2022-2023學年浙江省溫州市浙南三校聯盟高二（下）期末數學試卷（含解析）

2022-2023學年浙江省溫州市浙南三校聯盟高二(下)期末數學

試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.設集合4={x||x-2|>1},B={x|log2x<1},則(CRA)CB=()

A.(0,1)B.(0,2)U(3,+8)C.[1,2)D.(1,2)U(3,+8)

2.復數2=；-+尸03的共聊復數是()

l-l

A.ITB.|+|iC.\-\iD.-1+1i

3.己知|引=2出I，若五與方的夾角為60。，則2坂一五在日上的投影向量為()

A.3—3aB.-5五C.—aD.3a

4.圍棋是中國傳統(tǒng)棋種，蘊含著中華文化豐富內涵.圍棋棋盤橫豎各有19條線，共有19X

19=361個落子點,每個落子點都有落白子、落黑子和空白三種可能，因此圍棋空間復雜度的

上限Ma3361.科學家們研究發(fā)現，可觀測宇宙中普通物質的原子總數NX1080則下列各數中

與今最接近的是(參考數據：lg3?0.48)()

A.1093B.1083C.1073D.1053

5.已知/(x)=ln(x2-ax+2a—2)(a>0),若f(x)在[1,2)上單調,則a的范圍是()

A.(1,2]B.(0,2]C.(0,2]n[4,+8)D.(1,2]u[4,+oo)

6.數列{a”}是等比數列,首項為由,公比為q,則是“數列{&J遞增”的

()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知圓C：/+y2=4,點P為直線x+y-4=0上一動點，過點P向圓C引兩條切線P4

PB,A,B為切點，則線段4B長度的最小值為()

A.2y/~2B.3>T1,C.4D.4V-2

8.已知函數/(x)=-xsina+asina+cosa[-n<a<-x='是f(x)的零點，則當一兀<

x<兀時，不等式f(x)-cosx<0的解集為()

A.[aB.歲初C.[a,D.[―兀,今

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.有一組樣本數據%,x2,%n,其平均數和方差分別為％,s2,由這組數據得到一組新樣

2

本數據月,y2f...?%，其中%=4勺+3a=1,2,…九)，其平均數和方差分別為y,s',則()

A.y=4%B.4s2=s'2C.x=^y—D.s2=^s，2

J4y416

10.已知拋物線y2=4X的焦點為F,過原點。的動直線l交拋物線于另一點P,交拋物線的準

線于點Q，下列說法正確的是()

A.若。為線段PQ中點，則/的斜率為±2B.若|PF|=4,則|OP|=，H

C.存在直線，，使得PFLQFD.APFQ面積的最小值為2

11.已知連續(xù)函數f(x)滿足：①Vx,y€R,則有+y)=/(x)+f(y)-1,②當x>0時，

/(x)>1,③f(l)=2,則以下說法中正確的是()

A.f(x)的圖象關于(0,1)對稱

B.f'(x)<0

C.f(x)在［-3,3］上的最小值是-2

D.不等式/(2d)一/(x)<f(2x)+1的解集為{x|-；<x<2}

12.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉動，并且始終

保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(如圖甲)，利用這一原理，科技人員發(fā)明

了轉子發(fā)動機.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個

球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體4BCD的棱長為2,則下列說法正確的是

()

A.能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長的最小值為2

B.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為2-?

C.勒洛四面體的截面面積的最大值為2兀-2/耳

D.勒洛四面體表面相交弧總長小于2，飛兀

三、填空題(本大題共4小題，共20.()分)

13.若一個三棱臺的上、下底面的面積分別是1和4,體積為亨，則該三棱臺的高為.

14.某單位安排4、B、C、D4人去甲、乙、丙三地出差，每人僅出差一個地方，每個地方都

要安排人出差，若4不安排去甲地，則不同的安排方法有種.

15.已知點P為雙曲線捻-，=1(。>0/>0)右支上的一點，點&,七分別為雙曲線的左、

右焦點，若時為小PF1F?的內心，且SAPMR=SAPMFZ+阻則雙曲線的離心率為

16.如圖，已知正方體/BCD-4當6。1頂點處有一質點S,

點S每次會隨機地沿一條棱向相鄰的某個頂點移動，且向每個

頂點移動的概率相同，從一個頂點沿一條棱移動到相鄰頂點稱

為移動一次.若質點S的初始位置位于點A處，記點S移動n次后

仍在底面4BC0上的概率為4,則￡之1丹=.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在4ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知c=2,cos2C—cos2B=2sinA(sinB—

sinA).

(1)求△ABC周長的最大值；

(2)若sin(24-.)=cosC,求AABC的面積.

18.(本小題12.0分)

如圖，在三棱柱ABC-aB1C1中，點E,尸分別在棱BBi，CC1上(均異于端點)，AB=AC,

乙ABE="CF,BBi1平面4EF.

(1)求證：四邊形BEFC是矩形；

(2)若4E=EF=2,BE=?，求平面ABC與平面AEF所成銳二面角的余弦值.

A

E

C\

11

風

19.(本小題12.0分)

aa

已知數列｛an｝滿足1H+i-n\=2n4-1.

(1)若冊是公差為d(d>0)的等差數列｛%｝的前力項和，求出的值；

(2)若為=1,a2=-2,且數列但2“_1｝單調遞增，數列也2?｝單調遞減，令%=急7,求證：

20.(本小題12.0分)

已知函數/'(x)=/+ae*—2,a&R.

(1)若a=-l,判斷函數的單調性；

(2)若/(x)有兩極值點X],X2-S.2%!<x2,求a的范圍.

21.(本小題12.0分)

某國有芯片制造企業(yè)使用新技術對某款芯片進行試生產.在試產初期，該款芯片的/批次生產

有四道工序，前三道工序的生產互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人

工抽檢.已知該款芯片在生產中，前三道工序的次品率分別為Pi=親多=看孑3=表.

(1)①求批次/芯片的次品率P/；

②第四道工序中智能自動檢測為次品的芯片會被自動淘汰，合格的芯片進入流水線并由工人

進行抽查檢驗.已知批次/的芯片智能自動檢測顯示合格率為92%,求工人在流水線進行人工

抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品的概率.

(2)已知某批次芯片的次品率為p(0<p<1),設100個芯片中恰有1個不合格品的概率為s(p),

記中(p)的極大值點為Po,改進生產工藝后批次)的芯片的次品率與=P。.某手機生產廠商獲得/

批次與/批次的芯片，并在某款新型手機上使用.現對使用這款手機的用戶回訪，對開機速度

進行滿意度調查.據統(tǒng)計，回訪的100名用戶中，安裝/批次有40部，其中對開機速度滿意的

有28人；安裝/批次有60部，其中對開機速度滿意的有57人.求Po,并判斷是否有99.9%的把

握認為芯片質量與用戶對開機速度滿意度有關？

2

附.K2=Mad-be)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>fc)0.0500.0100.0050.001

k3.8416.6357.87910.828

22.(本小題12.0分)

已知圓。：+y2=1與X軸正半軸交于點4,與直線y=在第一象限的交點為B,點C為

圓。上任一點，且滿足元=x3?+yOB，以X，y為坐標的動點D(x,y)的軌跡記為曲線廠

(1)求曲線「的方程；

(2)若兩條直線匕：丫=入和"：y=—上分別交曲線「于點E、F和M、N,求四邊形EMFN面

積的最大值，并求此時的k的值；

(3)研究曲線廠的對稱性并證明r為橢圓，并求橢圓r的焦點坐標.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：集合力=(x||x-2|>1]=(x\x<1或x>3],

B={x|log2x<1}={x|0<x<2],

???CRA={x|l<x<3},

則(CR/DCB={x|lWx<2}.

故選：C.

求出集合4,B,QRA,由此能求出(CR4)CB.

本題考查集合的運算，考查補集、交集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基

礎題.

2.【答案】D

【解析】解：z=^-+i103=^-+i-(i2)51=T--i=(1-0(1+0==

-1,1.

??-Z=-2+2l-

故選：D.

先求出復數z,再利用共規(guī)復數的概念求解.

本題主要考查了復數的運算，考查了共輸復數的概念，屬于基礎題.

3.【答案】C

【解析】解:由間=2|石|，五與石的夾角為60。，

可得方,b=b=^\a\2>

則2石一方在五上的投影向量為：

(2b-a)aa_炯?二回2一_1一

網,而=\a\2'a=~2a'

故選：C.

根據五與方的模和夾角關系及投影向量的概念，直接計算即可.

本題考查平面向量的數量積運算及投影向量的概念，屬基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：???M，3361,N=1080,

.M_3361

"N-io80)

lg^=lg3361-IglO60=361仞3-80010=361s3—80《93,

.$1093.

故選：A.

由題意可得?=春，兩邊取對數得lg^=匈3361一仞1()80,再結合對數的運算性質求解.

本題主要考查了對數的運算性質，屬于基礎題.

5.【答案】D

【解析】解：已知/(x)=ln(x2-ax+2a-2)(a>0),若/(%)在口,2)上單調,

則y=x2—ax+2a—2在［1,2)上單調，且/—ax+2a-2>0在［1,2)上恒成立，

份41.需22

P或,

112—a+2a-2>0(2?-2a+2a-2>0

解得1<aS2或a>4,

所以a的范圍是(1,2］U［4,+oo)

故選：D.

由復合函數的單調性結合已知可得y=x2-ax+2a-2在［1,2)上單調，且好一ax+2a—2>0

在［1,2)上恒成立，由二次函數的圖像與性質可得關于a的不等式組，從而可得a的范圍.

本題這樣考查復合函數的單調性與二次函數的圖像與性質，考查運算求解能力，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：由%(q-1)>。得%>0且q>1,或由<0且q<1且q力0,

當%>。且q>1時，數列｛即｝遞增，

當的<0且q<l且qHO時，數列不一定是遞增數列，當q<0時，數列為擺動數列，不是遞增數

列，即充分性不成立，

若數列｛%｝遞增，則滿足即的(q-巾>0,即%(4-1)>0成立，即必要性成立，

即"為(q-1)>0”是“數列｛an｝遞增”的必要不充分條件，

故選：B.

根據等比數列的通項公式以及性質，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷，涉及到函數性質等基礎知識，考查運算求解能

力等數學核心素養(yǎng)，是基礎題.

7.【答案】A

【解析】解：圓C：x2+y2=4的圓心(0,0),r=2,點C到直線x+y=4的距離d=言=

則|P4|=J|PC『—r2,由切線長定理知，直線PC垂直平分線段4B,于是得：

MBI=2x收兇='用『-4=I4,PC的距離取得最小值時，AB的距離取得最小值,

11\PC\\PC\%|PC/

即：當且僅當點P與圓心C平行的連線取得最小值時，即d=\PC\=2c時，

弦4B長度的最小值為2-1，

故選：A.

求解圓的圓心與半徑，求解點C到直線x+y=4的距離，推出伊川=,附|2-",然后求解伊8|,

推出弦4B長度的最小值即可.

本題考查直線與圓的位置關系的應用，弦長最小值的求法，是中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：由函數f(x)=-xsina+asina+cosa^-n<a<一鄉(xiāng)得：

/(a)=-asina+asina+cosa=cosa,

???(a,cosa)是直線y=/(%)與曲線g(%)=cosx的一個公共點，

由9(%)=cosx,得g'(x)=—sinx,

?,?直線y=/(%)是曲線g(x)=cos%在％=a處取得的切線方程，

??"(])=0,所以(],0)是直線y=/(%)與曲線g。)=cos%的一個交點，

G，0)是曲線g(%)=cosx的一個對稱中心，

???直線y=/(%)與曲線g(x)=cos%的一個切點的橫坐標大于ns

???-n<a<-p

/.0<-sina<1,即直線y=/(%)是單調遞增的，

???當一兀<x<兀時、不等式/(%)-cosx<0的解集為[-兀(].

故選：D.

由題意,f(a)=cosa,可得(a,cosa)是直線y=f(x)與曲線g(x)=cosx的一個公共點，結合f(，)=

0,-nr<a<-p直線y=/(x)是單調遞增的，而6,0)是曲線g(x)=cosx的一個對稱中心，所

以當—兀<x<兀時，不等式f(x)—cosx<0的解集可求.

本題考查了導數的幾何意義，三角函數的圖象與性質，屬于中檔題.

9.【答案】CD

【解析】解：因為％=4/+3。=1,2,…n),

所以數據比，y2,…%的平均數,=(4打+3)+(4無2；3)+?“+(4孫+3)=4京+3,故選項A錯誤;

此時x=Jy-弓，故選項c正確；

4J4

而方差S'?=42s2=16s2,故選項8錯誤，

此時S2=^S，2,故選項O正確.

故選：CD.

由題意，根據平均數和方差的公式進行求解即可.

本題考查平均數和方差，屬于基礎題.

10.【答案】ABD

【解析】解：己知拋物線y2=4x的準線為x=-1,焦點

F(l,0),

若。為PQ中點，所以孫=1,

此時為>=±2,

所以直線/的斜率k=±2,故選項A正確;

若|PF|=4,

此時孫=4—1=3>

所以|0P|=y/xj,+yp=yjXp+4xP=V21>故選項B正確;

不妨設P(a2,2a),貝也(一1,一9,

所以京=(a2-1,2a),m=(2,$,

此時而=2。2-2+4=2。2+2>0,

所以FP與FQ不垂直，故選項C錯誤；

1171

因為SAPFQ=\\OF\?|yP-yQ|=-x1x|2a+^|=|a|+7^>2,

當且僅當|研=畝，即。=±1時，等號成立，

所以△PFQ面積的最小值為2,故選項。正確.

故選：ABD.

由題意，求出P點的橫，縱坐標，即可得到直線/的斜率，進而可判斷選項4結合拋物線的定義

求出P點的橫坐標，再求出|OP|,進而可判斷選項B；設P(a2,2a),得到Q(-1,-|),利用平面向

量的坐標運算看麗.評=0是否有解，即可判斷選項C；根據三角形面積公式和基本不等式即可

判斷選項D.

本題考查了拋物線的定義和性質，屬于中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：因為連續(xù)函數/(4)滿足:①vx,yeR,則有/'(x+y)=/(*)+

令x=y=o可得，/(o)=2/(0)-1,即/(0)=1,

令丫=-X可得，/(0)=/(%)+/(-x)-1=1,即/(x)+f(-x)=2,

所以“X)的圖象關于(0,1)對稱，A正確；

令*1<X2>則*2-#1>0，

因為當x>0時，/(%)>1,

所以f(小一與)=fg)+/(-%!)-1=/(%2)+2-/(%1)-1=/(X2)-/■(%1)+1>1,

所以〃右)>/(巧)，即/(X)在R上單調遞增，

故/'(x)20,8錯誤；

因為f(l)=2,

所以f(2)=2/⑴-1=3,"3)=/(1)+/(2)-1=4,

由/(x)在［一3,3］上單調遞增可知，/(%)在［-3,3］上的最小值為/(-3)=2-/(3)=2-4=-2,C

正確：

由f(2爐)-/(x)<f(2x)+1可得f(27)</(x)+(2x)-1+2=/(3x)4-/(1)=/(3x+1)+1,

故/(2/)</(3x+1)+2-1=/(3x+1)+/(I)-1=/(3x+2),

故2x2<3%+2,

解得一3Vx<2,。正確.

故選：ACD.

由已知條件結合函數的對稱性及單調性定義，導數與單調性關系檢驗各選項即可判斷.

本題綜合考查了函數對稱性，單調性的判斷，還考查了單調性在不等式求解中的應用，屬于中檔

題.

12.【答案】ABC

【解析】解：對于選項4,由題意可知，勒洛四面體表面上任意兩點間的距離最大值為2,

所以，能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長的最小值為2,故A正確；

對于選項8,先求解出正四面體4BC0的外接球，如圖所示：

取CD的中點G,連接BG,AG,過點A作/IF_LBG于點F,則F為等邊△4BC的中心，

外接球球心為0,連接0B,則。40B為外接球半徑，設。4=0B=R,

A

2空

一

一

一

由正四面體的棱長為2,則CG=DG=1,BG=AG=G，FG=；BG=?，3-BG一

AF=VAG2-FG2=I3-！=率，OF=AF-R=呼一R，

由勾股定理得：OF2+BF2=OB2,即（亨—R）2+（亨）2=R2,

解得：R=?,

此時我們再次完整的抽取部分勒洛四面體，如圖所示：

圖中取正四面體48CD中心為。，連接B。交平面ACD于點E,交檢于點F,其中筋與△ABD共面,

其中8。即為正四面體外接球半徑R=?,

設勒洛四面體內切球半徑為r,則r=0F=BF-B0=2-?，故B正確;

對于選項C,勒洛四面體面積最大的截面即經過四面體力BCD表面的截面，

假設圖2是投影光線垂直于面4BD時，勒洛四面體在與平面2BD平行的一個投影平面a上的正投影,

當光線與平面4B0的夾角小于90。時，易知截面投影均為圖2所示圖象在平面a上的投影，其面積

必然減小，

如圖2,則勒洛四面體的截面面積的最大值為三個半徑為2,圓心角為60。的扇形的面積減去兩個邊

長為2的正三角形的面積，

即是《兀x22—2x*黃x22=2兀一2C，故C正確；

24

對于選項。：勒洛四面體四個曲面每條交線為半徑為2,對應圓心角為第勺弧長，

所以每條交線的長度為：y，共有6條相等的交線，

所以交線長的和為：與x6=4兀＞2，3乃，故。錯誤.

故選：ABC.

求出勒洛四面體表面上任意兩點間的距離最大值，可求出能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長的

最小值即可判斷4求出正四面體ABCC的外接球半徑，進而得到勒洛四面體的內切球半徑，即可

判斷B；分析可知勒洛四面體面積最大的截面即經過四面體4BCD表面的截面，計算出該截面面積，

即可判斷C：勒洛四面體四個曲面所有交線相等，且每條交線為扇形，可以判斷D.

本題考查了勒洛四面體的結構特征及定義，屬于中檔題.

13.【答案】＞/~~5

【解析】解：?.?一個三棱臺的上、下底面的面積分別是1和4,體積為亨，設所求三棱臺的高為人

??/x(1+4xV1x4)xh=^

解得八=V-5.

故答案為：＜5.

根據三棱臺的體積計算即可求解.

本題考查三棱臺的體積問題，方程思想，屬基礎題.

14.【答案】24

【解析】解：①若有兩人到甲地出差，

則不同的安排方法有戲虺=6種，

②若只有1人到甲地出差，

則不同的安排方法有詢以福=18種，

綜合①②可得不同的安排方法有6+18=24種.

故答案為：24.

由排列、組合及簡單計數問題，結合分類加法計數原理求解即可.

本題考查了排列、組合及簡單計數問題，重點考查了分類加法計數原理，屬基礎題.

15.【答案】2

【解析】解：如圖，設內切圓的半徑為r,又SAPMF】=SAPMFZ+

2SAMAF?，

則根據三角形內切圓的性質可得：

||PF1|-r=||PF2|-r+|x||F1F2|.r,

|PF1|=|PF2|+j|F1F2|)

■■■\PF1\-\PF2\=^\F1F2\,

又P是雙曲線右支上一點，

2a=^\F1F2\=c,

???e=￡=2.

a

故答案為：2.

根據三角形內切圓的性質，雙曲線的簡單幾何性質即可求解.

本題考查三角形內切圓的性質，雙曲線的簡單幾何性質，屬中檔題.

16.【答案W

【解析】解：在正方體中，每一個頂點有3個相鄰的點，其中兩個在同一底面，

當點S在下底面時，隨機移動一次仍在下底面的概率為|,

當點S在上底面時，隨機移動一次在下底面的概率為g,

所以匕=目，P2=|x|+|xi=1,.......依此類推，

可得匕+1=|%+*1-2)=4匕+9,即以+1-?家心一力

所以{匕-勺是以P1-22為首項，公比為3的等比數列，

則2一六"?尸=1(獷，

所以&=}(y+看

故答案為:i-(l)n+l.

根據全概率公式對S仍在底面ZBCD上的概率進行計算，結合數列中由遞推公式求通項公式的方法

求得正確答案.

本小題主要考查全概率公式的運用，屬中檔題.

17.【答案】解:(1)因為cos2c—cos2B=2sinA(sinB-sinA),

22

所以(1—2sinC)—(1—2sm2B)=2sinAsinB—2sinAf

整理得，sin24+sin2F—sin2c=sinAsinB,

222

由正弦定理知，a+6-c=ab9

因為c=2,

2

所以4=a2+h2-ah=(a4-b)2—3ab>(a+6)2—3?=：(Q+b)2，

即a+bW4,當且僅當a=b=2時，等號成立，

所以a+b+cW4+2=6,

故△48C周長的最大值為6.

(2)由(1)知,a2+b2—c2=ab,

由余弦定理知，COSC=。2+廬-2=也=L

2ab2ab2

因為。€(0,兀)，所以C=*

若sin(24—2)=cosC=則2A—，=，+2/CTT或等+2kn,kEZ,

6Z2o66

解得/=3+k/r或§+kn,kEZ,

oZ

因為46(0年)，所以4屋或*

當A屋時，因為C=*所以B=*

由正弦定理知,

sinAsinC9

2x42x/-3

所以Q=g3，

2

所以△ABC的面積S=gac=gx"33x2=4

當4=割寸，因為C=*所以B屋,

由正弦定理知，名二三，

sinBsine

2x

所以b,=d12<3

所以△ABC的面積S=1/)c=|x^x2=^p

綜上，△ABC的面積為日1

22

【解析】(1)結合二倍角公式與正弦定理化簡已知等式，可得a?+b-c=ab,再由基本不等式,

求得a+b的最大值，即可得解;

(2)結合(1)中所得與余弦定理，求出C=會再利用正弦函數的圖象與性質，可得4建或看然后

分類討論，求△ABC的面積即可.

本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式，基本不等式是解題的關鍵，考

查分類討論思想，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】(1)證明：因為三棱柱48。一力送16,所以

BB'/CCi，

因為BBi_L平面AEF,所以CQ_L平面AEF,

又因為AE,AFu平面4EF,所以B&1AE,CCX1AF,

所以4AE8=Z.AFC=90°,因為NABE=^ACF,且AB=AC,

所以AAEB三AAFC,所以4E=4F,BE=CF,

因為BE〃CF,所以四邊形BEFC為平行四邊形，

因為BBi1平面ZEF且EFu平面4EF,所以1EF,

故四邊形BEFC是矩形；

(2)解:取E尸的中點G,連結4G,由(1)可知,AG1EF,

因為BBi1平面4E尸且BBiu平面BBiGC,所以平面4EF，平面BBiQC,

因為平面AEFn平面BBiGC=EF,且4Gu平面AEF,所以4G1平面B&GC,

取BC的中點H,以G為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

在A4E尸中，因為力E=4F且HE=EF=2,

所以AAEF為等邊三角形，所以AG=「，

則4(0,<3,0),8(—1,0,?),C(l,0,?)，

所以布=而=(1,-，3,爭，

設平面4BC的一個法向量為五=(x,y,z),

則有E&=0,即「一G胃z=。，

n-AC—0_y[~^y+—z=0

令y=l,則冗=0,z=3,所以記=(0,1,3),

因為平面4EF的一個法向量為沅=(0,0,1)，

r-r-Ki、n-m33V10

所以cos<n,m>=-=

故平面ABC與平面AEF所成銳二面角的余弦值為喑.

【解析】本題考查了立體幾何的綜合應用，涉及了線面垂直的性質定理的應用，在求解空間角的

時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉化為空間向量問題進行研究，屬于中

檔題.

(1)利用棱柱的幾何性質以及線面垂直的性質可得CCi_L平面AEF,從而得到BBi14E,CC11AF,

即可證明AAEB三△4FC,從而得到BE=CF,

再利用線面垂直的性質定理可得BBi±EF,即可證明結論；

(2)取EF的中點G,連結4G,取BC的中點H,以G為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出點的坐

標和所需向量的坐標，利用待定系數法求出平面的法向量，然后利用向量的夾角公式進行求解，

即可得到答案.

19.【答案】解：(1)由題意可知瓦+i|=|an+1-an|=2n+l,所以也I=3,\b3\=5,\b4\=7,

因為｛bn｝是公差為d(d>0)的等差數列,所以82<b3<b4t

由電1=3知岳=3或-3，若⑦=3,則/=5,九=7,

若歷=-3,則Z?3=5,于是/=13，與|九|=7矛盾，所以壇=3,Z?3=5,d=b3—b2=2,

所以的=瓦=1；

(2)因為數列｛Q2n-1｝單調遞增，所以的v。3Va5V…，

數列｛。2/單調遞減，所以。2>。4>。6>

又因為的>a2,所以…<a6<a4<a2<<a3<a5<…，

-

因為|an+i—an\=2n+1,所以做幾+1—a2n=4九+1,a2n—Qzn-i=[2(2n—1)4-1]=-4n4-

1,

所以。2九+1—a2n-i=2,又的=1,所以。2九-1=1+2(n-1)=2n—1,

所以。2九一(2九—1)=-4n+1,所以a2n=-2n,所以冊=(―l)n+1-n,

所以“=4=2厚*=應二(」_+_!_),

n4n2-l4n2-14k2n-l2n+lJ

所以當n為偶數時，=kl+!-|-j+1+^—熹-由

111

，(1一罰)<甲

l

盛113

-<

當n為奇數時，SJLiCj=j(l+1-+|+1—?++--+--<-

438

<oooo/n+

綜上知，端.

【解析】(1)由|匕+1|=|an+i-an|,可求|如,\b3\,\b4\,結合｛匕｝是公差為d(d>0)的等差數

列可求％=3,b3=5,進而求瓦,即即；

(2)數歹1」｛。271-1｝單調遞增，數列｛@2桂｝單調遞減及%>。2,可得…<06V04<。2<V@3<a5V

…，由此可推出Q2n+1一。2小。271一。2—1，進而可得。2n+2一。2小。271+1-。2讓1=2,最后求出冊

和小用裂項求和法和并證明不等式.

本題主要考查數列遞推公式、裂項求和法求數列前九項和及數列單調性的應用，屬于較難題.

20.【答案】解：⑴若a=-1,/(x)=%2-ex-2,

xx

則/'(%)=2%—e9令/"(%)=2-e=0f解得工=Zn2,

當》〈伍2,/"(%)>0,尸(%)單調遞增,

當%>"2,/〃(%)V0,/'(》)單調遞減,

又((仇2)=2ln2-2<0,所以/'(x)<0,

所以/(x)在R上單調遞減；

(2)當a=0,顯然函數/'(X)沒有兩個極值點：

當a>0,由于/''(X)=2x+ae*,函數y=2%與丫=-ae*只有一個交點，

不妨設此交點橫坐標為。，當％<0,f(x)<0,/(x)單調遞減，

當。>0,f(x)>0,/(x)單調遞增，即沒有兩個極值點；

當a<0,令=一=2>解得/="2,

令2bl2+2a=0,解得a=—歷2,

根據指數函數的性質可知當一仇2<a<0,f(x)有兩極值點與，&且2xi<x2,

即a的取值范圍為[Tn2,0).

【解析】(1)根據函數的二階導數得出一階導數的增減性，進而得出一階導數的正負性，然后即可

得出函數的單調性；

(2)當a=0,顯然函數f(x)沒有兩個極值點；當a>0,顯然函數f(x)是先減后增，沒有兩個極值

點；

當a<0,求出上=2刀1時a的取值劭，則<a<0.

本題主要考查函數的單調性和利用函數的單調性研究函數的極值，屬中檔題.

21.【答案】解：(1)某國有芯片制造企業(yè)使用新技術對某款芯片進行試生產，在試產初期，

該款芯片的/批次生產有四道工序，前三道工序的生產互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智

能自動檢測與人工抽檢，

已知該款芯片在生產中，前三道工序的次品率分別為P[==2P3=卷

135/34s33

①/批次芯片的次品率為：

3433323

馬=1_[(1_匕)(1_。2)(1_。3)]=1_云>瑟、我=而；

②設批次/的芯片智能自動檢測合格為事件4,人工抽檢合格為事件B,

由己知得P(A)=蓋,PG4B)=1—P,=1-*=||，

則工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品為事件B|A,

n/x、PG4')321008x20160

117P(A)35927x23161*

(2)100個芯片中恰有1個不合格的概率0(p)=盤0。XpX(1-p)99,

因此w(p)=100[(1-p)99-99p(l-p)98]=100(1-p)98(l-loop),

令(p(p)=0,得p=0.01,

當p6(0,0.01)時，(p(p)>0；當pE(0.01,1)時，9(p)V0,

所以3(p)的最大值點為Po=