2022-2023學(xué)年廣東省汕頭市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年廣東省汕頭市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合4={%€可比2-4刀一5式0},8={%€/?|1082023。一2）±0},則4。8=（）

A.（2,3]B.[2,3]C.{3}D.0

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足z（3+i）=3+?2。23,則z的共朝復(fù)數(shù)W的虛部為（）

A.-|iB.|iC.-|D.|

3.已知向量?jī)?yōu)前夾角為等且|砧=2,西|=4,則21一方在五上的投影向量為（）

A.2aB.4aC.3aD.8a

4.一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓面所在的扇環(huán)，兩個(gè)半圓半徑分別為2和4,則該圓臺(tái)的體

積是（）

A.7yT2nB阮Q7427rD.學(xué)

24.24■12

5.已知數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式為即=ns譏竽，則%+。2+&3+“,+（12023=（）

A.￡3D.g

~2~B?浮

6.數(shù)學(xué)對(duì)于一個(gè)國(guó)家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國(guó)家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略

需求.現(xiàn)某大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開(kāi)設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”，“世界數(shù)學(xué)通

史”，“幾何原本”，“什么是數(shù)學(xué)”四門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選3門,

大一到大三三學(xué)年必須將四門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有（）

A.60種B.78種C.84種D.144種

7.已知橢圓方程9+[=1,F是其左焦點(diǎn)，點(diǎn)4（1,1）是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，

若|PA|+|P用的最大值為Omax，最小值為。min，那么。max+。狙聞=（）

A.B.4C.8D.8AT3

x

8.已知函數(shù)/（%）=xe,g（x）=2xln2xf若f（與）=g%）=3t>0,則;^的最大值為（）

xlx2

A.3B.4C.-D.-

eLeLee

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.對(duì)變量y和x的一■組樣本數(shù)據(jù)（句,乃），（x2）y2）>（xn，%）進(jìn)行回歸分析，建立回歸模型，

則（）

A.殘差平方和越大，模型的擬合效果越好

B.若由樣本數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線y=bx+a，則其必過(guò)點(diǎn)(1J)

C.用決定系數(shù)R2來(lái)刻畫回歸效果，R2越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好

D.若y和x的樣本相關(guān)系數(shù)r=-0.95,則y和久之間具有很強(qiáng)的負(fù)線性相關(guān)關(guān)系

10.已知函數(shù)/(x)=2cos2(x+])+sin(2x+$-l,則下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)/'(X)最大值為1

B.函數(shù)在區(qū)間(-9朝上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于直線x="對(duì)稱

D.函數(shù)gQ)=s譏2%的圖像向右平移器個(gè)單位可以得到函數(shù)f(x)的圖像

2

11.已知雙曲線C：/_y2=1和圓尸：+(y-3)2=/①>0),則()

A.雙曲線C的離心率為竽

B.雙曲線C的漸近線方程為尤±2y=0

C.當(dāng)r=/石時(shí)，雙曲線C與圓P沒(méi)有公共點(diǎn)

D.當(dāng)r=2C時(shí)，雙曲線C與圓P恰有兩個(gè)公共點(diǎn)

12.在四棱錐S—ABC。中，底面4BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,

S41底面4BCO,S4=4B,AC,8。交于點(diǎn)。，M是棱S。上的

動(dòng)點(diǎn)，則()

A.存在點(diǎn)M,使?！啊ㄆ矫鍿BC

B.三棱錐S—4CM體積的最大值為g

C.點(diǎn)M到平面HBCD的距離與點(diǎn)M到平面S4B的距離之和為定值

D.存在點(diǎn)M,使直線OM與4B所成的角為30。

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為一.(用數(shù)

字作答)

14.已知tan(a+3)=2,則tan(2a+卷兀)=.

15.已知直線y=ax4-b(aeR,b>0)是曲線f(x)=e*與曲線g(x)=Inx+2的公切線，則

a+b的值為.

16.已知數(shù)列｛an｝中，◎i=l,一an_i="(九N2,九€N*),設(shè)“=+

%1+141+2%1+3

"'+~'若對(duì)任意的正整數(shù)九，當(dāng)me[1,2]時(shí)，不等式一+g>匕恒成立，則實(shí)數(shù)t的

取值范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在△力BC中，D為BC上一點(diǎn)，AD=CD,BA=7,BC=8.

(1)若B=60。，求AABC外接圓的半徑R；

(2)設(shè)4&4B-乙4cB=0,若sin。=手，求AABC面積.

18.(本小題12。分)

已知正項(xiàng)數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為Sn，4Sn=w+2an.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)匕=(22+1_?數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和為加證明：Tn

19.(本小題12.0分)

如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，PC_L底面ZBCD,ABCD是直角梯形，AB1AD,AB//CD,

AB=2AD=2CD=2,E是PB的中點(diǎn).

(1)求證：平面EAC平面PBC；

(2)若二面角P-AC-E的余弦值為?，求直線PA與平面E4C所成角的正弦值.

20.(本小題12.0分)

某數(shù)學(xué)興趣小組為研究本校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)的關(guān)系，采取有放回的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,

從學(xué)校抽取樣本容量為200的樣本，將所得數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)整理如下:

語(yǔ)文成績(jī)

合計(jì)

優(yōu)秀不優(yōu)秀

優(yōu)秀503080

數(shù)學(xué)成績(jī)

不優(yōu)秀4080120

合計(jì)90110200

(1)根據(jù)a=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān)聯(lián)?

(2)在人工智能中常用=簿^表示在事件4發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的優(yōu)勢(shì)，在統(tǒng)計(jì)中

稱為似然比.現(xiàn)從該校學(xué)生中任選一人，4表示“選到的學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)不優(yōu)秀”，B表示“選到

的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀”請(qǐng)利用樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)L(B|4)的值.

(3)現(xiàn)從數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的樣本中，按分層抽樣的方法選出8人組成一個(gè)小組，從抽取的8人里再

隨機(jī)抽取3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，求這3人中，語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)2

附：*2

(a+，)(c+d)(Q+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

21.(本小題12.0分)

已知橢圓C：務(wù)4=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)相同，曲

線C的離心率為：,P(2,y)為E上一點(diǎn)旦|PF|=3.

(1)求曲線C和曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)F的直線交曲線C于4、G兩點(diǎn)，若線段HG的中點(diǎn)為M,且而=2而，求四邊形OHNG

面積的最大值.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=Inx—mx+1,g(x)=x(ex—2).

(1)若f(x)的最大值是0,求m的值：

(2)若對(duì)其定義域內(nèi)任意x,f(x)Sg(x)恒成立，求m的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解；由%2-4%—5<0,得(x+l)(x-5)S0,解得一1WXW5,

所以4={%GN\x2-4x-5<0}={0,123,4,5},

由log2023(x-2)<0，得。<x-2Wl，解得2cxM3,

所以8={%eR|log2023。-2)<0]={x|2<x<3},

所以4nB={3}.

故選：C.

先求出集合4B,再求兩集合的交集.

本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：由z(3+i)=3+^023,得2=嬰=存嘿耳=串±=:一

3+i(3+t)(3-i)1055

所以￡=

所以Z的共規(guī)復(fù)數(shù)5的虛部為，

故選：D.

對(duì)z(3+i)=3+門。23化簡(jiǎn)求出復(fù)數(shù)z,再求出其共軌復(fù)數(shù)，從而可求出Z的共規(guī)復(fù)數(shù)￡的虛部.

本題主要考查共輾復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解:根據(jù)題意,得五?加=|五|?|B|cos與=2x4x(—》=-4,

所以(2/一])2|a|2-ad=8-(-4)=12.

所以向量2a-跪向量五方向上的投影向量為*=苧x與=3區(qū)

|a|M22

故選：C.

先計(jì)算向量2元-5與向量方的數(shù)量積，再代入投影向量公式中，即可得答案.

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解:如圖所示,

圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為4P=4-2=2,設(shè)上底面圓的半徑為r,下底面圓的半徑為R,

由題意可得，7Tx2=2nrfzrx4=2nR,

解得丁=1,R=2；J

所以圓臺(tái)的高為h=J22-(2-1)2=y/~3，

所以圓臺(tái)的體積為U屈q=17T[12+22+1X2]X門=書.

四口313

故選：D.

求出圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，利用勾股定理求出圓臺(tái)的高，再利用圓臺(tái)的體積公式求解即可.

本題考查了圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖的理解與應(yīng)用，以及圓臺(tái)體積公式應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閿?shù)列｛叫｝的通項(xiàng)公式為,=nsiny,且y=sin與的周期為7=6n,

口I面。671+1+a6n+2+a6n+3+。6九+4+a6n+5+a6n+6

=(6n+l)sin色亭"+(6n+2)sin色"；2"+(6n+3)sin+(6n+4)sin任"；4"+(6n+

5￥由呼里+(6九+6)5也吟明

=(6n+l)sing+(6n+2)sin§+(6n4-3)sin學(xué)+(6n4-4)sin號(hào)4-(6n+5)sin4-(6n4-

ooooo

6)sin萼=(6n+1)?浮+(6n+2).?+(6n+3)?0+(6n+4)?(一浮)+(6n+5)?(一浮)+

(6n+6)-0

=一3二，

又因?yàn)?023=6x337+1,

所以的+0,2+%+…+Q2023=337X(-3yl3)+2023X—?

故選：A.

根據(jù)題意化筒得至！)。671+1+。6n+2+a6n+3+。6n+4+。6n+5+。6n+6=—3,結(jié)合計(jì)算規(guī)律,準(zhǔn)

確計(jì)算，即可求解.

本題主要考查數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：第一步將四門選修課程分為3組，第二步將分好的三組安排在三年內(nèi)

選修，由分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

第一步將四門選修課程分為3組，

若分為2、1、1的三組，有盤=6種分組方法；

若分為2、2、0的三組，有尊=3種分組方法；

若分為3、1、0的三組，有盤=4種分組方法，

則一共有6+3+4=13種分組方法；

第二步將分好的三組安排在三年內(nèi)選修，有房=6種情況，

則每位同學(xué)的不同選修方式有13X6=78種.

故選B.

7.【答案】C

【解析】解：由題意，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為尸'(1,0),連接PF',

則|P4|+\PF\=\PA\+(4-|PF'|)=4+(\PA\-|PF'|),

當(dāng)點(diǎn)P在位置M時(shí)，|P*-|PF1取到最大值|4F1,

當(dāng)點(diǎn)P在位置N時(shí)，|P4|-|PF'|取到最小值一|”'|,

所以|P川一|PF'|的取值范圍是［一］加叫,|4尸'|］,即［-1,1］,

所以|PA|+|PF|的最大值2nH=5,\PA\+|PF|最小值。向n=3,

所以O(shè)max+^min~8-

故選：C.

利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為|P4|-|PF'|的最值問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合即可求解.

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題.

8.【答案】。

【解析】

【分析】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及最值，解決本題的關(guān)鍵是從已知等式中構(gòu)造函數(shù)并能

靈活利用函數(shù)性，屬于中檔題.

由己知等式代入可得=2x2ln2x2=t,然后結(jié)合對(duì)數(shù)性質(zhì)及基本函數(shù)單調(diào)性可得h=

5(2小)，代入到所求式子后再次構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而可求.

【解答】

解：因?yàn)閒(x)=xe*,g(x)—2xln2x,/(Xj)=g(x￡)=t,t>0,

所以*送*1=2x2ln2x2=t,

所以InQieM)=ln(2x2Zn2x2)=/nt,

即"刀1+X]=ln(2x2)+ln(/n2x2)=Int,

因?yàn)閥=x+/nx在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以尤i=ln(2x2)>

BPlnxt+=lnxr+ln2x2=Int,

所以2工1%2=t.

Int2lnt

則

xix2

令九(t)=半，則九，?)=上蘆

當(dāng)0<t4e時(shí),/iz(t)>0,/i(t)單調(diào)遞增,

當(dāng)t>e時(shí)，h'(t)<0,/i(t)單調(diào)遞減，

故當(dāng)t=e時(shí)，/i(t)取得最大值/i(e)=

故選。.

9.【答案】BD

【解析】

【分析】

利用殘差平方和的含義判斷選項(xiàng)A,由回歸方程必過(guò)樣本中心判斷選項(xiàng)8,由相關(guān)系數(shù)的含義判

斷選項(xiàng)C,D.

本題考查了殘差平方和的含義、相關(guān)系數(shù)的含義的應(yīng)用，回歸方程必過(guò)樣本中心的應(yīng)用，考查了

邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：因?yàn)闅埐钇椒胶驮叫。Ｐ偷臄M合效果越好，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

因?yàn)榛貧w方程必過(guò)樣本中心，故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)橄禂?shù)解越接近1,說(shuō)明模型的擬合效果越好，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

由相關(guān)系數(shù)為負(fù)且接近1,則y和4之間具有很強(qiáng)的負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，故選項(xiàng)。正確.

故選：BD.

10.【答案】AD

【解析】

【分析】

本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查了函數(shù)思想的應(yīng)用，屬

于一般題.

由題意利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求解.

【解答】

解：因?yàn)?(X)=2cos2(x+今+sin(2x+-1,

所以/'(x)=^Y~sin2x+^cos2x—cos2x=sin(2x—^)，

當(dāng)2x-2=>2人叩€2)時(shí)，函數(shù)/(x)取得最大值1,故A正確；

令t=2x-2當(dāng)x所以_等<2xT<1

OJOooo

又y=situ;在區(qū)間(-■J)上不是單調(diào)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

當(dāng)》=強(qiáng)時(shí)，2x-l=0,函數(shù)/(x)的圖像不關(guān)于直線""對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；

函數(shù)g(x)=s譏2%的圖像向右平移各個(gè)單位得到函數(shù)sin[2(x-^]=sin(2x-1),故。正確.

故選AO.

11.【答案】ACD

【解析】解：由已知得a=V^，b=1,則?=，？，所以雙曲線C的離心率e=￡="，故A正

a2

確；

雙曲線C的漸近線方程為丫=士盍X,即％±，至?xí)?0,故B錯(cuò)誤；

因?yàn)閳A心P(0,3)到雙曲線C的漸近線的距離&=丁/：于=g

所以當(dāng)r=「時(shí)，圓P與雙曲線C的漸近線相切，此時(shí)雙曲線C與圓P沒(méi)有公共點(diǎn)，故C正確；

當(dāng)r=2「時(shí)，圓P的方程為：/+。一3)2=8,

聯(lián)立隹;=8,整理可得：y2-2y+l=0,可得y=l,可得好=4,解得x=±2,

即雙曲線與圓的交點(diǎn)(2,1)和(一2,1),即雙曲線C與圓P恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，故O正確.

故選：ACD.

根據(jù)雙曲線方程求出離心率與漸近線方程，即可判斷4、B,求出圓心到漸近線的距離，即可判斷

C,設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y),表示出PQ的距離，即可得到圓心P到雙曲線C上的點(diǎn)的距

離的最小值，從而判斷D.

本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，雙曲線與圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】ABC

【解析】解：以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，4B,4。，4s所在直線分別

為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)S4=AB=2,

則4(0,0,0),C(2,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),S(0,0,2),。(1,1,0),

由M是棱SO上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M(0,2,2-;I),(0<2<2),

VS-ACM=寺SASACx九，因?yàn)榈酌?BCD為正方形，故。。1

AC,

又641底面ABCD,所以S410D,

又$4n4C=4所以00_L底面S4C,所以當(dāng)M與。重合時(shí),

三棱錐S-4cM體積取得最大且為%YCM=|x|x2X2y/~2x，攵=，故B對(duì);

當(dāng)M為S。中點(diǎn)時(shí)，0M是ASB。的中位線，所以O(shè)M〃SB,又OMC平面SBC,

SBu平面SBC,所以。M〃平面SBC,故A正確；

點(diǎn)M到平面4BCD的距離di=2-九點(diǎn)M到平面SAB的距離:

,_\AM-AD\_|(0A2-A)(02,0)|_【

do————---------,---A,

2\AD\2

所以di+G(2=2—4+4=2,故C正確；

布=(2,0,0)，0M=(-1,1-1,2-2)，若存在點(diǎn)M,使直線0M與AB所成的角為30。，

\AB-0M\1C

則C°s3o°no=jraWi=I22=—>化簡(jiǎn)得3萬(wàn)—94+7=0,無(wú)解，

1111Jl+(A-l)z+(2-A)z

故。錯(cuò)誤；

故選：ABC.

根據(jù)題意以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AS所在直線分別為x,y,z軸，利用向量法判斷CD,根據(jù)底

面積不變，高最大時(shí)，錐體體積最大，判斷B選項(xiàng).根據(jù)線面平行的判定定理判斷4即可求解，然

后結(jié)合空間向量的結(jié)論考查點(diǎn)面距離和異面直線所成的角即可.

本題主要考查線面平行的證明，錐體體積的計(jì)算，點(diǎn)面距離的計(jì)算，異面直線所成的角的計(jì)算，

空間向量及其應(yīng)用，空間想象能力的培養(yǎng)等知識(shí)，屬于中等題.

13.【答案】-540

【解析】解：展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為32,

所以2"T=32,所以n—1=5,所以ri=6,

故通項(xiàng)公式幾+1=C^x6-k(-|)k,

整理得幾+i=(-3)kC]--2k,

令6-2k=0,

所以k=3,

故常數(shù)項(xiàng)為(一3尸瑤=-540.

故答案為：-540.

根據(jù)展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為32,計(jì)算n,再寫出通項(xiàng)公式，求出常數(shù)項(xiàng)即可.

本題考查了二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】一:

tana+tan^2tan(a+1)4

【解析】解:??,己知tan(a+~jf-2f???tan(2a+*)=

23,

1—tana-tan^o-l-tan(a+1)

tan(2a+§+tan/

則tan(2a+,兀)=tan(2a+1+^)=1

1—tan(2a+2)tan^1,

故答案為：—

由題意利用二倍角的正切公式求得tan(2a+金的值，再利用兩角和的正切公式求得tan(2a+

卷兀)=tan(2a+「+()的值.

本題主要考查二倍角的正切公式，兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】2

【解析】解：設(shè)(t,e，)是/(X)圖像上的一點(diǎn),f'M=ex,

所以/'(x)在點(diǎn)?,才)處的切線方程為y-e，=e，(x-t),y=ecx+(1-t)ef(T),

令g'(x)=￡=e，，解得x=e-t>

5(e-t)=Zne-t+2=2—t,所以:二;二;=e"

=所以t=0或t=1(此時(shí)①為、=ex,b=0,不符合題意，舍去)，

所以t=0,此時(shí)①可化為y-1=1x(x-0),丫=尤+1,

所以a+b=l+l=2.

故答案為：2.

由/(乃求得切線方程，結(jié)合該切線也是g(x)的切線列方程，求得切點(diǎn)坐標(biāo)以及斜率，進(jìn)而求得直

線丫=￡1刀+人從而求得正確答案.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

16.【答案】(一8,1)

【解析】

【分析】

本題涉及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，涉及累加法，涉及數(shù)列的單調(diào)性，重點(diǎn)考查數(shù)列與不等式結(jié)合的恒

成立問(wèn)題.

根據(jù)已知條件利用累加法，結(jié)合等差數(shù)列求和公式得到即522),驗(yàn)證的適合此公式，進(jìn)而可得

數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式，通過(guò)研究勾-垢-i的正負(fù)得到數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞減數(shù)列，即當(dāng)n=l時(shí)，bn

取得最大值上=!，進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為/一的+：>y寸任意me[1,2]恒成立，進(jìn)而得至股的取值范

圍.

【解答】

解：v%=1,an-a九_(tái)i=n(n>2,nGN*),

當(dāng)九>2時(shí)，Qn—an_r=n,dn-x-an-2=n-1,...?a2—ar=2,

累項(xiàng)相加，得：an—。1=九+(九-1)+…+3+2,

卜

an=1+24-3d------n=1n(n+1),

又?.?當(dāng)九=1時(shí)，at=1也滿足上式，

，數(shù)列｛a幾｝的通項(xiàng)公式為a九=1n(n+1),

??,bn=」一4-二一4-」一+…+—,

an+lan+2an+3a2n

則=-+—+—+—+-+-^-(n>2,nGW*),

an?+lan+24i+3?2n-2

111

:，b—b_'=----------1--------------

nn^2n—1Q2n

11__________2

一n(2n-1)+n(2n+1)n(n+1)

=;[(+-+)+(赤-磊)]<0對(duì)于任意的n>2恒成立，

???數(shù)列｛b｝是單調(diào)遞減數(shù)列，又由前面得a?=2，

所以當(dāng)n=l時(shí)，必取得最大值瓦H

o-11

????nz-mt4-->

即m2-mt=m(m-t)>0對(duì)任意znG[1,2]恒成立，即￡<m對(duì)任意mG[10恒成立，

At<1,即實(shí)數(shù)t的取值范圍為(-8,1).

故答案為(一8,1).

17.【答案】解：(1)由余弦定理4c2=BA2+BC2-2BA-BC-cosB=57,

解得AC=

解得R=<19;

：,△ABC外接圓的半徑R為廳i；

(2)由40=C。，所以乙。。4=4。4。，

所以。=乙CAB-Z-ACB=乙BAD；

由sin。=sinZ.BAD=

14

1O

得cos6=cosZ-BAD=-；

14

設(shè)BD=x,則。C=8—%,DA=8—xf

在^ABD^BA=7,BD—x,DA=8—%,cosZ.BAD—苛

由余弦定理得%2=72+(8-x)2-2x7x(8-x)x

解得x=3；

所以BD=3,DA=5；

由正弦定理一4^=器，

s\n^.BADsinB

3_5

即37T=sinB'

14

解得sinB=今號(hào)；

14

所以SMBC=^BA-BC-sinB=10/3，

即△ABC的面積為10/3

【解析】(1)利用余弦定理求出4c的值，再由正弦定理求得三角形外接圓的半徑；

(2)由題意，利用正弦、余弦定理求得乙4BC的正弦值，再計(jì)算AABC的面積.

本題考查了解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)??,4Sn=W+2an,

???當(dāng)九>2時(shí)，4Sn_i=磺_14-2an_i,

QI

兩式相減得4c1n=Q2+2an-(￡+2an_i),

整理得(Qn-Q吁i-2)(an+0n_i)=0,

van>0,

Aan—Qn-l=2，

又當(dāng)幾=1時(shí)，4ai=4Si=a：+2。1，解得的=2,

???數(shù)列｛a"是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

???an=2n；

(2)證明：由(1)得6=2n2n+2l'J=22n1.22n+21=-4八+1T

n1V2—ijZ—1Z—1什q—1

.T_11,11,,1111

?工==_門+齊7_門+…+E-產(chǎn)匚/—產(chǎn)匚？

即/二T>o，

【解析】(1)利用an=Sn-S“_i計(jì)算整理，可得斯-冊(cè)_1=2,再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答

案；

(2)將％變形得垢=上一扁一;，利用裂項(xiàng)相消法可得〃，進(jìn)一步觀察可得證明結(jié)論.

本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系以及裂項(xiàng)相消求和問(wèn)題，屬于中檔題.

19.【答案】(1)證明：因?yàn)镻C1平面4BCD,4Cu平面4BCD,

則力C1PC,

因?yàn)榱=2,AD=CD=1,

則4c=BC=。，

^.AC2+BC2=AB2,

所以AC1BC,

又BCCPC=C,BC,PCu平面PBC,

則ACJ■平面PBC,

又4cu平面瓦4C,

故平面E4CJL平面PBC；

(2)解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則C(0,0,0),71(1,1,0),8(1,-1,0),

設(shè)P(0,0,a)(a>0),

則

故之=(1,1,0),CP=(0,0,a)rCE=

設(shè)平面P4C的法向量為記=(x,y,z),

則產(chǎn)豆=0,即仔+c：0,

(沅?CP=0Laz=0

取x=1,則y=-1,

故沅=(1,一1,0)，

設(shè)平面瓦4c的法向量為元=(p,q,r),

，

則儼3=0p+q=0

即11.a

'tn-CE=o/一”+尹o'

令r=—2,則p=a,q=-a,

故記=3-a,—2),

因?yàn)槎娼荘-AC-E的余弦值為?，

所以爵=瀉不=芋，解得a=2,

7a2+23

故元=(2,—2,-2),

所以同=(1,1,-2)，

則|COS〈元，兩>|=編?4+4+4&1+1+4=殍'

故直線P4與平面E4C所成角的正弦值為?.

【解析】(1)利用PC，平面ZBCD,得到AC1PC,結(jié)合ACLBC,可證明力CJ"平面PBC,由面面

垂直的判定定理證明即可；

(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(0,0,a)(a>0),求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用

待定系數(shù)法求出平面PAC和平面ACE的法向量，由向量的夾角公式列式求解，求解a的值，然后再

利用線面角的計(jì)算公式求解即可.

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的應(yīng)用，二

面角的應(yīng)用以及線面角的求解，在求解有關(guān)空間角問(wèn)題的時(shí)候，一般會(huì)建立合適的空間直角坐標(biāo)

系，將空間角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量問(wèn)題進(jìn)行研究，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)零假設(shè)%：數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)無(wú)關(guān)，

據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得：*2=型黔需黨球。16.498>6.635，

A90x110x120x80

根據(jù)小概率值a=0.010的犬的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷也不成立，而認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān);

P(AB)

(2)?.“(8|4)=里%=強(qiáng)=儂=遜=四=5

P(BM)P(AB)P(AB)n(4F)303，

.??估計(jì)L(B|4)的值為全

(3)按分層抽樣，語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的5人，語(yǔ)文成績(jī)不優(yōu)秀的3人,

隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,

則P(X=0)W4P(X=1)=管嗤P(X=2)=管咤4P(P=3)W=S=

5

289

??.X的概率分布列為:

X0123

115155

P

56562828

>ki-M-Hj-pil八八I,.15-15c510515

???數(shù)f學(xué)期望E(X)=°X*+1XA+2X^+3X^=^=?

【解析】(1)零假設(shè)/后，計(jì)算/2的值與6.635比較即可；

(2)根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可；

(3)分層抽樣后運(yùn)用超幾何分布求解.

本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題.

21.【答案】解：(l)e==a=2c,b2=a2—c2=3c2=橢圓C