

AB=AF-BF=45.22-38=7.2,

旗桿的高約為7米.

故答案為：7.2.

A

D

點評：此題考查的知識點是解直角三角形的應用，解題的關鍵是把實際問題轉化為解直角三

角形問題，先得到等腰直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)求解.

17.（4分）（2015?德州）如圖1,四邊形ABCD中,ABIICD,AD=DC=CB=a,ZA=60°.取

AB的中點Ai,連接AIC,再分別取AIC,BC的中點Di,Ci,連接DiCi,得到四邊形

AiBCiDi.如圖2,同樣方法操作得到四邊形A2BC2D2,如圖3,…，如此進行下去，則四

邊形AnBCnDn的面積為之應？

―qn+l——

考點：等腰梯形的性質；等邊三角形的判定與性質；三角形中位線定理.

專題：規(guī)律型.

分析：首先求得梯形ABCD的面積，然后證明梯形AnBCnDn-梯形An-iBCnjDn-i,然后

根據(jù)相似形面積的比等于相似比的平方即可求解.

解答：解：作DE_LAB于點E.

在直角△ADE中，DE=AD?sinA=返，AE=」AD=J：a,

222

則AB=2AD=2a,SABCD=—(AB+CD)*DE=—(2a+a)?西3區(qū)2.

2224

如圖2,-1■DhCl是A1C和BC的中點,

,DICIIIAIB,且CID1JAIB,

2

AAi=CD,AAiIICD,

四邊形AAiCD是平行四邊形，

ADIIAiC,AD=AiC=a,

ZA=ZCAiB,

又=ZB=ZB,

ZD=ZA1D1C1,ZDCB=ZDiCiB,

D[C[A[D]BCjA?B]

---------二----------二=一,

DCADBCAB2

???梯形AIBCIDI-梯形ABCD,且相似比是」.

2

同理，梯形AnBCnDn，梯形An-iBCn-iDn-1,相似比是」.

2

則四邊形AnBCnDn的面積為建a2.

4n+1

點評：本題考查了相似多邊形的判定與性質，正確證明梯形AnBCnDn-梯形AzBCn-iDn

-1是關鍵.

三、解答題：

22n2abb2

18.(6分)(2015?德州)先化簡，再求值：&-匕+(--),其中a=2+?,b=2

aaa

-V3.

考點：分式的化簡求值.

專題：計算題.

分析：原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則計算，約

分得到最簡結果，把a與b的值代入計算即可求出值.

解答：解：原式

(a+b)(a-b),a2-2ab+b2_(a+b)(a-b)a_a+b

----------------rr--------------------------?--------------,

2

aaa(a-b)

當a-2+?,b-2-上時，原式J+舞一0—延.

2+73-2+732733

點評：此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

19.(8分)(2015?德州)2014年1月，國家發(fā)改委出臺指導意見，要求2015年底前，所有

城市原則上全面實行居民階梯水價制度，小明為了解市政府調整水價方案的社會反響，隨機

訪問了自己居住小區(qū)的部分居民，就"每月每戶的用水量”和"調價對用水行為改變”兩個問題

進行調查，并把調查結果整理成下面的圖1,圖2.

■視調價漲幅采取相

應的用水方式改變

■不管調價張幅如何都

要改變用水方式

■對調價張幅抱無所謂，不

會考慮用水方式改變

圖1圖2

小明發(fā)現(xiàn)每月每戶的用水量在5m3-350?之間，有8戶居民對用水價格調價漲幅抱無所謂,

不會考慮用水方式的改變，根據(jù)小明控制的圖表和發(fā)現(xiàn)的信息，完成下列問題:

(1)n=210,小明調查了96戶居民,并補全圖1；

(2)每月每戶用水量的中位數(shù)和眾數(shù)分別落在什么范圍？

(3)如果小明所在小區(qū)有1800戶居民，請你估計"視調價漲幅采取相應的用水方式改變”

的居民戶數(shù)有多少.

考點：條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體.

分析：(1)首先根據(jù)圓周角等于360。，求出的值是多少即可；然后用"視水價格調價漲幅抱

無所謂態(tài)度"的居民的戶數(shù)除以它占被調查的居民戶數(shù)的分率，求出小明調查了多少

戶居民；最后求出每月每戶的用水量在15m3-20m3之間的居民的戶數(shù)，補全圖1即

可.

（2）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的含義分別進行解答即可.

（3）根據(jù)分數(shù)乘法的意義，用小明所在小區(qū)居民的戶數(shù)乘以"視調價漲幅采取相應的

用水方式改變"的居民戶數(shù)占被調查的居民戶數(shù)的分率，求出"視調價漲幅采取相應的

用水方式改變"的居民戶數(shù)有多少即可.

解答:解：（1）n=360-30-120=210,

360

=96（戶）

二小明調查了96戶居民.

每月每戶的用水量在15m3-20n?之間的居民的戶數(shù)是:

96-（15+22+18+16+5）

更1

（2）96+2=48（戶），15+12=37（戶），15+22+20=57（戶），

???每月每戶的用水量在5m3-15m3之間的有37戶，每月每戶的用水量在5m3-20m3

之間的有57戶，

把每月每戶用水量這組數(shù)據(jù)從小到大排列后，第48個、第49個數(shù)在15-20之間,

第48個、第49個數(shù)的平均數(shù)也在15-20之間，

.??每月每戶用水量的中位數(shù)落在15-20之間；

??,在這組數(shù)據(jù)中，10-15之間的數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，出現(xiàn)了22次，

每月每戶用水量的眾數(shù)落在10-15之間.

（3）1800x^=1050（戶），

360

???"視調價漲幅采取相應的用水方式改變"的居民戶數(shù)有1050戶.

故答案為：210、96.

點評：（1）此題主要考查了對條形統(tǒng)計圖的認識和了解，要善于從條形統(tǒng)計圖中獲取信息,

并能利用獲取的信息解決實際問題.

（2）此題還考查了用樣本估計總體，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確眾數(shù)、

中位數(shù)、平均數(shù)、標準差與方差等的含義以及求法.

20.（8分）（2015?德州）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線OB,AC相交

于點D,且BEIIAC,AEIIOB,

（1）求證：四邊形AEBD是菱形；

（2）如果OA=3,OC=2,求出經(jīng)過點E的反比例函數(shù)解析式.

考點：反比例函數(shù)綜合題.

分析：（1）先證明四邊形AEBD是平行四邊形，再由矩形的性質得出DA=DB,即可證出

四邊形AEBD是菱形；

（2）連接DE,交AB于F,由菱形的性質得出AB與DE互相垂直平分，求出EF、

AF,得出點E的坐標；設經(jīng)過點E的反比例函數(shù)解析式為：y=K把點E坐標代入

x

求出k的值即可.

解答：（1）證明：,「BEIIAC,AEIIOB,

四邊形AEBD是平行四邊形，

???四邊形OABC是矩形，

「DAJAC,DB=1OB,AC=OB,AB=OC=2,

22

DA=DB,

四邊形AEBD是菱形；

（2）解：連接DE,交AB于F,如圖所示：

???四邊形AEBD是菱形，

「?AB與DE互相垂直平分，

OA=3,OC=2,

二EF=DF」OA=2AF」AB=1,3+12

22222

二點E坐標為：（21）,

2

設經(jīng)過點E的反比例函數(shù)解析式為：y=K

X

把點E（21）代入得：k=2

22

經(jīng)過點E的反比例函數(shù)解析式為：y=-L

2x

點評：本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的性質、

坐標與圖形特征以及反比例函數(shù)解析式的求法；本題綜合性強，有一定難度，特別是

(2)中，需要作輔助線求出點E的坐標才能得出結果.

21.(10分)(2015?德州)如圖，。。的半徑為1,A,P,B,C是。O上的四個點,

ZAPC=ZCPB=60°.

(1)判斷△ABC的形狀：等邊三角形；

(2)試探究線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；

(3)當點P位于源的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積.

考點：圓周角定理；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；垂徑定理.

分析：(1)利用圓周角定理可得NBAC=NCPB,ZABC=ZAPC,而NAPC=NCPB=60°,

所以NBAC=NABC=60。，從而可判斷△ABC的形狀；

(2)在PC上截取PD=AP,則△APD是等邊三角形，然后證明AAPB叁△ADC,證

明BP=CD,即可證得；

(3)過點P作PE_LAB,垂足為E,過點C作CFLAB,垂足為F,把四邊形的面積

轉化為兩個三角形的面積進行計算，當點P為篇的中點時，PE+CF=PC從而得出最

大面積.

解答：證明：(1)△ABC是等邊三角形.

證明如下：在中

ZBAC與NCPB是前所對的圓周角，ZABC與NAPC是金所對的圓周角,

ZBAC=ZCPB,ZABC=ZAPC,

又「ZAPC=ZCPB=60°,

??.ZABC=ZBAC=60°,

AABC為等邊三角形；

(2)在PC上截取PD=AP,如圖1,

又NAPC=60°,

二△APD是等邊三角形，

AD=AP=PD,ZADP=60。，即NADC=120°.

又ZAPB=NAPC+ZBPC=120。，

/.ZADC=ZAPB,

在4APB和4ADC中，

，ZAPD=ZADC

'NABP=/ACP，

AP=AD

AAPB合AADC(AAS),

BP=CD,

又PD=AP,

CP=BP+AP：

(3)當點P為第的中點時，四邊形APBC的面積最大.

理由如下，如圖2,過點P作PE_LAB,垂足為E.

過點C作CFLAB,垂足為F.

SAAPE=—AB?PE,SAABC=—AB?CF,

22

二S四邊形APBC=』AB?(PE+CF),

2

當點P為標的中點時，PE+CF=PC,PC為。0的直徑，

此時四邊形APBC的面積最大.

又0O的半徑為1,

其內接正三角形的邊長AB=V3>

spqii?APBC=-X2X^/3=^/3，

A

-7C

B

圖1

點評：本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的面積公式以及三角形的全等的

判定與性質，正確作出輔助線，證明△APB#△ADC是關鍵.

22.（10分）（2015?德州）某商店以40元/千克的單價新進一批茶葉，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，在一段

時間內，銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關系如圖所示.

（1）根據(jù)圖象求y與x的函數(shù)關系式；

（2）商店想在銷售成本不超過3000元的情況下，使銷售利潤達到2400元，銷售單價應定

為多少？

考點：一次函數(shù)的應用；一元二次方程的應用.

分析：（1）根據(jù)圖象可設y=kx+b,將（40,160）,（120,0）代入，得到關于k、b的二元

一次方程組，解方程組即可；

（2）根據(jù)每千克的利潤x銷售量=2400元列出方程，解方程求出銷售單價，從而計算

銷售量，進而求出銷售成本，與3000元比較即可得出結論.

解答：解：（1）設y與x的函數(shù)關系式為丫二隊+匕

將（40,160）,（120,0）代入，

得卜。k+b=160,解得尸2,

ll20k+b=0lb=240

所以y與x的函數(shù)關系式為y=-2x+240（40<x<120）；

（2）由題意得（x-40）（-2x+240）=2400,

整理得，x2-160x+6000=0,

解得xi=60,X2=100.

當x=60時，銷售單價為60元，銷售量為120千克，則成本價為40x120=4800（元）,

超過了3000元，不合題意，舍去；

當x=100時，銷售單價為100元，銷售量為40千克，則成本價為40x40=1600（元），

低于3000元，符合題意.

所以銷售單價為100元.

答：銷售單價應定為100元.

點評：本題考查了一次函數(shù)的應用以及一元二次方程的應用，利用待定系數(shù)法求出y與x的

函數(shù)關系式是解題的關鍵.

23.（10分）（2015?德州）（1）問題

如圖1,在四邊形ABCD中，點P為AB上一點,NDPC=ZA=ZB=90。,求證:AD?BC=AP?BP.

（2）探究

如圖2,在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當NDPC=NA=NB=e時，上述結論是否

依然成立？說明理由.

(3)應用

請利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗解決問題：

如圖3,在AABD中，AB=6,AD=BD=5,點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出了,

沿邊AB向點B運動，且滿足NDPC=NA,設點P的運動時間為t(秒)，當以D為圓心，

以DC為半徑的圓與AB相切時，求t的值.

考點：相似形綜合題；切線的性質.

專題：探究型.

分析：(1)如圖1,由NDPC=ZA=NB=90°可得NADP=ZBPC,即可證到^ADP-△BPC,

然后運用相似三角形的性質即可解決問題；

(2)如圖2,由NDPC=NA=NB=0可得NADP=ZBPC,即可證到^ADP-△BPC,

然后運用相似三角形的性質即可解決問題；

(3)如圖3,過點D作DE_LAB于點E,根據(jù)等腰三角形的性質可得AE=BE=3,根

據(jù)勾股定理可得DE=4,由題可得DC=DE=4,則有BC=5-4=1.易證

ZDPC=NA=NB.根據(jù)AD?BC=AP?BP,就可求出t的值.

解答：解：(1)如圖1,

圖1

ZDPC=ZA=NB=90°,

ZADP+ZAPD=90°,

ZBPC+ZAPD=90°,

ZADP=ZBPC,

AADP-△BPC,

.AD_AP

"BP-BC，

AD?BC=AP?BP；

(2)結論AD?BC=AP?BP仍然成立.

理由：如圖2,

D

圖2

?/ZBPD=ZDPC+ZBPC,ZBPD=ZA+ZADP,