2023年陜西省漢中市統(tǒng)招專(zhuān)升本高數(shù)自考模擬考試(含答案)

2023年陜西省漢中市統(tǒng)招專(zhuān)升本高數(shù)自考

模擬考試(含答案)

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(20題)

1.

已知函數(shù)匚=/(1,)，)的全微分du=2.rdi+sinydv,則|=()

0X0VI(1.2》

A.-1B.0C.1D.2

2.

已知曲面T=4-M-y2上點(diǎn)P處的切平面平行于平面2.r+2y+z-\=0.則點(diǎn)P

的坐標(biāo)是()

B.(一1,1.2)

C.(1.1.2)D.(-1?一1?2)

下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的是(:

B.X(T)”獲

A.

V〃

C.2(-1)-^1D?X(一1)""二

仁-1

4.

已知八1)可導(dǎo),八0)=。.則/(0)=

B.lim—0)

A.lim/3「°〉

C.hm/3-/⑹D.lim〃°):/(")

Ar???A.l

5.

D為圓域、/+V49.則11，?_-djdv=

JJ1+*+y6

D-

A.nln3B.Tclnl0C.7rln2I).7T

6.

I=l］（r+y>位.其中D由（L軸、Qy軸及直線-r+y=1圍成.則）

A.0</<4-B.1</4n

C.y</<1D.0<I<1

7.

設(shè)函數(shù)/（彳）為奇函數(shù).小?。榕己瘮?shù),則復(fù)合函數(shù)/［g（x）］為（）

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函數(shù)

8.

設(shè)/=「則I的取值范圍為（）

"1+.r'

A.0</<B.y</<1

c.0</<4D.0</<4-

4L

9.

若函數(shù)/（彳）滿足/（x）=,/+I/Q）di,則/（.r）=（）

乙J”

A.a*2+B?M+JC./+2D.J2

3036

10.

設(shè)y=ln(l+.r).則=()

\(—1尸(〃一?)!B.(-ir

(l+_r).H(1+E1)”

C(—l)i-!￡!——D(-1)1"-D!

(1+1)'(1+/尸

11.

級(jí)數(shù)X一的前”項(xiàng)部分和S,滿足limS“=()

rf?7<?+1>

A.1B.gC.yD.0

12.

已知f(.r)可導(dǎo).且lim，"+工)―一=1,則/'(D=()

x-0X

A.2B.1C.OD.y

13.

導(dǎo)數(shù)fjarcsin/d/=()

dlJa

A.arcsina'B.O

1

C?arcsin6—arcsinuD.-

14.

下列等式不成立的是()

A.ln(/TTP--z)d.r=0B.Isin(x+)d.r=0

JiL

C.1-3-r)dj-=0

D.arctan.zd.r=0

15.

已知|/(1)d.r=,r(+C.01]|.</(1-,r2)dr=()

A.(1—J"-)'+CB.----y(1—X~),

C.y(l-.r2);+CD.-^-(1-,r2)s4-C

16.

曲線y=.r2與丁=.r圍成的平面圖形繞丁軸旋轉(zhuǎn)一周生成的立體體積為（）

A.YB.yC—D—

310

17.

微分方程，-的通解為

y'=()

v1一4」

A.arctanj'-arctan.z=CB.arctan^r+arctan^=C

C.arcsine-arcsin.r=CD.arcsin^+arcsin.r=C

18.

a+Zn，&0,

若函數(shù)/'(x)=Vsin4r在1=0處連續(xù)，則常數(shù)a也應(yīng)滿足(

------,1>0

JC

A.a<bB.a=bC.a>bD.ar6

19.

.已知曲線y=與y=Iru,相切?則a=

A.e2B.1C.2eD1

eZe

20.

,253—3、

已知；；)?B?且AM+，=B?則X

\13/i—

1?

1111?

A.B,

01011

1-1)11;

c.D.

1-20-11

二、填空題(10題)

設(shè)_/(a*)=arctan.r?貝1」-p-1—t)d/=

21.

已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

-r1,01*

/(1)=<2—n?1V/<2.

0,其他.

22.

則P(X&1.5)=

函數(shù)y=的反函數(shù)為

24函數(shù)衛(wèi)=arcc°s寧的反函數(shù)是

fl「1+

cu交換二次積分/=七一/Q.、)d.v的次序后.則/=

25.」?！埂?/p>

已知f(uc+1)dj-=Jte<+1+C,則/(a)=

26.」

?函效舁一在(一3.3)內(nèi)展開(kāi)成才的幕級(jí)數(shù)是

27.3—J-_____

哥級(jí)數(shù)Z-73-7(2^-1)-的收斂域?yàn)?/p>

28."=°"+4

29.

方程sin.y+.re，=0所確定的曲線y=j-(.r)在點(diǎn)(0.0)的切線斜率為.

“設(shè)A.B為三階方陣.|A|=4,AB=E.則|B|=

三、判斷題(10題)

「jr-siru1?1-cos.r,

lim——：：——=lim--；-----=1.

3]1…/+siru1y1+cosrA否B日

函數(shù)/(JT)=1與/(.r)=In”的圖形是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的.

32.A.否B.是

,若lim""+'=4.則a=4,6=-4.

33.l?1一2A.否B.是

34.

31.N<0?

若函數(shù)/（/）=.arclane）.在z=0處連續(xù).則a=2e.（）

T-+x>0

A.否B.是

lim.rn=a當(dāng)且僅當(dāng)=limi21rH=a.

u->QQ?—*8

35.A.否B.是

36.

導(dǎo)數(shù)值/'（詼）=（/（-）>'.<）

A.否B.是

函數(shù)y=arctan（上一1）的最大值是與.

37..-A.否B.是

38.

設(shè)y=ln（l+.r）,則爐”=（一1尸等三里.（）

<1卜.r）

A.否B.是

39.

在區(qū)間［-1.1］上?函數(shù)/Q）=滿足羅爾中值定理.（）

A.否B.是

若lim（〃t巴+）=2,則a=1.

40.）A.否B.是

四、計(jì)算題(5題)

求不定積分.r2e2jch.

41.-

42.

要做一個(gè)圓錐形的漏斗.其母線長(zhǎng)20cm,要使其體積為最大,問(wèn)其高應(yīng)為多少？

43.

計(jì)算甯didy.其中D是由.y==0,y=1圍成的平面區(qū)域.

計(jì)算定積分「COSA/7辦：

44.

45.

卜門(mén)+上2+13+4=0?

+2、Q+=1?

已知線性方程組［-ii當(dāng)為何值時(shí)方程組有無(wú)窮多個(gè)解.

—xz+(。-3-2箱=b,

3J,I+2/2+13+az」=-1?

并求出其通解.

五、證明題(2題)

46.

設(shè)函數(shù)八一在［0,1］上連續(xù).在(0.1)內(nèi)二階可導(dǎo).過(guò)點(diǎn)A(0./<0))與8(1./(D)

的直線與曲線.v=/(.r)相交于點(diǎn)C(t.,/(c)),其中0<c<l,證明:在(0.1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

E?使得/<$)=0.

47.

設(shè)f（.r）在［-a，a］上連續(xù)（”〉0,為常數(shù)），證明:j/（i）dr=iUQ）+/Jr）］dr.并計(jì)

位算〃「1入COST息..

六、應(yīng)用題（5題）

48.

求/（支）在點(diǎn)（2.4）處的切線與3=-/+4'所圍圖形面積.

49.

求由曲線），=M-2.「+9與該曲線過(guò)原點(diǎn)的兩條切線所圍成圖形的面積.

50.

某家銀行準(zhǔn)備新設(shè)某種定期存款業(yè)芬.假設(shè)存款量與利率成正比?經(jīng)預(yù)測(cè)與存款后相

同的貸款投資的收益率為16%.假定客戶所有存款全部貸出.那么存款利率定為多少時(shí).銀行

能獲得最大利澗？

51.

統(tǒng)計(jì)表明.某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量升）關(guān)于?行駛速度

3

■Hkm/h）的函數(shù)解析式可以表示為：y=,?Jnnn-r一之r+8（0V上＜120）.已知甲、乙兩地

1ZoOUOoO

相距100km.當(dāng)多汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

52.

某商店按批發(fā)價(jià)3元購(gòu)進(jìn)一批商品.若零售價(jià)定為每件5元.估計(jì)可售出100件.若每

件售價(jià)降低0.2元.則可多售出20件.請(qǐng)問(wèn)該店應(yīng)批發(fā)進(jìn)多少件商品且每件售價(jià)為多少時(shí)才

可我得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？

參考答案

1.B

［答案］B

【精析】由全微分定義知勺=2］.母=sin”故富=0.所以普=0.

rtxdydx（iycfxdy（1.2）

2.C

22

【精析】令F（.r._y,N）=z—4+x+>.Fa=2.r.Fy=2y.Fz=1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)

為（*.、,，％）,則在P處的切平面的法向量可取為n-（2才。，2>1.1）.由平行關(guān)系可

得若=等='從而1。=、>=1.代人曲面方程得力=2.故選C.

3.B

［答案JB

S

【精析】由”級(jí)數(shù)的性質(zhì)得2；3發(fā)散.故A條件收斂.1加總==540,

lim>4==5片0,故C、D發(fā)散，故選B.

…儂?二［42

4.A

［答案］A

【精析】八0）=lim/（0+a：）」'（0）=lim）一八°）.故應(yīng)選A.

x?-Ildr上一ndr

5.B

【精析】147d.py=1d"備兩

=2nf十壯7水1+小

3

=K?ln（l+r2）

o

=7tlnl0.

6.A

［答案］A

【精析】區(qū)域D的面積為IXIX5.又在區(qū)域D上的0—1.則

由二重積分的估值定理可得owy

L?

［答案］B

7B【精析】/=====/［*（彳）］.故應(yīng)選B.

8.B

［答案］B

111rJ1

【精析】因?yàn)樵冢?,1］上17rd.r￡l.

［答案］A

【精析】令/（i）di=/.則/（1）=J，+（.

JnZ

所以I—I/（①）&丁=12d?Z+、1=1+4，，

Jo.力ZJZ

?.1

解/=5'.則/（-?'）=-r''丁.故應(yīng)選A.

9'.A-'■'

10.A

【精析】)，=用門(mén)，?…?嚴(yán)=(-1尸安號(hào)?故

(1+工尸（1+上）

應(yīng)選A.

11.A

［答案］A

【精析］，1［、＜2.級(jí)數(shù)￡2是P=2的p級(jí)數(shù).收斂.故由比較審斂法可知

〃(〃+1)fi-卜獷

［精析］］im5.三一任士=仁小+才)一尸⑴+而兇工一叢3

2/(1)=1,故/(I)=9.

［答案］B

【精析】由題意可知［arcsirwdr=C(C為常數(shù)3

則?farcsin/d/=3^=0.

［3Bd.rJ丁u.r

14.B

［答案］B

【精析】奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分為零?選項(xiàng)A、C、D中三個(gè)被積函數(shù)均為奇

函數(shù)?故積分結(jié)果均為0.選項(xiàng)B中.|sin(i+y)dr=j"cosjcLr=sinj

2sinl.

15.D

［答案］D

【精析】=才"+C,則1—2,）d_r----—xJ）d（l—xJ）-----------^-（1—

x-）s+C.

16.D

【精析】體積V=fTtydy-fny1dy=it?I—I---5?=修?故選D.

JoJoZIo0IoZ10

［答案1c

【精析】將方程分離變量可得T—辦=」dr.

v/rz7r

兩邊積分得1—,］dv=I—d.r.BParcsinv=arcsinr+C.

Jv/izzy、J7rz7r

17C所以arcsin_v—arcsin.r=（,.故應(yīng)選（'.

18.B

［答案1B

【精析】由連續(xù)定義可知lim/（X）=lim①紅=lim—=b=/（0）=a.故選B.

…+…+h…+工

2

【精析】曲線=dJ-與j2=InJ相切，故存在【o,使

511（10）=3（10）且工（1o>=），

'axo=Inj'o?

BpJi解得工。=e匕代回方程組得a=；

2叫=—.2e

19.DJ'°

20.D

［答案］D

25：2—3

【精析】由題可知AX=8—I,則（AM-1）=f

131—2

（1011）11

=（/：X）,X=.

010-10-1.

21.

、工/m

［答案］

【精析】界“（V——）也=一十書(shū):—尸）水》—產(chǎn)）

——十丁/"）山，

=xf(X').

22.0

ri.sroriri.5

【精析】P(X&1.5)=|J(jc)dx=IOd.r+|/cLr+(2—.tjda'

J-8J-8J0J]

=0.5+O.375

=0.875.

23.

y=j1-1

【精析】rtly=＞才?1.y&R可得，y"=.r+1?j=y'一1?故反函數(shù)為y=.1—1?

jeR

24.

y=1—3cosa,3、G[0,加]

[答案]y=1—3cos],zG[0,7t]

【精析】y=arccos1",值域?yàn)閇0,7t].則1w"?=cosy,1=1-3cosy,交換jc^y的

oo

位置可得反函數(shù)為y=1—3cosx?.rE[0，n].

25.

[dy]/(j-,y)tLr+fdy/(.r.jDcLr

JoJoJ1

【精析】由1i+^/^zz7^得區(qū)域如圖由才=/.（>>-1）2

+/=1及1=0圍成.屬于y-型區(qū)域.需分兩塊D,和D?.故

(,1(?/「2「4T

，=1網(wǎng).，(_r,_y)d_r+J|d?J。，5y)dz.

第15題圖

26.

［答案H

【精析】令jr+1=，，則一1.+1)da-=J/(/)dz=(/De*+C,

等式兩邊對(duì)，求導(dǎo)得y（z）=Ze',即/（N）=￡e，.

27.

8

、r工

//Ow+!

?=Q°

【精析】占='一1T=?E^r-re(-3.3).

3

28.

r-,1---3-i

44

____OR

【精析】令2.r—1=，.級(jí)數(shù)化為X/二廣.這是不缺項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)箱級(jí)數(shù).

（，，+2+4

收斂半徑火==limr^q—??1?,1=y.

當(dāng)/=士十時(shí)?級(jí)數(shù)化為工蘆三或Xm2/都是收斂的.

故軾級(jí)數(shù)￡滔J,”的收斂域?yàn)?一4??4?二

所以原級(jí)數(shù)￡（2.r-!）■的收斂域?yàn)椤福?，；?

29.

［答案］-1

【精析】方程兩邊對(duì)1求導(dǎo)得cosv?yf+ev+?.v'=0.解得』

cosy+xey

故所求曲線J，=Wx)在點(diǎn)(0,0)處的切線斜率為丁|=-1.

I(U?U)

30.

1

T

【精析】AB=E.則|A|IB|=|E|.即4|6|=1.故|B|=

4

31.N

【精析】當(dāng)ifoo時(shí)./一sin.r-*oo,.r+sin.rf8,但lim=lim|

一8(]+S1ILT)i+81+COS.Z'

的極限不存在，不能用洛必達(dá)法則.但該極限存在,正確的做法為

1sin/

1------

liml=lim———=1.

「-8,r+sin1-8]+sma

32.N

【精析】因?yàn)椤秠=e，,所以/=Iny,函數(shù)〃工)=1與/口)=1“互為反函數(shù).圖像

關(guān)于J=1對(duì)稱(chēng).

33.Y

【精析】當(dāng)Xf2時(shí)—2f0,lim"，—十"彳--=4?則+6—4)=2u+〃-4

=0?即〃=4—2。?

所以lim/土好1=lim=tl二到一士=1廝-二^=〃=4,所以。=一4.

x*2XLr-2XZr^lXL

34.N

[答案]x

4arctane

【精析】lim/(.z)—lim3c=3,lim/(.r)=lim(<+〃)=c—a,/(0)—3,

.r-Ujr??.r?<1.r

由_/(JC)在/=0處連續(xù)可得lim/(N)=lim/(J)=/(0),因此u=3—e.

.r?*.r-*P：

35Y【精析】由數(shù)列收斂的性質(zhì)可得.

36.N

［答案］X

【精析】/'(］“〉=lim=r(.r)?而(/(Hu))'=0,因此/(.?.,)

N」XalIJ--.???

W(/(.r0))\

37N【精析】v=arctan(T-l)的值域是(一會(huì)句，沒(méi)有最大值.

38.Y

［答案］V

【精析】V=-^―,yff=----------——,y*=1*2=(一1尸I(”-D!

:,

I箱*1+/(14-.r)-(l+x)*(1+x)-

39.Y

［答案］7

【精析】因?yàn)?Q)在［-1?□上連續(xù).在(一1.1)內(nèi)可導(dǎo)，且八一1)=/(1)=1?所以

/(.r)在「一1.口上滿足羅爾中值定理.

40.N

【精析】因?yàn)?2"+如)=lim［(l+a)"+21=2,所以a+1=0,即“=-1.

H?PO711?-*??

41.

【精析】［x2e2jdx=一Le^d.r=—)

J乙J乙J乙L?J

=獷eZ'—尹e"+yje^dx

=__Lre^++”+C.

42.

【精析】設(shè)高為人則底面半徑r=/20J-h\V=1?力=-=-(400

?Jo

=_x//.令v，=o得人

故力=券5為極大值點(diǎn),在此實(shí)際問(wèn)題中也為最大值點(diǎn).

即高為絲盧cm時(shí)?其體積最大.

?J

43.

【精析】cLrdv1:啜I加

sinjrdv=-cosy=1-cosl

44.-4

45.

【精析】線性方程組的增廣矩陣為

1110rl110

0122101221

A=(A.b)—?

0-1-3--9h0-1a--3-2b

321a一10-12a-3-1

（110rl0-1-1-1

0122101221

—?

00a—10b+100a106+1

000a—10000a-I0

(a-1=().ra=1.

由于方程組有無(wú)窮多解，故

1=0.b=—1?

即4=1.〃=一1時(shí)方程組有無(wú)窮多解.

=囪.則原方程組通解為

.其中訪洪2為任意常數(shù).

【證明】因?yàn)?Q）在［o?c］上滿足拉格朗日中值定理的條件.故存在66（Oa）

使

由于點(diǎn)c在弦八B上.故有

e—01—0

從而有/（&）=/（1）-/（0）.

同理?存在&€（＜、,1），使/（$,）=/I）-”0）,從而/'（&）=/'（&），于是知

/'⑺在上滿足羅爾定理的條件,所以存在（&.&）u（o,l）,使

=0.即在（0」）內(nèi)至少存在一點(diǎn)￡使得/“（0=0.

47.

【證明】因/（X）=4＜八］）+/（-X）］+-f（-X）］

1w乙

而9/Q）一八一外］是奇函數(shù)，基/⑺+/（—1）］是偶函數(shù)，

LL

4-L/Cr）—f（一.r）ld.r=0.

JrZ

所以「八上川父=2］《［”公+八一］)］業(yè)

JaJC<L

=JF/(x)+/(—x)_d.r?

或，=?If(j-)d^+f/(j-)d.r,

J-aJrJ0

而「/⑺必/P/(-z)(-l)d/

J4J9

—f/(—/)dz=/(一］)<!，?

J0J0

故/(jr)dx=［—f(—z)Jdjr,

J-AJC

「Ud.『=『+COS(-X)J

l+er］dr

J-f1+CxJuJ-「

rercosT.COS11J

+e'K

-J.11+e，1

=J；cosxd.=.<J2

Smi=—.

1oZ

48.

【精析】/(.r)=(./)'=2.r,則切線斜率A=2J=4.故切線方程為-y—4

1—2